Lista 5 - Inferência Estatística 1 - 2023-2

Disciplina: EST013 (Inferéncia Estatistica I) Curso: Estatistica Professor: Eduardo Bearzoti Lista 5 de Exercicios 1. Um bidlogo noruegués tem especial interesse em estimar a variancia dos comprimentos de baca- lhaus coletados no Mar de Barents. Ele coleta uma amostra aleatéria de n = 10 bacalhaus, cujos comprimentos (em cm) sao: 59 51 76 48 77 56 93 26 75 72 (a) Com a calculadora ou alguma outra ferramenta, calcule a variancia amostral $7, que se trata de um estimador da varidncia populacional (desconhecida) o?, conforme formalizaremos em um capitulo futuro. (b) O bidlogo agora deseja obter um intervalo de confianga IC com certa probabilidade 1 — a (ou seja, a probabilidade que o intervalo contenha o? é igual a 1— a). Demonstre que um possivel intervalo de confianga tem por limites inferior e superior: n—1)S? n—1)S? IC. ' 1s? (n=1) Xg X~ § x 2 2 2 2\_a Nesta notacao, Xe representa o valor de y~ tal que P (x > 2) = 5- Da mesma forma, 2 2 _ a P(x >x? 5) =1-$. Sugestaéo: para esta demonstracéo, parta da seguinte afirmacaéo probabilistica: P ( 2 <x < 2) =1- Kg SX <Xe a 2 (n=1)8? 2 ‘danci Em seguida, substitua y“ por ~—y—, e finalmente coloque o~ em evidéncia. (c) Consultando uma tabela de qui-quadrado, no Moodle ou em qualquer livro de estatistica, construa um intervalo de confianga para o? (varidncia entre os comprimentos dos bacalhaus), com 95% de probabilidade. 2. Um engenheiro quimico utiliza um catalisador (que chamaremos “catalisador 2”) num processo industrial. Ele deseja averiguar a possibilidade de substituir o catalisador 2 por um outro (chamado “catalisador 1”), que talvez seja mais eficiente na reagéo quimica em questéo. Para tanto, ele conduz um experimento, no qual esta reagao quimica foi repetida n,; = 14 vezes com o catalisador 1 (observando 14 valores X1) e nz = 11 vezes com o catalisador 2 (observando 11 valores X2). Os valores de eficiéncia foram: Catalisador 1 (X1): 45 51 50 62 43 42 53 50 48 55 57 61 49 55 Catalisador 2 (X2): 45 35 43 59 48 45 41 43 49 = 39 Al Sabe-se, com base em experimentos anteriores, que valores de eficiéncia tém distribuicgéo normal. Ou seja, admite-se que X; ~ N (11,07) e X2 ~ N (12,03). (a) Obtenha as médias amostrais Z, e Z,, ¢ as varidncias amostrais s? e s? (vocé pode usar 0 modo estatistico da calculadora para cada catalisador). (b) O engenheiro quer fazer um teste t para verificar se yu, é significativamente superior a [2. Consultando suas anotacoes de estatistica, ele recorda que existe uma férmula de t para o caso de o7 e o3 serem iguais, e outra formula de ¢ para o caso de oj e o} serem diferentes. Assim, 2 em primeiro lugar, ele decide construir um intervalo de confianga para a razao os, utilizando 2 a distribuicgéo F’. Se este intervalo contiver o valor 1, ele concluira que as variancias das duas populagdes podem ser consideradas iguais. Se o intervalo nao contiver o valor 1, ele concluira que as variadncias populacionais sao diferentes. 2 Demonstre que um intervalo de confianga para 4, com indice de confianga (probabilidade) 2 1 —a pode ser dado por: S? 1 S2 ia: |as |] ee (12,1) ° S fa, (M1, 2) S3 2 Nesta notacao, 11 e v2 designam graus de liberdade, e f, (11,2) € fa (v2,11) sdo tais que: 2 2 a a P (F(1,1) > fa (11,12) =5 © P (Fir) > fa (v2,11)) ny Para fazer essa demonstracéo, parta da afirmacao probabilistica: P (fs (11,2) < F(M, 12) < fe (41, v2)) =l-a Em seguida, use 0 seguinte fato (reveja a definigéo de F’ vista em aula): Vy Ss? o2V TSE ~ F(vy, V2) o3V2 bem como o fato: 1 §1—p(Firve) = STE penne Epis) (c) Construa o intervalo de confianga com 90% de probabilidade. As variéncias podem ser consi- deradas iguais? (d) Relembrando Estatistica IT: faga o seguinte teste de hipdteses Ho: (ty — ty) <0 Ay: (4-4) >0 usando a formula de t apropriada. O engenheiro deve substituir o catalisador 2 pelo 1? 2