Slide - Resultados Básicos de Inferência - 2023-2

EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Resultados B´asicos de Inferˆencia Prof. Eduardo Bearzoti Aulas: 28 e 30/11/2023 Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferˆencia Elementar Inferˆencia Elementar (resultados b´asicos de Inferˆencia) * O objetivo desta aula ´e o de revisar e organizar alguns resultados fundamentais de Inferˆencia, que o estat´ıstico(a) deve conhecer. Lembrando que, na Inferˆencia param´etrica, nosso interesse reside nos parˆametros populacionais, sendo a Inferˆencia feita de duas maneiras: Estima¸c˜ao do parˆametro por ponto por intervalo Testes de hip´oteses referentes a este parˆametro Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferˆencia Elementar N´os iremos abordar as 08 situa¸c˜oes mais elementares: 1 Inferˆencia Sobre µ (m´edia de uma popula¸c˜ao normal) 2 Inferˆencia Sobre σ2 (variˆancia de uma popula¸c˜ao normal) 3 Inferˆencia Sobre p (propor¸c˜ao de sucessos na popula¸c˜ao) Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferˆencia Elementar 4 Inferˆencia Sobre µ1−µ2 (dados n˜ao pareados, variˆancias homogˆeneas) 5 Inferˆencia Sobre µ1−µ2 (dados n˜ao pareados, variˆancias heterogˆeneas) 6 Inferˆencia Sobre Diferen¸ca M´edia µD (dados pareados) 7 Inferˆencia Sobre σ2 1 σ2 2 (igualdade entre variˆancias) 8 Inferˆencia Sobre p1 − p2 (diferen¸ca entre duas propor¸c˜oes) Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferéncia Elementar 1. Inferéncia Sobre j: (média de uma populacdo normal) a) Estima¢ao Por Ponto: fi=x b) Estima¢ao Por Intervalo: s Ci: x +t — Y* 1— “st /n Numero de Graus de Liberdade: n—1 Inferéncia Elementar c) Testes de Hipdteses: ya: x — Estatistica de Teste: tc= ~—/% Vn c.1.) Teste Unilateral A c.2.) Teste Unilateral A c.3.) Teste Bilateral: Direita: Esquerda: Ho: Uw = Ho: bh Ho: w= bb H: pF lp Ay: b> bh Hr: p< . Regra de Decisao: Regra de Decisao: Regra de Decisao: Rejeite Ho se te > ta/2 Rejeite Hp se te > ta Rejeite Hp se te < —ta ou se te < —ta/2 Inferéncia Elementar Ex.: Pesquisas mostram que a populacao de homens entre 20 e 25 anos tém nivel médio de colesterol igual a 219 mg/dL. Um estudo foi feito para verificar se o colesterol de usudrios de um restaurante universitario nado estaria acima desse valor (ou seja, se o carddpio de fato esté adequado) Nivel de colesterol € medido em uma amostra de usuarios do RU, de mesma faixa etaria. Este nivel médio pz seria maior que 219? Isto sugere um teste unilateral do tipo: Hp: w< 219 Hy: p> 219 Inferéncia Elementar Suponha que uma amostra de n = 30 pessoas apresentaram os seguintes resultados: 266,8 232,7 217,7 222,2 229,77 196,2 204,2 363,7 166,2 222.5 291,8 246,2 219,1 241,2 2491 202,9 272,7 182,7 311,8 270,7 2287 200, 166,7 226,7 225,8 216,2 186,6 202,8 225,1 177,2 Com estes n = 30 dados, temos: x = 230,88 es = 43,2441 Se a probabilidade de essa amostra ter acontecido sob Ho for muito baixa, somos levados a rejeitar Ho A situacao mais extrema de Hp consiste no valor limite 4 = 219 — €érazoavel avaliar a plausibilidade da amostra nesta condicao mais extrema de Ho Inferˆencia Elementar Assim, na condi¸c˜ao mais extrema de H0 (ou seja, µ = 219), temos que a grandeza: t = ¯x − 219 s √ 30 ter´a distribui¸c˜ao t com ν = (30 − 1) = 29 graus de liberdade * Dessa forma, fazer o teste consiste em calcular este valor de t e comparar com o valor da tabela, para uma certa probabilidade α que desejemos estabelecer No nosso exemplo, temos: tc = 230, 88 − 219 43,2441 √ 30 = 1, 505 Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferˆencia Elementar Escolhendo α = 0, 05, com ν = 29 graus de liberdade, o valor de t tabelado, com α = 0, 05, ´e: t0,05 = 1, 699 Assim, como tc < t0,05, ou seja, como 1, 505 < 1, 699, n˜ao h´a evidˆencias suficientes de que H0 seja falsa, muito embora a m´edia amostral tenha sido maior que 219 (isto pode ter acontecido por puro acaso) Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferéncia Elementar Graficamente, temos: J\. — 0 te to.os 7 * Como te < to, ‘aceitamos Ho ao nivel de 5% de significancia” Inferéncia Elementar 2. Inferéncia Sobre o7 (variancia de uma populacao normal) a) Estima¢ao Por Ponto: n d(x — x)? O° = Ss FSO n—1 b) Estima¢ao Por Intervalo: (n—1)s* (n—1)s? IC, : 2) a Xia Xp 2 2 Numero de Graus de Liberdade: n—1 Inferéncia Elementar c) Testes de Hipdteses: 2 7 . n — 1 S Estatistica de Teste: x2= (os fo 0 c.1.) Teste Unilateral A c.2.) Teste Unilateral A c.3.) Teste Bilateral: Direita: Esquerda: 5 5 Ho: o%= a. Hp : oS %, Ho : 0? > oe Hy: o* # oe Hy: o> % HM: ot< oe . Regra de Decisao: Regra de Decisdo: 5 Regra de Decisao: Rejeite Ho se x2 < Rejeite Ho se x2 > x6 Rejeite Hp se y2 < xe. x ¢ ou se x2 > Xo IN a 2 Inferéncia Sobre o Ex.: Uma empresa de biotecnologia fabrica frascos de um medica- mento, dentro dos quais deve haver um pH igual a 6,5. Na linha de producao, o biotecndlogo responsavel verifica que de fato este é o valor médio de pH, mas suspeita que a variabilidade esteja excessiva (alto a), de frasco para frasco, o que nao é desejavel. Ele deseja que o desvio padrao o nado seja maior que 0, 25 (ou seja, o* < 0,0625), caso contrdrio a producdo sera interrompida, para investigar as causas de o pH estar variando muito. Uma amostra de n = 5 frascos é coletada, tendo-se observado: 6, 28 6, 30 6,57 6,27 5, 76 Inferéncia Sobre o° Com tais dados, tem-se que: n xX = 6,236, Sx? =194,7838 i=1 2 » 194, 7838 — S438) > Ss = = 0, 08633 A estimativa do desvio padrao 6, portanto, s = ,/0, 08633 = 0, 294 Inferéncia Sobre o° Suponha que se queira construir um intervalo com 95% de confianca, ou seja, com y = 0,95 Assim, com (n — 1) = 4 graus de liberdade, temos, apds consultar a tabela: 2 12 X1+0,95 _ Xo,975 _ 0, 484 2 12 X1=9.95 _ Xo,025 _ 11, 143 e assim temos: — 1)s? 5 — 1)0, 08633 (n— Us" ; Js" _ (8 = 10, 08633 _ 9 319 Xt_, 11,143 2 — 1)s? 5 — 1)0, 08633 (a —I)s" _ © — 1/0, 08633 _ 9 7134 Xt, 0, 484 2 Inferéncia Sobre o° E assim o intervalo de confianca para a* é dado por: ICo95: [0,0310; 0, 7134] Extraindo as raizes, temos um IC correspondente para o desvio padrao populacional a: ICo 95 : (0, 18; 0, 84] Este IC é informativo, mas.. ...n0 presente contexto, o biotecndlogo tem mais interesse em fazer um teste de hipdteses sobre 7 (e consequentemente sobre oc) Inferéncia Sobre o° Desta forma, a situacao sugere um teste unilateral a direita: Hp: 07 <0,0625 H,: o% > 0,0625 Inferˆencia Sobre σ2 Escolhendo um α = 0, 05, temos, com 5−1 = 4 graus de liberdade: χ2 0,05 = 9, 488 (ver tabela) Neste exemplo, o valor de qui-quadrado calculado foi: χ2 c = (5 − 1)0, 08633 0, 0625 = 5, 525 → como χ2 c < χ2 0,05, ou seja, como 5, 525 < 9, 488, n˜ao rejeitamos H0, com um n´ıvel de 5% de probabilidade Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Testes Sobre σ2 Graficamente, temos: Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferéncia Elementar 3. Inferéncia Sobre p (propor¢ao de sucessos na populacao) a) Estima¢ao Por Ponto: , x p=— n b) Estima¢ao Por Intervalo: ok | P(1 — B) IC, 2 p + Z_,4/——— 3 n Inferéncia Elementar c) Testes de Hipdteses: oat p— Estatistica de Teste: Z= PAR p(1—6) n c.1.) Teste Unilateral A c.2.) Teste Unilateral A c.3.) Teste Bilateral: Direita: Esquerda: Ho: p=R Ho: p<rR Ho: p2R Ht: pF#rR Hi: p> RB Hy: p< R . Regra de Decisao: Regra de Decisao: Regra de Decisao: Rejeite Hp se z- < —Zq Rejeite Ho se ze > Za Rejeite Hp se Zz <—Za gu sez > Za ° 2 Testes Sobre p Ex.: Em 1998, a Secretaria de Satide de um municipio verificou a prevaléncia (a ocorréncia) de uma propor¢do de criancas apresen- tando obesidade igual a p = 0,19. A Secretaria de Saude entao lanca uma campanha educativa para uma alimentacao mais saudavel para as criancas e, em 1991, apds trés anos de campanha, deseja verificar se a campanha reduziu a taxa de sobrepeso de 1998, que tinha sido p = 0,19. Uma nova pesquisa feita em 1991, com uma amostra de n = 95 criancas, revelou x = 15 delas com sobrepeso — 6p = 15/95 = 0,158 Isto sugere um teste unilateral do tipo: Ho: p2>0,19 Hy: p<0,19 Testes Sobre p Temos assim um z calculado: Dp — 0,158 — 0,19 z— POR _ 0:158=019 _ 9 455 / p(1—p) /0,158(1—0,158) n 95 Adotando um nivel de significancia de a = 0,05, temos, na ultima linha da tabela de t: 4os = 1,645 Como Z, nao foi menor que —Z,,, ou seja, —0,855 > —1, 645, nao rejeitamos Ho (Conclusdo: nao ha evidéncias suficientemente fortes de que a cam- panha educativa tenha sido eficaz) Testes Sobre p Graficamente, temos: Regiao de aceitacao de Ap Regiao de / rejeigao de Hg Za 0 Tiree meen 4. Inferéncia Sobre ju, — p, (dados nao pareados, variancias ho- mogéneas) a) Estima¢ao Por Ponto: Hy — th =X —% b) Estima¢ao Por Intervalo: 1 1 . (3 _s 2/242 IC, : (% %) +t, 2(7 +=) —1)s? + (n, — 1)s? sendo s* = (3 = Ds + (= Us gq + (m9 — Us n+m—2 Numero de Graus de Liberdade: n+tn,-2 Inferéncia Elementar c) Testes de Hipdteses: ee ,-%)-4 Estatistica de Teste: t= as) 4 9f(1,1 ) Seto +a Velara c.1.) Teste Unilateral A c.2.) Teste Unilateral A c.3.) Teste Bilateral: Direita: Esquerda: Ho: (4 — bh) =4 Ay: (4 — bh) > 4 Hr: (um — bh) <4 . Regra de Decisao: Regra de Decisao: Regra de Decisao: Rejeite Hp se te < —ty Rejeite Hp se te > t, Rejeite Hp se te << —t, = ou se te > ty ° 2 Comparacao Entre Médias Ex.: Um estudo observou dois grupos de pessoas de mesma faixa etaria, nos quais foi medido o nivel de colesterol. Grupo 1 (10 pacientes com doen¢a coronariana): 253,8 3160 2629 2749 2280 2446 2714 2561 291,3 143,7 Grupo 2 (12 individuos sem doenca coronariana): 234,3 1924 2626 2135 1839 2419 1866 223,2 191,2 206,6 128,0 228,2 Comparacao Entre Médias Com estes dados, temos: Grupo 1 Grupo 2 X = 254,27 X% = 207,70 5° = 2109,8046 s° = 1223, 3309 Admitindo variancias populacionais homogéneas, tem-se que a esti- mativa da variancia combinada é: > (10 —1)2109, 8046 + (12 — 1)1223, 3309 SS = 1622, 2441 "ec 10 +12 —2 022, Em posse de s2, podemos obter ICs ou fazer testes. Comparacao Entre Médias Um teste de interesse neste caso pode ser: Ho: (th — th) <0 Hy: (1, _— Lb) >0 Assim, temos o seguinte “t calculado” : _ R= 8)=4 c= = Je(e+a) 254, 27 — 207, 70) —0 = (254, 27 = 207, 70) — 0 70) = 2,700 1 1 \/1622, 2441 (4 +3) Comparacao Entre Médias Suponha que neste teste se tenha escolhido um nivel de significancia a=0,01 O valor de t tabelado, com numero de graus de liberdade: (n, +n, — 2) = (10+ 12 — 2) = 20 é igual a: fo = 2,528 Como t, > 2,528, rejeita-se Ho a 1% de probabilidade. Inferéncia Elementar 5. Inferéncia Sobre ju, — 4, (dados nao pareados, variancias hete- rogéneas) a) Estima¢ao Por Ponto: fy, — th =X —% b) Estima¢ao Por Intervalo: [s?— §? IC, : x —x%) + t +44 Y (x x) 1a n, n, 2 2 2 Ss + § Numero de Graus de Liberdade: [g/a+s/n] s/n], [s/n] nol mol Inferéncia Elementar c) Testes de Hipdteses: rae x —%)- 4 Estatistica de Teste: t= (q =%)=4 s2 s2 = + 2 nm % c.1.) Teste Unilateral A c.2.) Teste Unilateral A c.3.) Teste Bilateral: Direita: Esquerda: Ho: (4 — bh) =4 Ho: (i — bh) $4 Ho: (th —b) > 4 we (14 — bh) #4 Ay: (4 — bh) > 4 Hr: (um — bh) <4 . Regra de Decisao: Regra de Decisao: Regra de Decisao: Rejeite Hp se te < —ta Rejeite Ho se tc > t, Rejeite Hp se te < —t, ou se tc > ta ° 2 Inferéncia Elementar 6. Inferéncia Sobre Diferen¢a Média 1, (dados pareados) a) Estima¢ao Por Ponto: n ds di n 7 j=1 Hp n sendo dj = x,, — X,, b) Estima¢ao Por Intervalo: — Sd Cy: dtt . — ’ s/n Numero de Graus de Liberdade: n—1 Inferéncia Elementar c) Testes de Hipdteses: ; d—6 Estatistica de Teste: t= Vn c.1.) Teste Unilateral A c.2.) Teste Unilateral A c.3.) Teste Bilateral: Direita: Esquerda: Ho: bp =4% Ho : Mp <4 Ho : Up 2% we Mp #4 Ai: bp > 4, ML: Up <4 . Regra de Decisao: Regra de Decisao: Regra de Decisao: Rejeite Ho se te > ta/2 Rejeite Hp se te > ta Rejeite Hp se te < —ta ou se te < —ta/2 Dados Pareados Ex.: Uma nutricionista desenvolve um cardapio para reducao da pressao arterial, e deseja verificar se é eficiente. Um grupo de n = 10 voluntdrios com historico de pressao alta concorda em fazer uso deste cardapio por um periodo de 6 meses. Eles tiveram sua pressdo arterial medida no inicio deste periodo (X;), bem como no final (X2) deste periodo. Aqui serao apresentados os resultados para a pressao arterial sistdlica. Dados Pareados Os dados est˜ao a seguir (em mmHg, mil´ımetros de merc´urio): Volunt´ario Press˜ao Antes (X1) Press˜ao Depois (X2) 1 164 157 2 167 156 3 143 148 4 149 145 5 134 135 6 150 135 7 163 151 8 135 140 9 156 152 10 151 138 Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Dados Pareados O primeiro passo consiste em calcular as diferen¸cas (que chamaremos de D) entre X1 e X2: Volunt´ario X1 X2 D = X1 − X2 1 164 157 7 2 167 156 11 3 143 148 -5 4 149 145 4 5 134 135 -1 6 150 135 15 7 163 151 12 8 135 140 -5 9 156 152 4 10 151 138 13 Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Dados Pareados Em seguida podemos calcular o valor médio das diferencas D: - 55 Lp 10 ) E podemos calcular também a variancia amostral destas diferencas: s4 = 54,2778 bem como o desvio padrao: Sq = \/85 = 17,3673 (lembrando que podemos obter ji, € sy usando 0 modo estatistico da calculadora) Dados Pareados Poderiamos em seguida construir um intervalo de confian¢a para lly, Mas aqui € mais interessante realizar um Teste de Hipoteses, para responder a questao da nutricionista: sera que o cardapio foi eficiente em reduzir a pressao arterial? Dessa forma, perceba que, se o carddapio foi eficiente, a pressao arterial antes tera sido significativamente maior que a pressao arterial depois. Em outras palavras, a diferenca média entre as pressoes antes e depois tera sido significativamente maior que zero. Ou seja, 4, > 0. Esta sera a nossa hipdtese alternativa H;, em que houve efeito do cardapio. Dados Pareados Desta maneira, o teste de hipdteses apropriado sera: Ho : Up < 0 Hy: Ly > 0 Assim, podemos calcular o “t calculado” : d—6 t= = = vn 5,5-—0 V10 Dados Pareados Suponha que neste teste se tenha escolhido um nivel de significancia a =0,05 O valor de t tabelado, com numero de graus de liberdade: (10-1) =9 é igual a: fo, = 1,833 Assim, como 2, 361 > 1, 833, rejeita-se Hp a 5% de probabilidade. (o cardapio foi eficiente) Dados Pareados NOTE: se tivéssemos optado por calcular as diferencas “depois me- nos antes’, ou seja, D = Xz — Xj, ao invés de D = X1 — Xp: Voluntario Depois (X2) Antes (X;) D=xX2- xX 1 157 164 -7 2 156 167 -11 3 148 143 5 4 145 149 -4 5 135 134 1 6 135 150 -15 7 151 163 -12 8 140 135 5 9 152 156 -4 10 138 151 -13 Dados Pareados Neste caso, os sinais das diferencas se invertem, e assim o teste adequado seria: Ho : Up = 0 Hy: My < 0 Dados Pareados O Que ´e Melhor? Dados n˜ao-pareados ou pareados? Aqui cabe uma observa¸c˜ao, sobre a vantagem do uso de dados pa- reados, em rela¸c˜ao a dados n˜ao-pareados. Em geral, o uso de dados pareados leva a uma precis˜ao maior. Ou seja, temos menores margens de erro, se estamos interessados em intervalos de confian¸ca. E temos ainda testes estat´ısticos mais poderosos, ou seja, com maior probabilidade de rejei¸c˜ao de H0, quando esta de fato ´e falsa. Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Dados Pareados Para apreciar este fato, vamos reconsiderar o exemplo anterior, ig- norando o pareamento. Ou seja, ´e como se tiv´essemos dois grupos separados de pessoas: um grupo de pessoas que n˜ao fizeram uso do card´apio (Grupo 1), e outro grupo que fez uso do card´apio (Grupo 2): Grupo 1: 164 167 143 149 134 150 163 135 156 151 Grupo 2: 157 156 148 145 135 135 151 140 152 138 Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Dados Pareados Com estes dados, temos: Grupo 1 Grupo 2 x = 151,2 x, = 145,7 5? = 134,1778 5° = 69, 7889 A estimativa da variancia combinada é: > (10 —1)134,1778 + (10 — 1)69, 7889 = = 10721 ec 10+ 10-2 9833 Em posse de s%, podemos fazer o teste referente a dados ndo- pareados. Dados Pareados O teste para dados nao-pareados neste caso é: Ho: (th — th) <0 Hy: (1, — fy) > 0 Assim, temos o seguinte “t calculado” : _ R= 8)=4 c= = jea) 151,2 —14 — _ (151.2 = 145,7) —0 5,7) = 0 = 1,218 \/101, 9833 (+ + 4) Dados Pareados Vamos novamente admitir um n´ıvel de significˆancia de α = 0, 05 O valor de t tabelado, com n´umero de graus de liberdade: (n1 + n2 − 2) = (10 + 10 − 2) = 18 ´e igual a: t0,05 = 1, 734 Como 1, 218 < 1, 734, n˜ao se rejeita H0, ao contr´ario do aconteceu com os dados pareados! Ou seja, ignorando o pareamento, n˜ao fomos capazes de identificar que o card´apio ´e eficiente. Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Dados Pareados E perceba o seguinte: isto aconteceu, mesmo tendo havido um n´umero maior de graus de liberdade para os dados n˜ao-pareados (maiores n´umeros de graus de liberdade levam a menores valores de tα, o que poderia facilitar a rejei¸c˜ao de H0) Assim, pode-se dizer que, em geral, dados pareados s˜ao mais precisos que dados n˜ao-pareados. Este comportamento ´e esperado quase sempre quando temos uma covariˆancia positiva ao longo dos pares. De fato, depois, em casa, procure calcular a covariˆancia entre X1 e X2. Vocˆe ver´a que ´e um valor positivo, igual a 74,84. Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferˆencia Elementar 7. Inferˆencia Sobre σ2 1 σ2 2 (igualdade entre variˆancias) a) Estima¸c˜ao Por Ponto: ˆσ2 1 ˆσ2 2 = s2 1 s2 2 b) Estima¸c˜ao Por Intervalo: ICγ :  s2 1 s2 2   1 f1−γ 2 (ν1, ν2)   ; s2 1 s2 2 f1−γ 2 (ν2, ν1)   N´umeros de Graus de Liberdade: ν1 = n1 − 1, ν2 = n2 − 1 Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferˆencia Elementar c) Testes de Hip´oteses: Estat´ıstica de Teste: fc = s2 1 s2 2 c.1.) Teste Unilateral `A Direita:      H0 : σ2 1 σ2 2 ≤ 1 H1 : σ2 1 σ2 2 > 1 Regra de Decis˜ao: Rejeite H0 se fc > fα(ν1, ν2) c.2.) Teste Unilateral `A Esquerda:      H0 : σ2 1 σ2 2 ≥ 1 H1 : σ2 1 σ2 2 < 1 Regra de Decis˜ao: Rejeite H0 se fc < 1/fα(ν2, ν1) c.3.) Teste Bilateral:      H0 : σ2 1 σ2 2 = 1 H1 : σ2 1 σ2 2 ̸= 1 Regra de Decis˜ao: Rejeite H0 se fc < 1/fα 2 (ν2, ν1) ou se fc > fα 2 (ν1, ν2) Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Teste de Igualdade de Variˆancias Ex.: No exemplo do colesterol, admitiu-se variˆancias homogˆeneas. Esta hip´otese pode ser verificada:        H0 : σ2 1 σ2 2 = 1 H1 : σ2 1 σ2 2 ̸= 1 Conforme os c´alculos anteriores: Grupo 1 Grupo 2 n1 = 10 n2 = 12 s2 1 = 2109, 8046 s2 2 = 1223, 3309 ν1 = 10 − 1 = 9 ν2 = 12 − 1 = 11 E assim: fc = 2109, 8046 1223, 3309 = 1, 72 Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Teste de Igualdade de Variˆancias Considerando um n´ıvel de significˆancia α = 0, 05, temos, consul- tando as tabelas de F: f0,025(9, 11) = 3, 59 f0,025(11, 9) = 3, 91 ⇒ 1 f0,025(11, 9) = 0, 26 E assim, como 0, 26 < 1, 72 < 3, 59, n˜ao se rejeita H0. (variˆancias podem ser consideradas iguais) Prof. Eduardo Bearzoti EST013 Inferˆencia Estat´ıstica I Inferéncia Elementar 8. Inferéncia Sobre p, — p, (diferenca entre duas proporcées) a) Estima¢ao Por Ponto: —~ _~7 a~7 _ X% % no ee co mo, b) Estima¢ao Por Intervalo: . ~ a P,(1 — py) p,(1 — p,) IC, : (8 -B) + Z4_, 3 2 ny ny Inferéncia Elementar c) Testes de Hipdteses: 6 —p)—4 Estatistica de Teste: Z= (A= A)= 4 /P,(—6,) | 6,(—6,) 1 7 1 + 2 my 2 c.1.) Teste Unilateral A c.2.) Teste Unilateral A c.3.) Teste Bilateral: Direita: Esquerda: Ho: (A-P) =4 we (AB) <4 Ho: (A -B)z4 we (3 —p) 44 HM: (A -B)>4 HM: (pn -B)<4 Regra de Decisao: Regra de Decisao: Regra de Decisao: Rejeite Hp se z- < —Zy Rejeite Ho se Z< > Z, Rejeite Hp se z- < —z, Ou se Zc > Za ° 2