Condutores-Dieletricos-e-Capacitancia-Capitulo-5-Hayt-6a-edicao

Unidade 5 Condutores Dielétricos e Capacitância Capítulo 5 Hayt 6ª edição 51 Introdução Até o momento temos discutido o campo elétrico devido a distribuições estacionárias de carga no espaço livre ou ar Nesta unidade vamos considerar o comportamento do campo em meios materiais Classificação dos materiais de acordo com suas propriedades elétricas condutores semicondutores e dielétricos ou isolantes Em termos de modelo atômico um átomo é constituído de um núcleo positivamente carregado com os elétrons girando em torno do núcleo formando órbitas com determinados níveis de energia Nos condutores os elétrons nas órbitas externas dos átomos não estão fortemente ligados ao núcleo e por isso esses elétrons podem mais facilmente passar de um átomo para outro de maneira randômica A maioria dos metais pertence a esse grupo Esses elétrons são os elétrons de valência ou condução Os elétrons nos átomos dos dielétricos ou isolantes entretanto estão confinados as suas órbitas isto é eles não podem mudar de órbita ou níveis energéticos sob circunstâncias normais mesmo com a aplicação de um campo elétrico externo As propriedades elétricas dos semicondutores situase entre aquela dos condutores e dos isolantes no sentido em que eles possuem um número relativo pequeno de elétrons ou cargas que estão livres para se mover Em termos da teoria de banda de sólidos sabemos que há determinadas bandas de energia para os elétrons Cada banda consistindo de vários níveis discretos de energia muito próximos uns dos outros Entre essas bandas de energia podem haver regiões proibidas ou gaps onde os elétrons não podem ficar Condutores banda mais externa parcialmente preenchida com elétrons de modo que os elétrons nessas bandas podem se mover de uma banda à outra com uma pequena quantidade de energia Isolantes banda externa completamente preenchida com elétrons condução de elétrons não pode ocorrer normalmente grande gap de energia Semicondutores gap de energia relativamente pequeno FIGURE 52 The energyband structure in three different types of materials at 0 K a The conductor exhibits no energy gap between the valence and conduction bands b The insulator shows a large energy gap c The semiconductor has only a small energy gap Conceitos de corrente densidade de corrente Equação fundamental da continuidade Lei de Ohm na forma pontual Condições de contorno a que as superfícies de condutores e dielétricos devem estar submetidas na presença de campos elétricos estáticos Polarização Capacitância e capacitores 52 Corrente e Densidade de Corrente problemas eletrostáticos problemas de campo associados com cargas elétricas em repouso cargas em movimento fluxo de corrente unidade de corrente ampère A simbolizada pela letra I I dQdt teoria de campos interesse em acontecimentos que ocorrem em um ponto conceito de densidade de corrente J medida em ampères por metro quadrado Am2 densidade de corrente é um vetor 52 Corrente e Densidade de Corrente vamos considerar o movimento estável de um tipo qualquer de portadores de carga cada com uma carga q através de um elemento de superfície S com uma certa velocidade incremento de corrente I que atravessa a superfície incremental S normal à densidade de corrente é I Jn S no caso em que J não é perpendicular à S I J S a corrente total é I J dS 52 Corrente e Densidade de Corrente Existem dois tipos de corrente elétrica causada pelo movimento de cargas livres correntes de convecção e correntes de condução Seja uma distribuição volumétrica de cargas ρv Cm3 em movimento e com uma certa velocidade v A densidade de corrente J pode ser relacionada a essa velocidade v ΔQ ρv ΔV ρv ΔS ΔL 52 Corrente e Densidade de Corrente Vamos supor agora que esse elemento de carga se movimente ao longo do eixo x ou seja velocidade vx No intervalo de tempo Δt o elemento de carga se move de uma distância Δx Uma carga Δq ρv ΔS Δx moveuse em um tempo Δt e a corrente resultante é ΔI Δq Δt ΔI ρv ΔS Δx Δt t 0 ΔI ρv ΔS vx 52 Corrente e Densidade de Corrente Em termos da densidade de corrente ΔI ρv ΔS vx Este resultado mostra que carga em movimento constitui uma corrente e J é a densidade de corrente de convecção Correntes de condução Suponha agora um material condutor neutro sujeito à aplicação de um campo elétrico externo O campo exerce força na estrutura atômica e o elétron adquire uma velocidade média chamada velocidade de arrastamento drift velocity Esta velocidade é diretamente proporcional ao campo aplicado pela mobilidade do elétron Substituindo a equação acima na equação da densidade de corrente lei de Ohm forma pontual Condutividade Exemplo Dada a densidade de corrente determinar Conforme vimos no desenvolvimento do exercício na letra b a resposta certa é 5184 x 2π 32572 A I J dS dS ρdϕdzaρ e limites de integração em ϕ e z conforme enunciado Exemplo D51 Ans 180aρ 9aφ Am2 518 A Vamos agora aplicar a lei de Ohm na forma pontual a uma região macroscópica para chegar a nossa familiar lei de Ohm de circuitos Seja um condutor cilíndrico conforme figura onde se aplica um campo elétrico uniforme Seja um condutor cilíndrico conforme figura onde se aplica um campo elétrico uniforme Exercícios Exemplo 51 As an example of the determination of the resistance of a cylinder let us find the resistance of a 1mile length of 16 copper wire which has a diameter of 00508 in Solution The diameter of the wire is 00508 x 00254 1291 x 103 m the area of the cross section is π 1291 x 103 22 1308 x 106 m2 and the length is 1609 m Using a conductivity of 580 x 107 Sm the resistance of the wire is therefore R 1609 580 x 1071308 x 106 212 Ω This wire can safely carry about 10A dc corresponding to a current density of 101308 x 106 765 x 106 Am2 or 765 Amm2 With this current the potential difference between the two ends of the wire is 212 V the electric field intensity is 0312 Vm the drift velocity is 0000 422 ms or a little more than one D53 Find the magnitude of the current density in a sample of silver for which σ 617 x 107 Sm and μe 00056 m2Vs if a the drift velocity is 15 μms b the electric field intensity is 1 mVm c the sample is a cube 25 mm on a side having a voltage of 04 mV between opposite faces d the sample is a cube 25 mm on a side carrying a total current of 05 A Ans 1653 kAm2 617 kAm2 987 MAm2 800 kAm2 D54 A copper conductor has a diameter of 06 in and it is 1200 ft long Assume that it carries a total dc current of 50 A a Find the total resistance of the conductor b What current density exists in it c What is the dc voltage between the conductor ends d How much power is dissipated in the wire Ans 00346 Ω 274 x 105 Am2 1729 V 864 W 53 Equação de Continuidade da Corrente A equação de continuidade da corrente decorre do princípio de conservação da carga O princípio de conservação da carga estabelece que cargas não podem criadas e nem destruídas iguais quantidades de carga podem ser simultaneamente criadas obtidas por separação destruídas ou perdidas por recombinação Suponha 53 Equação de Continuidade da Corrente Seja a carga dentro do volume dada por Qi então a taxa de decréscimo é dQi dt e o princípio de conservação da carga exige que equação de continuidade da corrente na forma integral 54 Condutores em Campo Elétrico Estático e Condições de Contorno Vamos supor um condutor neutro e que sejam injetadas cargas livres nesse condutor Passado um transitório 54 Condutores em Campo Elétrico Estático e Condições de Contorno Em eletrostática nenhuma carga e nenhum campo elétrico podem existir dentro de um condutor Carga no entanto pode aparecer na superfície do condutor como carga distribuída densidade superficial de carga E queremos relacionar essa carga com os campos externos Se o campo for decomposto em duas componentes uma tangencial e outra normal aa superfície do condutor vemos que a componente tangencial é zero Se ela não fosse zero O campo exerceria força nos elétrons de condução Portanto 54 Condutores em Campo Elétrico Estático e Condições de Contorno Dedução das Condições de Contorno Lei de Gauss Condições de contorno na interface condutor ar Uma consequência imediata e importante do fato de a componente tangencial do campo elétrico ser zero é que Uma superfície condutora é uma superfície equipotencial 54 Condutores em Campo Elétrico Estático e Condições de Contorno A diferença de potencial entre dois pontos quaisquer sobre uma superfície condutora calculada pela integral de linha é igual a zero Resumindo Condutores em Campo Elétrico Estático 1 A intensidade do campo elétrico dentro de um condutor é zero 2 O vetor intensidade do campo elétrico sobre a superfície de um condutor é em qualquer ponto perpendicular a essa superfície 3 A superfície condutora é uma superfície equipotencial 54 Condutores em Campo Eletrostático e Cond de Contorno Exercícios Example 52 e 53 Dado o potencial V 100x2 y2 e um ponto P213 sobre uma superfície condutora no espaço livre determinar V E D e ρs em P e também a equação da superfície do condutor Solução Given the potential V 100x2 y2 and a point P2 1 3 that is stipulated to lie on a conductorfree space boundary let us find V E D and 𝜌S at P and also the equation of the conductor surface Solution The potential at point P is VP 10022 12 300 V Since the conductor is an equipotential surface the potential at the entire surface must be 300 V Moreover if the conductor is a solid object then the potential everywhere in and on the conductor is 300 V for E 0 within the conductor The equation representing the locus of all points having a potential of 300 V is 300 100x2 y2 or x2 y2 3 This is therefore the equation of the conductor surface it happens to be a hyperbolic cylinder as shown in Fig 55 Let us assume arbitrarily that the solid conductor lies above and to the right of the equipotential surface at point P while free space is down and to the left FIGURE 55 Given point P2 1 3 and the potential field V 100x2 y2 we find the equipotential surface through P is x2 y2 3 and the streamline through P is xy 2 Next we find E by the gradient operation E 100x2 y2 200x ax 200y ay At point P Ep 400 ax 200 ay Vm Since D 𝜖0 E we have DP 8854 1012 EP 354 ax 1771 ay nCm2 The field is directed downward and to the left at P it is normal to the equipotential surface Therefore DN DP 396 nCm2 Thus the surface charge density at P is 𝜌SP DN 396 nCm2 Note that if we had taken the region to the left of the equipotential surface as the conductor the E field would terminate on the surface charge and we would let 𝜌S 396 nCm2 Exercícios Example 52 e 53 Example 53 Finally let us determine the equation of the streamline passing through P Solution We see that Ey Ex 200y 200x y x dy dx Thus dy y dx x 0 and ln y ln x C1 Therefore xy C2 The line or surface through P is obtained when C2 21 2 Thus the streamline is the trace of another hyperbolic cylinder xy 2 This is also shown on Fig 55 Exercícios Example 52 e 53 FIGURE 211 The equation of a streamline is obtained by solving the differential equation Ey Ex dy dx 55 Dielétricos em Campo Elétrico Estático Focando agora nos materiais dielétricos ou isolantes Todos os meios materiais são compostos de átomos com um núcleo carregado positivamente circundado por elétrons carregados negativamente Apesar das moléculas dos dielétricos serem neutras macroscopicamente a presença de um campo elétrico externo causa uma força sendo exercida em cada partícula carregada resultando em pequenos deslocamentos de cargas positivas e negativas em direções opostas Estas cargas são chamadas de cargas de polarização ou cargas ligadas em oposição às cargas livres que determinam a condução Os deslocamentos são pequenos comparados às dimensões atômicas no entanto eles polarizam o material dielétrico criando dipolos elétricos 55 Dielétricos em Campo Elétrico Estático Da mesma forma que dipolos elétricos têm campos elétricos e potenciais elétricos não desprezíveis é de se esperar que os dipolos elétricos induzidos irão modificar o campo elétrico ambos internamente e externamente ao material dielétrico O mecanismo real do deslocamento de cargas difere de acordo com o tipo do material dielétrico Por exemplo moléculas polares possuem momento de dipolo permanente mesmo na ausência de campo externo de polarização moléculas não polares não possuem este arranjo em dipolos Na ausência de campo externo os dipolos individuais num dielétrico polar estão orientados randomicamente de forma que não há momento de dipolo líquido macroscopicamente Se há a aplicação de um campo externo este exercerá um torque em cada dipolo alinhandoo com o campo aplicado 55 Dielétricos em Campo Elétrico Estático Qualquer tipo de dipolo pode ser descrito por seu momento de dipolo p conforme definido no último tópico do Cap4 p Qd Cm Se existem n dipolos por unidade de volume e considerando um volume Δv então haverão nΔv dipolos e o momento de dipolo total é obtido pela soma vetorial Se os dipolos estiverem alinhados na mesma direção geral então ptotal pode resultar em um valor significativo Entretanto uma orientação randômica pode resultar em ptotal igual a zero 55 Dielétricos em Campo Elétrico Estático Para analisar o efeito macroscópico dos dipolos induzidos utilizamos o vetor de polarização P P vetor de polarização momento de dipolo por unidade de volume P função vetorial suave vetor densidade de volume do momento de dipolo elétrico dado em Cm2 Interpretação dos efeitos dos dipolos elétricos induzidos 55 Dielétricos em Campo Elétrico Estático Interpretação dos efeitos dos dipolos elétricos induzidos Densidade superficial de carga de polarização equivalente ρps ρps Pan Cm2 Densidade volumétrica de carga de polarização equivalente ρpv Campo elétrico externo aplicado 55 Dielétricos em Campo Elétrico Estático Lei de Gauss em termos do campo elétrico e da carga total Carga total carga ligada carga livre Carga ligada Combinando as três equações Definição do vetor densidade de fluxo elétrico 55 Dielétricos em Campo Elétrico Estático Vetor densidade de fluxo elétrico Lei de Gauss Para materiais lineares e isotrópicos Substituindo em D resulta Permissividade elétrica relativa e absoluta Assim 56 Condições de Contorno para Dielétricos Seja uma interface dielétrica Vamos aplicar as duas equações de Maxwell para campos eletrostáticos e deduzir as condições de contorno 56 Condições de Contorno para Dielétricos Componente tangencial 56 Condições de Contorno para Dielétricos Componente normal vem da lei de Gauss Para dielétricos perfeitos 56 Condições de Contorno para Dielétricos Para dielétricos perfeitos Combinando as condições acima Condições de Contorno Condições de contorno na interface dielétricodielétrico para dielétricos perfeitos Condições de contorno na interface condutorar Condições de contorno na interface condutordielétrico Exercícios Condições de Contorno Exercícios D59 e D510 Determinar o vetor densidade de fluxo elétrico no meio 2 o vetor polarização e o ângulo teta 2 D510 conforme enunciados a seguir O meio 1 tem permissividade elétrica relativa igual a 32 57 Capacitância e Capacitores Capacitância C Seja V0 a diferença de potencial entre M2 e M1 definição a razão Q V0 é constante capacitância é medida em farads F 57 Capacitância e Capacitores Vamos aplicar o conceito de capacitância C a um sistema de dois condutores planos paralelos formando um capacitor de placas paralelas Placa inferior em z0 Placa superior em zd Placa inferior Placa superior Diferença de potencial entre a placa inferior e superior 57 Capacitância e Capacitores Considerando que as placas condutoras tenham área S e desprezando o efeito de borda distribuição de cargas uniforme e campo uniforme entre as placas Energia armazenada no capacitor 57 Capacitância e Capacitores Capacitor Cilíndrico cabo coaxial Capacitor esférico Capacitor Cilíndrico cabo coaxial Cabo coaxial C raio a cond interno raio b cond externo Lei de Gauss s D dŝ Qlemv dŝ ρ dρ dz ˆφ Dρ p 2π l Q D Q 2π ρ l ˆaρ a ρ b E Q 2π ε ρ l ˆaρ a ρ b Vab ba E d l ba Q 2π ε ρ l dρ Q 2π ε l ba dρ ρ Vab Q 2π ε l ln ba 2π ε l ln ba Q Vab C F C 2π ε l ln ba F ou C 2π ε ln ba Fm Exercício Uma carga pontual positiva Q encontrase localizada no centro de uma casca condutora esférica de raio interno ri e raio externo ro Determinar o campo elétrico E e o potencial elétrico V em função da distância radial r Exercício Uma carga pontual positiva Q encontrase localizada no centro de uma casca condutora esférica de raio interno ri e raio externo ro Determinar o campo elétrico E e o potencial elétrico V em função da distância radial r Exercício Uma carga pontual positiva Q encontrase localizada no centro de uma casca condutora esférica de raio interno ri e raio externo ro Determinar o campo elétrico E e o potencial elétrico V em função da distância radial r