Relatório Eletromagnetismo

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Curso de Engenharia Elétrica Disciplina Eletromagnetismo Aplicado à Eng Elétrica Turno Noite Prim Sem 2025 Profa Rose Mary de Souza Batalha TP 04 Trabalho Individual ou Dupla Valor 03 pontos Data 300325 Instruções Nos enunciados dos sete problemas a seguir considerar N média simples da soma do último dígito não nulo do número de matrícula dos alunos Fazer e entregar via CANVAS todos os exercícios até o dia 08042025 1 A figura a seguir apresenta uma porção de um campo elétrico bidimensional Ez 0 O grid formado pelas linhas tem 1 mm x 1 mm Determinar o valor aproximado do vetor campo elétrico em coordenadas cartesianas nos pontos a b c 2 Uma linha infinita de carga L 154N nCm se estende no vácuo ao longo do eixo z e uma carga pontual Q se localiza no ponto 236 Considerar todas as coordenadas em metros Calcular a a carga Q de forma que a diferença de potencial VAVB entre os pontos A 435 e B 205 seja de 103N V b o potencial do ponto A 435 caso o potencial no ponto B 205 seja de 103N V c o trabalho necessário para levar uma carga pontual q de 15nC de B 205 até A 435 d o trabalho necessário para levar uma carga pontual q de 15nC de C 225 até A 435 Obs Não considerar a influência da carga q no campo das outras cargas 3 Em uma superfície passando por z N m foi depositada uma carga superficial uniformemente distribuída de 25 pCm2 Considerar cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros Calcular a a carga pontual que deve ser colocada no ponto 008N para que seja nula a força exercida em uma carga pontual de 1pC localizada no ponto 004N b o trabalho necessário para mover a carga de 1pC do ponto 004N até o ponto 007N considerar a influência da carga pontual em 0010N e da superfície de carga Cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros 4 Seja uma casca esférica de espessura infinitesimal e raio igual a 7N mm contendo uma carga distribuída uniformemente sobre sua superfície totalizando 6N nC A casca esférica está posicionada no vácuo a Calcular o campo elétrico e o potencial em relação ao infinito dentro e fora da casca esférica b Esboçar os gráficos do módulo do campo elétrico e do potencial em função da distância radial E x r e V x r 5 O potencial elétrico no ar é dado por V 5NxN2y2N2z43 volts a Calcular o vetor campo elétrico E na origem b Calcular a densidade volumétrica de carga v na origem 6 Um loop circular de 4N cm de diâmetro possui uma densidade de carga uniforme de 25N nCm Qual é o potencial num ponto de seu eixo situado 42N cm acima do centro do loop 7 Dados os campos potenciais V conforme letras a e b a seguir determinar a energia armazenada na região esférica situada no espaço livre e para 2 mm r 3 mm 0 θ 90 0 ϕ 90 ELETROMAGNETISMO Nome Osnildo Alves MATRICULA 825096 Questao 1 Determinacao do Vetor Campo Eletrico E Para determinar o vetor campo eletrico E nos pontos a b e c da figura utilizo a relacao entre o campo eletrico e o potencial eletrico E V Ou seja o vetor campo eletrico aponta na direcao de maior decrescimo do potencial eletrico e sua magnitude e a variacao de potencial dividida pela distˆancia E V s Ponto a No ponto a estou entre as linhas de 104 V e 102 V a uma distˆancia de 2 mm apro ximadamente na direcao y Assim tenho V 104 V 102 V 2 V s 2 mm 2 103 m Portanto calculo a componente do campo Ey 2 V 2 103 m 1000 Vm Como a variacao ocorre apenas no eixo y concluo que Ea 0 1000 Vm 1 Ponto b No ponto b estou entre as linhas de 106 V e 104 V A linha de 106 V esta 1 mm acima no eixo y e a de 104 V esta 1 mm abaixo Dessa forma V 106 V 104 V 2 V s 2 mm 2 103 m Logo obtenho Ey 2 V 2 103 m 1000 Vm e consequentemente Eb 0 1000 Vm Ponto c No ponto c estou entre as linhas de 108 V e 106 V mas agora as linhas estao inclinadas de modo que devo considerar a variacao ao longo do eixo x A linha de 108 V esta 1 mm a esquerda de c e a de 106 V esta 1 mm a direita Assim V 106 V 108 V 2 V x 2 mm 2 103 m Dessa forma a componente do campo ao longo de x e Ex 2 V 2 103 m 1000 Vm Como a variacao ocorre apenas na direcao x concluo que Ec 1000 0 Vm Questao 2 Linha Infinita de Carga e Carga Pon tual Eu tenho uma linha infinita com densidade linear de carga dada por pL 15 4N nCm 15 46 61 nCm λ 61 109 Cm A carga pontual Q esta localizada em 2 3 6 Os pontos onde avalio o potencial sao A 4 3 5 B 2 0 5 2 Contribuição da Linha Infinita Sabendo que o potencial com referência arbitrária de uma linha infinita é dado por Vlinha 2kλ lnrr0 vejo que na diferença de potencial entre dois pontos o termo de referência se anula Para um ponto de coordenadas xyz a distância do eixo z é r x2 y2 Em A rA 42 32 16 9 5 Em B rB 22 02 2 Portanto tenho ΔVlinha 2kλ ln52 Utilizando k 899 109 N m2 C2 faço 2kλ 2 899 109 61 109 10968 V e ln52 ln25 09163 Logo ΔVlinha 10968 09163 10047 V Contribuição da Carga Pontual Q O potencial de uma carga pontual é VQ kQR onde R é a distância entre o ponto de avaliação e Q Para A RA 422 332 562 22 02 12 4 1 5 2236 Para B RB 222 032 562 0 9 1 10 3162 Assim a contribuição à diferença de potencial é ΔVQ kQ 15 110 Observando que 15 04472 110 03162 portanto 04472 03162 01310 Multiplicando por k k 15 110 899 109 01310 1177 109 VC a Determinacao de Q A condicao e que a diferenca de potencial VA VB seja 10 3N V 10 36 46 V Ou seja Vlinha VQ 46 Substituindo 10047 kQ 01310 46 Isolando Q kQ 01310 46 10047 9587 Q 9587 1177 109 814 107 C Resposta 2a Q 814 107 C b Potencial em A dado que VB 10 3N 46 V Como VA VB 46 V concluo que VA VB 46 46 46 92 V Resposta 2b VA 92 V c Trabalho para mover q 15 nC de B para A Considerando que W q VA VB 15 109 C 46 V obtenho W 69 108 J Resposta 2c W 69 108 J d Trabalho para mover q 15 nC de C para A Considero o ponto C 2 2 5 4 1 Contribuição da Linha Infinita Para A rA 42 32 5 Para C rC 22 22 8 2828 Portanto ΔVlinha 2kλ ln52828 Como 2kλ 10968 V e ln52828 ln1768 0570 tenho ΔVlinha 10968 0570 6250 V 2 Contribuição da Carga Q A distância entre Q 2 3 6 e A 4 3 5 é RA 5 2236 A distância entre Q e C 2 2 5 é RC 222 232 562 0 1 121 122 11045 Logo ΔVQ kQ 12236 111045 Calculando os inversos 12236 04472 111045 00905 diferença 03567 Sabendo que kQ 899 109 814 107 7320 V tenho ΔVQ 7320 03567 2611 V Potencial Total e Trabalho A variação total do potencial é ΔVAC ΔVlinha ΔVQ 6250 2611 1986 V Logo o trabalho é W q ΔVAC 15 109 1986 298 106 J Resposta 2d W 298 106 J o sinal negativo indica que o sistema libera energia durante o deslocamento Questao 3 Superfıcie Carregada e Cargas Pontu ais A superfıcie esta no plano z N isto e z 6 m A densidade superficial e σ 25 pCm2 25 1012 Cm2 a Calculo da carga pontual para anular a forca sobre uma carga de 1 pC A carga de teste e qteste 1 pC 1 1012 C localizada em 0 0 4N que com a substituicao se torna 0 0 46 A carga pontual sera colocada em 0 0 8N isto e 0 0 86 Campo da Superfıcie Para uma superfıcie infinita o campo eletrico e dado por Esuperfıcie σ 2ε0 com ε0 885 1012 Fm Assim Esuperfıcie 25 1012 2 885 1012 1412 Vm Como o campo saida superfıcie acima dela em z 46 o campo aponta para cima Campo da Carga Pontual Q No ponto de teste a distˆancia entre 0 0 86 e 0 0 46 e r 86 46 40 m O modulo do campo produzido por Q e EQ kQ 402 kQ 1600 No ponto de teste esse campo aponta para baixo se Q for positivo Para anular a forca ou seja para que o campo total seja zero exijo que Esuperfıcie kQ 1600 0 Q 1600 Esuperfıcie k Substituindo os valores Q 1600 1412 899 109 Calculando 1600 1412 22592 Q 22592 899 109 251 107 C Resposta 3a Q 251 107 C 6 b Trabalho para mover a carga de 1 pC de 0 0 4N ate 0 0 7N Agora os pontos sao 0 0 4N 0 0 46 0 0 7N 0 0 76 Alem da superfıcie tambem considero a influˆencia de uma carga pontual situada em 0 0 10N 0 0 106 Neste item assumo que essa carga pontual tem o mesmo valor Q calculado anteriormente Contribuicao da Carga Pontual O potencial de uma carga pontual e Vpt kQ r sendo r a distˆancia entre o ponto e a carga No ponto 0 0 46 r 106 46 60 m Vpt46 kQ 60 No ponto 0 0 76 r 106 76 30 m Vpt76 kQ 30 A diferenca de potencial e Vpt kQ 30 kQ 60 kQ 60 Calculando kQ 899 109 251 107 2257 V Vpt 2257 60 3762 V Contribuicao da Superfıcie Como o campo Esuperfıcie e uniforme a diferenca de potencial e dada por Vsuperfıcie Esuperfıcie z com z 76 46 30 m Assim Vsuperfıcie 1412 30 4236 V Potencial Total e Trabalho A variacao total do potencial e Vtotal Vpt Vsuperfıcie 3762 4236 474 V Portanto o trabalho realizado para mover a carga q 1 1012 C e W q V 1 1012 474 474 1012 J Resposta 3b W 474 1012 J 7 Problema 4 Enunciado Considere uma casca esferica de espessura infinitesimal com raio igual a 7N mm e carga total uniformemente distribuıda de 6N nC A casca esta no vacuo Interpretacao dos Numeros Raio Eu tenho a expressao 7 N Como ha um sinal substituo N por 6 e efetuo a soma 7 6 13 Assim o raio e de 13 mm ou 0013 m Carga total A expressao 6N nC contem 6N sem sinal de operacao ou seja os dıgitos sao concatenados passando a ser 66 nC Em unidades do SI Q 66 109 C a Campo Eletrico e Potencial Sei que para uma casca esferica carregada uniformemente os resultados classicos sao No interior da casca r R E 0 V V R k Q R constante No exterior da casca r R Er k Q r2 direcao radial para fora se Q 0 V r k Q r com V 0 Lembrando que k 899 109 N m2C2 aplico os valores R 0013 m e Q 66 109 C Logo Para r 0013 m E 0 V k Q 0013 Para r 0013 m Er k Q r2 V r k Q r 8 b Esboco dos Graficos Grafico do Modulo do Campo Eletrico Er Para r R E 0 Para r R Er decai como 1r2 Assim o grafico apresenta um salto nulo no interior da casca e logo apos r 0013 m uma curva decrescente Grafico do Potencial V r Para r R V e constante igual a k Q R Para r R V r decai como 1r Assim o grafico mostra uma regiao plana para r 0013 m e decai suavemente para r 0013 m Figura 1 Graficos de Er e V r em funcao de r 9 Problema 5 Enunciado O potencial elétrico no ar é dado por V 5NxN²y2N²z4³ volts Interpretação dos Números Substituo N por 6 5N passa a ser 56 xN passa a ser x6 y2N tornase como 2N se transforma em 26 em y26 z4 permanece inalterado Assim a expressão fica Vxyz 56 x6²y26²z4³ volts a Vetor Campo Elétrico na Origem Como o campo elétrico é dado por E V calculo as derivadas parciais de V Derivada em relação a x Vx 56 2x6y26²z4³ Na origem x66 y2626 z44 Logo Vx000 56 26 26² 4³ Observando que 2612 26²676 e 4³64 obtenho Vx000 291 10⁷ Vm Derivada em relação a y Vy 56 x6² 2y26z4³ Na origem x6² 6² 36 2y26 52 z4³ 64 Logo Vy000 56 36 52 64 671 10⁶ Vm Potencial vs r Figura 2 potencial Derivada em relação a z Vz 56 x6²y26² 3z4² Na origem x6²36 y26²676 z4²16 3z4²48 Logo Vz000 56 36 676 48 654 10⁷ Vm Portanto como E V na origem tenho Ex 291 10⁷ Vm Ey 671 10⁶ Vm Ez 654 10⁷ Vm ou seja E000 291 10⁷ 671 10⁶ 654 10⁷ Vm b Densidade Volumétrica de Carga na Origem Utilizo a equação de Poisson ²V ρvε₀ ρv ε₀²V com ε₀ 885 10¹² Fm Para V 56 x6²y26²z4³ calculo o Laplaciano somando as segundas derivadas Segunda derivada em x ²Vx² 56 2 y26² z4³ Na origem y26² 26² 676 z4³ 64 Logo ²Vx²000 112 676 64 485 10⁶ Vm² Segunda derivada em y ²Vy² 56 x6² 2 z4³ Na origem x6² 36 z4³ 64 Logo ²Vy²000 112 36 64 258048 Vm² Segunda derivada em z ²Vz² 56 x6²y26² 6z4 Na origem x6² 36 y26² 676 z4 4 Logo ²Vz²000 56 36 676 6 4 3271 10⁶ Vm² Laplaciano Total ²V ²Vx² ²Vy² ²Vz² 485 10⁶ 258 10⁵ 3271 10⁶ ²V 3781 10⁶ Vm² Densidade de Carga ρv ε₀ ²V 885 10¹² 3781 10⁷ 335 10⁴ Cm³ Problema 6 Enunciado Um loop circular de 4N cm de diâmetro possui densidade de carga uniforme de 25N nCm Qual é o potencial num ponto de seu eixo situado 42N cm acima do centro do loop Interpretação de N Diâmetro Na expressão 4N cm como há um sinal de adição substituo N por 6 4 6 10 cm Assim o diâmetro é de 10 cm e o raio é R 102 5 cm 005 m Densidade Linear de Carga Na expressão 25N nCm o N está concatenado formando 256 nCm Em unidades do SI λ 256 10⁹ Cm Posição do Ponto no Eixo Na expressão 42N cm interpreto da seguinte forma O 4 é operação aritmética e 2N aparece concatenado formando 26 Assim 4 26 30 cm 030 m Cálculo do Potencial Sei que para um loop uniformemente carregado o potencial no eixo a uma distância z do centro é dado por V kQR² z² onde Q é a carga total e k 899 10⁹ Nm²C² A carga total Q é obtida pela densidade linear multiplicada pela circunferência do loop Q λ 2πR Substituindo os valores R 005 m e 2πR 2π 005 031416 m tenho Q 256 10⁹ Cm 031416 m 804 10¹⁰ C A distância do ponto até o centro do loop considerando z 030 m é R² z² 005² 030² 00025 009 00925 03041 m Logo o potencial no ponto é V 899 10⁹ 804 10¹⁰ 03041 723603041 238 V Resposta Problema 6 O potencial no ponto é de aproximadamente 238 V Problema 7 Enunciado São dados dois potenciais no espaço livre e devo determinar a energia armazenada na região esférica definida por 2 mm r 3 mm 0 θ 90 0 ϕ 90 Os potenciais são a V 200r V b V 300 cos θ r² V A energia armazenada é dada por U ε₀2 região E² dτ usando E V e lembrando que ε₀ 885 10¹² Fm Os limites em r devem ser convertidos para metros r₁ 2 mm 0002 m e r₂ 3 mm 0003 m a Para V 200r Campo Elétrico Como V depende apenas de r tenho E dVdr 200r² de forma que E² 200²r⁴ 40000r⁴ Energia Armazenada Em coordenadas esféricas o elemento de volume é dτ r² sin θ dr dθ dϕ Portanto a energia é U ε₀2 r₁r₂ 40000r⁴ r² dr ₀π2 sin θ dθ ₀π2 dϕ Simplifico U ε₀ 40000 2 r₁r₂ dr r² ₀π2 sin θ dθ ₀π2 dϕ Calculando as integrais angulares ₀π2 sin θ dθ 1 e ₀π2 dϕ π2 A integral radial r₁r₂ dr r² 1rr₁r₂ 1r₁ 1r₂ Substituindo r₁ 0002 m e r₂ 0003 m 10002 500 10003 33333 diferença 16667 Logo tenho U ε₀ 40000 2 16667 π2 Ou seja U 885 10¹² 20000 16667 π2 Realizando os cálculos 20000 16667 33334 10⁶ Multiplicando por π2 15708 33334 10⁶ 15708 5235 10⁶ Por fim U 885 10¹² 5235 10⁶ 463 10⁵ J Portanto para a A energia armazenada é aproximadamente U 463 10⁵ J b Para V 300 cos θ r² Campo Elétrico Neste caso V depende de r e θ Em coordenadas esféricas obtenho as componentes Er Vr 600 cos θ r³ 600 cos θ r³ Eθ 1r Vθ 1r300 sin θ r² 300 sin θ r³ Não há dependência em ϕ Assim o módulo do campo é E² Er² Eθ² 600² cos² θ 300² sin² θ r⁶ 360000 cos² θ 90000 sin² θ r⁶ Fatorando E² 900004 cos² θ sin² θ r⁶ Energia Armazenada A energia é dada por U ε₀2 região E² dτ Em coordenadas esféricas com dτ r² sin θ dr dθ dϕ escrevo U ε₀ 90000 2 r₁r₂ 1 r⁶ r² dr ₀π2 4 cos² θ sin² θ sin θ dθ ₀π2 dϕ Note que 1r⁶ r² 1r⁴ Integral radial r₁r₂ dr r⁴ 13 r³r₁r₂ 131r₁³ 1r₂³ Com r₁ 0002 m e r₂ 0003 m r₁³ 8 10⁹ m³ r₂³ 27 10⁹ m³ Logo 1r13 125 108 1r23 370 107 e a diferença é aproximadamente 125 108 370 107 880 107 Dividindo por 3 r1r2 drr4 293 107 Integral em ϕ 0π2 dϕ π2 Integral em θ Defino I 0π2 4 cos2 θ sin2 θ sin θ dθ Utilizando a substituição u cos θ então du sin θ dθ os limites variam de u1 a u0 I 10 4u2 1u2du 01 3u2 1du Calculando 01 3u2 1du u3 u01 1 1 2 Reunindo os termos tenho U ε0 900002 293 107 2 π2 Note que 900002 2 90000 Portanto U ε0 90000 293 107 π2 Realizando os cálculos 90000 293 107 2637 1012 Multiplicando por π2 15708 2637 1012 15708 4144 1012 Finalmente utilizando ε0 885 1012 U 885 1012 4144 1012 3665 J Portanto para b A energia armazenada é aproximadamente U 3665 J