Lista de Exercícios de Transformada de Fourier

xn yn Xω Yω Xω Xω 2kπ com k Z aXn byn aXω bYω xn k ejωk Xω ejωxn Xω ϕ xn Xω xn Xω xn Xω xn é par Xω é puramente real xn é impar Xω é puramente imaginária xn é real Xω Xω ReXω é par ImXω é ímpar Xω é par ϕω é impar xn é imaginário Xω Xω n xn j ddω Xω xn hn XωHω xnwn 12π Xω Wω Xω Fxn from n to xn ejωn Xω Xω ejΘω Pares de transformadas de Fourier xn Xω δn 1 δn k ejωk 1 2π from k to δω 2kπ 1 an un para a 1 11 aejω un 11 ejω π from k to δω 2kπ sen ωc n πn Xω 1 se ω ωc 0 se ωc ω π senωM 12 sen ω2 1 se n M 0 se n M 2π from k to δω ω0 2kπ xn ejω0n π from k to ejϕ δω ω0 2kπ ejϕ δω ω0 2kπ cosω0n ϕ 2 Sejam X1ω a transformada de Fourier do sinal discreto x1n e X2ω a transformada do sinal x2n Calcule em função dessas duas transformadas as transformadas a seguir a yn 3x1n 2x2n b yn x1n 2 x2n 2 c yn x1n x1n 1 d yn from k to n x1k e yn x2n2 f yn x11 n x21 n g yn x1n 1n x1n h yn x2n x2n Lista de Exercícios 4 Exercício 1 Considere um sinal senoidal com uma frequência 𝑓𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 de 500 𝐻𝑧 Esse sinal é amostrado a uma frequência de 𝑓𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚 de 800 𝐻𝑧 a Determine a frequência de aliasing resultante do processo de amostragem Exercício 2 Considere o sinal xn definido por Realize as seguintes operações lineares no sinal 𝑥𝑛 e represente graficamente o sinal resultante para cada operação a 𝑦1𝑛 𝑥𝑛 3 b 𝑦2𝑛 𝑥𝑛 2 c 𝑦3𝑛 𝑥𝑛 d 𝑦4𝑛 𝑥2𝑛 e 𝑦5𝑛 2𝑥𝑛 f 𝑦6𝑛 𝑥𝑛 𝑢𝑛 onde 𝑢𝑛 é o degrau unitário definido por 𝑢𝑛 1 para 𝑛 0 e 𝑢𝑛 0 para 𝑛 0 g 𝑦7𝑛 𝑥𝑛 𝑢𝑛 h 𝑦8𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 onde ℎ𝑛 é definido por ℎ𝑛 1 se 0 𝑛 2 e 0 caso contrário i 𝑦9𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 1 Exercício 3 Considere os sinais 𝑥𝑛 e 𝑦𝑛 definidos por 𝑥𝑛 1 3 2 4 0 1 e 𝑦𝑛 2 0 1 3 1 2 Realize as seguintes operações entre os dois sinais e represente graficamente os sinais resultantes para cada operação a 𝑧1𝑛 𝑥𝑛 𝑦𝑛 b 𝑧2𝑛 𝑥𝑛 𝑦𝑛 c 𝑧3𝑛 𝑥𝑛 𝑦𝑛 Exercício 4 Considere os sinais 𝑥𝑛 e ℎ𝑛 definidos por Realize a convolução dos sinais 𝑥𝑛 e ℎ𝑛 e determine o resultado 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 Exercício 5 Calcule a transformada de Fourier inversa das expressões seguintes Exercício 6 Calcule a convolução entre estas sequências utilizando o teorema da convolução para as transformadas de Fourier Exercício 7 Considere um sinal 𝑥𝑛 cuja transformada de Fourier 𝑋𝑓 é conhecida Suponha que 𝑋𝜔 2𝑒𝑗2𝜔 Baseandose nas propriedades da transformada de Fourier determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais derivados de 𝑥𝑡 a 𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 b 𝑥2𝑛 𝑥𝑛 3 c 𝑥3𝑛 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠2𝜋 5𝑛 d 𝑥4𝑛 𝑥𝑛 e 𝑥5𝑛 𝑥𝑛 𝛿𝑛 2