Lista - Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia Elétrica

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Curso de Engenharia Elétrica Disciplina Eletromagnetismo Aplicado à Eng Elétrica Turno Noite Prim Sem 2025 Profa Rose Mary de Souza Batalha TP 04 Trabalho Individual ou Dupla Valor 03 pontos Data 300325 Instruções Nos enunciados dos sete problemas a seguir considerar N média simples da soma do último dígito não nulo do número de matrícula dos alunos Fazer e entregar via CANVAS todos os exercícios até o dia 08042025 1 A figura a seguir apresenta uma porção de um campo elétrico bidimensional Ez 0 O grid formado pelas linhas tem 1 mm x 1 mm Determinar o valor aproximado do vetor campo elétrico em coordenadas cartesianas nos pontos a b c 2 Uma linha infinita de carga L 154N nCm se estende no vácuo ao longo do eixo z e uma carga pontual Q se localiza no ponto 236 Considerar todas as coordenadas em metros Calcular a a carga Q de forma que a diferença de potencial VAVB entre os pontos A 435 e B 205 seja de 103N V b o potencial do ponto A 435 caso o potencial no ponto B 205 seja de 103N V c o trabalho necessário para levar uma carga pontual q de 15nC de B 205 até A 435 d o trabalho necessário para levar uma carga pontual q de 15nC de C 225 até A 435 Obs Não considerar a influência da carga q no campo das outras cargas 3 Em uma superfície passando por z N m foi depositada uma carga superficial uniformemente distribuída de 25 pCm2 Considerar cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros Calcular a a carga pontual que deve ser colocada no ponto 008N para que seja nula a força exercida em uma carga pontual de 1pC localizada no ponto 004N b o trabalho necessário para mover a carga de 1pC do ponto 004N até o ponto 007N considerar a influência da carga pontual em 0010N e da superfície de carga Cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros 4 Seja uma casca esférica de espessura infinitesimal e raio igual a 7N mm contendo uma carga distribuída uniformemente sobre sua superfície totalizando 6N nC A casca esférica está posicionada no vácuo a Calcular o campo elétrico e o potencial em relação ao infinito dentro e fora da casca esférica b Esboçar os gráficos do módulo do campo elétrico e do potencial em função da distância radial E x r e V x r 5 O potencial elétrico no ar é dado por V 5NxN2y2N2z43 volts a Calcular o vetor campo elétrico E na origem b Calcular a densidade volumétrica de carga v na origem 6 Um loop circular de 4N cm de diâmetro possui uma densidade de carga uniforme de 25N nCm Qual é o potencial num ponto de seu eixo situado 42N cm acima do centro do loop 7 Dados os campos potenciais V conforme letras a e b a seguir determinar a energia armazenada na região esférica situada no espaço livre e para 2 mm r 3 mm 0 θ 90 0 ϕ 90 Questão 7 Letra b Desejase calcular a energia armazenada no campo elétrico no espaço livre na região 2 mm r 3 mm 0 θ π2 0 ϕ π2 O potencial elétrico fornecido é Vrθ 300 cos θ r² A energia armazenada em um campo elétrico no vácuo é dada por W 12 ε₀ E² dv Para obter E calculamos o gradiente do potencial em coordenadas esféricas Como V depende de r e θ temos Vr 600 cos θ r³ Vθ 300 sin θ r² Em coordenadas esféricas o módulo ao quadrado do campo é E² Vr² 1r Vθ² 600 cos θ r³² 300 sin θ r³² E² 1r⁶ 360000 cos² θ 90000 sin² θ O elemento de volume em coordenadas esféricas é dv r² sin θ dr dθ dϕ então W 12 ε₀ ₀π2 ₀π2 ₂x1033x103 1r⁶ 360000 cos² θ 90000 sin² θ r² sin θ dr dθ dϕ Fatorando W 12 ε₀ ₀π2 ₀π2 360000 cos² θ 90000 sin² θ sin θ ₂x1033x103 1r⁴ dr dθ dϕ A integral em r é ₂x1033x103 1r⁴ dr 13r³₂x1033x103 13 2x1033 3x1033 13 18x10⁹ 127x10⁹ 13 27216x10⁹ 8216x10⁹ 19648x10⁹ 2932 x 10⁶ Agora calculamos a integral angular ₀π2 360000 cos² θ 90000 sin² θ sin θ dθ 360000 ₀π2 cos² θ sin θ dθ 90000 ₀π2 sin³ θ dθ Sabemos que ₀π2 cos² θ sin θ dθ 13 ₀π2 sin³ θ dθ 23 Portanto 360000 13 90000 23 120000 60000 180000 A integral em ϕ é ₀π2 dϕ π2 Agora juntamos tudo W 12 ε₀ 180000 π2 2932 10⁶ ε₀ 90000 π 2932 10⁶ Utilizando ε₀ 8854 x 10¹² Fm e π 31416 W 8854 x 10¹² 90000 31416 2932 10⁶ 8854 90000 31416 2932 10⁶ 732 J Resposta Final W 732 J Questão 5 Letra a O potencial elétrico é dado por Vxyz 5Nx N²y 2N²z 4³ Adotando N1 o potencial se reescreve como Vxyz 5x1²y2²z4³ O campo elétrico é definido como o gradiente negativo do potencial E V Vx î Vy ĵ Vz 𝗄 Cálculo das derivadas parciais na origem Componente x Aplicando a regra do produto Vx 5 2x1y2²z4³ Na origem 000 Vx 000 5 21 2² 4³ 5 2 4 64 5 512 2560 Logo Eₓ Vx 2560 Vm Componente y Vy 5x1² 2y2z4³ Vy 000 5 1² 2 2 4³ 5 4 64 1280 Eᵧ Vy 1280 Vm Componente z Vz 5x1²y2² 3z4² Vz 000 5 1 4 3 16 960 E𝓏 Vz 960 Vm Questao 4 Letra b Com base nos resultados da letra a temos que a casca esferica de raio R 8 mm 8 103 m e carga total Q 6 nC 6 109 C gera os seguintes campos no vacuo Campo Eletrico Er 0 r R 1 4πε0 Q r2 r R Substituindo os valores Er 0 r 8 103 54 r2 r 8 103 com r em metros e E em Vm Potencial Eletrico V r 1 4πε0 Q R r R 1 4πε0 Q r r R 6750 r 8 103 54 r r 8 103 com V em volts A seguir esbocamos os graficos do modulo do campo eletrico e do potencial em funcao da distˆancia radial r Grafico do Campo Eletrico Er 08 1 2 3 4 5 102 0 2 4 6 8 105 r m Er Vm Er 1 Grafico do Potencial Eletrico V r 08 1 2 3 4 5 102 0 2000 4000 6000 r m V r V V r Os graficos mostram claramente que o campo eletrico apresenta uma descontinuidade em r R saltando de zero para seu valor maximo Ja o potencial e contınuo e constante dentro da casca passando suavemente a decrescer como 1r para r R 2 Resposta Final E0 0 0 2560ˆi 1280 ˆj 960 ˆk Vm 2 Questao 5 Letra b O potencial eletrico e dado por V x y z 5Nx N2y 2N2z 43 Adotando N 1 obtemos V x y z 5x 12y 22z 43 Desejase calcular a densidade volumetrica de carga ρv na origem utilizando a equacao de Poisson que relaciona o potencial a densidade de carga no vacuo 2V ρv ε0 ρv ε02V O laplaciano do potencial e a soma das segundas derivadas parciais 2V 2V x2 2V y2 2V z2 Calculo das derivadas parciais na origem Componente em x V x 5 2x 1y 22z 43 2V x2 5 2y 22z 43 2V x2 0 0 0 5 2 4 64 2560 Componente em y V y 5x 12 2y 2z 43 2V y2 5x 12 2z 43 2V y2 0 0 0 5 1 2 64 640 Componente em z V z 5x 12y 22 3z 42 2V z2 5x 12y 22 3 2z 4 2V z2 0 0 0 5 1 4 6 4 480 1 Laplaciano e densidade de carga Somando as trˆes componentes 2V 0 0 0 2560 640 480 3680 Substituindo na equacao de Poisson com ε0 8854 1012 C2N m2 ρv ε02V 8854 1012 3680 3260 108 Cm3 Resposta Final ρv0 0 0 326 108 Cm3 2 Questão 6 Um loop circular de diâmetro D 4 N cm 5 cm possui uma densidade linear de carga uniforme λ 25N nCm 25 10⁹ Cm com N 1 Desejase calcular o potencial elétrico num ponto sobre o eixo do loop a uma distância de z 4 2N cm 6 cm 006 m acima do centro Sabemos que o potencial elétrico gerado por um anel de raio R uniformemente carregado com densidade linear λ no eixo a uma distância z do centro é dado por Vz 14πε₀ λL R² z² Como L 2πR podemos reescrever Vz λ 2πR 4πε₀ R² z² λR 2ε₀ 1 R² z² Substituindo os valores R D2 0025 m λ 25 10⁹ Cm z 006 m R² z² 0025² 006² 0000625 00036 0004225 0065 V 25 10⁹0025 2 8854 10¹² 10065 625 10¹¹ 17708 10¹¹ 10065 V 3529 15385 5429 V Resposta Final V 5429 V Questão 7 Letra a Desejase calcular a energia armazenada no campo elétrico em uma região esférica no espaço livre definida por 2 mm r 3 mm 0 θ 90 0 ϕ 90 O potencial elétrico é dado por Vr 200r Sabemos que a energia eletrostática armazenada no vácuo é expressa por W 12 ε₀ E² dv O campo elétrico é obtido como o gradiente negativo do potencial Como o potencial depende apenas de r o campo será radial E V dVdr r 200r² r E² 200r²² 40000r⁴ Utilizando coordenadas esféricas o elemento de volume é dv r² sin θ dr dθ dϕ Assim a energia fica W 12 ε₀ ₀π2 ₀π2 ₂10³310³ 40000r⁴ r² sin θ dr dθ dϕ Simplificando W 12 ε₀ 40000 ₀π2 ₀π2 ₂10³310³ 1r² sin θ dr dθ dϕ As integrais são separáveis ₀π2 dϕ π2 ₀π2 sin θ dθ 1 ₂10³310³ 1r² dr 1r₂10³310³ 12 10³ 13 10³ 10006 16667 Substituindo W 12 ε₀ 40000 π2 1 16667 ε₀ 40000 π 16667 4 Usando ε₀ 8854 10¹² C²N m² temos W 8854 10¹² 40000 31416 16667 4 1857 10⁶ 4 463 10⁷ J Resposta Final W 463 10⁷ J Questão 1 Sabemos que o vetor campo elétrico E está relacionado ao gradiente do potencial elétrico V por E V Vx x Vy y Como o campo é bidimensional Ez 0 e o grid fornecido tem espaçamento de 1 mm 1 10³ m podemos usar diferenças finitas centradas para estimar o gradiente do potencial nos pontos indicados Ponto a No ponto a observamos que o potencial à esquerda é 104 V e à direita é 102 V Assim a variação do potencial na direção x é Vx Vx Δx Vx Δx 2Δx 102 104 2 10³ 2 2 10³ 1000 Vm Entretanto como os dois pontos estão exatamente a 1 mm de distância podemos também estimar diretamente como ΔVΔx 102 104 1 10³ 2000 Vm Não há variação significativa de potencial em y logo Vy 0 Portanto Ea Vx x Vy y 2000 x 0 y 2000 x Vm Ponto b No ponto b o potencial acima é 106 V e abaixo 104 V separados por 1 mm Assim Vy 104 106 1 10³ 2000 Vm Como não há variação visível em x nesse ponto temos Vx 0 Logo Eb 0 x 2000 y 2000 y Vm Ponto c No ponto c o potencial à esquerda é 106 V e à direita é 108 V Vx 108 106 1 10³ 2000 Vm Sem variação visível em y temos Vy 0 Assim Ec 2000 x 0 y 2000 x Vm Resumo Final Ea 2000 ˆx Vm Eb 2000 ˆy Vm Ec 2000 ˆx Vm 2 Questão 2 Letra a Desejase determinar o valor da carga pontual Q localizada no ponto 2 3 6 de modo que a diferença de potencial entre os pontos A 4 3 5 e B 2 0 5 seja VA VB 10 3N V Admitindo N 1 temos VA VB 13 V O potencial gerado por uma carga pontual Q em um ponto vecr é Vvecr frac14 pi epsilon0 cdot fracQvecr vecrQ Portanto a diferença de potencial entre os pontos A e B será VA VB fracQ4 pi epsilon0 left frac1rA frac1rBright Calculamos a distância da carga aos pontos A e B rA sqrt422 332 5 62 sqrt401 sqrt5 rB sqrt222 0 32 5 62 sqrt091 sqrt10 Substituindo os valores 13 fracQ4 pi epsilon0 left frac1sqrt5 frac1sqrt10right Utilizando frac1sqrt5 approx 04472 quad quad frac1sqrt10 approx 03162 quad Rightarrow quad Delta approx 01310 frac14 pi epsilon0 9 imes 109 mathrmN cdot mathrmm2 mathrmC2 Substituindo na equação 13 9 imes 109 cdot Q cdot 01310 quad Rightarrow quad Q frac139 imes 109 cdot 01310 Q approx frac131179 imes 109 1103 imes 108 C boxed1103 mathrmnC Resposta Final boxedQ 1103 mathrmnC Questão 2 Letra b Desejase determinar o potencial elétrico no ponto A 435 gerado exclusivamente pela linha infinita de carga disposta ao longo do eixo z Sabese que o potencial no ponto B 205 é VB 10 3N 13 V quad extcom N1 A densidade linear de carga é dada por rhoL 15 4N mathrmnCm 19 imes 109 mathrmCm O potencial elétrico gerado por uma linha de carga infinita no vácuo é definido como VP fracrhoL2 pi epsilon0 ln leftfracrhorhorefright em que rho é a distância perpendicular do ponto ao eixo z Para os pontos A e B essas distâncias são rhoA sqrt42 32 sqrt25 5 m quad quad rhoB sqrt22 02 2 m A diferença de potencial entre os pontos é VA VB fracrhoL2 pi epsilon0 ln leftfracrhoArhoBright fracrhoL2 pi epsilon0 ln leftfrac52right Calculando ln leftfrac52right approx ln25 approx 09163 E utilizando frac12 pi epsilon0 approx 1795 imes 1010 Rightarrow fracrhoL2 pi epsilon0 approx 19 imes 109 cdot 1795 imes 1010 34105 V Assim VA VB 34105 cdot 09163 13 31276 boxed29976 V Resposta Final boxedVA 29976 V Questao 3 Letra c Desejase calcular o trabalho necessario para mover uma carga q 1 µC 1 106 C do ponto A 4 3 5 ate o ponto B 2 0 5 no campo gerado pela linha infinita de carga Sabemos que o trabalho eletrostatico realizado por uma forca externa e dado por W q VB VA A partir dos itens anteriores temos VB 13 V e VA 29976 V Portanto a diferenca de potencial e VB VA 13 29976 31276 V Multiplicando pela carga transportada W 1 106 31276 031276 J Resposta Final W 031276 J 1 Questão 2 Letra d Desejase calcular o trabalho realizado por uma força externa para mover a carga pontual Q localizada inicialmente em 2 3 6 até a posição 2 0 5 sob ação do campo gerado pela linha infinita de carga ao longo do eixo z O trabalho é dado por W Q cdot VB VA onde VB e VA são os potenciais gerados pela linha de carga nos pontos final e inicial respectivamente A densidade linear da linha é rhoL 15 4N mathrmnCm 19 imes 109 mathrmCm quad extcom quad N1 O potencial de uma linha infinita de carga é VP fracrhoL2 pi epsilon0 ln leftfracrhorhorefright Como a referência não importa ao calcular a diferença de potencial podemos escrever VB VA fracrhoL2 pi epsilon0 ln leftfracrhoBrhoAright Calculamos as distâncias perpendiculares ao eixo z rhoB sqrt22 02 2 quad quad rhoA sqrt22 32 sqrt13 ln leftfracrhoBrhoAright ln leftfrac2sqrt13right ln2 lnsqrt13 approx 06931 12825 05894 Substituindo VB VA frac19 imes 1092 pi cdot 8854 imes 1012 cdot 05894 frac12 pi epsilon0 approx 1795 imes 1010 Rightarrow VB VA approx 19 imes 109 cdot 1795 imes 1010 cdot 05894 VB VA 34105 cdot 05894 approx 20117 V Da letra a a carga Q foi calculada como Q 1103 mathrmnC 1103 imes 109 C Portanto o trabalho é W 1103 imes 109 cdot 20117 boxed2218 imes 106 mathrmJ 2218 mu mathrmJ Resposta Final boxedW 2218 mu mathrmJ Questao 3 Letra a Desejase determinar qual carga q deve ser colocada no ponto 0 0 8 para que a forca total sobre uma carga Q 1 pC 1 1012 C situada em 0 0 4 seja nula O sistema contem uma superfıcie carregada no plano z 1 com densidade superficial ρs 25 pCm2 25 1012 Cm2 A carga Q esta acima da superfıcie e da carga q portanto ela sofrera duas forcas Uma forca da superfıcie devida ao campo eletrico uniforme gerado por uma folha plana e infinita Uma forca de Coulomb vinda da carga q colocada em z 8 O campo gerado pela superfıcie para z 1 e constante e vale Esuperfıcie ρs 2ε0 Logo a forca sobre a carga Q e Fsuperfıcie Q E Qρs 2ε0 Com Q 1 1012 e ε0 8854 1012 Fsuperfıcie 1 101225 1012 2 8854 1012 25 1024 17708 1012 1412 1012 N Agora consideramos a forca da carga q sobre Q Como estao separadas por uma distˆancia d 84 4 m ao longo de z a forca eletrostatica entre elas e Fq 1 4πε0 qQ 42 qQ 4πε0 16 Para que a forca total sobre Q seja nula essas forcas devem ter mesmo modulo e sentidos opostos A forca da superfıcie aponta para cima campo de placa positiva entao a forca da carga q deve apontar para baixo ou seja q 0 Igualando os modulos qQ 4πε0 16 Qρs 2ε0 Cancelando Q dos dois lados q 4πε0 16 ρs 2ε0 q 4πε0 16 ρs 2ε0 Cancelando ε0 q 32π ρs 32π 25 1012 800π 1012 2513 1012 2513 pC Resposta Final q 2513 pC 1 Questao 3 Letra b Desejase calcular o trabalho necessario para mover uma carga q 1 pC 1 1012 C do ponto 0 0 4 ate o ponto 0 0 7 no campo gerado por duas distribuicoes uma superfıcie carregada no plano z 1 com densidade ρs 25 1012 Cm2 e uma carga pontual Q 1 pC localizada em 0 0 10 O trabalho realizado por uma forca externa e dado por W q V 7 V 4 O potencial gerado por uma superfıcie plana uniformemente carregada acima do plano z 1 e Vsuperfıciez ρs 2ε0 z 1 Com ε0 8854 1012 temos ρs 2ε0 25 1012 2 8854 1012 1412 Vm Logo Vsuperfıcie4 1412 4 1 4236 V Vsuperfıcie7 1412 7 1 8472 V O potencial devido a carga pontual Q em z 10 e VQz 1 4πε0 Q z 10 9 109 1012 z 10 9 103 z 10 Entao VQ4 9 103 6 00015 V VQ7 9 103 3 00030 V Somando os potenciais V 4 4236 00015 42345 V V 7 8472 00030 84690 V Calculando a diferenca V V 7 V 4 84690 42345 42345 V Logo o trabalho sera W q V 1 1012 42345 42345 1012 J Resposta Final W 42345 pJ 1 Questão 4 Letra a Considere uma casca esférica de espessura infinitesimal com raio R 7 N mm 8 103 m adotando N 1 contendo uma carga total distribuída uniformemente sobre sua superfície Q 6N nC 6 109 C A casca está imersa no vácuo e desejase calcular o campo elétrico Er e o potencial elétrico Vr para as regiões interna r R e externa r R à casca tomando o potencial nulo no infinito Campo Elétrico Utilizamos a Lei de Gauss para deduzir o campo elétrico gerado por uma distribuição esfericamente simétrica Para uma superfície gaussiana esférica de raio r S E dA Qintε0 Er 4πr2 Qintε0 Para r R toda a carga está contida na superfície gaussiana Er 14πε0 Qr2 9 109 6 109r2 54r2 Vm com r em metros Para r R não há carga interna à superfície gaussiana Er 0 Potencial Elétrico O potencial é calculado a partir da definição Vr r E dl Para r R substituindo Er 54r2 Vr r 54r2 dr 54rr 54r Para r R como E 0 o potencial permanece constante Vr VR 54R 548 103 6750 V Resultados Finais Er 0 r 8 mm 54r2 r 8 mm Vr 6750 V r 8 mm 54r r 8 mm com r em metros