Lista de Atividades

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia Elétrica Disciplina Eletromagnetismo Aplicado à Engenharia Elétrica Turno Noite Prim Sem 2025 Professora Rose Mary de Souza Batalha Trabalho no 05 Individual Dupla TP 05 Exercícios sobre o cap5 Hayt 6ª edição Data 07052025 Valor 03 pontos Instruções 1 Considerar εo 8854 x 1012 Fm 2 Considerar N soma do último algarismo significativo do número de matrícula de cada ALUNO 3 Fazer e entregar via CANVAS todos os exercícios até o dia 17052025 1 A região y 0 consiste de um condutor perfeito enquanto que a região y 0 é um meio dielétrico r1 2 Se existe uma carga superficial de 2N pCm2 no condutor determine E e D em A3N21N e B41N5N 2 Suponha que o plano z 0 separa o meio 1 z 0 do meio 2 z 0 com permissividades relativas εr1 4 e εr2 2 respectivamente O vetor intensidade de campo elétrico no meio 1 próximo ao contorno ou seja para z 0 é E1 4N âx 2N ây 5 âz Vm Encontre o vetor intensidade de campo elétrico E2 no meio 2 próximo ao contorno ou seja para z 0 para as seguintes situações a Se não houver cargas livres no contorno b Se houver cargas de superfícies com densidade ρs 5312 pCm2 no contorno 3 Determinar o vetor campo elétrico no meio 4 da figura abaixo 15Nâx 12Nâz Vm ε1 ε0 ε2 2 ε0 ε3 5 ε0 ε4 3 ε0 4 Um capacitor de placas paralelas possui as placas com área de 30 x 30 cm2 e a distância entre as placas é de 05 mm Determinar a constante dielétrica mínima do material dielétrico de forma que a energia armazenada seja superior a 04N mJ quando ele estiver alimentado com 200N V 5 O seguinte problema foi desenvolvido em sala de aula Uma carga pontual positiva Q encontrase localizada no centro de uma casca condutora esférica de raio interno ri e raio externo ro Determinar o campo elétrico E e o potencial elétrico V em função da distância radial r Pedese Traçar os gráficos de E x r e V x r Considerar Q 22N mC ri 10 cm ro 12 cm Obs Para cada tipo de curva nos gráficos apresentar pelo menos três pares de valores z x 6 Seja o capacitor de placas paralelas conforme figura abaixo Em seus terminais foi aplicada uma tensão de 25N V Utilizar a aproximação de campo uniforme em cada dielétrico e calcular a a tensão imposta a cada dielétrico b o campo elétrico em cada dielétrico c a densidade superficial de carga na placa condutora superior d a energia armazenada no campo elétrico e a capacitância calcular a partir da carga armazenada no capacitor f determinar qual deve ser a permissividade do dielétrico 2 para que o campo elétrico no dielétrico 1 seja 8 vezes superior ao campo elétrico no dielétrico 2 7 A figura abaixo mostra a seção reta de um cabo coaxial O condutor interno tem raio igual a 3N mm o condutor externo tem raio interno igual a 10N mm O meio entre o condutor interno e o condutor externo é formado por dois dielétricos o dielétrico 1 adjacente ao condutor interno tem uma espessura de 2N mm e permissividade elétrica relativa igual a 5 o dielétrico 2 preenche o restante do espaço entre o dielétrico 1 e o condutor externo portanto tem espessura de 5N mm e permissividade elétrica relativa igual a 2 a Desenvolver a expressão da capacitância por unidade de comprimento deste cabo ou seja em Fm apresentando todas as equações intermediárias até obter a relação entre carga e diferença de potencial Explicando novamente desenvolver a razão QV em Fm b Supondo que exista uma tensão de 25040N V entre os condutores determine o vetor campo elétrico E em todo o espaço e plote o módulo do mesmo em função da distância radial cilíndrica 8 A figura a SEGUIR mostra a vista em corte de um capacitor ESFÉRICO formado por duas esferas condutoras concêntricas O condutor interno tem raio igual a 3N mm o condutor externo tem raio interno igual a 10N mm O meio entre o condutor interno e o condutor externo é formado por dois dielétricos dielétrico 1 adjacente ao condutor interno tem uma espessura de 2 mm e permissividade elétrica relativa igual a 5 dielétrico 2 preenche o restante do espaço entre o dielétrico 1 e o condutor externo portanto tem espessura de 5 mm e permissividade elétrica relativa igual a 2 a Desenvolver a expressão da capacitância deste capacitor em F apresentando todas as equações intermediárias até obter a relação entre carga e diferença de potencial b Supondo que exista uma tensão de 250 V entre os condutores determine o vetor campo elétrico E em todo o espaço e plote o módulo do mesmo em função da distância radial r No condutor y 0 o campo elétrico e o deslocamento elétrico são nulos E 0 D 0 Na interface a condição de contorno para a componente normal de D impõe Dy0 Dy0 σ Dy0 σ Dy0 0 No dielétrico y 0 vale Dy σ 2109 Cm2 Ey Dy ε0 εr 2109 88510122 113102 Vm apontando para ŷ O ponto A321 como y 2 0 está no condutor logo EA 0 DA 0 O ponto B415 como y 1 0 está no dielétrico então DB 2109 ŷ Cm2 EB 113102 ŷ Vm 2 Para qualquer densidade de carga livre σfree na superfície i Continuidade das componentes tangenciais de E E2x E1x E2y E1y ii Salto da componente normal de D ε0 εr E D2n D1n σfree Em coordenadas cartesianas a normal à superfície z 0 é âz de modo que Din ε0 εri Eiz i 12 Caso a σfree 0 i Componentes tangenciais E2x E1x4 E2y E1y 2 ii Componente normal Da equação 2 com σfree 0 ε0 εr2 E2z ε0 εr1 E1z 0 εr2 E2z εr1 E1z E2z εr1 εr2 E1z 425 10 Vm Portanto E20 4 âx 2 ây 10 âz Vm Caso b σfree 5312 pCm2 i Componentes tangenciais Idêntico ao caso a E2x 4 E2y 2 ii Componente normal Agora da equação 2 ε0 εr2 E2z ε0 εr1 E1z σfree Isolando E2z E2z σfreeε0 εr1 E1z εr2 53121012 88541012 45 2 600 202 13 Vm Logo E20 4 âx 2 ây 13 âz Vm 3 Como não há cargas livres nas superfícies de separação temos i Componentes tangenciais Em todas as interfaces E4x E1x 15 E4y E1y 0 ii Componente normal Aplicamos a continuidade de ε Ez sucessivamente E2z ε1 ε2 E1z ε0 2 ε0 12 6 E3z ε2 ε3 E2z 2 ε0 5 ε06 125 24 E4z ε3 ε4 E3z 5 ε0 3 ε0 24 4 Portanto o campo no meio 4 é E4 15 âx 4 âz Vm A capacitância de um capacitor de placas paralelas com dielétrico de permissividade ε κ ε0 vale C ε A d κ ε0 A d Logo a energia armazenada é U 12 C V2 12 κ ε0 A d V2 Para que U seja pelo menos Umin 4104 J impomos 12 κmin ε0 A d V2 Umin κmin 2 Umin d ε0 A V2 Substituindo os valores numéricos ε0 88541012 Fm A 009 m2 d 5104 m V 201 V Umin 4104 J κmin 241045104 885410120092012 1243 5 Para r ri dentro da cavidade o condutor externo não influencia o campo local logo Er 1 4πε0 Q r2 Vr 1 4πε0 Q r C onde C será fixado de modo que V seja contínuo em r ri Para ri r ro dentro do material condutor Er 0 Vr constante Para r ro externo à casca a casca mais o condutor comportamse como carga Q no centro logo Er 1 4πε0 Q r2 Vr 1 4πε0 Q r Para encontrar C e o valor constante dentro do condutor impomos continuidade de V em r ro No condutor interior Vri Vro Potencial imediatamente fora da casca r ro Vro 1 4πε0 Q ro Potencial imediatamente dentro da cavidade r ri V ri frac14 pi epsilon0 fracQri C Continuidade em r ri frac14 pi epsilon0 fracQri C Vri V ro frac14 pi epsilon0 fracQro Longrightarrow C frac14 pi epsilon0 Q leftfrac1ro frac1ri right Logo resumindo mathbfEr left beginmatrix frac14 pi epsilon0 fracQr2hatmathbfar r ri 0 ri r ro frac14 pi epsilon0 fracQr2hatmathbfar r ro endmatrix right Vr left beginmatrix frac14 pi epsilon0 Q left frac1r frac1ro frac1ri right r ri frac14 pi epsilon0 fracQro ri r ro frac14 pi epsilon0 fracQr r ro endmatrix right a Para capacitores em série a tensão se divide inversamente à capacitância V1 fracfracd1epsilonr 1fracd1epsilonr 1 fracd2epsilon r 2 cdot V ext total quad V2 fracfracd2epsilonr 2fracd1epsilonr 1 fracd2epsilonr 2 cdot V ext total Substituindo valores V1 fracfrac00053frac00053 frac00028 cdot 25 approx boxed2174 mathrmV V2 fracfrac00028frac00053 frac00028 cdot 25 approx boxed326 mathrmV b E1 fracV1d1 frac21740005 approx boxed4348 mathrmV mathrmm quad E2 fracV2d2 frac3260002 approx boxed1630 mathrmV mathrmm c A carga é a mesma em ambas as camadas sigma epsilon0 epsilonr 1 E1 885 imes 1012 cdot 3 cdot 4348 approx boxed1154 imes 107 mathrmC mathrmm2 d Energia por unidade de área U frac12 epsilon0 epsilonr 1 E12 d1 frac12 epsilon0 epsilonr 2 E22 d2 approx boxed1443 mu mathrmJ mathrmm2 e C fracepsilon0fracd1epsilonr 1 fracd2epsilonr 2 approx boxed4616 mathrmnF mathrmm2 f Igualando os campos e resolvendo fracV1d1 8 cdot fracV2d2 quad e quad V1 V2 25 Longrightarrow epsilonr 2 boxed24 7 bullet ext Raio interno do condutor central a 3 imes 103 mathrmm bullet ext Raio interno do condutor externo b 10 imes 103 mathrmm bullet ext Dielétrico 1 ext Espessura 2 imes 103 mathrmm ext Raio externo c a2 imes 103 5 imes 103 mathrmm ext Permissividade relativa epsilonr 1 5 bullet ext Dielétrico 2 ext Espessura 5 imes 103 mathrmm ext Permissividade relativa epsilonr 2 2 bullet ext Tensão aplicada V25040210 mathrmV bullet ext Permissividade do vácuo epsilon0885 imes 1012 mathrmF mathrmm a ext Capacitância por unidade de comprimento C ext Para uma superfície gaussiana cilíndrica de raio rho ext e comprimento L oint mathbfD cdot d mathbfAQ ext livre Longrightarrow mathbfD cdot 2 pi rho Llambda L D fraclambda2 pi rho mathbfE1 fracmathbfDepsilonr 1 epsilon0 fraclambda2 pi epsilonr 1 epsilon0 rho quada leq rho leq c mathbfE2 fracmathbfDepsilonr 2 epsilon0 fraclambda2 pi epsilonr 2 epsilon0 rho quadc rho leq b ext A tensão total é a soma das quedas nos dielétricos Vintac E1 d rhointcb E2 d rho ext Substituindo E1 ext e E2 V fraclambda2 pi epsilonr 1 epsilon0 ln leftfraccaright fraclambda2 pi epsilonr 2 epsilon0 ln leftfracbcright ext Como Q lambda L ext para L1 mathrmm V fraclambda2 pi epsilon0 leftfrac1epsilonr 1 ln leftfraccaright frac1epsilonr 2 ln leftfracbcright right fracQV frac2 pi epsilon0frac1epsilonr 1 ln leftfraccaright frac1epsilonr 2 ln leftfracbcright ext Cálculo numérico ln leftfraccaright ln leftfrac53right approx 05108 ln leftfracbcright ln 2 approx 06931 fracQV frac2 pi cdot 885 imes 1012frac15 cdot 05108 frac12 cdot 06931 frac556 imes 101101022 03466 frac556 imes 101104488 approx 124 imes 1010 mathrmF mathrmm boxedC approx 124 mathrmpF mathrmm b ext Vetor campo elétrico mathbfErho lambda C cdot V 124 imes 1010 cdot 210 approx 260 imes 108 mathrmC mathrmm E1rho frac260 imes 1082 pi cdot 5 cdot 885 imes 1012 cdot rho approx frac935rho mathrmV mathrmm quad3 leq rho leq 5 mathrmmm E2rho frac260 imes 1082 pi cdot 2 cdot 885 imes 1012 cdot rho approx frac2338rho mathrmVm quad 5 rho leq 10 mathrmmm ext Para determinar o campo elétrico fora do condutor externo rho b ext aplicamos a Lei de Gauss considerando a carga líquida envolvida Carga por unidade de comprimento lambda lambda C cdot V 124 imes 1010 cdot 210 approx 260 imes 108 mathrmCm ext Logo assumindo que a carga líquida é nula temos mathbfErho begincases frac935rho hatrho mathrmVm 3 mathrmmm leq rho leq 5 mathrmmm frac2338rho hatrho mathrmVm 5 mathrmmm rho leq 10 mathrmmm endcases 8 ext a Capacitância Pela simetria esférica e Lei de Gauss oint mathbfD cdot d mathbfS Q Longrightarrow Drr fracQ4 pi r2 ext com D varepsilon E ext e Ei D varepsiloni ext temos em cada dielétrico Eir fracQ4 pi varepsilon0 varepsilonr i r2 quad i12 ext A diferença de potencial entre as esferas é V intba Er d r intad1b fracQ4 pi varepsilon0 varepsilonr 2 r2 d r intaad1 fracQ4 pi varepsilon0 varepsilonr 1 r2 d r fracQ4 pi varepsilon0 left frac1varepsilonr 1 left frac1a frac1ad1 right frac1varepsilonr 2 left frac1ad1 frac1b right right ext Portanto C fracQV 4 pi varepsilon0 left frac1varepsilonr 1 left frac1a frac1ad1 right frac1varepsilonr 2 left frac1ad1 frac1b right right1 ext Substituindo valores numéricos a 4 imes 103 mathrmm quad ad1 6 imes 103 mathrmm quad b 11 imes 103 mathrmm frac1varepsilonr 1 left frac1a frac1ad1 right frac15250 16667 1667 quad frac1varepsilonr 2 left frac1ad1 frac1b right frac12 16667 9091 3788 16673788 5455 mathrmm1 quad C frac4 pi 8854 imes 10125455 approx 204 imes 1012 mathrmF 204 mathrmpF b Campo eletrico A carga total armazenada e Q C V 204 1012 F250 V 510 1010 C O campo eletrico radial em cada regiao Er Q 4πε0 εr1 r2 a r a d1 Q 4πε0 εr2 r2 a d1 r b 0 r b Substituindo constantes 4πε0 εr1 4π8854 10125 556 1010 4πε0 εr2 4π8854 10122 223 1010 E1r 510 1010 556 1010 r2 0917 r2 Vm E2r 510 1010 223 1010 r2 229 r2 Vm 8