Sistema de Cordenadas Cartesiana P polar

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Curso de Engenharia Elétrica Disciplina Eletromagnetismo Turno Noite Prim Sem 2025 Profa Rose Mary de Souza Batalha Trabalho No 1 Trabalho Individual Valor 01 ponto Data 14022025 Data de entrega 19022025 via CANVAS OBS A entrega dos exercícios após dia 19022025 incorre em perda de pontuação na taxa de dois décimos por dia 02dia de atraso 1 Um campo vetorial G é dado por G24xyax12x22ay18z2az Dados dois pontos P121 e Q213 determinar a G em P b um vetor unitário da direção de G em Q c um vetor unitário dirigido de Q para P Resp a 48ax36ay18az b 026ax039ay088az c 059ax020ay078az 2 Há quatro cargas pontuais iguais de 20uC cada localizadas nos seguintes pontos posição em coordenadas cartesianas e em metros 600 200 060 e 020 Calcule a força que atua sobre uma carga pontual de 100uC situada em 223 Resp 04606ax04606ay1382az N 3 Sejam duas cargas pontuais iguais de 100uC cada localizadas nos seguintes pontos posição em coordenadas cartesianas e em metros 1000 e 1000 Uma carga pontual de 10uC e massa m foi colocada no ponto 0010 Calcular qual deve ser a massa m desta carga pontual de forma que a mesma esteja em equilíbrio mecânico Considerar que o plano xy está sobre o solo e que a carga de massa m possa se deslocar livremente ao longo do eixo z Questão 1 a Cálculo de G em P O ponto P tem coordenadas x y z 121 Avaliamos cada componente de G em P GxP 24 x y 24 1 2 48 GyP 12x2 2 1212 2 12 3 36 GzP 18 z2 18 12 18 1 18 Portanto GP 48 ax 36 ay 18 az b Vetor unitário na direção de G em Q O ponto Q tem coordenadas x y z 213 Primeiramente calculamos GQ GxQ 24 x y 24 2 1 48 GyQ 12x2 2 1222 2 124 2 12 6 72 GzQ 18 z2 18 32 18 9 162 Logo GQ 48 ax 72 ay 162 az Para encontrar o vetor unitário na direção de GQ precisamos dividilo pela sua norma A norma de GQ é GQ 482 722 1622 2304 5184 26244 33732 Observando que GQ 68 12 27 e 82 122 272 64 144 729 937 temos GQ 6937 Portanto um vetor unitário na direção de GQ é dado por uG GQGQ 68 12 27 6937 8 12 27 937 Em forma de ax ay az fica uG 8937 ax 12937 ay 27937 az Logo uG 026 ax 039 ay 088 az c Vetor unitário dirigido de Q para P O vetor que vai de Q para P é QP P Q 1 2 2 1 1 3 3 1 4 A norma de QP é QP 32 12 42 9 1 16 26 Logo o vetor unitário na direção de QP é uQP QP QP 3 1 426 326 ax 126 ay 426 az Ou seja uQP 059 ax 020 ay 078 az Questao 2 Para calcular a força resultante sobre a carga de 100 μC localizada em 223 utilizamos a Lei de Coulomb para cada uma das quatro cargas de 20 μC F k q1q2 r2 r Temos Carga de teste q 100 μC 100 106 C Cargas fonte qi 20 μC 20 106 C Constante eletrostática k 8988 109 N m2 C2 Posições das cargas fonte 6 0 0 2 0 0 0 6 0 0 2 0 Va ps calcular a força para cada carga separadamente e somar Carga 1 6 0 0 Vetor posição r 2 6 2 0 3 0 4 2 3 Distância r 42 22 32 29 5385 m Vetor unitário r 429 229 329 Força F1 06198 0742 0371 0557 0460 0230 0345 N Carga 2 2 0 0 Vetor posição r 4 2 3 Força F2 06198 0742 0371 0557 0460 0230 0345 N Carga 3 0 6 0 Vetor posição r 2 4 3 Força F₃ 06198 0 371 0 742 0 557 0 230 0 460 0 345 N Carga 4 0 2 0 Vetor posição r 2 4 3 Força F₄ 06198 0 371 0 742 0 557 0 230 0 460 0 345 N A força total é a soma vetorial das forças Em componentes temos Fₓ 0 460 0 460 0 230 0 230 0 460 N Fᵧ 0 230 0 230 0 460 0 460 0 460 N Fz 0 345 0 345 0 345 0 345 1 380 N F 0 46 âₓ 0 46 âᵧ 1 38 âz N Questão 3 Sobre a carga Q₃ atuam A força peso de módulo P mg dirigida para baixo sentido negativo de z As forças de repulsão elétrica devidas a Q₁ e Q₂ pois todas as cargas são positivas Para que Q₃ esteja em equilíbrio mecânico a soma vetorial dessas forças deve ser nula Em particular observaremos que as componentes horizontais das forças elétricas se anulam por simetria Q₃ está no eixo z e Q₁ Q₂ estão no eixo x Logo restará apenas uma componente resultante no eixo z das forças elétricas que deve equilibrar o peso A distância entre Q₃ e cada uma das cargas Q₁ e Q₂ é r 0 10² 0 0² 10 0² 100 0 100 200 102 m O módulo da força elétrica exercida por Q₁ sobre Q₃ e por simetria por Q₂ sobre Q₃ é dado pela Lei de Coulomb F k Q₁ Q₃ r² onde k 90 10⁹ N m² C² Substituindo os valores Q₁ 100 10⁶ C Q₃ 10 10⁶ C r² 102² 200 obtemos F 9 10⁹ 100 10⁶10 10⁶ 200 9 10⁹ 1000 10¹² 200 9 10⁹ 10⁹ 200 9 200 0045 N Para que Q₃ permaneça em equilíbrio no eixo z a força resultante vertical das repulsões elétricas deve equilibrar a força peso Fztotal mg Logo m Fztotal g 006364 98 000649 kg Logo a massa é aproximadamente 649 g