Introdução à Equação de Bernoulli e Análise de Volume de Controle em Fluidos

Prof Dr Vinícius G S Simionatto FEM Escola Politécnica viniciussimionattopuccampinasedubr Máquinas Hidraulicas A Equação de Bernoulli Introdução É uma das relações mais fundamentais na mecânica dos fluidos entre pressão vazão e desnível entre diferentes seções de um fluxo Há diversas formas de se deduzir a Equação de Bernoulli Desde que as premissas sejam as mesmas os resultados também são os mesmos o que mostra a universalidade desta equação Aplicando as equações que conhecemos em um volume de controle muito pequeno tentaremos relacionar estas grandezas 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 2 Volume de Controle Diferencial 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 3 A análise do volume de controle diferencial permitirá após integração análises para fluidos que estão sob as mesmas linhas de fluxo Note que não há fluxo pelas laterais do volume de controle e as grandezas na entrada e na saída são acrescidas de um termo diferencial Volume de Controle Diferencial 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 4 Iremos aplicar o princípio da conservação da quantidade de movimento e o princípio da conservação da massa Faremos isso pois estamos considerando 1 O volume de controle está em regime não enche não esvazia não acelera 2 Os possíveis ganhos de velocidade e pressão do fluido serão causados apenas pelas forças internas entre as moléculas do fluido 3 Não há atrito entre moléculas de diferentes linhas de fluxo Adicionalmente 4 O fluido é incompressível Volume de Controle Diferencial 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 5 Aplicaremos então o princípio da conservação da quantidade de movimento para volumes de controle em repouso ao longo da linha de fluxo central S 𝐹𝐶𝑠 𝐹𝑆𝑠 𝑡 න 𝑉𝐶 𝑉𝜌 𝑑 න 𝑆𝐶 𝑉𝜌𝑉 𝑑 Ԧ𝐴 VC em regime 0 𝐹𝐶𝑠 𝑃 sin 𝜃 𝑚𝑔 sin 𝜃 𝜌 𝑑 𝑔 sin 𝜃 𝑃 Volume do tronco de cone 𝑉 𝜋ℎ 3 𝑟1 2 𝑟2 2 𝑟1𝑟2 𝑑 𝜋 𝑑𝑠 3 𝑟2 𝑟 𝑑𝑟 2 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 Apenas Volume Diferencial 𝑑 𝜋 𝑑𝑠 3 3𝑟2 3𝑟𝑑𝑟 𝑑𝑟2 𝑑 𝜋 𝑑𝑠 𝑟2 𝐴 𝑑𝑠 𝐹𝐶𝑠 𝜌 𝐴 𝑑𝑠 𝑔 sin 𝜃 𝐹𝐶𝑠 𝜌𝐴𝑔 𝑑𝑧 𝐹𝐶𝑠 𝜌 𝐴 𝑑𝑠 𝑔 𝑑𝑧 𝑑𝑠 Volume de Controle Diferencial 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 6 Aplicaremos então o princípio da conservação da quantidade de movimento para volumes de controle em repouso ao longo da linha de fluxo central S 𝐹𝐶𝑠 𝐹𝑆𝑠 𝑡 න 𝑉𝐶 𝑉𝜌 𝑑 න 𝑆𝐶 𝑉𝜌𝑉 𝑑 Ԧ𝐴 VC em regime 0 𝑃 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝐹𝑆𝑠 𝑝𝐴 𝑝 𝑑𝑝 𝐴 𝑑𝐴 𝑑𝐴𝑝 𝑘 𝑑𝑝 𝐹𝑆𝑠 𝑝𝐴 𝑝𝐴 𝑑𝑝 𝐴 𝑝 𝑑𝐴 𝑑𝑝 𝑑𝐴 𝑑𝐴 𝑝 𝑘 𝑑𝐴 𝑑𝑝 𝐹𝑆𝑠 𝑑𝑝 𝐴 𝑑𝑝 𝑑𝐴1 𝑘 𝐹𝑆𝑠 𝑑𝑝 𝐴 Volume de Controle Diferencial 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 7 Aplicaremos então o princípio da conservação da quantidade de movimento para volumes de controle em repouso ao longo da linha de fluxo central S 𝐹𝐶𝑠 𝐹𝑆𝑠 𝑡 න 𝑉𝐶 𝑉𝜌 𝑑 න 𝑆𝐶 𝑉𝜌𝑉 𝑑 Ԧ𝐴 VC em regime 0 𝑃 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 න 𝑆𝐶 𝑉𝜌𝑉 𝑑 Ԧ𝐴 𝑉𝜌 𝑉𝐴 𝑉 𝑑𝑉 𝜌 𝑉 𝑑𝑉 𝐴 𝑑𝐴 𝑡 න 𝑉𝐶 𝜌𝑑 න 𝑆𝐶 𝜌𝑉 𝑑 Ԧ𝐴 0 0 𝜌𝑉𝐴 𝜌 𝑉 𝑑𝑉 𝐴 𝑑𝐴 0 𝜌 𝑉 𝑑𝑉 𝐴 𝑑𝐴 𝜌𝑉𝐴 න 𝑆𝐶 𝑉𝜌𝑉 𝑑 Ԧ𝐴 𝑉𝜌 𝑉𝐴 𝑉 𝑑𝑉 𝜌𝑉𝐴 න 𝑆𝐶 𝑉𝜌𝑉 𝑑 Ԧ𝐴 𝜌𝑉𝐴 𝑉 𝑑𝑉 𝑉 𝜌𝑉𝐴 𝑑𝑉 Volume de Controle Diferencial 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 8 Aplicaremos então o princípio da conservação da quantidade de movimento para volumes de controle em repouso ao longo da linha de fluxo central S 𝐹𝐶𝑠 𝐹𝑆𝑠 𝑡 න 𝑉𝐶 𝑉𝜌 𝑑 න 𝑆𝐶 𝑉𝜌𝑉 𝑑 Ԧ𝐴 VC em regime 0 𝑃 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝜌𝐴𝑔 𝑑𝑧 𝑑𝑝 𝐴 𝜌𝑉𝐴 𝑑𝑉 𝑔 𝑑𝑧 𝑑𝑝 𝜌 𝑉 𝑑𝑉 0 Volume de Controle Diferencial 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 9 𝑃 𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑔 𝑑𝑧 𝑑𝑝 𝜌 𝑉 𝑑𝑉 0 Basta agora realizarmos a integral desta equação para obter 𝑔 න𝑑𝑧 1 𝜌 න𝑑𝑝 න𝑉 𝑑𝑉 න0 𝑑𝑠 𝑔𝑧 𝑝 𝜌 𝑉2 2 𝐾 constante Equação de Bernoulli Considerações A Eq de Bernoulli só pode ser utilizada se as quatro condições abaixo forem satisfeitas dentro de limites razoáveis de precisão S Fluxo ao longo de uma linha de fluxo Streamline A Sem Atrito ou atrito desprezível I Fluxo Incompressível R Fluxo em Regime permanente 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 10 Conservação de Energia A eq de Bernoulli também pode ser interpretada como um balanço de energia aplicado em um elemento diferencial do fluido 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 11 𝑑𝑚 𝑑𝑚 1 2 Δ𝑧 Energia Cinética 𝐸𝑐 𝑑𝑚 𝑉𝑖 2 2 Energia Potencial Gravitacional 𝐸𝑔 𝑑𝑚 𝑔 𝑧𝑖 Energia Potencial da Pressão 𝐸𝑝 𝑝𝑖 𝑑 𝑝𝑖 𝑑𝑚 𝜌 Energia Mecânica 𝐸 𝐸𝑐 𝐸𝑔 𝐸𝑝 A energia mecânica deve se conservar entre 1 e 2 Portanto 𝑑𝑚 𝑝1 𝜌 𝑑𝑚 𝑉1 2 2 𝑑𝑚 𝑔 𝑧1 𝑑𝑚 𝑝2 𝜌 𝑑𝑚 𝑉2 2 2 𝑑𝑚 𝑔 𝑧2 𝐸 Conservação de Energia Reorganizando a equação podemos encontrar 𝑝1 𝜌 𝑣1 2 2 𝑔𝑧1 𝐸 𝑑𝑚 𝑝2 𝜌 𝑣2 2 2 𝑔𝑧2 Ou seja podemos apresentar a equação na forma 𝑝 𝜌 𝑣2 2 𝑔𝑧 𝐾 constante 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 12 Formas da Equação de Bernoulli A forma que deduzimos por enquanto é 𝑝 𝜌 𝑣2 2 𝑔𝑧 𝐾 𝐸 𝑑𝑚 A grandeza 𝐾 que normalmente não calculamos é dada em energia por unidade de massa Jkg Por isso é chamada de Forma de Energia Energy Form da Equação de Bernoulli 𝑝𝜌 Energia de Pressão 𝑣22 Energia cinética 𝑔𝑧 Energia potencial gravitacional 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 13 Formas da Equação de Bernoulli Dividindo ambos os lados pela aceleração da gravidade teremos 𝑝 𝜌𝑔 𝑣2 2𝑔 𝑧 𝐾 𝑔 𝐾 A grandeza 𝐾 é dada em unidade de comprimento metros e representa um equilíbrio de alturas de coluna de líquido Por isso esta forma se chama Forma de Altura Hidráulica Head Form da Equação de Bernoulli 𝑝𝜌𝑔 Altura Hidráulica de Pressão 𝑣22𝑔 Altura Hidráulica Cinética 𝑧 Altura Hidráulica de Desnível 𝛾 𝜌𝑔 Peso específico do fluido 𝐾 Altura Hidráulica 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 14 Formas da Equação de Bernoulli Multiplicando a Forma de Energia pela densidade podemos obter 𝑝 𝜌 𝑣2 2 𝜌𝑔𝑧 𝜌𝐾 𝐾 A grandeza 𝐾 é dado em unidades de pressão Por isso esta forma é chamada de Forma de Pressão Pressure Form da Equação de Bernoulli Portanto temos 𝑝 Pressão Estática 𝜌𝑣22 Pressão Cinética 𝜌𝑔𝑧 Pressão Hidrostática 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 15 Pressão de Estagnação A pressão que utilizamos na Eq de Bernoulli é uma pressão estática pois é a pressão aplicada no fluido como um todo A pressão de um fluido não varia perpendicularmente às linhas de fluxo Se houvesse variação neste sentido as linhas de fluxo se alterariam Por isso a pressão estática pode ser medida perpendicularmente a um feixe de linhas de fluxo retas 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 16 Pressão de Estagnação A pressão de estagnação é a pressão obtida ao se desacelerar um fluido até o repouso através de um processo sem atrito Se o fluxo for incompressível e sem variação de altura podemos utilizar 𝑝 𝜌 𝑉2 2 constante Desta forma teríamos 𝑝 𝜌 𝑉2 2 𝑝0 𝜌 𝑉0 2 2 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 17 1 0 V0 𝑝 𝑉 𝑝0 𝑉0 0 Assim 𝑝0 𝑝 1 2 𝜌𝑉2 Pressão de Estagnação A pressão de estagnação para fluxo incompressível é dada por 𝑝0 𝑝 1 2 𝜌𝑉2 O termo de pressão 1 2 𝜌𝑉2 é chamado de pressão dinâmica e só se torna de fato uma pressão quando se força a parada do fluido Sabendo as pressões estática e de estagnação é possível estimar a velocidade do fluxo através da fórmula 𝑉 2 𝑝0 𝑝 𝜌 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 18 Tubo de Pitot É um sensor de pressão de estagnação 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 19 Exemplo 1 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 20 Um tubo de Pitot é inserido em um fluxo de ar nas CNTP para a medição da velocidade do fluxo O tubo é inserido de forma a apontar diretamente para o fluxo e a pressão que ele sente é a pressão de estagnação A pressão estática é medida no mesmo local no fluido usando um orifício na parede do tubo Se a diferença de pressão medida é de 30 mmHg determine a velocidade do fluxo Dados g 981 ms² 𝜌𝐻𝑔 13600 𝑘𝑔𝑚3 𝜌𝐴𝑟 123 𝑘𝑔𝑚3 Exemplo 2 Um tubo em U atua como um sifão A curva do tubo está 1m acima do nível do reservatório e a saída 7m abaixo deste nível A água entra no bocal do sifão como um jato livre à pressão atmosférica Determine a velocidade do jato na descarga e a mínima pressão absoluta na curva do sifão 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 21 Exemplo 3 Água flui através de um bocal horizontal sendo descarregada na atmosfera Na entrada do bocal o diâmetro é D1 e em sua saída é D2 Desenvolva uma expressão para a mínima pressão de entrada manométrica no bocal capaz de produzir uma vazão volumétrica Q Depois utilize a sua expressão para D1 762 mm D2 254 mm e Q 00198 m³s 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 22 Obrigado 29042023 viniciussimionattopuccampinasedubr 23