Aplicações da Transformada de Laplace em Projetos e Simuladores

19092023 2240 Ebook APLICACOES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PROJETOS E SIMULADORES Tempo de leitura do conteudo estimado em 1 hora e 41 minutos Introdugdao Ola caroa estudante Neste material vocé compreendera o que é a transformada de Laplace e entendera como aplicala em sistemas lineares determinando a fungao de transferéncia desses sistemas Além disso sera possivel entender o papel dessa importante ferramenta matematica em andalises tomando como exemplo os circuitos elétricos mais especificamente Ademais vocé compreendera como analisar a resposta dos sistemas no dominio da frequéncia e com isso aprendera a utilizar outra importante ferramenta o diagrama de Bode Assim vocé httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 131 19092023 2240 Ebook aprendera como projetar filtros passivos e ativos largamente utilizados em equipamentos e sistemas praticos e como utilizar softwares de simulagao de circuitos A transformada de Laplace é uma das principais ferramentas para a analise de sistemas na pratica permitindo a correlagdéo de um mesmo sistema no dominio do tempo com 0 dominio da frequéncia OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 2010 Assim vocé vera algumas das principais possibilidades de aplicagao considerando especialmente a realidade da engenharia elétrica em relagao aos circuitos elétricos Modelos de elementos de circuitos No caso mais especifico dos circuitos elétricos no dominio da frequéncia dominio s é possivel que muitas andalises sejam facilitadas Também ha a possibilidade de se projetar circuitos no dominio s 0 que ficara mais claro no fim deste material Ademais aqui partese do pressuposto de que os sistemas sao naturalmente lineares ou que podem ser aproximados dessa forma A aplicagao da transformada de Laplace na realidade de circuitos elétricos pode ser resumida em algumas etapas 1 transformagao do circuito no dominio do tempo para o dominio s 2 resoludo do circuito a partir de ferramentas como analise nodal analise de malhas transformagao de fontes superposicao dentre outras técnicas ja largamente utilizadas 3 cdlculo da transformada inversa de Laplace da solucdo obtendose assim a resposta factivel no dominio do tempo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 231 19092023 2240 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 331 Adicionalmente é fundamental ressaltar que se considera sistema qualquer modelo matemático obtido de um dado processo físico real capaz de correlacionar o que é estabelecido para entrada e saída OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 2010 O resistor por exemplo pode ser modelado matematicamente no domínio do tempo por sua relação de tensão e corrente de forma que a seguinte relação é verdadeira 1 Com a transformada de Laplace para esse elemento no domínio s obtémse 2 Para um indutor no domínio do tempo é possível considerar 3 Nesse caso ao se aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados de 3 obtémse 4 Ou 5 O capacitor tem a seguinte relação tensãocorrente no domínio do tempo 6 Ao ser aplicada a transformada de Laplace o resultado é 7 Ou seja 8 Sendo as condições iniciais nulas as tensões no domínio da frequência podem ser obtidas por meio das equações 2 4 e 8 para um resistor um indutor e um capacitor respectivamente como 91 92 93 Sendo a impedância Zs VsIs com condições iniciais nulas as impedâncias referentes a cada um desses elementos são Para saber mais detalhes de como aplicar essa importante ferramenta matemática assista ao vídeo disponível em Fonte Alexander e Sadiku 2013 A S S I S T I R v t Ri t V s RI s v t L dit dt V s L sI s i sLI s Li 0 0 I s 1 V s sL i 0 s i t C dvt dt I s CsV s v sCV s Cv 0 0 V s 1 I s sC v 0 s V s RI s V s sLI s V s 1 I s sC 19092023 2240 Ebook Zs R101 Zs sL 102 1 A seguir apresentaremos mais detalhes sobre os principais passos necessarios para a analise de circuitos nesse contexto o dominio de s e o uso da transformada de Laplace Ainda serao apresentados novos exemplos praticos e a aplicagao das leis basicas de circuitos Andlise de circuitos Para compreender melhor a andlise de circuitos caroa estudante considere o circuito apresentado no infografico a seguir referente a um equipamento real e como esse circuito deve ser analisado para a obtencao da saida Circuito de exemplo Primeiro passo Segundo passo PraCegoVer o infografico apresenta o titulo Andlise de circuitos utilizando a transformada de Laplace Logo abaixo ha trés topicos verticais Ao clicar no primeiro Circuito de exemplo 6 apresentado o texto consideraremos aqui para simplificagao e porque muitas vezes é o que de fato acontece na realidade que as condic6ées iniciais sao nulas Isso possibilita simplificagdes na andlise mais especificamente no processo de transformagao do circuito e significa entao que antes do tempo inicial em 0 segundo nao havia nenhuma condicao importante ou parametro a ser considerado Em seguida contém a imagem de um circuito formado por uma fonte de tensao alternada u det um resistor R1 de 1 ohm em série e um capacitor C1 de um terco Farad também em série sendo que este capacitor esta em paralelo com a série de um resistor R2 de 5 ohms com o indutor L1 de 1 Hery A tensdo de saida é medida no indutor dada por vo de t com polaridade positiva em cima e negativa embaixo Ao clicar no segundo tdpico Primeiro passo é apresentado o texto transformar todos os elementos no dominio da frequéncia como ja mencionado anteriormente Assim para 0 circuito apresentado temse o seguinte resultado o qual pode ser visto na prdéxima figura Nela ja estao evidenciadas também as correntes que serao usadas Apdés isso prosseguese para a andalise do circuito de fato em que sao utilizadas técnicas classicas de circuitos Em seguida 6 apresentada a imagem do mesmo circuito anterior mas com os parametros representados no dominio da frequéncia sendo a fonte 1 sobre s o resistor R1 1 ohm o capacitor C1 3 sobre s 0 resistor R2 5 ohms o indutor L1 s e a tensdo de saida vos v o de s Além disso sao representadas as correntes das malhas formadas i 1 de s na malha 1 e i 2 de s na malha 2 Ao clicar no httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 431 19092023 2240 Ebook terceiro topico Segundo passo 6 apresentado o texto Uma possibilidade para andlise nesse contexto é utilizar a analise de malhas u det é 1 sobre s 1 Henry considerando que a transformagao é s vezes L resulta em s e similarmente 1 sobre 3 Farads considerando que temse 1 sobre s vezes C resulta em 3 sobre s Com relagao a primeira malha temse que 1 sobre s é igual a 1 mais 3 sobre s vezes I1 menos 3 sobre 2 vezes I2 Ao passo que para a segunda malha menos 3 sobre s vezes 1 mais s mais 5 mais 3 sobre s vezes 2 resulta em I1 6 igual a 1 sobre 3 vezes s ao quadrado mais 5 vezes s mais 3 vezes 12 Substituindo a equacao anterior na da malha 1 temse 1 sobre s é igual a 1 mais 3 sobre s vezes 1 sobre 3 vezes Ss ao quadrado mais 5 vezes s mais 3 vezes 12 menos 3 sobre s vezes 2 Nesse ponto algumas manipulagdes matematicas serao necessarias 3 vezes s ao cubo mais 8 vezes s ao quadrado mais 18 vezes s vezes 12 é igual a 3 o que resulta em I2 é igual 3 sobre s ao cubo mais 8 vezes s ao quadrado mais 18 vezes s De forma que por fim ao isolar a tensao de saida obtémse V 0 des é igual a s vezes 12 que é igual a 3 sobre s ao quadrado mais 8 vezes s mais 18 que é igual a raiz quadrada de 3 sobre 2 vezes raiz quadrada de 2 sobre s mais 4 ao quadrado mais raiz quadrada de 2 ao quadrado Agora basta aplicar a transformada inversa de Laplace que para t geq 0 é vo de t é igual a 3 sobre raiz quadrada de 2 vezes exponencial de menos 4 vezes t vezes seno de raiz quadrada de 2 vezes t volts Esse processo apresentado como exemplo é valido para qualquer tipo de andalise de circuito elétrico Em seguida apresentaremos mais detalhes acerca da fungao de transferéncia Fungdo de transferéncia Dentre as varias possibilidades obtidas a partir da fungao de transferéncia uma das mais importantes é demonstrar de forma matematica e analitica como determinado sinal 6 processado a partir do sistema analisado nesse caso a partir do circuito elétrico estudado Assim a fungao de transferéncia Gs 6 a razdo entre a resposta saida do sistema Ys e a excitagdo utilizada na entrada Xs considerando que todas as condigées iniciais s4o nulas ALEXANDER SADIKU 2013 Desse modo matematicamente ha Ys Gs x 1 Ainda considerando o foco especifico de estudo deste material os circuitos elétricos ha Gs Ganho de tensao Vals 121 Vis Is Gs Ganho de corrente ls 122 Vs Gs Impedancia Tay 123 Gs Admitancia dts 124 Vs De maneira geral o numerador genericamente Ns é definido por um polindmio qualquer em termos de s Do mesmo modo o denominador da fungao de transferéncia genericamente Ds é definido a partir de outro polinémio em termos de s httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 531 19092023 2240 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 631 O próximo passo é aprender uma das principais ferramentas para a análise no domínio da frequência incluindo a possibilidade de estudo direto da resposta em frequência o diagrama de Bode Conhecimento Teste seus Conhecimentos Atividade não pontuada Considere que um circuito elétrico linear de determinada indústria foi modelado matematicamente A entrada para estudo é sendo ut o sinal a ser aplicado e a saída correspondente a essa entrada foi equacionada como ambos no domínio do tempo Com base nesse contexto qual é a função de transferência do sistema a b c d e REFLITA O zero é a raiz do polinômio do numerador assim é o valor no qual a função polinomial é zerada Similarmente o polo é a raiz do polinômio do denominador um valor nesse caso no qual a função se zera Fonte Alexander e Sadiku 2013 x t u t et y t 10 cos 2t u t et G s 10 s 2s 5 2 G s 10 s 2s 1 2 s2 G s 10 s 2s 1 2 s 5 2 G s 10 s 2s 1 2 s 2s 5 2 G s 10 s 2s 1 2 s 2s 2 19092023 2240 Ebook A resposta em frequéncia pode ser definida basicamente como a analise do comportamento de determinado sistema em termos de frequéncia mais especificamente em relagdo ao ganho e a velocidade angular por exemplo OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 2010 Nesse sentido apresentaremos mais detalhes sobre como pode ser desenvolvido o diagrama de Bode uma das ferramentas mais utilizadas nesses tipos de analise Diagrama de Bode O diagrama de Bode é uma das principais ferramentas nas analises dos sistemas do dominio da frequéncia por permitir a visualizagao da resposta de forma facilitada Essa ferramenta é formada por dois diagramas um referese a magnitude e outro referese a fase representados em escala logaritmica para a melhor compreensdao pois muitas vezes é necessario visualizar uma extensa faixa de frequéncias algo de por exemplo 1 a 100 kHz 1 A primeira curva logaritmica representa a magnitude mais especificamente a magnitude da resposta em frequéncia do sistema analisado 2 A segunda curva logaritmica representa o comportamento da fase da resposta em frequéncia desse mesmo sistema na escala de radianos por segundo mais frequentemente Além disso geralmente é utilizado um esboco do grafico da resposta de fase a partir de varios segmentos de reta tragados para que em seguida a curva real possa ser obtida de forma aproximada com pequenas correées ja previstas em alguns casos As curvas de logaritmo da magnitude e da fase da resposta em frequéncia de um sistema sao definidas a partir da relagao log w OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 2010 Nesse contexto é preciso considerar matematicamente que a funao de transferéncia de um sistema genérico é desta forma Ksz1s22szn Gs 13 s 8 spsD28Pn 13 A magnitude da resposta em frequéncia nesse contexto genérico é dada por Ks21sz2Iszx G jw So 14 IG sspIsP2sP leo je 14 Nesse sentido conhecendo a magnitude da resposta de cada termo referente a polo e a zero da fungdo ha a magnitude total da resposta NISE 2013 Complementarmente a magnitude em decibéis dada a forma logaritmica é 20 log G jw 20logkK 20logs 21 20log s 22 20log s 20log s p 15 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 731 19092023 2240 Ebook A fase da resposta é obtida calculandose a fase da fungao apresentada anteriormente Para entender melhor caroa estudante considere que se deseja obter o diagrama de Bode para um sistema de produgao que pode ser modelado pela seguinte funao de transferéncia 10s3 G s gs2ss2 Para se obter o diagrama uma sequéncia de acdes pode ser realizada conforme expdem Oppenheim e Willsky 2010 1 substituigdo de s jw e se necessario normalizagao da fungao 2 definicdo dos fatores e das assintotas 3 obtenao das frequéncias de canto 4 tragar as assintotas de Bode baseandose nos fatores que formam a funcao do sistema analisado 5 tragar as curvas aproximadas a partir das assintotas Assim preciso iniciar pela transcrigado da fungao na varidvel complexa Para o exemplo apresentado obtémse G jw 103jw3 1 75jw3 1 J 22 jw jw 2 1jw2 jw2 1 jw jw2 1Gw2 jw2 1 Nesse caso as assintotas de baixa frequéncia que definem por onde as curvas devem ser riscadas sao uma reta Unica de 0 dB tanto para 1 ordem quanto para 2 ordem Além disso com base nessa funao sao definidos os cinco fatores que formam a curva ye 1 1 fl 795 f2 1jw f3 ju3 1 f4 jw21 fd jw 2 jw2 1 Esses fatores sao denominados em ordem crescente para a formacao das assintotas restantes também necessarias Na sequéncia é possivel obter as frequéncias de canto que sao 3 rads 2 rads e 2 rads em relacgao aos fatores trés quatro e cinco mencionados anteriormente Com essas informacées tornase possivel tragar as retas ja mencionadas que guiarao o processo de obtengao das curvas logaritmicas da resposta em frequéncia do sistema em questao Entao de modo geral essas retas recebem o nome de assintotas de Bode ou simplesmente assintotas Para o sistema apresentado as assintotas sdo as presentes na Figura 31 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 831 19092023 2240 Ebook 40 20 je e Sky 20 i Se 40 02 04 06081 v2 2 34 6 810 Figura 31 Assintotas de Bode para a obtenao do diagrama de Bode Fonte Adaptada de Ogata 2070 PraCegoVer a figura apresenta um grafico com eixo x de frequéncia angular em radianos por segundo e no eixo y em decibéis O eixo x vai de 02 até 10 rads e esta em escala logaritmica e 0 eixo y vai de AO a 40 cB Sao tragadas as cinco retas assintotas sendo que a primeira é a reta de 75 e as demais até a ultima partem de O dB e deixam de ser constantes nas frequéncias de canto A reta 2 fica em torno de 1 rads a reta 3 em 3 rad a reta 4 em 2 rads areta 5em 2 rads Comegcando pelas retas da curva de magnitude é possivel notar que dependendo do valor da frequéncia as inclinagdes das retas a partir das frequéncias de canto também sao diferentes Abaixo de 2 rads a inclinagao é de 20 dB por década entre 2 e 2 6 de 60 dBdécada de 2 até 3 rads ha a inclinagaéo maxima 80 dBdécada a partir de 3 rads a inclinagao decai em 20 dB retornando para 60 dBdécada Com as assintotas definidas 6 possivel descobrir qual é de fato a curva de resposta obtendose assim a curva aproximada de magnitude para o sistema usado como exemplo Nesse sentido é valido salientar que o processo das assintotas 6 0 mesmo para a curva logaritmica da fase da resposta em frequéncia A curva aproximada é obtida entao por meio da soma das curvas assintéticas considerandose cada uma das contribuigdes com corregées aproximadas Geralmente para fatores de 1 ordem sugerese uma correcdo de mais ou menos 3 dB nas frequéncias de canto ao passo que se utiliza um decibel acima ou abaixo para as frequéncias que estejam uma oitava acima ou uma oitava abaixo Ainda considerando a magnitude da resposta 0 resultado das curvas exatas é httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 931 19092023 2240 Ebook 40 20 SS 20 Ne 40 02 04 06081 v2 2 3 4 6 810 Figura 32 Curvas exatas e assintotas da magnitude da resposta em frequéncia do sistema de exemplo Fonte Adaptada de Ogata 2010 PraCegoVer a imagem apresenta um grafico com eixo x de frequéncia angular em radianos por segundo e no eixo y em decibéis O eixo x vai de 02 até 10 rads e esta em escala logaritmica e 0 eixo y vai de 40 a 40 dB Sao tragadas as cinco retas assintotas sendo que a primeira 6 a reta de 75e as demais até a Ultima partem de 0 dB e deixam de ser constantes nas frequéncias de canto A reta 2 fica em torno de 1 rads a reta 3 em 3 rad a reta 4 em 2 rads a reta 5 em 2 rads Além dessas retas ha as curvas exatas referentes a cada uma das assintotas em pontilhado considerandose as atenuagées sugeridas nas frequéncias de canto Na Figura 33 6 possivel ver o resultado final ap6s a soma das curvas aproximadas considerando assim as contribuigées individuais com as correcées incluindo a curva logaritmica de fase obtida pelos mesmos processos apresentados httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1031 19092023 2240 Ebook Figura 33 Diagrama de Bode do sistema de exemplo Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer a figura apresenta dois graficos em escala logaritmica com a mesma escala no eixo x de frequéncia em radianos por segundo de 10 até 104 Na parte superior ha a curva de magnitude a qual parte de prdéximo de 10 e cerca de 50 dB Hé um decaimento sutil até um pouco a frente de 1 rads ponto no qual ha o aumento da inclinagao Assim atingese 0 dB até a curva de resposta assumir cerca de 200 dB mais préximo de 104 rads Na parte de baixo ha a curva de fase partindo da mesma frequéncia da magnitude em aproximadamente 100 Mais proximo de 0 e 1 rads o decaimento maior é estabelecido até que na mesma frequéncia da magnitude por volta de 1 rads ha a inversdo do sentido do decaimento fazendo com que seja estabelecido um pouco mais de 250 para a curva de resposta até frequéncias maiores de forma constante A seguir estudante vocé aprendera mais detalhes importantes acerca da aplicabilidade da resposta em frequéncia e de suas ferramentas estudando sobre os circuitos de filtro com filtros passivos filtros com acoplamento magnético e exemplos de filtros ativos O uso dos softwares e de diversas ferramentas computacionais é necessario na simulacdo dos circuitos elétricos e para a obtencao de forma facilitada da resposta em frequéncia por exemplo Uma possibilidade 6 0 uso do software Scilab gratuito e amplamente utilizado que tem tutoriais e féruns além de ter uma forma facilitada da linguagem C Nesse sentido para a obtengdo do diagrama de Bode considere 0 sistema do exemplo apresentado Quais sdo os comandos necessarios para a obtengdo do diagrama de Bode no Scilab httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1131 19092023 2240 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1231 O conceito de ressonância pode ser utilizado em várias áreas da engenharia e da ciência em geral No contexto de circuitos elétricos esse conceito está presente naqueles que usam elementos como indutor e capacitor simultaneamente A ressonância é um fenômeno que possibilita a discriminação de frequências em circuitos de comunicação sendo a condição em um circuito RLC no qual as reatâncias indutiva e capacitiva são iguais em módulo resultando portanto em uma impedância puramente resistiva ALEXANDER SADIKU 2013 p 581 A seguir serão apresentados os circuitos ressonantes em série Circuitos ressonantes em série Um exemplo do circuito ressonante em série está presente na Figura 34 e já está representado no domínio da frequência A frequência de ressonância é o valor de frequência que zerará a componente imaginária da impedância como descrito adiante Ressonância Os Os circuitos ressonantes circuitos ressonantes podem ser divididos podem ser divididos em dois tipos principais de acordo com a em dois tipos principais de acordo com a disposição dos elementos utilizados circuitos disposição dos elementos utilizados circuitos ressonantes em série e circuitos ressonantes ressonantes em série e circuitos ressonantes em paralelo em paralelo ω0 19092023 2240 Ebook R jwe vv 22 1 i jwe Figura 34 Exemplo de circuito ressonante em série Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito em série formado por uma fonte de tensao em corrente alternada V Vin9 um resistor de resisténcia R um indutor de indutancia 7wL um capacitor de capacitancia 1jwC A corrente estabelecida na malha é Assim a impedancia é ZG jw VsI R jwL 1jwC R 7 wL 1wC 16 A frequéncia de ressonancia é definida tal que a seguinte relagao é verdadeira ee ImZ wh 017 Desse modo wo 1LC rads A resposta de frequéncia da amplitude da corrente do circuito é Vin Tl Tesarmaey 8 A maior poténcia dissipada pelo circuito é definida como v2 De modo similar em frequéncias intermedidrias w we de meia poténcia ha V2 P a1 P wo Z 19 Essas frequéncias sao obtidas a partir da impedancia R2 wi R2L st 1LC 201 2 w R2L 4 1LC 202 A largura de banda é definida por B RL 21 Por fim é necessario salientar que ha uma razdo predefinida um fator de qualidade Q que se refere a razdo entre a frequéncia ressonante e a largura de banda de forma que httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1331 19092023 2240 Ebook wf 1 Q R woCR 22 Circuitos ressonantes em paralelo De forma similar ao circuito apresentado anteriormente existe outro circuito ressonante com os elementos dispostos em paralelo como apresenta a Figura 35 oS 1 1 22 3 jw Figura 35 Exemplo de circuito ressonante em paralelo Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito em paralelo formado por uma fonte de corrente alternada Im9 um resistor de resisténcia R um indutor de indutancia 7wL um capacitor de capacitancia 1jwC A tensao estabelecida 6 medida em R com positivo em cima e negativo embaixo denominada VI A admitancia é obtida de forma similar ao circuito ressonante em série resultando em 1 1 Y4t35 we 3 Além disso a frequéncia ressonante é wo 1VLC rads 24 As frequéncias intermedidarias sao wi 12RC 44 1LC 251 2RC 12 Por fim nesse caso o fator de qualidade é Q RwoL 26 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1431 19092023 2240 Ebook Diversos componentes elétricos e eletr6nicos podem ser combinados para a obtengao de circuitos que permitem a filtragem de frequéncias seja em determinada faixa de interesse rejeitandose uma frequéncia especifica seja filtrando abaixo ou acima de determinada frequéncia desejada Nesse sentido agora apresentaremos mais detalhes sobre os principais tipos de filtros passivos classificados de acordo com a forma como fazem a filtragem de determinado sinal Filtro passabaixas Um circuito RC formado por um resistor e um capacitor é 0 tipo mais elementar de filtro passa baixas cuja resposta em frequéncia e circuito pode ser vista na figura a seguir Essa figura também compara 0 comportamento ideal com o real sendo a frequéncia de corte demonstrando que a faixa de frequéncias estara definida até a frequéncia de corte httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1531 19092023 2240 Ebook R 1H v t Cc vt rec 0707 ee 0 w w Figura 36 Filtro passabaixas e sua resposta em frequéncia ideal e real Fonte Adaptada de Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta no lado esquerdo o circuito formado por uma fonte de corrente alternada definida por vit um resistor R e um capacitor C de saida vot e positivo em cima e negativo embaixo No lado direito ha as respostas em frequéncia com a frequéncia angular no eixo xea magnitude no eixo y A curva ideal mostra uma resposta constante com 1 de magnitude de 0 atéa frequéncia de corte w e a real parte de 1 na magnitude em 0 rads e a resposta decai de forma suave inclusive apos We Passando 0 circuito para o dominio s e definindose matematicamente a relagao entradasaida pela fungao de transferéncia ha Vv Ajo 1 G jw Reto Tejore 27 Note que G0 1 ao passo que Goo 0 Em meia poténcia definese outro valor de interesse de w que é a frequéncia de corte w G jwe as 5 28 Jwe VluRC v2 28 Ou seja We 1RC 29 Outro circuito possivel para a implementagao de um filtro passabaixas um RL formado por um indutor e um resistor com a saida medida no resistor desse circuito Filtro passaaltas O filtro passaaltas 6 bastante semelhante ao filtro passabaixas entretanto agora desejase um circuito elétrico também do tipo RC que permita a passagem de frequéncias acima de um valor limite definido por w O circuito mais simples que permite essa passagem e as respostas em frequéncia ideal e real de um filtro passaaltas tipico esta presente na figura a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1631 19092023 2240 Ebook f 1HWwl c WJ 1 v t RS Vt 0707 oO wy w Figura 37 Circuito do filtro passaaltas e resposta em frequéncia ideal e real Fonte Adaptada de Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta no lado esquerdo o circuito elétrico formado por uma fonte de tensdo em corrente alternada vit um capacitor de capacitancia C e um resistor de resisténcia R em série A saida é medida no resistor por vot com polaridade positiva em cima e negativa embaixo No lado direito ha as respostas em frequéncia ideal e real em um grafico com frequéncia angular no eixo x e magnitude no eixo y Aresposta ideal mostra que a magnitude sera 1 indefinidamente a partir da frequéncia de corte wc ao passo que a real mostra que essa transicdo nao ocorre de forma automatica Na frequéncia de corte a magnitude é de cerca de 0707 Matematicamente a funcao de transferéncia é Vis R jwRC G jw Vis Riifo Tqwre Note que G0 Gco 1 e é possivel perceber com facilidade que no contexto a frequéncia de corte é definida por We 1RC 31 Ademais assim como no filtro passabaixas esse tipo de circuito pode ser obtido por circuitos simples como um circuito RL mas nesse caso a saida devera ser obtida a partir do indutor utilizado Filtro passafaixa Um circuito em série ressonante formado por um resistor um indutor e um capacitor sendo assim um circuito RLC permite a implementacgao de um filtro passafaixa que delimita a faixa de frequéncias permitida a partir de duas frequéncias de corte como mostra a Figura 38 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1731 19092023 2240 Ebook L Cc 1 Hwl LD a o ozo YK Vj R Vo 0 w Wo w w Figura 38 Circuito de um filtro passafaixa e respostas em frequéncia ideal e real Fonte Adaptada de Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a figura mostra no lado esquerdo o circuito elétrico formado por uma fonte de tensao em corrente alternada vit em série com um indutor de indutancia L um capacitor de capacitancia C um resistor de resisténcia R A saida é medida no resistor dada por vot e ha polaridade positiva em cima e negativa na parte de baixo No lado direito ha as respostas em frequéncia com a frequéncia angular no eixo x do grafico e a magnitude no eixo y A resposta ideal mostra que a magnitude é 1 de w1 até w2e a real mostra que ha uma atenuacao nessas frequéncias Nesses pontos especificamente a magnitude é 0707 A fungao de transferéncia é dada por Voljw R G jw Vig Rejtel 1a0 82 Além disso percebese que G0 Gco 0 sendo a frequéncia central wo entre w1 e we dada por wo 1VLC 33 Tratase portanto de um filtro de banda estreita com frequéncia central especifica PERTENCE JUNIOR 2015 E importante ressaltar que um filtro desse tipo também pode ser formado apenas por circuitos RC fazendo a associagado em cascata de um filtro passabaixas w2 w na entrada de um filtro passaaltas Ww w Esse 6 um tipo de filtro denominado filtro de banda larga Filtro rejeitafaixa Um circuito RLC também pode permitir outro arranjo de filtro conhecido como filtro rejeitafaixa ou filtro notch com a saida medida entre o capacitor e o indutor de forma que a rejeigao ocorrera com base na frequéncia central como mostra a figura a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1831 19092023 2240 Ebook R HwL a 1 SJ V4 t volt 0707 cecccccccccoeed L 0 Ww Wo W Ww Figura 39 Circuito de um filtro rejeitafaixa e suas respostas em frequéncia ideal e real Fonte Adaptada de Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a figura mostra no lado esquerdo 0 circuito em série de uma fonte de tensao em corrente alternada vit um resistor de resisténcia R um capacitor de capacitancia C um indutor de indutancia L A saida é medida do capacitor ao indutor sendo a polaridade positiva em cima e negativa embaixo e representada por vot No lado direito ha as respostas em frequéncia com a frequéncia angular no eixo x e a magnitude no eixo y com a resposta ideal com a magnitude 1 de 0 até w1 em 0 de w1 até w2 eem 1 novamente a partir de w2 ao passo que a resposta real mostra que ha uma transigao com a magnitude de 0707 nas frequéncias w1 e w2 A fungao de transferéncia no contexto é Viljw jwL 1wC G jw Viljo Rjel1c 34 Ademais G0 Goo 1e a frequéncia central é Wo 1V LC 35 Por fim esse filtro e os outros mencionados até aqui podem ser implementados com circuitos semelhantes inclusive mais complexos dependendo das exigéncias do sistema eou do processo de filtragem Uma possibilidade é a utilizagao de elementos ativos como ficara mais claro adiante Atividade ndo pontuada Considere que um filtro rejeitafaixa deve rejeitar um ruido caracterizado por uma senoide de 200 Hz permitindo ainda uma largura de banda de 100 Hz Para o projeto desse filtro é possivel estabelecer valores de componentes ja disponiveis No contexto utilizase um resistor de 150 ohms Quais podem ser os valores de L e C httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1931 19092023 2240 Ebook OaL4HeC2 uF ObL24HeC25 uF OcL04HeC65 pF O dL024HeC265 pF OeL02HeC2 yF Agora discutiremos os filtros ativos divididos de acordo com a forma de filtragem Depois apresentaremos uma visdo geral do projeto desses tipos importantes de circuitos elétricos Ademais como exemplo consideramos os filtros de 14 ordem utilizando assim somente um circuito RC ou RLC para a comparacao com os filtros passivos A principal diferenca entre um filtro ativo e um passivo é a presenca do amplificador operacional um elemento ativo PERTENCE JUNIOR 2015 Filtro passabaixas O circuito presente na Figura 310 relativamente simples contém um exemplo genérico de filtro passabaixas de 12 ordem mostrando assim o uso do filtro RC combinado com um amplificador similar httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2031 19092023 2240 Ebook Ry Cf Rj O Vi Vo O O Figura 310 Exemplo de filtro passabaixas Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo representada por Vi Em seguida ha o resistor de entrada Ri conectado ao terminal negativo do amplificador O terminal positivo do amplificador esta conectado no negativo da entrada e o resistor de feedback Rf esta conectado em paralelo com um capacitor Cf entre a entrada negativa do amplificador e a saida dele A tensao de sajda é Vo polaridade positiva em cima e negativa embaixo A fungao de transferéncia do circuito apresentado de forma similar ao processo feito para o filtro passabaixas é Ry G jw Ri1 jwCRy 36 Nesse contexto a frequéncia de corte é wo z 37 RyCy Filtro passaaltas O circuito presente na Figura 311 representa uma das possibilidades de implementagao de um filtro ativo passaaltas de 17 ordem Devido a forma como o amplificador esta conectado ha um amplificador inversor httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2131 19092023 2240 Ebook Rr R Ci Vi Vo Figura 311 Exemplo de filtro passaaltas Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo representada por Vi Em seguida ha o resistor de entrada Ri e o capacitor Ci conectados ao terminal negativo do amplificador O terminal positivo do amplificador esta conectado no negativo da entrada e o resistor de feedback Rf esta conectado entre a entrada negativa do amplificador e a Saida dele A tensdo de sajda é Vo polaridade positiva em cima e negativa embaixo A fungao de transferéncia é Ry jwCiRy G jw Ri 1jwC 1 jwOiR 38 De forma similar possivel obter a frequéncia de corte em termos de parametros do circuito algo fundamental para o projeto do filtro Assim wo a 39 0 RC Filtro passafaixas Como mencionado anteriormente um filtro passafaixas é obtido a partir da combinagao de filtros passabaixas e passaaltas Além disso nesse caso é possivel inserir um circuito inversor de forma que a inversao do sinal nao ocorra devido a combinagao resultante dos circuitos com amplificadores O resultado pode ser visto no modelo apresentado na Figura 312 um filtro ativo de trés estagios httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2231 19092023 2240 Ebook Ro x Ry R Pw Gr p SL Vi Vo Vi Estagio 1 Estagio 2 Estagio 3 Filtro passabaixas Filtro passabaixas Um inversor para ajustado em WwW ajustado em W4 proporcionar ganho Figura 312 Exemplo de filtro passafaixas Fonte Alexander e Sadiku 2013Fonte VG Educacional PraCegoVer a imagem apresenta um circuito de um filtro passafaixas formado por trés circuitos ativos distinguidos por trés estagios No estagio 1 ha um filtro passabaixas ajustado em w2 com circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo representada por Vi Em seguida ha o resistor de entrada R conectado ao terminal negativo do amplificador O terminal positivo do amplificador esta conectado no negativo da entrada e o resistor de feedback R esta conectado em paralelo com um capacitor C1 entre a entrada negativa do amplificador e a saida dele A tensdo de saida é aplicada a entrada do estagio 2 um filtro passaaltas ajustado em w1 na entrada com a série de um resistor R e um capacitor C2 O terminal positivo do amplificador esta conectado ao negativo da entrada e aterrado sendo que ha um resistor de realimentaao R conectado entre C2 e a saida do filtro para a entrada do estagio 3 com um inversor para proporcionar ganho Esse circuito é formado por Ri na entrada associado ao terminal negativo do amplificador O terminal positivo esta conectado ao negativo da fonte de entrada e ha um resistor de realimentagao Rf conectado com Ri e com a saida determinada pela tensao Vo com polaridade positiva em cima e negativa embaixo A fungao de transferéncia é dada por Ry 1 jwCoR G jw BR 1 jwOiR 1 jwOoR 40 As frequéncias de corte sao wy 1RC 411 we 1RC 412 A frequéncia central é resultado da raiz wp w1W2 Filtro rejeitafaixa De forma similar ao filtro anterior o filtro rejeitafaixa pode ser desenvolvido a partir da associagao de filtros passabaixa e passaalta mas em paralelo e contando com um circuito amplificador somador para efetivar a operagao O resultado disso pode ser visto no circuito da Figura 313 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2331 19092023 2240 Ebook R i R oO R R re G S Vi Vo Figura 313 Exemplo de filtro rejeitafaixa Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito com entrada dada por Vi polaridade positiva em cima e negativa embaixo Em seguida na parte de cima ha 0 circuito de um filtro passabaixas igual ao usado no filtro passafaixas com a adicao do resistor Ri na saida desse filtro Embaixo da entrada em paralelo com o filtro passabaixas ha 0 filtro passaaltas igual ao descrito para o filtro passafaixas com o resistor Ri na saida também Através dos resistores Ri as saidas dos filtros passabaixas e passaaltas estao conectadas em um ultimo amplificador operacional no terminal negativo sendo que o terminal positivo esta conectado ao negativo da entrada Ainda ha um resistor de feedback Rf conectando o terminal negativo do amplificador operacional com a saida formando a saida Vo com positivo em cima e negativo embaixo A fungao de transferéncia correspondente é Ry 1 jwCoR G jw OR 1 jwOiR ear 42 As frequéncias w e w2 sao as mesmas definidas em 411 e 412 assim como a frequéncia central Projeto de filtros ativos Dentre os varios recursos disponiveis a resposta em frequéncia é fundamental para o projeto de filtros em geral como ja ficou claro nos filtros passivos Isso se repete para os filtros ativos e uma possibilidade nesse caso 6 o uso do diagrama de Bode Para saber mais detalhes acerca desse assunto caroa estudante vocé pode ler a obra Engenharia de sistemas de controle de Norman S Nise 2013 mais especificamente das paginas 918 a 920 relacionadas a obten4o de circuitos de filtros ativos a partir da funao de transferéncia httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2431 19092023 2240 Ebook Em varios equipamentos utilizase um filtro ativo do tipo passabaixas para restringir ruidos que podem estar presentes em frequéncias acima da faixa de frequéncia de interesse Dessa forma considere que no equipamento em questdo 6 necessario um ganho de 4 e as frequéncias acima de 500 Hz nao sdo de interesse Com base nesse contexto projete um filtro com as caracteristicas apresentadas supondo ainda que ha um capacitor de 01 uF Por fim apresentaremos uma visdo geral do uso de softwares e ferramentas computacionais na simulagao de circuitos elétricos considerando o Multisim em sua plataforma online O acesso é feito pela internet pelo site da empresa no qual é possivel realizar um cadastro ou fazer o download de uma verséo mais completa paga Na opao gratuita a plataforma inicial de trabalho permite a selegao dos componentes desde elementos passivos como resistores indutores e capacitores até a insergao de elementos eletr6énicos e ativos como amplificadores operacionais A simulagao é facilmente acessada pelo lado direito permitindo a selegao do tempo de analise e o uso de elementos de medicao como amperimetros voltimetros e até mesmo um osciloscépio para a visualizagao de formas de onda de entrada e saida por exemplo Além dessa ferramenta existem diversas outras possibilidades como o LTSpice as versdes mais antigas do PSIM e outras ferramentas gratuitas de circuitos eletrénicos Ainda é possivel utilizar o Simulink por meio do MATLAB e o Scilab que é gratuito similar ao MATLAB e inclui a possibilidade de se obter facilmente o diagrama de Bode por exemplo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2531 19092023 2240 Ebook No caso especifico do MATLAB mediante um algoritmo simples a partir da fungao de transferéncia do circuito por exemplo é possivel obter o diagrama de Bode completo Ademais ferramentas como o Simulink parte desse importante software podem ser utilizadas para a simulagao completa do circuito elétrico em si httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2631 19092023 2240 Ebook Material LIVRO Sinais e sistemas uma introdugdo Felipe Gabriel de Mello Elias Editora Intersaberes ISBN 9788522701810 Comentario No livro de sinais e sistemas na segao 56 mais especificamente sao apresentados mais detalhes acerca da analise da regido de convergéncia da transformada de Laplace de forma bastante clara e com alguns exemplos LIVRO Controle essencial Paulo Alvaro Maya e Fabrizio Leonardi Editora Pearson ISBN 9788576057000 Comentario Esse livro de sinais e sistemas é mais dedicado ao estudo da area de controle Na obra sao tratados diversos recursos importantes de modelagem matematica incluindo aspectos mais especificos da funao de transferéncia no capitulo 4 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2731 19092023 2240 Ebook WEB rs Simulagées de circuitos RLC com MATLABSimulink mn e PSIM c a ea Ano 2018 f 4 a Comentario Para saber como é possivel utilizar ferramentas como o i MATLAB mais especificamente por meio do Simulink e do PSIM na S simulagao de circuitos com resistores capacitores e indutores assista ao video disponivel em ACESSAR WEB r Simulagées de circuitos RLC com MATLABSimulink Oj e PSIM c aS ad Ano 2018 A 4 2 Comentario Para saber como é possivel utilizar ferramentas como o i GREED P MATLAB na obtengao do diagrama de Bode e para ver uma introdugao a 4 essa importante ferramenta matematica da andlise de circuitos praticos como os filtros assista ao video disponivel em ACESSAR httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2831 19092023 2240 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2931 19092023 2240 Ebook Conclusao Neste material apresentamos detalhes praticos de duas ferramentas fundamentais a transformada de Laplace e o diagrama de Bode A transformada de Laplace é uma ferramenta facilitadora para a analise de circuitos elétricos que com o diagrama de Bode permite a andlise desses circuitos no dominio da frequéncia Ha ainda a possibilidade de projetar circuitos praticos importantes como os filtros passivos e os ativos utilizados em diversos tipos de equipamentos e dispositivos nos sistemas industriais em geral e até mesmo em elementos do cotidiano Por fim 6 importante salientar que a utilizagao de softwares e ferramentas computacionais para 0 desenvolvimento e os testes de equipamentos e circuitos faz parte da atuado doa engenheiroa Referéncias co 5 ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de x circuitos elétricos 5 ed Porto Alegre Bookman 2013 DIAGRAMA de Bode parte 1S s n 2018 1 video 20 min 59 s Publicado pelo canal Luis Antonio Aguirre Disponivel em httpswwwyoutubecomwatchv5SJ bj758P0 Acesso em 8 jul 2021 ELIAS F G M Sinais e sistemas uma introducdo Curitiba Intersaberes Biblioteca ELIAS F G M Sinais e sistemas uma introducdo Curitiba Intersaberes Biblioteca ME SALVA LAPO1 Introdugao a transformada de Laplace S s n 2014 1 video 8 min 42 s Publicado pelo canal Me salva ENEM 2021 Disponivel em httpswwwyoutubecomwatch vGrRWAOgF2p0 Acesso em 6 jul 2021 NISE N S Engenharia de sistemas de controle 6 ed Sao Paulo LTC 2013 ELIAS F G M Sinais e sistemas uma introducdo Curitiba Intersaberes Biblioteca ELIAS F G M Sinais e sistemas uma introducdo Curitiba Intersaberes Biblioteca PERTENCE JUNIOR A Amplificadores operacionais e filtros ativos8 Porto Alegre Bookman Editora 2015 SIMULAGOES de Circuito RLC com MatlabSimulink e Psim S s n 2018 1 video 8 min 34 s Publicado pelo canal Eng Luis Cesar Emanuelli Disponivel em httpswwwyoutubecomwatch viE1HIVbOkhw Acesso em 8 jul 2021 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3031 19092023 2240 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3131