Ebook sobre Sinais e Sistemas: Quadripolos e Séries de Fourier

19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 141 Introdução SINAIS E SISTEMAS SINAIS E SISTEMAS QUADRIPOLOS E SÉRIES DE FOURIER QUADRIPOLOS E SÉRIES DE FOURIER Autora Ma Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues Revisor Me Giancarlo Michelino Gaeta Lopes Tempo de leitura do conteúdo estimado em xxx minutos 19092023 2243 Ebook Ola estudante Tudo bem Chegamos a Ultima parte da disciplina na qual estudaremos mais detalhes acerca de dois importantes topicos o modelo de quadripolos e as séries de Fourier Sobre os quadripolos analisaremos detalhes para calcular os parametros de impedancia e de admitancia e em seguida os possiveis circuitos equivalentes e as principais questOes acerca da conversao de parametros no contexto Ja com relagao as séries de Fourier entenderemos toda a teoria por tras das séries do tipo exponencial e trigonométrica bem como sobre o espectro de frequéncia Por fim teremos condicdes suficientes de entender a aplicagao da teoria a situagdes praticas a partir de processos como a obtengao da resposta em regime estacionario A analise a partir do uso de quadripolos ou modelo de quadripolos surge da necessidade e também da conveniéncia de focar em dois pares terminais seja de um dado circuito elétrico ou equipamento por exemplo que possuem em comum o fato de terem uma Unica porta de entrada e uma Unica de saida Tais estratégias sao uteis em circuitos caixa preta nos quais nao se tem conhecimento ao certo de quest6es acerca do funcionamento e permitem assim caracterizar um circuito desconhecido Comecaremos pelas equacées terminais a serem definidas considerando a ideia basica de um quadripolo uma porta de entrada 0 circuito ao meio e uma porta de saida como mostra a figura adiante além das correntes e sentidos ja estabelecidos Ainda do outro lado ha a representagao em termos do dominio da frequéncia e definemse as tensdes terminais e correntes terminais a partir da nodo de simetria onde a corrente entra no terminal da parte httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 241 19092023 2243 Ebook superior da porta de entrada e sai pelo outro lado onde a tensdo é mais baixa Além disso sobre esse ponto inicial ressaltase que a descriao dos quadripolos é realizada no dominio da frequéncia e no caso de quadripolos puramente resistivos temse um circuito resistivo NILSSON RIEDEL 2016 q L a 6 Porta de Porta Vv Circuito Vv entrada 2 de saida ID d i i 1 2 I I l 2 Circuito V no dominio V da frequéncia Figura 41 Quadripolo e representacao no dominio da frequéncia Fonte Adaptada de Nilsson e Riedel 2016 PraCegoVer do lado de cima da figura temse dois terminais a e b através dos quais se tem a entrada da corrente i1 e a saida de i1 respectivamente Esses terminais sao denominados como porta de entrada e ha também a tensdo v1 com positivo na parte de cima e negativo em baixo No meio témse 0 circuito e do outro lado os terminais c e d denominados como porta de saida e com tensao v2 entre estes com positivo em cima e negativo em baixo sendo que ainda a corrente i2 entraemce sai em d Do lado de baixo da figura temse o mesmo circuito no dominio da frequéncia com 1 entrando e tensao V1 os dizeres circuito no dominio da frequéncia ao meio e do outro lado a corrente I2 entrando e a tensao V2 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 341 19092023 2243 Ebook A partir de agora veremos detalhes acerca de algumas matrizes importantes as matrizes admitancia impedancia hibridas e de transmissao bem como as relagoes entre elas Matrizes admitdncia e impedancia Iniciando pela matriz admitancia temse uma ferramenta para expressao das correntes do quadripolo em funcgao das tensdes o que demonstra essa correlagao ja mencionada entre as grandezas nesses tipos de modelos Assim temse I YV Sendo as tensdes V1 e V2 e correntes I1 e 12 Considerando como exemplo um circuito de duas entradas e duas saidas temos 1 1 I eVa I Vy A matriz admitancia Y é Yn Yo Y Yo Yoo Além disso as relagdes vistas podem ser expressas em forma de equacao de maneira que q q LVyV Y Tlpant Yo HaTlre 1 Wi 4122 i y V0 712 7 V0 y 0 y 0 ne 21 y0 22 y70 Onde Y11 é a admitancia de entrada do quadripolo quando a saida esta em curtocircuito e Y12 é a transadmitancia inversa na saida em curto Mais ainda Y21 e Y22 sao a transadmitancia httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 441 19092023 2243 Ebook direta com a saida em curto e a admitancia de saida com entrada em curto respectivamente BURIAN JUNIOR LYRA 2006 A matriz impedancia é definida a partir do inverso feito de forma que consideramos como base a relagao V ZI Alem disso em termos de equagoes temse que Vy Vy Vy Vy 2 7 y0 59 7 0 251 7 y0 eZ 7 10 Sendo que Z representa a impedancia de entrada de circuito aberto Z a impedancia de transferéncia de circuito aberto da porta 1 para a 2 Z a impedancia de transferéncia de circuito aberto da porta 2 para a 1 e Z a impedancia de saida de circuito aberto e 6 e e Matrizes hibrida e de transmissao A matriz hibrida sera no caso de dois terminais de exemplo anterior em termos da impedancia da entrada com a saida em curto H11 o ganho de tensao inversa com entrada em aberto H12 0 ganho em corrente direta com saida em curto H22 e a admitancia de saida com entrada aberta H21 permitindo assim considerar tensdo de entrada e corrente de saida varidveis independentes BURIAN JUNIOR LYRA 2006 Matematicamente temse 1 Ty I Vy Ou ainda na forma de equagao Vy Vy L I Ay 7 v0 A y 10 A21 7 v0 Ay 71 10 Por fim é importante saber que existe a possibilidade de utilizar uma matriz de transmissao para fungao das variaveis de saida tal que no exemplo temse 1 V3 hy Ou ainda na forma A rl D httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 541 19092023 2243 Ebook Relacées entre as matrizes dos quadripolos SF Mai Tasses eTHAMMCRUOSIMRAE CoMEMMONestaMasseMraoe A An B Bos Se guns a D b Uma nolo de como iso ocarevjao exempla na imagem a seguir em que temos dos crcltos equNalemtesentres 2 4 2 R he Bs Ro PraCegoVer 0 infografico estatico apresenta 0 titulo Relagdes entre as matrizes dos quadripolos e logo abaixo ha o seguinte texto O processo de conversao de parametros também pode ser facilitado fazendo com que os elementos da matriz de transmissao sejam expressos em termos de admitancia conforme mostram as seguintes relagdes Na sequéncia apresenta as equacoes A B Ce D A pode ser descrita como menos a admitancia 2 e 2 sobre a admitancia 2 e 1 Bé menos 1 sobre a admitancia 2 e 1 C 6 igual a menos a admitancia 1 e 1 vezes a admitancia 2 e 2 menos a admitancia 1 e2 vezes a admitancia 2 e 1 sobre a admitancia 2 e 1 D 6 igual a menos a admitancia 1 e 1 sobre a admitancia 2 e 1 Abaixo das equacées o infografico apresenta o seguinte texto Os quadripolos podem ser equivalentes dadas as relagdes de impedanciaadmitancia por exemplo Assim para que vocé possa ter uma nogao de como isso ocorre veja o exemplo na imagem a seguir em que temos dois circuitos equivalentes entre si Na sequéncia apresenta duas figuras em que temse dois quadripolos No primeiro mais a esquerda temse o terminal 1 associado a um resistor R1 que esta conectado também a outros dois os resistores R2 e R3 O terminal 2 esta associado a outro terminal R2 e o terminal restante de R3 possui dois terminais sem identificagao No quadripolo do lado direito temse o terminal 1 associado a dois resistores conectados R12 e R31 e o terminal 2 esta associado a outro terminal de R12 e a um dos terminais de outro resistor o R23 que possui ainda um outro terminal conectado a R12 O quadripolo da figura anterior é valido caso as seguintes condides sejam satisfeitas RyR3 RyRy Ry3R3 AL Rae Ry Ry 82 Rat Ry Ry 3 Ry Ry Ry Circuitos equivalentes Por fim nesta parte é importante ter em mente a equivaléncia acerca das definicdes vistas com O circuito real Considerando assim inicialmente a determinagao do circuito equivalente a partir dos parametros de admitancia temse que sendo um circuito de duas portas somente com fontes independentes linear por exemplo as admitancias de transferéncia serao iguais ou seja Yin Voy httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 641 19092023 2243 Ebook Nesse caso dizse que as duas portas sao reciprocas e isso implica que caso os pontos de excitagdo e de resposta sejam trocados entre si as impedancias de transferéncia se mantém ALEXANDER SADIKU 2013 No caso reciproco temse o seguinte circuito equivalente apresentado lado esquerdo da proxima figura também chamado de modelo II Caso 0 circuito nao seja desse tipo temse um modelo mais generalizado que pode ser visto pelo circuito do lado direito pelo outro circuito equivalente apresentado httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 741 19092023 2243 Ebook I L V V I O O V ir i i VPP V 1 2 Figura 42 Circuito equivalente IJ e seu modelo analogo equivalente geral Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer na parte de cima da figura tmse 0 circuito equivalente formado pela tensao V1 com positivo em cima e negativo em baixo a corrente 11 que entra pelo terminal superior e em paralelo a admitancia y11 y12 em série com y12 e em paralelo com y22 y12 sendo que ainda a corrente 2 entra pelo terminal de cima da ultima admitancia com tensao V2 com positivo em cima e negativo em baixo Na parte de baixo da imagem témse 0 circuito equivalente geral com tensao V1 na entrada com positivo em cima e negativo em baixo corrente 11 entrando no terminal superior e admitancia y11 em paralelo com a fonte dependente y12V2 Em seguida temse conectado pelo terminal inferior o paralelo entre a fonte dependente y21V1 e a admitancia y22 A tensao V2 esta nessa admitancia com positivo em cima e negativo embaixo e a corrente I2 entra no terminal superiorlado esquerdo témse o circuito equivalente nm formado pela tensao V1 com positivo em cima e negativo em baixo a corrente I1 que entra pelo terminal superior e em paralelo a admitancia y11 y12 em série com y12 e em paralelo com y22 y12 sendo que ainda a corrente I2 entra pelo terminal de cima da ultima admitancia com tensao V2 com positivo em cima e negativo em baixo No lado direito teémse o circuito equivalente geral com tensao V1 na entrada com positivo em cima e negativo em baixo corrente 11 entrando no terminal superior e admitancia y11 em paralelo com a fonte dependente y12V2 Em seguida temse conectado pelo terminal inferior o paralelo entre a fonte dependente y21V1 e a admitancia y22 A tensao V2 esta nessa admitancia com positivo em cima e negativo embaixo ea corrente I2 entra no terminal superior httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 841 19092023 2243 Ebook Com relagao as impedancias temse a mesma relagao de reciprocidade Entretanto nesse caso estabelecese que as impedancias de transferéncia sao iguais tal que 22 491 O circuito reciproco é denominado como equivalente T e o modelo mais generalizado é visto ao lado também na proxima figura I L V V L L ne V Zal5 Zn F V Figura 43 Circuito equivalente T e modelo geral Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer na parte de cima da imagem temse 0 modelo T com a tensao V1 de entrada e positivo em cima e negativo em baixo com a corrente I1 entrando na impedancia Z11 Z12 em paralelo com Z12 e em série com Z22 Z12 Além disso a corrente I2 esta entrando nessa ultima impedancia ea tensao de saida V2 é estabelecida com positivo em cima e negativo em baixo Na parte de baixo da imagem témse o modelo geral com tensao de entrada V1 com positivo em cima e negativo embaixo corrente I1 entrando em impedancia Z11 que esta em série com a fonte dependente z12I12 Conectada pelo terminal inferior temse outra fonte dependente Z2111 em série com a impedancia Z22 através da qual entra a corrente I2 A tensao de saida é V2 com positivo em cima e negativo no terminal de baixo Sendo um circuito de duas portas formado somente por resistores e elementos como indutores e capacitores por exemplo temse um circuito reciproco em muitos casos httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 941 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1041 Conhecimento Teste seus Conhecimentos Atividade não pontuada Suponha que em um dado circuito obtémse o modelo de quadripolos e este modelo resulta a partir de parâmetros de admitância na corrente 1 I1 Y11V1 Y12V2 e na corrente 2 I2 Y21V1 Y22V2 Com algumas manipulações é possível obter uma relação para a tensão no terminal 1 Qual seria essa tensão a V1 Y12 Y21V2 1 Y21I2 b V1 Y22 Y21V2 1 Y21I2 c V1 Y22 Y21V2 1 Y21I2 d V1 Y22 Y21V2 1 Y21I2 e V1 Y22 Y21V2 1 Y21I2 Quadripolos Conversão de Parâmetros 19092023 2243 Ebook Sabese que dois quadripolos que possuem as mesmas matrizes sao equivalentes o que significa que qualquer conjunto de tensao V1 e V2 por exemplo e corrente I1 e 12 por exemplo que seja possivel em um circuito sera também possivel em seu equivalente BURIAN JUNIOR LYRA 2006 Veremos para finalizar nossos estudos acerca do modelo de quadripolos com a secao mais detalhes acerca do circuito equivalente e também processos de conversao de parametros além do exemplo dado no infografico REFLITA Por que substituir um circuito por outro Quais poderiam ser as vantagens Bem a ideia por tras das substituigdes pautase na possibilidade de equivaléncia e com isso em muitos casos podese obter um circuito mais facil do ponto de vista analitico Para que a obtencao do circuito equivalente ocorra de forma a nao haver alteragdes de corrente e tensao é necessario que algumas condig6des sejam satisfeitas o que inclusive ocorre caso os modelos quadripolos possuam acessos fechados independentes Além disso caso a propria estrutura interna dos modelos permita as correntes e sendo os terminais 1 e 2 ligados internamente terminais negativos da entrada e da saida é possivel manter tensGes e correntes BURIAN JUNIOR LYRA 2006 Mais ainda caso haja a possibilidade mencionada de estrutura e também a ligagao interna dizse que existe equivaléncia incondicional httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1141 19092023 2243 Ebook Existem diversas estratégias de modelagem matematica com o uso de quadripolos aplicados a analise da influéncia do torque magnético residual por exemplo No caso deste trabalho aplicouse ao estudo do movimento de rotacgao estabelecido por um satélite artificial na descrigao do campo geomagnético estabelecido Veja em httparquivosbmacorgbreventoscnmaccdxxviiicnmacresumos20estendidosmariazanardiST9pc A seguinte tabela pode ser utilizada para facilitagao tanto dos processos de conversao entre circuitos para obtenao de equivalentes quanto nas transformag6des matriciais mencionadas Aqui se tém todos os elementos de descrigao dos quadripolos lembrandose que os determinantes das matrizes admitancia impedancia hibrida inversa da hibrida de transmissao e inversa de transmissao sao respectivamente Y Z HI G IT e ir Caso se queira obter parametros da matriz admitancia por exemplo devese pegar as informacoes da célula Y e Y e caso se queira passar da matriz admitancia para a de transmissao por exemplo devese utilizar as células Y eT httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1241 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1341 Y Z H G T T Y Y11 Y12 Y21 Y22 Z22 Z Z12 Z Z21 Z Z11 Z 1 H11 H12 H11 H21 H11 H H11 G G22 G12 G22 G21 G22 1 G22 D B T B 1 B A B A B 1 B T 1 B D B Z Y22 Y Y12 Y Y21 Y Y11 Y Z11 Z12 Z21 Z22 H H22 H12 H22 H21 H22 1 H22 1 G11 G12 G11 G21 G11 G G11 A C T C 1 C D C D C 1 C T 1 C A C H 1 Y11 Y12 Y11 Y21 Y11 Y Y11 Z Z22 Z12 Z22 Z21 Z22 1 Z22 H11 H12 H21 H22 G22 G G12 G G21 G G11 G B D T D 1 D C D B A 1 A T 1 A C A G Y Y22 Y12 Y22 Y21 Y22 1 Y22 1 Z11 Z12 Z11 Z21 Z11 Z Z11 H22 H H12 H H21 H H11 H G11 G12 G21 G22 C A T A 1 A B A C D 1 D T 1 D B D T Y22 Y21 1 Y21 Y Y21 Y11 Y21 Z11 Z21 Z Z11 1 Z21 Z22 Z21 H H21 H11 H21 H22 H21 1 H21 1 G21 G22 G21 G11 G21 G G21 A B C D D T 1 B T 1 C T 1 A T 1 T Y11 Y12 1 Y12 Y Y12 Y22 Y12 Z22 Z12 Z Z12 1 Z12 Z11 Z12 1 H12 H11 H12 H22 H12 H H12 G G12 G22 G12 G11 G12 1 G12 D T B T C T A T A B C D Tabela 41 Equivalências para quadripolos Fonte Burian Júnior e Lyra 2006 p 229 PraCegoVer a tabela apresenta 6 linhas e 6 colunas atribuindo os parâmetros de transformação e construção das matrizes Para Y temse Y11 Y12 Y21 e Y22 Para obter Y a partir de Z temse Z22 sobre o determinante da matriz Z menos Z12 sobre o determinante da matriz Z menos Z21 sobre o determinante da matriz Z e Z11 sobre o determinante da matriz Z Para obter a matriz Y a partir da matriz H temse 1 sobre H11 menos H12 sobre 1 1 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1441 H11 H21 sobre H11 e o determinante da matriz H sobre H11 Para se obter a matriz Y a partir da matriz G temse o determinante da matriz G sobre G22 G12 sobre G22 menos G21 sobre G22 e 1 sobre G22 Para se obter a matriz Y a partir da matriz T temse D sobre B menos o determinante da matriz T sobre B menos 1 sobre B e A sobre B Para obter a matriz Y a partir da inversa da matriz T temse A linha sobre B linha menos 1 sobre B linha menos o determinante da matriz inversa de T sobre B linha e D linha sobre B linha Para obterse a matriz Z a partir da matriz Y temse Y22 sobre o determinante da matriz Y menos Y12 sobre o determinante da matriz Y menos Y21 sobre o determinante da matriz Y e Y11 sobre o determinante da matriz Y Para se obter a matriz Z fazse Z11 Z12 Z21 e Z22 Para se obter a matriz Z a partir da matriz H temse o determinante da matriz H sobre H22 H12 sobre H22 menos H21 sobre H22 e 1 sobre H22 Para se obter a matriz Z a partir da matriz G temse 1 sobre G11 menos G12 sobre G11 G21 sobre G11 e o determinante da matriz G sobre G11 Para se obter a matriz Z a partir da matriz T temse A sobre C determinante da matriz T sobre C 1 sobre C e D sobre C Para se obter a matriz Z a partir da matriz inversa de T temse D linha sobre C linha 1 sobre C linha determinante da matriz T inversa sobre C linha e A linha sobre C linha Para se obter a matriz H a partir da matriz Y temse 1 sobre Y11 menos Y12 sobre Y11 Y21 sobre Y11 e o determinante da matriz Y sobre Y11 Para se obter a matriz H a partir da matriz Z temse o determinante da matriz Z sobre Z22 Z12 sobre Z22 menos Z21 sobre Z22 e 1 sobre Z22 Para se obter a matriz H temse H11 H12 H21 e H22 Para se obter a matriz H a partir da matriz G temse G22 sobre o determinante da matriz G menos G12 sobre o determinante da matriz G G21 sobre o determinante da matriz G e G11 sobre o determinante da matriz G Para se obter a matriz H a partir da matriz T temse B sobre D determinante da matriz T sobre D menos 1 sobre D e C sobre D Para se obter a matriz H a partir da matriz inversa de T temse B linha sobre A linha 1 sobre A linha menos o determinante da matriz inversa de T sobre A linha e C linha sobre A linha Para se obter a matriz G a partir da matriz Y temse o determinante da matriz Y sobre Y22 Y12 sobre Y22 menos Y21 sobre Y22 e 1 sobre Y22 Para se obter a matriz G a partir da matriz Z temse 1 sobre Z11 menos Z12 sobre Z11 Z21 sobre Z11 e o determinante da matriz Z sobre Z11 Para se obter a matriz G a partir da matriz H temse H22 sobre o determinante da matriz H menos H12 sobre o determinante da matriz H menos H21 sobre o determinante da matriz H e H11 sobre o determinante da matriz H Para se obter a matriz G temse G11 G12 G21 e G22 Para se obter a matriz G a partir da matriz T temse C sobre A menos determinante da matriz T sobre A 1 sobre A e B sobre A Para se obter a matriz G a partir da matriz inversa de T temse C linha sobre D linha menos 1 sobre D linha determinante da matriz inversa de T sobre D linha e B linha sobre D linha Para se obter a matriz T a partir da matriz Y temse menos Y22 sobre Y21 1 sobre Y21 menos o determinante da matriz Y sobre Y21 e menos Y11 sobre Y21 Para se obter a matriz T a partir da matriz Z temse Z11 sobre Z21 determinante da matriz Z sobre Z11 1 sobre Z21 e Z22 sobre Z21 Para se obter a matriz T a partir da matriz H temse menos determinante da matriz H sobre H21 menos H12 sobre H21 menos H22 sobre H21 e menos 1 sobre H21 Para se obter a matriz T a partir da matriz G temse 1 sobre G21 G22 sobre G21 G11 sobre G21 e determinante da matriz G sobre G21 Para se obter a matriz T temse A B C e D Para 19092023 2243 Ebook se obter a matriz T inversa temse D linha sobre o determinante da matriz inversa de T menos B linha sobre o determinante da matriz inversa de T menos C linha sobre o determinante da matriz inversa de T e A linha sobre o determinante da matriz inversa de T Para se obter a matriz inversa de T a partir da matriz Y temse menos Y11 sobre Y12 menos 1 sobre Y12 menos determinante da matriz Y sobre Y12 e menos Y22 sobre Y12 Para se obter a matriz inversa de T a partir da matriz Z temse Z22 sobre Z12 determinante da matriz Z sobre Z12 1 sobre Z12 e Z11 sobre Z12 Para se obter a matriz inversa de T a partir da matriz H temse 1 sobre H12 H11 sobre H12 H22 sobre H12 e determinante da matriz H sobre H12 Para se obter a matriz inversa de T a partir da matriz G temse menos o determinante da matriz G sobre G12 menos G21 sobre G12 menos G11 sobre G12 e 1 sobre G12 Para se obter a matriz inversa T a partir da matriz T temse D sobre o determinante da matriz T menos B sobre o determinante da matriz T menos C sobre o determinante da matriz T e A sobre o determinante da matriz T Para se obter a matriz inversa de T temse A linha B linha C linha e D linha Além de circuitos equivalentes existe a possibilidade de associagao assim como realizamos para filtros amplificadores e varios outros tipos de circuitos Dessa forma os quadripolos podem ser associados em cascata e em arranjos série e paralelo combinando série com série por exemplo paralelo com paralelo ou mesmo envolvendo associagées mistas série e paralelo e paralelo com série Vamos Praticar O quadripolo visto na figura descreve um filtro importante parte de um processo industrial com defeito que deve ser consertado Veja httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1541 19092023 2243 Ebook R R oan Figura Quadripolo em associagao em cascata do exemplo Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer temos resistores Ra Rb e Rc associados em cascata sendo a entrada formada por Ra e um terminal de Rc e seu outro terminal esta conectado ao restante de Ra e com um de Rb A saida é formada por um terminal de Rb e o outro terminal de Rc em comum com a entrada Além disso sabese que esse circuito importante final é resultado da associagdo em cascata desses trés quadripolos R R b W ey Figura Elementos utilizados para a associaao em cascata do exemplo Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer do lado esquerdo temse 0 elemento Ra utilizado na cascata representado por Ra com seus dois terminais e um fio em baixo No meio temse o resistor Rc com terminais em cima e embaixo e na direita temse Rb igual a Ra E tais quadripolos possuem como matrizes de transmissdo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1641 19092023 2243 Ebook T1R ro 1 0 1R 1 0 1 c Figura Matrizes de transmissao dos elementos usados Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer do lado esquerdo da imagem temse a matriz Ta de Ra uma matriz quadrada de ordem 2 que lida da esquerda para a direita e de cima para baixo possui os seguintes elementos 1 Ra 0 e 1 Do lado direito da imagem temse a matriz Tb de Rb mesma dimensao de Ta a qual lida da mesma forma é 1 0 1Rc e 1 Do lado de baixo da imagem temse que a matriz Tc também da mesma dimensao das demais e lida na mesma ordem é 1 Rb 0 e 1 Qual é o resultado da associagdo em termos da matriz de transmissao Ademais ressaltase que nem todos os circuitos reais podem ser descritos por modelos de quadripolos a partir das matrizes vistas o que faz por exemplo nao ser possivel tomar as tensdes 1 e 2 de forma independente nos acessos sendo estas na pratica iguais Nesse caso ainda em especifico dizse que a matriz impedancia que descreve 0 comportamento do modelo é singular a partir das prdoprias definigdes e conceitos prdéprios de Algebra Matricial Todos os quadripolos vistos descrevem tipos de circuitos lineares e para modelos no lineares fazse o uso de estratégias como a definiao de fungées que correlacionem tensao e corrente httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1741 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1841 Teste seus Conhecimentos Atividade não pontuada Os quadripolos podem ser obtidos a partir de circuitos do tipo caixa preta onde são utilizadas estratégias de modelagem matemática para de certa forma dispensar a necessidade de conhecimento de alguns outros parâmetros convencionais necessários em várias análises convencionais de circuitos elétricos Acerca desses importantes modelos sabese que a Sendo o quadripolo formado por indutores utilizase a série de Fourier na análise b Sendo o quadripolo formado por armazenador de energia temse tensão alternada c Sendo o quadripolo linear existem equações não lineares capazes de modelálo d Sendo um quadripolo resistivo as equações obtidas operarão com valores instantâneos e Sendo um quadripolo resistivo as equações utilizarão os valores de corrente RMS Nosso objetivo principal aqui será obter meios para analisar circuitos de excitação periódica não senoidal a partir de uma técnica que permita basicamente expressar funções não senoidais periódicas em termos de senoides a série de Fourier ALEXANDER SADIKU 2013 Séries de Fourier 19092023 2243 Ebook Jean Baptiste Joseph Fourier 17681830 foi um matematico francés responsavel por diversos feitos importantes além da apresentacao das séries e transformadas que serao estudadas a esse ponto as quais levam seu nome Fourier também participou de expedicgdes de Napoleao ao Egito durante a Revolugao Francesa Além disso tais tipos de séries permitem a aplicagao de métodos facilitadores para a analise do circuito como o método de fasores e utilizam técnicas ja conhecidas como o método da superposicao Vamos 1a Séries de Fourier trigonométricas Iniciando pelas séries de Fourier trigonométricas um de seus principais tipos temse historicamente como ponto de partida o estudo do fluxo térmico por parte de Fourier Além disso algumas definigOes matematicas sao necessadrias a esse ponto como o fato de uma fungao periddica ser estabelecida a partir de uma repetido a cada T periodo de tempo E sendo essa fungao denominada ft temse para n Z At ftnT 1 O teorema de Fourier estabelece que qualquer funao periddica na pratica com frequéncia w pode ser expressa matematicamente em termos de uma soma infinita de fungdes seno ou fungao cosseno sendo esses termos miultiplos inteiros da frequéncia 0 que significa que ft ay t acosmot by senwot acos2w ot bysen2ot acossot aysen3ot 2 Ou ainda que ALEXANDER SADIKU 2013 ft ag iacosnegt b sen nooof 3 A frequéncia w 6 a frequéncia fundamental em rads e a frequéncia harmonica w representa a nésima harmonica de ft a série trigonométrica de Fourier sendo ainda os coeficientes de Fourier A frequéncia w pode ser calculada por N 4 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 1941 19092023 2243 Ebook Adicionalmente a esse ponto é fundamental ressaltar que uma fungao do tipo de uma senoide possui valor médio nulo e sendo n diferente de 0 os coeficientes a e b representam as amplitudes da componente de corrente alternada Com isso concluise que ao calcularmos a série de Fourier de uma dada fungao periddica ft temse uma decomposiao desta em uma componente em corrente continua e outra em corrente alternada ALEXANDER SADIKU 2013 Definida entao a decomposicao pela série de Fourier na forma trigonométrica para que essa seja capaz de convergir quatro critérios devem ser satisfeitos também denominados critérios de Dirichlet Além disso sabese que esses quatro critérios sao suficientes para a existéncia desse tipo de decomposiao de ft 1 A fungao periddica deve ser capaz de expressar um valor unico avaliandose qualquer ponto 2A fungao periddica possuiré uma dada quantidade de descontinuidades independentemente do periodo que possua 3 A fungao periddica tem um dado numero de maximos e minimos associados também independentemente do periodo o wo re PE T 4 Para qualquer tempo inicial a seguinte relagao é valida Jip ft dt Vése que a determinagao dos coeficientes se faz necessaria e de antemao ressalto a vocé alunoa que esse processo pode ser feito de forma computacional e automatica como veremos em exemplo mais adiante Mas antes entenda como ele é feito matematicamente e manualmente também denominado como analise de Fourier Considere inicialmente as seguintes integrais trigonométricas apresentadas na tabela também denominadas como identidades sendo m ne Z httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2041 19092023 2243 Ebook J jsen not dt 0 J jsen NOt dt T2 J jcos not dt 0 Jicos NOt dt T2 J jsen Not sen Mot dt 0 comm n J jcos Not COS M tdt 0 comm n ij Sel NW yt COS My tdt 0 comm n Tabela 42 Identidades trigonométricas definidas a partir de integrais para a determinacao dos coeficientes na série de Fourier trigonomeétrica Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer a tabela tem 7 células distintas sendo na primeira de cima para baixo da esquerda para a direita a integral definida de 0 até periodo de seno de n vezes 6mega zero vezes t em fungao de t igual a 0 na segunda a integral definida de 0 até periodo de seno ao quadrado de n vezes 6mega zero vezes t em funcgao det igual a periodo sobre 2 Na terceira a integral definida de 0 até periodo de cosseno de n vezes 6mega 0 vezes t em funao de t é igual a 0 Na quarta a integral definida de 0 até periodo de cosseno ao quadrado de n vezes 6mega zero vezes t em funao de t igual a periodo sobre 2 Na quinta a integral definida de 0 até periodo de seno de n vezes 6mega 0 vezes t vezes seno dem vezes 6mega zero vezes t em funcao det é igual a 0 com m diferente de n Na sexta a integral definida de 0 até periodo de cosseno de n vezes 6mega 0 vezes t vezes cosseno de m vezes 6mega zero vezes t em fungao de t é igual a 0 com m diferente de n Na sétima a integral definida de 0 até periodo de seno de n vezes 6mega 0 vezes t vezes cosseno de m vezes 6mega zero vezes t em funao de t é igual a 0 com m diferente de n A determinagao dos coeficientes apds definidas as possiveis identidades a serem utilizadas pode comegar pelo ay Para isso integramos a Equagao 3 de ambos os lados e pelo uso das identidades de seno e cosseno simples e percebese que os termos que expressam a componente em corrente alternada serdo zerados de forma que T T J jftt dt I jagdt agT 5 Ou ainda ler aq 7 oflé at 6 Para calcular a utilizamos novamente a Equacao 3 desta vez multiplicando o termo cos mwot de ambos os lados para depois integrar Em seguida a partir do uso das identidades temse httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2141 19092023 2243 Ebook como resultado a seguinte relagao i f ght cos mat dt a5comm n 7 Ou ainda que eT a 7 of cos noft dt 8 Para determinar b feito algo analogo multiplicandose sen mwot na Equagao 3 de ambos os lados e também integrando estes 0 que resulta em eT b ql oflt sen navgt dt 9 Ademais a esse ponto pode ser util reforgar ser geralmente conveniente definir o intervalo de integragao entre T2 e T2 ou ainda de até t 7 embora matematicamente as relagdes vistas de calculo dos coeficientes resultaraéo nas mesmas equacgdes OPPENHEIM WILLSKY 2010 Espectro de frequéncia Apos todas essas definicées é importante ressaltar que a Equagao 3 também pode ser expressa de uma nova forma conveniente para as analises a forma amplitudefase Kt agt Le 14c09 ne of 10 O que ao se utilizarem as devidas manipulagées e inclusive as identidades trigonométricas vistas rever Tabela 41 permite definir que os coeficientes sao a Acos 9 111 b Asen 9 112 Ou ainda 272 A aa b 121 yen Q tg 122 Na forma complexa as Equagdes 121 e 122 resultam em AQy 4 Jb 13 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2241 19092023 2243 Ebook Definese como espectro de amplitudes da funcao periddica ft o grafico de nw em fungao da amplitude 4 das harménicas e como espectro de fases da mesma funcao o grafico de frequéncias nw em fungao da fase g Em conjunto esses dois espectros formam o espectro de frequéncias de ft ALEXANDER SADIKU 2013 Ademais para calculo dos coeficientes a esse ponto é fundamental conhecer as principais relagdes de cosseno seno e exponencial na Trigonometria que podem ser vistas de acordo com a Tabela 43 a seguir e na tabela mais adiante Tabela 44 com outras equivaléncias integrais senna 0 sen2nx 0 sen na2 12 p n impar e 0 p n par cos 2nx cosnx 1 cos na2 1 pn par e 0 p n impar l2nn l eM elnt2 12 p n par e j1 12 pn impar Tabela 43 Exemplos de valores das fungdes seno cosseno e exponencial Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer tabela com uma linha especifica para titulo valores para senos cossenos e exponenciais com z e multiplos e 3 linhas e 3 colunas Na primeira linha temse seno de nz igual a zero seno de 2 n z igual a zero e seno de nz sobre 2 igual a menos 1 elevado an menos 1 sobre 2 para n impar e igual a 0 para n par Na segunda linha teémse cosseno de 2 nz igual a 1 cosseno de n z igual a menos 1 elevado a n e cosseno de nz sobre 2 igual a menos 1 elevado an sobre 2 para n par e igual a 0 para n impar Por fim na terceira linha témse exponencial de j 2 n z igual a 1 exponencial de j n z igual a menos 1 elevado an e exponencial de j n z sobre 2 igual a menos 1 elevado an sobre 2 para n par e igual a j menos 1 elevado an menos 1 sobre 2 para n impar httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2341 19092023 2243 Ebook 1 1 1 cos ct dt csen ct Jt cos ctdt 3 cos ct t sen ct 1 1 1 Jsen ctdt cos ct Jt sen ct dt 3 Sen ct t cos ct Cc c Tabela 44 Equivaléncias integrais trigonométricas Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer tabela com uma linha de titulo equivaléncias integrais trigonométricas e 2 linhas e 2 colunas Na primeira linha témse integral de cosseno de ct em funcgao det é igual a 1 sobre c vezes seno de ct integral de t vezes cosseno de ct em funao de t é igual a 1 sobre c ao quadrado vezes cosseno de ct mais 1 sobre c vezes t vezes seno de ct Na segunda linha témse a integral de seno de ct em fungao de t igual a menos 1 sobre c vezes cosseno de ct e integral de t vezes seno de ct em funao de t igual a 1 sobre c ao quadrado vezes seno de ct menos 1 sobre c vezes t vezes cosseno de ct A seguir vocé vera mais detalhes sobre outra forma possivel para decomposigao de uma dada fungao periddica ft a série de Fourier na forma exponencial Séries de Fourier exponenciais Vistas as identidades trigonométricas até o momento podese retomar de forma complementar as relagdes das fung6es seno e cosseno na forma exponencial pela identidade de Euler Essas serao aplicadas a relagao da Equacao 3 obtendose a forma exponencial da série de Fourier ou forma complexa como também é conhecida o NW ot Ko Y aol nn o 14 O coeficiente c é dado por ler jn ot Cy ql hde vdt 15 Nesse caso tornase possivel descrever o espectro de ft em termos dos angulos de fase e amplitudes das componentes em corrente alternada nas frequéncias harménicas positiva e negativa ALEXANDER SADIKU 2013 Retomando ainda a relagdo expressa na Equacao 13 temse A Qn Uy Jn 2C 16 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2441 19092023 2243 Ebook Ou que aa b n n c le 6 17b Ja 17 n nj 7n 2 nn Com igual a g Tal forma permite encontrar também o valor RMS do sinal periodico utilizando como base o Teorema de Parseval 00 2 FMS Vy n len 18 Por fim conseguiremos entender o porqué de estudarmos as séries de Fourier através de um dos motivos principais a analise de circuitos 4 e e e Andlise de circuitos resposta em estado estacionario Ao analisarmos na pratica facilmente percebemos que muitos dos circuitos elétricos funcionam a partir da excitagao com uma fonte periddica porém nao senoidal e com isso ferramentas como as séries de Fourier em conjunto com a realizagao da analise de fasores em corrente alternada e o principio da superposiao podem ser importantes aliados na obtengao da resposta em estado estacionario ou regime permanente Assim a aplicagao das séries de Fourier pode ser dividida em quatro passos no contexto httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2541 19092023 2243 Ebook 1 Expressar a excitagao do circuito elétrico através de uma série de Fourier 2 Transformar o Circuito elétrico antes no dominio do tempo para o da frequéncia 3 Determinar as respostas das componentes em corrente continua e em corrente alternada parte da série de Fourier 4 Somar as respostas do passo 3 a partir do principio de superposicao Para ver a aplicagao desse passo a passo considere 0 circuito de exemplo a seguir apresentado em figura R 50 Vs t L S Voit 2H ft 2 1 0 1 2 3 ts Figura 44 Circuito em série de exemplo junto com o grafico do sinal de excitacao Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer circuito em série do lado esquerdo com uma fonte de tensao vst um resistor de 5 ohms e um indutor de 2 Henries sendo ainda a saida medida no indutor pelo sinal vot Do lado direito temse o grafico da fungao de excitagao ft em fundo do tempo t uma onda quadrada De 2 a1s temse ft 1 de1 a0 temse ft 0 de 0 a1 s temse ft 1 de 1a2s temse ft 0e de2a3stemse ft 1 Iniciamos pela decomposicao de vst de modo a obter os coeficientes a0 an e bn Para isso é necessdario expressar a funao ft matematicamente de forma que se obtém ft 1 para 0 t 1s e ft 0 para 1 t 2s Como ft ftT e T 2 temse que wy 22T 272 7 Assim httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2641 19092023 2243 Ebook Tanar Pitta Poa ao 7 of dt 0 1 2 Além disso para determinar a fazse a 7 t cos npt dt 71 cos nat dt 70 cos nat dt n of 0 24 0 1 0 0 teen nz sen0 E para bn b 7 t senna ot dt sen nat dt J0sen nat dt n of 0 24 0 1 1 5 4 1 0 para n par e 2nz para n impar O que traz que baseandose na Equagao 3 1 2 2 2 vt f 5 Zsen at sen 3at 5gsen Sat Complementarmente sendo a funao periddica em questao formada somente por componentes de corrente continua termos de seno com a componente fundamental e também pelas harménicas simples a forma vista anteriormente pode ser simplificada em 1 2 1 vO fd 5t a1 5eH ne t sendo n 2k 1 Lembrese ainda de que w w nz A partir de agora calcularemos a tensao de saida inicialmente nesta parte fazendo uso da analise fasorial Sendo o circuito em série o divisor de tensao nesse caso resulta em JoL j2nn Vor R jo 54 pans Em valores de fato devese ter em mente que w 0 V05 e quen0V 0 0 que condiz com a aproximacao frequentemente utilizada para o indutor em corrente continua um curto A nésima harmonica por exemplo escrita por define a seguinte resposta 2nx90 2 4tg2nm5 Vo 22 yol gl 90 22 4254nntg Qnn SMT 425 4n2x Nosso proximo passo é obter a tensdo de saida ja calculada de forma que seja expressa matematicamente no dominio do tempo Para o circuito apresentado temse para n 2k 1 que httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2741 19092023 2243 Ebook yo 4 2m vt 2 k 1 ps 4 ante nat tg 5 O que é equivalente a vt 0 4981 cos xt 51 5 0205 cos 3m 75 14 0 1256 cos Sat 80 98 ton Considerando as definigdes dos termos e harmonicas iniciais k 1 2 e 3en13e 5 Os graficos dos espectros de amplitude tanto da tensdo de entrada vst quanto da tensdo de saida vot sao vistos e através de breve andlise 6 possivel perceber que esses sdo bastante proximos 0 que é corroborado com o fato de 0 circuito série apresentado ser um tipo de filtro mais precisamente um filtro passaaltas IV 0636 05 0212 0127 Oo wt 2m 3m 4m StTt 6Tt 7Tt W IV 05 02 013 01 0 mo 2n 3m 4m Su 6n 7m Figura 45 Espectros de amplitude dos sinais de entrada e de saida Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer na parte de cima da imagem temse o grafico do espectro do sinal de entrada do circuito com a frequéncia angular no eixo x e o mdédulo de Vs no eixo y Témse 05 em 0 0636 em z rads 0212 em 3z rads e 0127 em 5z rads Na parte de baixo temse o grafico do espectro do sinal de saida do circuito com a frequéncia angular no eixo x e o mddulo de Vo no eixo y Témse 05 em z rads 02 em 3z rads 013 em 5z rads e 01 em 7z rads httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2841 19092023 2243 Ebook Vése que a frequéncia de corte nesse caso é w wy na sendo a frequéncia fundamental x rads Ou seja Menor Oo que mostra de fato a componente em corrente continua nao prosseguir Em seguida 0 que se refere a primeira harm6nica praticamente nao passa no filtro e O restante nao é filtrado Vamos Praticar Diversos softwares podem ser utilizados no auxilio a obtengdo dos coeficientes de Fourier para um dado sinal na pratica Além disso a partir dos valores das decomposicées em Fourier permitindo as definicgées dos sinais no dominio do tempo pardmetros importantes como a poténcia média fornecida por um circuito podem ser obtidos Considere que num dado resistor témse a tensdo wt 20 Scos 77 cos 31 55 V eacorrente it 2 10cos 1 15 6cos 31 45 A Considere ainda que a poténcia é dada com base no valor devido as componentes em corrente continua e pelo somatorio de todas as demais como mostra a seguinte equacdo I ec P Veclec tad n ln co 9 7 Qual valor de poténcia seria medido nesse caso por um wattimetro httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 2941 19092023 2243 Ebook Material LIVRO Andlise linear de sinais teoria ensaios prdticos e exercicios José C Geromel e Grace S Deaecto Editora Blucher Ano 2019 ISBN 9788521215783 Comentario nesse livro que trata mais especificamente da andlise de sinais lineares sugerese a leitura do Capitulo 4 que trata a respeito da transformada de Fourier incluindo alguns exemplos praticos e a realizagao de analise numérica de forma a complementar o contetdo visto aqui neste material httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3041 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3141 WEB Mas o que é a transformada de Fourier Uma introdução visual Canal 3Blue1Brown Comentário o processo de transformada de Fourier é um tipo de cálculo importante na análise de diversos sistemas práticos incluindo circuitos e sistemas elétricos e eletrônicos No vídeo apresentado é possível ter uma visão geral importante do que é de fato essa transformada por meio de animações e apresentações visuais Para acessar o vídeo clique em ACESSAR WEB Potência de entrada em quadripolos Fast Lesson 44 Canal WR Kits Ano 2014 Comentário uma das principais análises a partir do uso de quadripolos é entender a potência de entrada Assim com esse vídeo é possível entender como efetuar o cálculo desse importante parâmetro ressaltandose ainda ser um tópico fundamental em telecomunicações Para acessar o vídeo clique em ACESSAR 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3241 19092023 2243 Ebook Conclusao Percebemos que os quadripolos sao tipos de circuitos fundamentais para a modelagem de sistemas praticos como filtros e obtengao de casamento de impedancias dentre outros Ademais com o estudo das séries de Fourier foi possivel analisar e conceituar fungdes periddicas e nao periddicas e trabalhar na forma amplitudefase mediante séries geométricas por exemplo Dessa forma 0 uso das séries de Fourier permitira utilizar uma importante forma de analisar circuitos o método de fasores Referéncias Sue 4 ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de NX circuitos elétricos 5 ed Porto Alegre AMGH 2013 iia BURIAN JUNIOR Y LYRA A C C Circuitos elétricos Sdo Paulo PrenticeHall 2006 Biblioteca GEROMEL J C DEAECTO G S Analise linear de sinais teoria ensaios praticos e exercicios Sao Paulo Blucher 2019 MAS o que é a transformada de Fourier Uma introdugao visual S s n 2018 1 video 19 min 42 s Publicado pelo canal 3Blue1Brown Disponivel em httpswwwyoutubecomwatch vspUNpyF58BY Acesso em 5 jul 2021 BURIAN JUNIOR Y LYRA A C C Circuitos elétricos Sdo Paulo PrenticeHall 2006 Biblioteca OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e sistemas 2 ed Pearson 2010 POTENCIA de entrada em quadripolos fast lesson 44 S s n 2014 1 video 12 min 42 s Publicado pelo canal WR Kits Disponivel em httpswwwyoutubecomwatchvi0MhW4mmdMc Acesso em 5 jul 2021 ZANARDI M C et al Influéncia do torque residual na deriva do eixo de rotagao de satélites artificiais em orbitas circulares In CONGRESSO BRASILEIRO DE MATEMATICA APLICADA E COMPUTACIONAL 28 2005 Santo Amaro Anais Santo Amaro Centro Universitario Senac 2005 Disponivel em httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3341 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3441 httparquivosbmacorgbreventoscnmaccdxxviiicnmacresumos20estendidosmariazanardiST9pd Acesso em 5 jul 2021 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3541 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3641 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3741 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3841 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 3941 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 4041 19092023 2243 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade4ebookindexhtml 4141