Sinais e Sistemas: Aplicações da Transformada de Laplace

15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 165 SINAIS E SISTEMAS SINAIS E SISTEMAS APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PROJETOS E SIMULADORES LAPLACE PROJETOS E SIMULADORES DE CIRCUITOS DE CIRCUITOS Autora Ma Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues Revisor Me Giancarlo Michelino Gaeta Lopes Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 41 minutos 15082023 2127 Ebook Introdudo Ola caroa estudante Neste material vocé compreendera o que é a transformada de Laplace e entendera como aplicala em sistemas lineares determinando a fungao de transferéncia desses sistemas Além disso sera possivel entender o papel dessa importante ferramenta matematica em analises tomando como exemplo os circuitos elétricos mais especificamente Ademais vocé compreendera como analisar a resposta dos sistemas no dominio da frequéncia e com isso aprendera a utilizar outra importante ferramenta o diagrama de Bode Assim vocé aprendera como projetar filtros passivos e ativos largamente utilizados em equipamentos e sistemas praticos e como utilizar softwares de simulagao de circuitos httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 265 15082023 2127 Ebook A transformada de Laplace é uma das principais ferramentas para a analise de sistemas na pratica permitindo a correlagao de um mesmo sistema no dominio do tempo com o dominio da frequéncia OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 2010 Assim vocé vera algumas das principais possibilidades de aplicagao considerando especialmente a realidade da engenharia elétrica em relagao aos circuitos elétricos No caso mais especifico dos circuitos elétricos no dominio da frequéncia dominio s é possivel que muitas analises sejam facilitadas Também ha a possibilidade de se projetar circuitos no dominio s 0 que ficara mais claro no fim deste material httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 365 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 465 Ademais aqui partese do pressuposto de que os sistemas são naturalmente lineares ou que podem ser aproximados dessa forma SAIBA MAIS A aplicação da transformada de Laplace na realidade de circuitos elétricos pode ser resumida em algumas etapas 1 transformação do circuito no domínio do tempo para o domínio s 2 resolução do circuito a partir de ferramentas como análise nodal análise de malhas transformação de fontes superposição dentre outras técnicas já largamente utilizadas 3 cálculo da transformada inversa de Laplace da solução obtendose assim a resposta factível no domínio do tempo Para saber mais detalhes de como aplicar essa importante ferramenta matemática assista ao vídeo disponível em Fonte Alexander e Sadiku 2013 A S S I S T I R 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 565 Adicionalmente é fundamental ressaltar que se considera sistema qualquer modelo matemático obtido de um dado processo físico real capaz de correlacionar o que é estabelecido para entrada e saída OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 2010 O resistor por exemplo pode ser modelado matematicamente no domínio do tempo por sua relação de tensão e corrente de forma que a seguinte relação é verdadeira 1 Com a transformada de Laplace para esse elemento no domínio s obtémse 2 Para um indutor no domínio do tempo é possível considerar 3 Nesse caso ao se aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados de 3 obtémse 4 Ou 5 O capacitor tem a seguinte relação tensãocorrente no domínio do tempo 6 v t Ri t V s RI s v t L dit dt V s L sI s i sLI s Li 0 0 I s 1 V s sL i 0 s i t C dvt dt 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 665 Ao ser aplicada a transformada de Laplace o resultado é 7 Ou seja 8 Sendo as condições iniciais nulas as tensões no domínio da frequência podem ser obtidas por meio das equações 2 4 e 8 para um resistor um indutor e um capacitor respectivamente como 91 92 93 Sendo a impedância Zs VsIs com condições iniciais nulas as impedâncias referentes a cada um desses elementos são 101 102 103 I s CsV s v sCV s Cv 0 0 V s 1 I s sC v 0 s V s RI s V s sLI s V s 1 I s sC Z s R Z s sL Z s 1 sC 15082023 2127 Ebook A seguir apresentaremos mais detalhes sobre os principais passos necessarios para a analise de circuitos nesse contexto o dominio de s e o uso da transformada de Laplace Ainda serao apresentados novos exemplos praticos e a aplicagao das leis basicas de circuitos Andlise de circuitos Para compreender melhor a analise de circuitos caroa estudante considere o circuito apresentado no infografico a seguir referente a um equipamento real e como esse circuito deve ser analisado para a obtengao da saida ANALISE DE CIRCUITOS UTILIZANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE Circuito de exemplo Primeiro passo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 7165 15082023 2127 Ebook Segundo passo PraCegoVer o infografico apresenta o titulo Analise de circuitos utilizando a transformada de Laplace Logo abaixo ha trés topicos verticais Ao clicar no primeiro Circuito de exemplo 6 apresentado o texto consideraremos aqui para simplificagao e porque muitas vezes é o que de fato acontece na realidade que as condicoes iniciais sao nulas Isso possibilita simplificagoes na analise mais especificamente no processo de transformagao do circuito e significa entao que antes do tempo inicial em 0 segundo nao havia nenhuma condiao importante ou parametro a ser considerado Em seguida contém a imagem de um circuito formado por uma fonte de tensao alternada u de t um resistor R1 de 1 ohm em série e um capacitor C1 de um terco Farad também em série sendo que este capacitor esta em paralelo com a série de um resistor R2 de 5 ohms com o indutor L1 de 1 Hery A tensao de saida é medida no indutor dada por vo det com polaridade positiva em cima e negativa embaixo Ao clicar no segundo tdpico Primeiro passo apresentado o texto transformar todos os elementos no dominio da frequéncia como ja mencionado anteriormente Assim para 0 circuito apresentado temse 0 seguinte resultado o qual pode ser visto na proxima figura Nela ja estao evidenciadas também as correntes que serao usadas Apos isSo prosseguese para a analise do circuito de fato em que sao utilizadas técnicas classicas de circuitos Em seguida é apresentada a imagem do mesmo circuito anterior mas com Os parametros representados no dominio da frequéncia sendo a fonte 1 sobre s o resistor R1 1 ohm o capacitor C1 3 sobre s o resistor R2 5 ohms o indutor L1 s e a tensao de sajda vos vo des Além disso sao representadas as correntes das malhas formadas i 1 de s na malha 1 e i 2 de s na malha 2 Ao clicar no terceiro tdpico Segundo passo é apresentado o texto Uma possibilidade para andalise nesse contexto é httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 865 15082023 2127 Ebook utilizar a analise de malhas u de t 6 1 sobre s 1 Henry considerando que a transformagao é s vezes L resulta em s e similarmente 1 sobre 3 Farads considerando que temse 1 sobre s vezes C resulta em 3 sobre s Com relagao a primeira malha temse que 1 sobre s é igual a 1 mais 3 sobre s vezes 1 menos 3 sobre 2 vezes I2 Ao passo que para a segunda malha menos 3 sobre s vezes 11 mais s mais 5 mais 3 sobre s vezes 2 resulta em 1 é igual a 1 sobre 3 vezes s ao quadrado mais 5 vezes s mais 3 vezes 12 Substituindo a equagao anterior na da malha 1 temse 1 sobre s é igual a 1 mais 3 sobre s vezes 1 sobre 3 vezes Ss ao quadrado mais 5 vezes s mais 3 vezes I2 menos 3 sobre s vezes 2 Nesse ponto algumas manipulagdes matematicas serao necessarias 3 vezes s ao cubo mais 8 vezes s ao quadrado mais 18 vezes Ss vezes 12 é igual a 3 o que resulta em 2 é igual 3 sobre s ao cubo mais 8 vezes s ao quadrado mais 18 vezes s De forma que por fim ao isolar a tensao de saida obtémse V o de s igual a s vezes 12 que é igual a 3 sobre s ao quadrado mais 8 vezes s mais 18 que é igual a raiz quadrada de 3 sobre 2 vezes raiz quadrada de 2 sobre s mais 4 ao quadrado mais raiz quadrada de 2 ao quadrado Agora basta aplicar a transformada inversa de Laplace que para t geq 0 é v o det é igual a 3 sobre raiz quadrada de 2 vezes exponencial de menos 4 vezes t vezes seno de raiz quadrada de 2 vezes t volts Esse processo apresentado como exemplo é valido para qualquer tipo de andalise de circuito elétrico Em seguida apresentaremos mais detalhes acerca da fungao de transferéncia Fungdo de transferéncia httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 965 15082023 2127 Ebook Dentre as varias possibilidades obtidas a partir da fungao de transferéncia uma das mais importantes é demonstrar de forma matematica e analitica como determinado sinal 6 processado a partir do sistema analisado nesse caso a partir do circuito elétrico estudado Assim a fungao de transferéncia Gs 6 a razdo entre a resposta saida do sistema Ys e a excitagao utilizada na entrada Xs considerando que todas as condiées iniciais sAo nulas ALEXANDER SADIKU 2013 Desse modo matematicamente ha Ys Gs xX 1 Ainda considerando o foco especifico de estudo deste material os circuitos elétricos ha Gs Ganho de tensao Vols 121 Vis Io8 Gs Ganho de corrente sy 122 Vs Gs Impedancia sy 123 Gs Admitancia As 124 Vs De maneira geral o numerador genericamente Ns é definido por um polinédmio qualquer em termos de s Do mesmo modo o denominador da funcao de transferéncia genericamente Ds é definido a partir de outro polinédmio em termos de s httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1065 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1165 O próximo passo é aprender uma das principais ferramentas para a análise no domínio da frequência incluindo a possibilidade de estudo direto da resposta em frequência o diagrama de Bode REFLITA O zero é a raiz do polinômio do numerador assim é o valor no qual a função polinomial é zerada Similarmente o polo é a raiz do polinômio do denominador um valor nesse caso no qual a função se zera Fonte Alexander e Sadiku 2013 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1265 Conhecimento Teste seus Conhecimentos Atividade não pontuada Considere que um circuito elétrico linear de determinada indústria foi modelado matematicamente A entrada para estudo é sendo ut o sinal a ser aplicado e a saída correspondente a essa entrada foi equacionada como ambos no domínio do tempo Com base nesse contexto qual é a função de transferência do sistema a b c d e x t u t et y t 10 cos 2t u t et G s 10 s 2s 5 2 G s 10 s 2s 1 2 s2 G s 10 s 2s 1 2 s 5 2 G s 10 s 2s 1 2 s 2s 5 2 G s 10 s 2s 1 2 s 2s 2 15082023 2127 Ebook A resposta em frequéncia pode ser definida basicamente como a analise do comportamento de determinado sistema em termos de frequéncia mais especificamente em relagao ao ganho e a velocidade angular por exemplo OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 2010 Nesse sentido apresentaremos mais detalhes sobre como pode ser desenvolvido o diagrama de Bode uma das ferramentas mais utilizadas nesses tipos de andlise httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1365 15082023 2127 Ebook O diagrama de Bode é uma das principais ferramentas nas analises dos sistemas do dominio da frequéncia por permitir a visualizagao da resposta de forma facilitada Essa ferramenta é formada por dois diagramas um referese a magnitude e outro referese a fase representados em escala logaritmica para a melhor compreensao pois muitas vezes é necessario visualizar uma extensa faixa de frequéncias algo de por exemplo 1 a 100 kHz 1 A primeira curva logaritmica representa a magnitude mais especificamente a magnitude da resposta em frequéncia do sistema analisado 2 A segunda curva logaritmica representa o comportamento da fase da resposta em frequéncia desse mesmo sistema na escala de radianos por segundo mais frequentemente Além disso geralmente é utilizado um esboco do grafico da resposta de fase a partir de varios segmentos de reta tragados para que em seguida a curva real possa ser obtida de forma aproximada com pequenas correcoes ja previstas em alguns casos As curvas de logaritmo da magnitude e da fase da resposta em frequéncia de um sistema sao definidas a partir da relagdo log w OPPENHEIM WILLSKY NAWAB 2010 Nesse contexto é preciso considerar matematicamente que a funao de transferéncia de um sistema genérico é desta forma Ks21s22s z Gs x s2n 13 ssp8D2sp A magnitude da resposta em frequéncia nesse contexto genérico é dada por httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1465 15082023 2127 Ebook Ks21sz2szx G jw errorrrrrvrvaenn 14 G Ie Foniiorpikerpaiiderpy io 14 Nesse sentido conhecendo a magnitude da resposta de cada termo referente a polo e a zero da funcado ha a magnitude total da resposta NISE 2013 Complementarmente a magnitude em decibéis dada a forma logaritmica é 20 log G jw 20logkK 20logs 21 20log s z2 20log s 20log s p 15 A fase da resposta é obtida calculandose a fase da fungao apresentada anteriormente Para entender melhor caroa estudante considere que se deseja obter o diagrama de Bode para um sistema de produgao que pode ser modelado pela seguinte funao de transferéncia 10s3 G s gs2ss2 Para se obter o diagrama uma sequéncia de acgdes pode ser realizada conforme expoem Oppenheim e Willsky 2010 1 substituigdo des Jw e se necessdario normalizacdo da fungao 2 definiao dos fatores e das assintotas 3 obtengao das frequéncias de canto 4 tragar as assintotas de Bode baseandose nos fatores que formam a fungao do sistema analisado httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1565 15082023 2127 Ebook 5 tragar as Curvas aproximadas a partir das assintotas Assim preciso iniciar pela transcrigao da fungao na variavel complexa Para o exemplo apresentado obtémse G jw 103jw3 1 75jw3 1 22 jw jw2 1jw2 jw2 1 jw jw2 1Gw2 jw2 1 Nesse caso as assintotas de baixa frequéncia que definem por onde as curvas devem ser riscadas sao uma reta Unica de 0 dB tanto para 1 ordem quanto para 28 ordem Além disso com base nessa fungao sao definidos os cinco fatores que formam a curva ve 1 1 fl 7 9 f2 1jw f3 jw3 1 f4 jw21 fd jw 2 jw241 Esses fatores sao denominados em ordem crescente para a formacao das assintotas restantes também necessarias Na sequéncia é possivel obter as frequéncias de canto que sao 3 rads 2 radse 2 rads em relagao aos fatores trés quatro e cinco mencionados anteriormente Com essas informacées tornase possivel tragar as retas j4 mencionadas que guiarao o processo de obtengao das curvas logaritmicas da resposta em frequéncia do sistema em questao Entao de modo geral essas retas recebem o nome de assintotas de Bode ou simplesmente assintotas Para o sistema apresentado as assintotas sao as presentes na Figura 31 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1665 15082023 2127 Ebook 40 20 Fs 0 a 40 02 04 06081 v2 2 3 4 6 810 1 Figura 31 Assintotas de Bode para a obtenao do diagrama de Bode Fonte Adaptada de Ogata 2010 PraCegoVer a figura apresenta um grafico com eixo x de frequéncia angular em radianos por segundo e no eixo y em decibéis O eixo x vai de 02 até 10 rads e esta em escala logaritmica e 0 eixo y vai de 40 a 40 dB Sao tragadas as cinco retas assintotas sendo que a primeira é a reta de 75 e as demais até a httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1765 15082023 2127 Ebook ultima partem de O dB e deixam de ser constantes nas frequéncias de canto A reta 2 fica em torno de 1 rads a reta 3 em 3 rad a reta 4 em 2 rads a reta 5 em 12 rads Comegando pelas retas da curva de magnitude é possivel notar que dependendo do valor da frequéncia as inclinagdes das retas a partir das frequéncias de canto também sao diferentes Abaixo de 2 rads a inclinagao é de 20 dB por década entre 2 e 2 6 de 60 dBdécada de 2 até 3 rads ha a inclinagao maxima 80 dBdécada a partir de 3 rads a inclinagao decai em 20 dB retornando para 60 dBdécada Com as assintotas definidas 6 possivel descobrir qual é de fato a curva de resposta obtendose assim a curva aproximada de magnitude para o sistema usado como exemplo Nesse sentido é valido salientar que o processo das assintotas 6 o mesmo para a curva logaritmica da fase da resposta em frequéncia A curva aproximada é obtida entao por meio da soma das curvas assintoticas considerandose cada uma das contribuigdes com corregoes aproximadas Geralmente para fatores de 1 ordem sugerese uma correcdo de mais ou menos 3 dB nas frequéncias de canto ao passo que se utiliza um decibel acima ou abaixo para as frequéncias que estejam uma oitava acima ou uma oitava abaixo Ainda considerando a magnitude da resposta 0 resultado das curvas exatas é httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1865 15082023 2127 Ebook 40 20 Se 40 02 04 06081 v2 2 3 4 6 810 Q Figura 32 Curvas exatas e assintotas da magnitude da resposta em frequéncia do sistema de exemplo Fonte Adaptada de Ogata 2010 PraCegoVer a imagem apresenta um grafico com eixo x de frequéncia angular em radianos por segundo e no eixo y em decibéis O eixo x vai de 02 até 10 rads e esta em escala logaritmica e 0 eixo y vai de 40 a 40 cB Sao tragadas as cinco retas assintotas sendo que a primeira é a reta de 75 eas demais até a ultima partem de 0 dB e deixam de ser constantes nas frequéncias de canto A reta 2 fica em torno de 1 rads a reta 3 em 3 rad arreta 4 em 2 rads a reta 5 em 2 rads Além dessas retas httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 1965 15082023 2127 Ebook ha as curvas exatas referentes a cada uma das assintotas em pontilhado considerandose as atenuagdes sugeridas nas frequéncias de canto Na Figura 33 é possivel ver o resultado final ap6s a soma das curvas aproximadas considerando assim as contribuigdes individuais com as corregoes incluindo a curva logaritmica de fase obtida pelos mesmos processos apresentados httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2065 15082023 2127 Ebook 100 50 a 0 Pa 50 2 100 g 150 200 250 10 10 10 10 10 10 10 100 se 150 ee we f 250 10 10 10 10 10 10 10 Figura 33 Diagrama de Bode do sistema de exemplo Fonte Elaborada pela autora PraCegoVer a figura apresenta dois graficos em escala logaritmica com a mesma escala no eixo x de frequéncia em radianos por segundo de 10 até 10 Na parte superior ha a curva de magnitude a qual parte de proximo de 10 ecerca de 50 dB Hd um decaimento sutil até um pouco a frente de 1 rads ponto no qual ha o aumento da inclinagao Assim atingese 0 dB até a curva de resposta assumir cerca de 200 dB mais proximo de 10 rads Na parte de baixo ha a curva de fase partindo da mesma frequéncia da magnitude em aproximadamente 100 Mais proximo de 0 e 1 rads o decaimento maior httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2165 15082023 2127 Ebook é estabelecido até que na mesma frequéncia da magnitude por volta de 1 rads ha a inversao do sentido do decaimento fazendo com que seja estabelecido um pouco mais de 250 para a curva de resposta até frequéncias maiores de forma constante A seguir estudante vocé aprendera mais detalhes importantes acerca da aplicabilidade da resposta em frequéncia e de suas ferramentas estudando sobre os circuitos de filtro com filtros passivos filtros com acoplamento magnético e exemplos de filtros ativos O uso dos softwares e de diversas ferramentas computacionais é necessario na simulagdo dos circuitos elétricos e para a obtencdo de forma facilitada da resposta em frequéncia por exemplo Uma possibilidade é 0 uso do software Scilab gratuito e amplamente utilizado que tem tutoriais e foruns além de ter uma forma facilitada da linguagem C httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2265 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2365 Nesse sentido para a obtenção do diagrama de Bode considere o sistema do exemplo apresentado Quais são os comandos necessários para a obtenção do diagrama de Bode no Scilab O conceito de ressonância pode ser utilizado em várias áreas da engenharia e da ciência em geral No contexto de circuitos elétricos esse conceito está presente naqueles que usam elementos como indutor e capacitor simultaneamente Ressonância 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2465 A ressonância é um fenômeno que possibilita a discriminação de frequências em circuitos de comunicação sendo a condição em um circuito RLC no qual as reatâncias indutiva e capacitiva são iguais em módulo resultando portanto em uma impedância puramente resistiva ALEXANDER SADIKU 2013 p 581 A seguir serão apresentados os circuitos ressonantes em série Os Os circuitos ressonantes circuitos ressonantes podem ser divididos em podem ser divididos em dois tipos principais de acordo com a disposição dois tipos principais de acordo com a disposição dos elementos utilizados circuitos ressonantes dos elementos utilizados circuitos ressonantes em série e circuitos ressonantes em paralelo em série e circuitos ressonantes em paralelo 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2565 Circuitos ressonantes em série Um exemplo do circuito ressonante em série está presente na Figura 34 e já está representado no domínio da frequência A frequência de ressonância é o valor de frequência que zerará a componente imaginária da impedância como descrito adiante ω0 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2665 Figura 34 Exemplo de circuito ressonante em série Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito em série formado por uma fonte de tensão em corrente alternada um resistor de resistência R um indutor de indutância um capacitor de capacitância A corrente estabelecida na malha é I Assim a impedância é θ Vs Vm jωL 1jωC 15082023 2127 Ebook ZGjgwVsI R jwL 1jwC R 7 wL 1wC 16 A frequéncia de ressonancia é definida tal que a seguinte relagao é verdadeira 1 ImZ wh 017 Desse modo wy 1 LC rads A resposta de frequéncia da amplitude da corrente do circuito é Vn T Seay 18 A maior poténcia dissipada pelo circuito é definida como V2 P wo oR 19 De modo similar em frequéncias intermediarias Ww e w2 de meia poténcia ha V2 P w P we aR 19 Essas frequéncias sao obtidas a partir da impedancia 2 wi R2L 4 1LC 201 2 we R2L y 1LC 202 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2765 15082023 2127 Ebook A largura de banda é definida por B RL 21 Por fim é necessario salientar que ha uma razao predefinida um fator de qualidade Q que se refere a razao entre a frequéncia ressonante e a largura de banda de forma que wool 1 Q a R a woCR 22 De forma similar ao circuito apresentado anteriormente existe outro circuito ressonante com os elementos dispostos em paralelo como apresenta a Figura 35 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2865 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 2965 Figura 35 Exemplo de circuito ressonante em paralelo Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito em paralelo formado por uma fonte de corrente alternada um resistor de resistência R um indutor de indutância um capacitor de capacitância A tensão estabelecida é medida em R com positivo em cima e negativo embaixo denominada VI I Imθ jωL 1jωC 15082023 2127 Ebook A admitancia é obtida de forma similar ao circuito ressonante em série resultando em 1 1 Y 4 we 23 Além disso a frequéncia ressonante é wo 1LC rads 24 As frequéncias intermediarias sao 1 2 wi 12RC 4s45 1LC 251 1 2 we 12RC 4sa5 1LC 252 Por fim nesse caso o fator de qualidade é Q RuwoL 26 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3065 15082023 2127 Ebook Filtros Passivos Diversos componentes elétricos e eletr6nicos podem ser combinados para a obtengao de circuitos que permitem a filtragem de frequéncias seja em determinada faixa de interesse rejeitandose uma frequéncia especifica seja filtrando abaixo ou acima de determinada frequéncia desejada Os filtros passivos sao desenvolvidos a partir de elementos passivos dispensandose o uso dos amplificadores operacionais Dentre esses elementos sao desenvolvidos circuitos completos com combinacoes de circuitos RC resistor e capacitor circuitos RL resistor e httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3165 15082023 2127 Ebook Nesse sentido agora apresentaremos mais detalhes sobre os principais tipos de filtros passivos classificados de acordo com a forma como fazem a filtragem de determinado sinal Um circuito RC formado por um resistor e um capacitor é 0 tipo mais elementar de filtro passa baixas cuja resposta em frequéncia e circuito pode ser vista na figura a seguir Essa figura também compara 0 comportamento ideal com o real sendo a frequéncia de corte demonstrando que a faixa de frequéncias estara definida até a frequéncia de corte httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3265 15082023 2127 Ebook R 1 HwI eD Vi t Cc Vo t ue ap 0 W WwW Figura 36 Filtro passabaixas e sua resposta em frequéncia ideal e real Fonte Adaptada de Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta no lado esquerdo 0 circuito formado por uma fonte de corrente alternada definida por vit um resistor R e um capacitor C de sada vot e positivo em cima e negativo embaixo No lado direito ha as respostas em frequéncia com a frequéncia angular no eixo xea magnitude no eixo y A curva ideal mostra uma resposta constante com 1 de magnitude de 0 até a httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3365 15082023 2127 Ebook frequéncia de corte w e a real parte de 1 na magnitude em 0 rads e a resposta decai de forma suave inclusive apOs We Passando o circuito para o dominio s e definindose matematicamente a relagao entradasaida pela fungao de transferéncia ha y Ve Igo 1 G jw 7 RjoC tgore 27 Note que G0 1 ao passo que Gco 0 Em meia poténcia definese outro valor de interesse de w que é a frequéncia de corte Ww G jw 4 28 je J1u2Ro v2 28 Ou seja we 1RC 29 Outro circuito possivel para a implementacgao de um filtro passabaixas um RL formado por um indutor e um resistor com a saida medida no resistor desse circuito Filtro passaaltas O filtro passaaltas é bastante semelhante ao filtro passabaixas entretanto agora desejase um circuito elétrico também do tipo RC que permita a passagem de frequéncias acima de um valor httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3465 15082023 2127 Ebook limite definido por w O circuito mais simples que permite essa passagem e as respostas em frequéncia ideal e real de um filtro passaaltas tipico esta presente na figura a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3565 15082023 2127 Ebook c Wwe ED 1 v t RSV t 0707 eeeees 0 ww Ww Figura 37 Circuito do filtro passaaltas e resposta em frequéncia ideal e real Fonte Adaptada de Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta no lado esquerdo 0 circuito elétrico formado por uma fonte de tensao em corrente alternada vit um capacitor de capacitancia C e um resistor de resisténcia R em série A saida 6 medida no resistor por vot com polaridade positiva em cima e negativa embaixo No lado direito ha as respostas em frequéncia ideal e real em um grafico com frequéncia angular no eixo x e magnitude no eixo y A resposta ideal mostra que a magnitude sera 1 indefinidamente a partir da httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3665 15082023 2127 Ebook frequéncia de corte wc ao passo que a real mostra que essa transicdo nao ocorre de forma automatica Na frequéncia de corte a magnitude é de cerca de 0707 Matematicamente a fungao de transferéncia é Vs R jwRC G jw Wy Rew Te qwre 82 Note que G0 Gco 1 e é possivel perceber com facilidade que no contexto a frequéncia de corte é definida por we 1RC 31 Ademais assim como no filtro passabaixas esse tipo de circuito pode ser obtido por circuitos simples como um circuito RL mas nesse caso a saida devera ser obtida a partir do indutor utilizado Um circuito em série ressonante formado por um resistor um indutor e um capacitor sendo assim um circuito RLC permite a implementagao de um filtro passafaixa que delimita a faixa de frequéncias permitida a partir de duas frequéncias de corte como mostra a Figura 38 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3765 15082023 2127 Ebook L Cc 1 HwI LD NI 0707 0eeee ed v t R Vo t cD 0 W Wo Ww w Figura 38 Circuito de um filtro passafaixa e respostas em frequéncia ideal e real Fonte Adaptada de Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a figura mostra no lado esquerdo 0 circuito elétrico formado por uma fonte de tensao em corrente alternada vit em série com um indutor de indutancia L um capacitor de capacitancia C um resistor de resisténcia R A saida é medida no resistor dada por vot e ha polaridade positiva em cima e negativa na parte de baixo No lado direito ha as respostas em frequéncia com a frequéncia angular no eixo x do grafico e a magnitude no eixo y A resposta ideal mostra que a magnitude é 1 de w1 até w2ea httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3865 15082023 2127 Ebook real mostra que ha uma atenuagao nessas frequéncias Nesses pontos especificamente a magnitude é 0707 A fungao de transferéncia é dada por Voljw R G jw ViGu Re ijtel 1ec 82 Além disso percebese que G0 Gco 0 sendo a frequéncia central wo entre w1 e we dada por wo 1 LC 33 Tratase portanto de um filtro de banda estreita com frequéncia central especifica PERTENCE JUNIOR 2015 E importante ressaltar que um filtro desse tipo também pode ser formado apenas por circuitos RC fazendo a associacao em cascata de um filtro passabaixas we w na entrada de um filtro passaaltas w w Esse é um tipo de filtro denominado filtro de banda larga Filtro rejeitafaixa Um circuito RLC também pode permitir outro arranjo de filtro conhecido como filtro rejeitafaixa ou filtro notch com a saida medida entre o capacitor e o indutor de forma que a rejeiao ocorrera com base na frequéncia central como mostra a figura a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 3965 15082023 2127 Ebook R HwI Cc 0707 J osses6 50555554 v t Vo t cep iN 0 w Wo Ww w Figura 39 Circuito de um filtro rejeitafaixa e suas respostas em frequéncia ideal e real Fonte Adaptada de Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a figura mostra no lado esquerdo o circuito em série de uma fonte de tensao em corrente alternada vit um resistor de resisténcia R um capacitor de capacitancia C um indutor de indutancia L A saida é medida do capacitor ao indutor sendo a polaridade positiva em cima e negativa embaixo e representada por vot No lado direito ha as respostas em frequéncia com a frequéncia angular no eixo x e a magnitude no eixo y com a resposta ideal com a magnitude 1 de 0 até w1 em O de w1 até w2 e em 1 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4065 15082023 2127 Ebook novamente a partir de w2 ao passo que a resposta real mostra que ha uma transiao com a magnitude de 0707 nas frequéncias w1 e w2 A fungao de transferéncia no contexto é Vojw jwL 1wC G jw Vilju RjwL10c 24 Ademais G0 Gco 1 ea frequéncia central é wo 1 LC 35 Por fim esse filtro e os outros mencionados até aqui podem ser implementados com circuitos semelhantes inclusive mais complexos dependendo das exigéncias do sistema eou do processo de filtragem Uma possibilidade é a utilizagao de elementos ativos como ficara mais claro adiante httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4165 15082023 2127 Ebook Atividade ndo pontuada Considere que um filtro rejeitafaixa deve rejeitar um ruido caracterizado por uma senoide de 200 Hz permitindo ainda uma largura de banda de 100 Hz Para o projeto desse filtro 6 possivel estabelecer valores de componentes ja disponiveis No contexto utilizase um resistor de 150 ohms Quais podem ser os valores de L e C OaL4HeC2 uF O bL24HeC25 uF OcL04HeC65 LF O dL024HeC265 LF OeL02HeC2 yF httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4265 15082023 2127 Ebook Agora discutiremos os filtros ativos divididos de acordo com a forma de filtragem Depois apresentaremos uma visao geral do projeto desses tipos importantes de circuitos elétricos Ademais como exemplo consideramos os filtros de 12 ordem utilizando assim somente um circuito RC ou RLC para a comparagao com os filtros passivos A principal diferena entre um filtro ativo e um passivo é a presenca do amplificador operacional um elemento ativo PERTENCE JUNIOR 2015 O circuito presente na Figura 310 relativamente simples conteém um exemplo genérico de filtro passabaixas de 17 ordem mostrando assim o uso do filtro RC combinado com um amplificador similar httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4365 15082023 2127 Ebook Ry CF Rj O Vi Vo O O Figura 310 Exemplo de filtro passabaixas Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo representada por Vi Em seguida ha o resistor de entrada Ri conectado ao terminal negativo do amplificador O terminal positivo do amplificador esta conectado no negativo da entrada e o httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4465 15082023 2127 Ebook resistor de feedback Rf esta conectado em paralelo com um capacitor Cf entre a entrada negativa do amplificador e a saida dele A tensao de saida é Vo polaridade positiva em cima e negativa embaixo A fungao de transferéncia do circuito apresentado de forma similar ao processo feito para o filtro passabaixas é R G jw 36 J Ri 1 jwCRy 36 Nesse contexto a frequéncia de corte é wo ze 87 fey O circuito presente na Figura 311 representa uma das possibilidades de implementagao de um filtro ativo passaaltas de 1 ordem Devido a forma como o amplificador esta conectado ha um amplificador inversor httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4565 15082023 2127 Ebook Ry Cj Rj Vi Vo Figura 311 Exemplo de filtro passaaltas Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo representada por Vi Em seguida ha o resistor de entrada Ri e o capacitor Ci conectados ao terminal negativo do amplificador O terminal positivo do amplificador esta conectado no httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4665 15082023 2127 Ebook negativo da entrada e o resistor de feedback Rf esta conectado entre a entrada negativa do amplificador e a Saida dele A tensao de saida é Vo polaridade positiva em cima e negativa embaixo A fungao de transferéncia é Ry joCi Ry G jo Ra a 7 Tepe 38 De forma similar 6 possivel obter a frequéncia de corte em termos de parametros do circuito algo fundamental para o projeto do filtro Assim Wo Fer 39 RC Como mencionado anteriormente um filtro passafaixas é obtido a partir da combinagao de filtros passabaixas e passaaltas Além disso nesse caso é possivel inserir um circuito inversor de forma que a inversao do sinal nao ocorra devido a combinacgao resultante dos circuitos com amplificadores O resultado pode ser visto no modelo apresentado na Figura 312 um filtro ativo de trés estagios httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4765 15082023 2127 Ebook RO Ry R Co Ln ioe Ine O V Ff O O Estagio 1 Estagio 2 Estagio 3 Filtro passabaixas Filtro passabaixas Um inversor para ajustado em Ws ajustado em W proporcionar ganho Figura 312 Exemplo de filtro passafaixas Fonte Alexander e Sadiku 2013Fonte VG Educacional PraCegoVer a imagem apresenta um circuito de um filtro passafaixas formado por trés circuitos ativos distinguidos por trés estagios No estagio 1 ha um filtro passabaixas ajustado em w2 com circuito com fonte de entrada de polaridade positiva em cima e negativa embaixo representada por Vi Em seguida ha o resistor de entrada R conectado ao terminal negativo do amplificador O terminal positivo do amplificador esta conectado no negativo da entrada e o resistor de feedback R esta conectado em paralelo com um capacitor C1 entre a entrada negativa do amplificador e a saida dele A tensao de saida httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4865 15082023 2127 Ebook é aplicada a entrada do estagio 2 um filtro passaaltas ajustado em w1 na entrada com a série de um resistor R e um capacitor C2 O terminal positivo do amplificador esta conectado ao negativo da entrada e aterrado sendo que ha um resistor de realimentagao R conectado entre C2 e a saida do filtro para a entrada do estagio 3 com um inversor para proporcionar ganho Esse circuito é formado por Ri na entrada associado ao terminal negativo do amplificador O terminal positivo esta conectado ao negativo da fonte de entrada e ha um resistor de realimentagao Rf conectado com Ri e com a Saida determinada pela tensao Vo com polaridade positiva em cima e negativa embaixo A fungao de transferéncia é dada por Ry 1 jwO2R Gjw Rr Ta joi R Vi joer 49 As frequéncias de corte sao wy 1RC 411 we 1RC 412 A frequéncia central é resultado da raiz wo W We Filtro rejeitafaixa De forma similar ao filtro anterior o filtro rejeitafaixa pode ser desenvolvido a partir da associagao de filtros passabaixa e passaalta mas em paralelo e contando com um circuito amplificador httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 4965 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5065 somador para efetivar a operação O resultado disso pode ser visto no circuito da Figura 313 15082023 2127 Ebook R R o R i R O 7 R R ra O C ie V i he Vo O O Figura 313 Exemplo de filtro rejeitafaixa Fonte Alexander e Sadiku 2013 PraCegoVer a imagem apresenta um circuito com entrada dada por Vi polaridade positiva em cima e negativa embaixo Em seguida na parte de cima ha 0 circuito de um filtro passabaixas igual ao usado no filtro passafaixas com a adicao do resistor Ri na saida desse filtro Embaixo da entrada em paralelo com o filtro passabaixas ha 0 filtro passaaltas igual ao descrito para o filtro passafaixas com o resistor Ri na saida também Através dos resistores Ri as saidas dos filtros passabaixas e passaaltas estao conectadas em um ultimo amplificador operacional no terminal negativo sendo que o terminal positivo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5165 15082023 2127 Ebook esta conectado ao negativo da entrada Ainda ha um resistor de feedback Rf conectando o terminal negativo do amplificador operacional com a saida formando a saida Vo com positivo em cima e negativo embaixo A fungao de transferéncia correspondente é Ry 1 jwC2R G jw ze TP jOOR Tr jor 42 As frequéncias Ww e Ww sao as mesmas definidas em 411 e 412 assim como a frequéncia central Dentre os varios recursos disponiveis a resposta em frequéncia é fundamental para o projeto de filtros em geral como ja ficou claro nos filtros passivos Isso se repete para os filtros ativos e uma possibilidade nesse caso é o uso do diagrama de Bode Para saber mais detalhes acerca desse assunto caroa estudante vocé pode ler a obra Engenharia de sistemas de controle de Norman S Nise 2013 mais especificamente das paginas 918 a 920 relacionadas a obtencao de circuitos de filtros ativos a partir da funao de transferéncia httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5265 15082023 2127 Ebook Vamos Praticar Em varios equipamentos utilizase um filtro ativo do tipo passabaixas para restringir ruidos que podem estar presentes em frequéncias acima da faixa de frequéncia de interesse Dessa forma considere que no equipamento em questdo necessario um ganho de 4 e as frequéncias acima de 500 Hz nado sdo de interesse Com base nesse contexto projete um filtro com as caracteristicas apresentadas supondo ainda que ha um capacitor de 01 uF httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5365 15082023 2127 Ebook Por fim apresentaremos uma visao geral do uso de softwares e ferramentas computacionais na simulagao de circuitos elétricos considerando o Multisim em sua plataforma online O acesso é feito pela internet pelo site da empresa no qual é possivel realizar um cadastro ou fazer o download de uma versado mais completa paga Na opao gratuita a plataforma inicial de trabalho permite a seleao dos componentes desde elementos passivos como resistores indutores e capacitores até a insergao de elementos eletr6nicos e ativos como amplificadores operacionais A simulagao 6 facilmente acessada pelo lado direito permitindo a selegao do tempo de analise e o uso de elementos de medicao como amperimetros voltimetros e até mesmo um osciloscdpio para a visualizagao de formas de onda de entrada e saida por exemplo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5465 15082023 2127 Ebook Além dessa ferramenta existem diversas outras possibilidades como o LTSpice as versdes mais antigas do PSIM e outras ferramentas gratuitas de circuitos eletrénicos Ainda é possivel utilizar o Simulink por meio do MATLAB 0 Scilab que é gratuito similar ao MATLAB e inclui a possibilidade de se obter facilmente o diagrama de Bode por exemplo No caso especifico do MATLAB mediante um algoritmo simples a partir da funao de transferéncia do circuito por exemplo é possivel obter o diagrama de Bode completo Ademais ferramentas como o Simulink parte desse importante software podem ser utilizadas para a simulagao completa do circuito elétrico em si httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5565 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5665 Material Complementar 15082023 2127 Ebook LIVRO Sinais e sistemas uma iIntrodugao Felipe Gabriel de Mello Elias Editora Intersaberes ISBN 9788522701810 Comentario No livro de sinais e sistemas na secao 56 mais especificamente sao apresentados mais detalhes acerca da analise da regiao de convergéncia da transformada de Laplace de forma bastante clara e com alguns exemplos httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5765 15082023 2127 Ebook LIVRO Controle essencial Paulo Alvaro Maya e Fabrizio Leonardi Editora Pearson ISBN 9788576057000 Comentario Esse livro de sinais e sistemas é mais dedicado ao estudo da area de controle Na obra sao tratados diversos recursos importantes de modelagem matematica incluindo aspectos mais especificos da funao de transferéncia no capitulo 4 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5865 15082023 2127 Ebook WEB n Simulagoes de circuitos RLC com MATLABSimulink e PSIM G co CQ Ano 2018 aos cs a remy y 4 2 Comentario Para saber como é possivel utilizar ferramentas como o P MATLAB mais especificamente por meio do Simulink e do PSIM na conteud simulagao de circuitos com resistores capacitores e indutores assista ao video disponivel em ACESSAR httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 5965 15082023 2127 Ebook WEB n Simulagoes de circuitos RLC com MATLABSimulink G e PSIM C co CQ Ano 2018 aos cs ee y 4 2 Comentario Para saber como é possivel utilizar ferramentas como o P MATLAB na obtengao do diagrama de Bode e para ver uma introdugao a f essa importante ferramenta matematica da analise de circuitos praticos como os filtros assista ao video disponivel em ACESSAR httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 6065 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 6165 15082023 2127 Ebook C 5 Neste material apresentamos detalhes praticos de duas ferramentas fundamentais a transformada de Laplace e o diagrama de Bode A transformada de Laplace é uma ferramenta facilitadora para a analise de circuitos elétricos que com o diagrama de Bode permite a analise desses circuitos no dominio da frequéncia Ha ainda a possibilidade de projetar circuitos praticos importantes como os filtros passivos e os ativos utilizados em diversos tipos de equipamentos e dispositivos nos sistemas industriais em geral e até mesmo em elementos do cotidiano Por fim é importante salientar que a utilizagao de softwares e ferramentas computacionais para o desenvolvimento e os testes de equipamentos e circuitos faz parte da atuagao doa engenheiroa ee Referéncias httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 6265 15082023 2127 Ebook ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de circuitos elétricos 5 ed Porto Alegre Bookman 2013 See 5 v DIAGRAMA de Bode parte 1S s n 2018 1 video 20 j min 59 s Publicado pelo canal Luis Antonio Aguirre q Disponivel em httpswwwyoutubecomwatchv5SJ ane bj758P0 Acesso em 8 jul 2021 ELIAS F G M Sinais e sistemas uma introducao Curitiba Intersaberes Biblioteca ELIAS F G M Sinais e sistemas uma introducao Curitiba Intersaberes Biblioteca ME SALVA LAPO1 Introducao a transformada de Laplace S s n 2014 1 video 8 min 42 s Publicado pelo canal Me salva ENEM 2021 Disponivel em httpswwwyoutubecomwatch vGrRWAOgF2p0 Acesso em 6 jul 2021 NISE N S Engenharia de sistemas de controle 6 ed Sao Paulo LTC 2013 ELIAS F G M Sinais e sistemas uma introducao Curitiba Intersaberes Biblioteca ELIAS F G M Sinais e sistemas uma introducao Curitiba Intersaberes Biblioteca PERTENCE JUNIOR A Amplificadores operacionais e filtros ativos8 Porto Alegre Bookman Editora 2015 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 6365 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 6465 SIMULAÇÕES de Circuito RLC com MatlabSimulink e Psim S l s n 2018 1 vídeo 8 min 34 s Publicado pelo canal Eng Luis Cesar Emanuelli Disponível em httpswwwyoutubecomwatch viE1HIVbOkhw Acesso em 8 jul 2021 15082023 2127 Ebook httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGSINASI21unidade3ebookindexhtml 6565