Revisão de Cálculo para Sistemas de Informação

Cálculo Sistema da Informação Revisão Profª Ana Carolina 1 Expressões numéricas a 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 b 𝑥 23 2 Produtos notáveis a Quadrado da Soma de dois Termos 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎2 2𝑎𝑏 𝑏2 b Quadrado da Diferença de dois Termos 𝑎 𝑏2 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎2 2𝑎𝑏 𝑏2 c Produto da Soma pela Diferença de dois Termos 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎2 𝑏2 3 Binômio de Newton AB0 1 AB1 1A1B AB2 1A2 2AB 1B2 AB3 1A3 3A2B 3AB2 1B3 AB4 1A4 4A3B 6A2B2 4AB3 1B4 4 Funções Domínio e imagem de uma função Valor funcional f2 Função injetiva Cada elemento do contradomínio é atingido no máximo uma vez Função Sobrejetiva Cada elemento do contradomínio é atingido pelo menos uma vez Função Bijetiva Cada elemento do contradomínio é atingido exatamente uma vez Funções crescentes e decrescentes Função composta 𝒇𝒐𝒈𝒙 𝒇𝒈𝒙 𝑓𝑥 𝑥 e 𝑔𝑥 2𝑥 3 Funções inversas Para escrever a fórmula da função inversa de uma função bijetora precisamos lembrar que 𝑓𝑥 𝑦 1º passo na função bijetora substituir fx por y 2º passo onde tem x trocase por y e onde tem y trocase por x 3º passo isolase o y de um lado da igualdade 4º passo reescrevese a função substituindo y por Se f1 é a função inversa de f que vai de ℝ em ℝ cuja lei de formação 𝑓𝑥 2𝑥 10 o valor numérico de f 12 é 41 Função Afim Valor funcional Gráfico coeficiente angular 𝑎 𝑦 𝑥 𝑦1 𝑦0 𝑥1 𝑥0 Como encontrar uma função afim 42 Função Quadrática Valor funcional Determinar os zeros da função Gráfico Vértice 𝑉 𝑏 2𝑎 4𝑎 Função exponencial 𝑓𝑥 3𝑥 Gráfico 𝑎 1 0 𝑎 1 Equações exponenciais a 25𝑥1 5𝑥 b 1 3𝑥 81 c 4𝑥 32 43 Função Logarítmica e logaritmo 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝑐 Condição de existência do logaritmo 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁 existe quando e somente quando Propriedades 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀 𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑀 𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀𝑁 𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑀 Gráfico a 𝑙𝑜𝑔3𝑥2 3𝑥 1 1 𝑙𝑜𝑔3𝑥 2 N 0 a 0 e a 1 45 Funções Trigonométricas sen 0 0 cos 0 1 Quaisquer que sejam os reais a e b 𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑎 Quaisquer que sejam os reais a e b 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑏 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝜋 1 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜋 0 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 0 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 1 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 2 0 𝑒 𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2 1 𝑐𝑜𝑠2𝜋 1 𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝜋 0 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 2 1 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 2 1 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 5 Limites Definição Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no próprio número a O limite de 𝑓𝑥 quando x tende a a será L escrito da seguinte forma lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 Se lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿1 e lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿2 então L1 L2 lim 𝑥𝑎 𝑐 𝑐 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝐿 𝑀 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝐿 𝑀 lim 𝑥3𝑥2𝑥 1 Se lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 e n for um inteiro positivo qualquer então lim 𝑥25𝑥 74 lim 𝑥2 5𝑥 74 34 81 Se lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑀 então lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝐿 𝑀 se M 0 Ex lim 𝑥4 𝑥 7𝑥 1 lim 𝑥4 𝑥 lim 𝑥47𝑥 1 4 27 4 27 Se n for um inteiro positivo e lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 então lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑛 𝐿 𝑛 Com restrição de que se n for par L 0 Ex lim 𝑥4 𝑥 7𝑥 1 3 lim 𝑥4 𝑥 7𝑥 1 3 4 27 3 4 3 3 51 Limites Laterais Definição Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo aberto a c Então o limite de fx quando x tende a a pela direita é L lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 Definição Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo aberto a c Então o limite de fx quando x tende a a pela esquerda é L lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝐿 Calcule lim 𝑥1 𝑓𝑥 e lim 𝑥1 𝑓𝑥 sendo 𝑓𝑥 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 1 2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 1 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 existe e será igual a L se e somente se lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 existirem e forem iguais a L Ex1 Seja g definida por 𝑔𝑥 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 2 𝑠𝑒 𝑥 0 a Ache lim 𝑥0 𝑔𝑥 se existir 52 Limites Infinitos Definição Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I contendo a exceto possivelmente no próprio a Quando x tende a a fx cresce indefinidamente temos lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 lim 𝑥2 3 𝑥 22 Definição Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I contendo a exceto possivelmente no próprio a Quando x tende a a fx cresce indefinidamente temos lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑓𝑥 3 𝑥 22 Se a for um número real qualquer e se lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 0 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑐 onde c é uma constante nãonula então i se c 0 e se fx 0 por valores positivos de fx lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑓𝑥 ii se c 0 e se fx 0 por valores negativos de fx lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑓𝑥 iii se c 0 e se fx 0 por valores positivos de fx lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑓𝑥 iv se c 0 e se fx 0 por valores negativos de fx lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑓𝑥 Ex1 lim 𝑥1 2𝑥 𝑥 1 lim 𝑥12𝑥 2 e lim 𝑥1𝑥 1 0 ou seja c 0 e fx 0 Teoremas i lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑐 onde c é uma constante qualquer então lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 ii lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑐 onde c é uma constante qualquer então lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑔𝑥 Teorema lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑐 onde c é uma constante não nula então i Se c 0 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ii Se c 0 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 Teorema lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 𝑐 onde c é uma constante não nula então i Se c 0 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ii Se c 0 lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 6 Assíntotas Verticais Definição A reta x a será uma assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das afirmativas for verdadeira i lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 ii lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 iii lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 iv lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 7 Limites no Infinito Definição Seja f uma função definida em um intervalo a o limite de fx quando x cresce indefinidamente é L lim 𝑥𝑓𝑥 𝐿 Considerando para valores de x menores que 0 permitindo que x decresça indefinidamente É possível observar que os valores funcionais para os números negativos são os mesmos que aqueles para os números positivos Quando x decresce indefinidamente fx tende a 2 Quando uma variável independente x for decrescente indefinidamente através de valores negativos escrevemos x Assim lim 𝑥 2𝑥2 𝑥2 1 2 Definição Seja f uma função definida em um intervalo a o limite de fx quando x decresce indefinidamente é L lim 𝑥𝑓𝑥 𝐿 Teorema Se r for um inteiro positivo qualquer então i lim 𝑥 1 𝑥 0 ii lim 𝑥 1 𝑥 0 8 Continuidade de uma função Definição Dizemos que a função f é contínua no número a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas i fa existe ii lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 existe Para que exista lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 iii lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑓𝑎 Ex1 𝐶𝑥 𝑥 𝑠𝑒 0 𝑥 10 07𝑥 3 𝑠𝑒 10 𝑥 Uma função polinominal é contínua em qualquer número Uma função racional é contínua em todos os números do seu domínio Determine os números nos quais a função a seguir é contínua 𝑓𝑥 2𝑥 3 𝑠𝑒 𝑥 1 𝑥2 𝑠𝑒 1 𝑥 As funções 2𝑥 3 e 𝑥2 são funções polinomiais e portanto contínuas em qualquer número Assim o único número que tem a continuidade questionável é o 1 Vamos testar as três condições i 𝑓1 1 ii lim 𝑥1𝑓𝑥 lim 𝑥12𝑥 3 1 lim 𝑥1𝑓𝑥 lim 𝑥1𝑥2 1 Como lim 𝑥1𝑓𝑥 lim 𝑥1𝑓𝑥 o limite bilateral lim 𝑥1𝑓𝑥 não existe Logo f é descontínua em 1 mas é contínua em todos os reais exceto 1 Se n for um inteiro positivo e 𝑓𝑥 𝑥 𝑛 Então i Se n for ímpar f será contínua em qualquer número ii Se n for par f será contínua em todo número positivo Ex 𝑓𝑥 𝑥 3 e 𝑔𝑥 𝑥 𝑓𝑥 é contínua em todo número real 9 Continuidade de uma função composta e continuidade em um intervalo Se lim 𝑥𝑎𝑔𝑥 𝑏 e se a função f for contínua em b lim 𝑥𝑎𝑓𝑜𝑔𝑥 𝑓𝑏 ou equivalentemente lim 𝑥𝑎𝑓𝑔𝑥 𝑓lim 𝑥𝑎𝑔𝑥 Se a função g for contínua em a e a função f for contínua em ga então a função composta fog será contínua em a Ex Determine os valores em que a função a seguir é contínua ℎ𝑥 4 𝑥2 𝑓𝑥 𝑥 e 𝑔𝑥 4 𝑥2 Como g é uma função polinomial será contínua em toda parte já f é contínua em todo número positivo Logo h é contínua em todo número x para o qual gx 0 isto é quando 4 𝑥2 0 Resolvendo h é contínua em todos os números do intervalo aberto 22 10 Teorema do Sanduíche Suponha que as funções f g e h estejam definidas em algum intervalo aberto I contendo a exceto o próprio a e que 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 para todo x em I tal que x a Suponha também que lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e lim 𝑥𝑎 ℎ𝑥 ambos existam e tenham o mesmo valor de L então lim 𝑥𝑎 𝑔𝑥 existe e é igual a L Ex1 Sejam f g e h as funções definidas por 𝑓𝑥 4𝑥 22 3 𝑔𝑥 𝑥 2𝑥2 4𝑥 7 𝑥 2 ℎ𝑥 4𝑥 22 3 Os gráficos de f e h são parábolas tendo seu vértice em 23 Já o gráfico de g é uma parábola da qual excluise o vértice 23 A função gx não é definida para x 2 contudo para x 2 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 Assim lim 𝑥2 𝑓𝑥 3 e lim 𝑥2 ℎ𝑥 3 segue que lim 𝑥2 𝑔𝑥 3 101 Teorema lim 𝑡0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 1 Ex1 Ache o limite se existir lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 Temos que 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 3𝑠𝑒𝑛3𝑥 3𝑥 5𝑠𝑒𝑛5𝑥 5𝑥 Quando x tende a zero o mesmo acontece com 3x e 5x Logo lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3𝑥 lim 3𝑥0 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3𝑥 1 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 5𝑥 lim 5𝑥0 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 5𝑥 1 Então temos que lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 3 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 3𝑥 5 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 5𝑥 31 51 3 5 102 Teorema A função seno é contínua em 0 fa existe lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 existe Para que exista lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 lim 𝑥𝑎𝑓𝑥 𝑓𝑎 i 𝑠𝑒𝑛 0 0 ii lim 𝑡0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 lim 𝑡0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 𝑡 lim 𝑡0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 lim 𝑡0 𝑡 10 0 iii lim 𝑡0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 0 104 A função cosseno é contínua em 0 iv 𝑐𝑜𝑠 0 1 v 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 1 lim 𝑡0 𝑐𝑜𝑠 𝑡 lim 𝑡0 1 𝑠𝑒𝑛2𝑡 lim 𝑡0 1 𝑠𝑒𝑛2𝑡 1 0 1 vi lim 𝑡0 𝑐𝑜𝑠 𝑡 cos 0 103 Teorema lim 𝑡0 1 cos 𝑡 𝑡 0 lim 𝑡0 1 cos 𝑡 𝑡 lim 𝑡0 1 cos 𝑡1 cos 𝑡 𝑡1 cos 𝑡 lim 𝑡0 1 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑡1 cos 𝑡 lim 𝑡0 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑡1 cos 𝑡 lim 𝑡0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 lim 𝑡0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 1 cos 𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑡0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 1 e 𝑙𝑖𝑚 𝑡0 𝑠𝑒𝑛 𝑡 1𝑐𝑜𝑠 𝑡 0 11 0 Logo lim 𝑡0 1 cos 𝑡 𝑡 0