Revisão de Derivadas e Aplicações em Cálculo

Cálculo Sistema da Informação Revisão Profª Ana Carolina Derivadas 1 Dada a função 𝑓𝑥 3𝑥2 2𝑥 1 encontre 𝑓3 Regras de derivação 2 Seja 𝑓𝑥 3𝑥2 1 𝑒𝑥 Calcule fx 3 Calcule fx onde 𝑓𝑥 2𝑥3 𝑥21 Derivadas de ordem superior 4 Seja 𝑓𝑥 3𝑥3 6𝑥 1 Determine f f e f Regra da Cadeia 5 Calcule 𝑓𝑥 sendo a 𝑓𝑥 3𝑥2 13 b 𝑦 ln𝑥2 3 Derivada de função dada implicitamente 6 Considere a equação 3𝑥4𝑦2 7𝑥𝑦3 4 8𝑦 Aplicação de derivada 7 Uma partícula movese sobre o eixo x de modo que no instante t a posição x é dada por 𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑡 𝑡 0 Suponha x dado em metros e t em segundos a Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes t 0 t π6 t π3 t π2 e t 2π3 b Qual a velocidade no instante t c Qual a aceleração no instante t d Esboce o gráfico da função de posição Taxas relacionadas Passos para um procedimento possível para resolver os problemas envolvendo taxas relacionadas Faça uma figura se isso for possível Defina as variáveis Em geral defina primeiro t pois as outras variáveis usualmente dependem de t Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação a t Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa anterior Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa anterior e resolva em termos da quantidade desejada 8 Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio A água flui no tanque a uma taxa de 2 m3min Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m Extremos de funções 9 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de fx 10x2 lnx no intervalo 1e2 Esboço de gráficos Identifique onde os extremos de f ocorrem Determine os intervalores onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente Determine onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo Esboce a forma geral do gráfico de f Trace pontos específicos como máximos e mínimos locais os pontos de inflexão e as coordenadas das interseções com os eixos x e y Em seguida esboce a curva 10 Esboce o gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥4 4𝑥3 10 Formas indeterminadas e a regra de LHôpital Usamos a regra de LHôpital quando temos funções contínuas fx e gx que resultam em zero quando x a formando uma expressão indeterminada lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 0 0 11 lim 𝑥0 3𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 Outras aplicações Equações da tangente e normal A equação de uma reta é dada por 𝑦 𝑦1 𝑚𝑥 𝑥1 Se a reta é tangente a curva AB no ponto P1X1Y1 então m é o coeficiente angular da curva no ponto X1Y1 chamamos de m1 𝑦 𝑦1 𝑚1𝑥 𝑥1 Equação da tangente Sendo a normal perpendicular à tangente o coeficiente angular é m1 com sinal trocado A equação da normal será 𝑦 𝑦1 1 𝑚1 𝑥 𝑥1 Equação da normal 12 Achar as equações da tangente e normal no ponto 22 da equação 𝑦 𝑥3 3𝑥 Máximo e mínimo valores de uma função Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando a derivada é negativa fx é um máximo se fx 0 e fx muda de sinal de para fx é um mínimo se fx 0 e fx muda de sinal de para 13 𝑦 2𝑥3 9𝑥2 12𝑥 3 Integrais 14 Calcule 5𝑥4 8𝑥3 9𝑥2 2𝑥 7𝑑𝑥 15 Calcule 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 Integrais de funções trigonométricas 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 cos 𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐶 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 𝑡𝑔𝑥 𝐶 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝐶 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝐶 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 𝐶 16 Calcule 3 sec 𝑥𝑡𝑔𝑥 5𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 Técnicas de antidiferenciação ou método de mudança de variável A regra da cadeia para antidiferenciação Seja g uma função diferenciável e seja o intervalo I a imagem de g Suponha que f seja uma função definida em I e que F seja uma antiderivada de f em I Então 𝑓𝑔𝑥𝑔𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑔𝑥 𝐶 17 Calcule 3𝑥 4𝑑𝑥 Regra da substituição 18 𝑥3 cos𝑥4 2 𝑑𝑥 Integral Definida 19 Calcule 25𝑥 𝑥 4 1 𝑑𝑥 Área de uma região plana 20 Ache a área da região no primeiro quadrante limitada pela curva 𝑦 𝑥𝑥2 5 pelo eixo x e pela reta x 2 Área delimitada por duas funções 21 Ache a área da região limitada pelas curvas 𝑦 𝑥2 e 𝑦 𝑥2 4𝑥 Volumes de sólidos por cortes discos e anéis circulares Definição Seja S um sólido tal que S esteja entre os planos perpendiculares ao eixo x em a e b Se a medida da área da seção plana de S no plano perpendicular ao eixo x em x for dada por Ax onde A é contínua em ab então a medida do volume será dada por 𝑉 𝐴𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Na figura abaixo há um cilindro circular reto que tem h unidades de altura e r unidades de raio da base Uma seção plana a uma distância de x unidades a partir da origem tem uma área de Ax unidades quadradas onde 𝐴𝑥 𝜋𝑟2 Para encontrar o volume do cilindro fazemos 𝑉 𝐴𝑥𝑑𝑥 ℎ 0 𝜋𝑟2𝑑𝑥 ℎ 0 𝜋𝑟2𝑥0 ℎ 𝜋𝑟2ℎ Essa definição permite encontrar o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação de uma região num plano em torno de uma reta no plano chamada eixo de revolução Por exemplo a esfera e o cone Se a região limitada por um semicírculo e seu diâmetro for girada em torno do diâmetro uma esfera será gerada assim como um cone circular reto é gerado se a região limitada por um triângulo retângulo for girada em torno de um de seus catetos Definição de volume de um sólido de revolução Seja f uma função contínua em ab e suponha que 𝑓𝑥 0 para todo x em ab Se S for o sólido de revolução obtido pela rotação efetuada em torno do eixo x da região limitada pela curva y fx pelo eixo x e pelas retas x a e x b e se V for um número de unidades cúbicas no volume de S então 𝑉 𝜋𝑓2𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Sejam f e g funções contínuas no intervalo fechado ab e suponha que 𝑓𝑥 𝑔𝑥 0 para todo x em ab Então se V unidades cúbicas for o volume do sólido de revolução gerado com a rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y fx e y gx e pelas retas x a e x b 𝑉 𝜋 𝑓𝑥2 𝑔𝑥2𝑑𝑥 𝑏 𝑎 22 Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada pela parábola 𝑦 𝑥2 1 e pela reta 𝑦 𝑥 3