Concreto Armado 1 - Atividade de Bleno

O projeto arquitetônico e a definição da estrutura 11 Fig 134 Formas do pavimento tipo Projeto Estrutural de Edifícios de Concreto Armado 36 Fig 323 Reações de apoio das lajes do pavimento tipo em kNm para o carregamento total Projeto das vigas da subestrutura contraventada 67 Fig 512 Peso das paredes sobre as vigas do pavimento tipo em kNm O projeto arquitetônico e a definição da estrutura 11 V20112x40 P120x50 V20220x60 P220x50 P320x50 V20312x40 30 19 30 12 124 20 424 12 372 20 124 12 L201 h10 L202 h10 L203 h10 L204 h10 40 40 V20412x40 P420x50 P520x50 P620x50 V20512x40 P720x20 L205 h10 L206 h10 L207 h10 L208 h10 5 60 12 124 20 424 12 372 20 124 12 V20612x40 P820x70 20 V20720x60 P920x70 P1020x70 V20812x40 V20912x40 V21112x40 V22512x60 L209 h10 184 12 12 12 275 242 2745 12 12 V22812x40 escada 3253 20 20 20 V21012x40 V21312x40 V23212x40 V23312x40 V21212x40 V21412x40 V21712x40 V23112x40 12 12 12 12 12 12 12 20 23 253 P1120x70 V21520x60 P1220x70 P1320x70 V21612x40 408 408 408 12 12 12 335 615 895 1175 1455 1735 2015 2295 L210 h10 L211 h10 L212 h10 L213 h10 P1420x20 V21812x40 P1620x50 P1520x50 P1720x50 L214 h10 L215 h10 L216 h10 L217 h10 V22212x40 V22420x60 V22612x40 V22920x60 V23012x40 V21912x40 P1820x50 V22020x60 P1920x50 P2020x50 V22112x40 12 282 274 274 282 20 20 Fig 134 Formas do pavimento tipo Projeto Estrutural de Edifícios de Concreto Armado 36 168 513 422 168 L201 256 256 419 L202 419 366 L203 366 256 256 L204 168 513 422 168 168 529 619 L205 L206 L207 199 280 280 515 515 653 653 262 262 L208 168 529 619 199 538 510 510 538 escada 199 529 619 280 280 515 515 653 653 262 262 L213 L210 L211 L212 199 168 168 529 619 168 168 513 419 422 366 256 L214 L215 L216 L217 256 419 366 256 168 513 422 168 Fig 323 Reações de apoio das lajes do pavimento tipo em kNm para o carregamento total Projeto das vigas da subestrutura contraventada 67 195 748 748 195 L201 L204 195 371 367 371 195 L202 L203 195 387 480 195 L205 L206 L207 480 490 268 490 480 L208 377 480 480 748 449 594 390 480 escada 480 429 275 594 480 L213 377 195 490 268 490 L211 L212 480 195 387 480 195 L214 L215 L216 L217 371 367 371 195 195 748 748 195 Fig 512 Peso das paredes sobre as vigas do pavimento tipo em kNm O projeto arquitetônico e a definição da estrutura 11 V20112x40 P1 20x50 V202 20x60 P2 20x50 P3 20x50 V20312x40 30 19 30 12 124 20 424 12 372 20 124 12 L201 h10 L202 h10 L203 h10 L204 h10 V204 12x40 40 40 P4 20x50 P5 20x50 P6 20x50 P7 20x20 V20512x40 5 60 L205 h10 L206 h10 L207 h10 L208 h10 12 124 20 424 12 372 20 124 12 V20612x40 P8 20x70 V20720x60 P9 20x70 P10 20x70 V20812x40 V20912x40 V22512x60 147 L209 h10 2745 242 P11 20x70 V215 20x60 P12 20x70 P13 20x70 V21012x40 V21212x40 V21312x40 20 3253 20 L210 h10 L211 h10 L212 h10 L213 h10 V21412x40 P14 20x20 V21712x40 23 12 12 12 V23112x40 408 408 253 V218 12x40 P16 20x50 P15 20x50 P17 20x50 12 12 12 282 274 274 L214 h10 L215 h10 L216 h10 L217 h10 V222 12x40 V224 20x60 V226 12x40 V22920x60 V230 12x40 V21912x40 P18 20x50 V220 20x60 P1920x50 P20 20x50 V22112x40 Fig 134 Formas do pavimento tipo 36 Projeto Estrutural de Edíficios de Concreto Armado 168 513 422 168 L201 L204 256 419 419 366 366 256 256 L202 L203 168 513 422 168 168 529 619 L205 L206 L207 199 280 280 515 515 653 653 262 262 L208 168 529 619 199 538 escada 510 510 538 168 529 619 199 L213 262 262 280 280 515 515 653 653 L210 L211 L212 199 168 513 422 168 256 256 419 366 256 256 L214 L215 L216 L217 168 513 422 168 Fig 323 Reações de apoio das lajes do pavimento tipo em kNm para o carregamento total Projeto das vigas da subestrutra contraventada 67 195 748 748 195 L201 L204 195 371 367 371 195 L202 L203 195 387 480 195 L205 L206 L207 480 490 268 490 480 L208 377 480 480 480 escada 449 390 480 480 429 275 594 480 195 490 268 490 377 L210 L211 L212 L213 195 371 367 371 195 L214 L215 L216 L217 195 748 748 195 Fig 512 Peso das paredes sobre as vigas do pavimento tipo em kNm Volume 1 Number 2 June 2008 p 193 211 ISSN 19834195 Bending moments in beams of reinforced concrete buildings Momentos fletores em vigas de edifícios de concreto armado F A N SILVA a arturunicapbr B HOROWITZ b horowitzufpebr 2008 IBRACON a Departamento de Engenharia Civil Universidade Católica de Pernambuco email arturunicapbr Rua Dr Manoel de Barros Lima 371902 Bairro Novo OlindaPE Brasil b Departamento de Engenharia Civil Universidade Federal de Pernambuco email horowitzufpebr Abstract Resumo Residential buildings with slab systems supported by reinforced concrete beams are widely used in building industry For design pur poses the computation of the loads on supporting beams is performed using simplified procedures in which the slab is analyzed as an isolated element New Brazilian code keeps the same recommendation presented in the old code allowing that in the case of rectangular slabs with uniform load the reactions on supporting beams may be computed assuming that those reactions correspond to the loads acting on triangles or trapezoids determined from the yield lines of the slab In a simplified way it is still allowed that these reactions may be considered as uniformly distributed on the slabs supports The work shows through illustrative examples that these recommendations can some times lead to unsafe results and proposes a correction to overcome the problems Keywords reinforced concrete beams bending moments reinforced concrete slabs Edifícios residenciais compostos de sistema de lajes maciças apoiadas em vigas de concreto armado são largamente utilizados na indústria da construção civil Na prática o cálculo das reações destas lajes sobre as vigas é feito através de processos simplificados nos quais os painéis de laje são analisados de forma isolada A NBR 6118 1 mantém em seu texto o mesmo teor da antiga NB1 2 permitindo que no caso de lajes maciças retangulares com carga uniforme as reações possam ser calculadas admitindose que elas correspondem às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através do método das charneiras plásticas De maneira aproximada a norma brasileira permite ainda que estas reações possam ser consideradas como uniformemente distribuídas sobre as vigas de apoio O trabalho demonstra através de exemplos práticos que tal recomendação pode conduzir a resultados contrários à segurança e propõe uma correção para o cálculo das reações de apoio em lajes maciças sobre as vigas de concreto armado Palavraschave vigas de concreto armado momentos fletores lajes maçicas de concreto armado 203 IBRACON Structures and Materials Journal 2008 vol 1 nº 2 F A N SILVA B HOROWITZ 1 Introdução A utilização de lajes maciças de concreto armado apoiadas sobre vigas também de concreto tem sido uma solução estrutural lar gamente empregada na construção de edificações em concreto armado no Brasil nas últimas décadas Na prática de projeto é usual se admitir a hipótese prevista na nova versão da NBR 6118 de que as ações das lajes sobre as vigas possam ser considera das uniformemente distribuídas item 14761 a exemplo do que já era permitido pela NB1 A determinação destas reações costu ma ser feita através de diversos procedimentos tais como Teoria das Grelhas Teoria da Elasticidade ou Análise Plástica sendo per mitido ainda considerar as linhas de ruptura da laje como retas inclinadas a partir dos vértices com ângulos de 45º 60º e 90º a depender das condições de vínculo dos apoios quando uma aná lise plástica não for efetuada O presente trabalho discute a eficácia da recomendação de uni formização das reações das lajes maciças de concreto armado sobre as vigas de apoio prevista na NBR 6118 através de exem plos práticos ilustrativos mostrando que esta hipótese pode em algumas situações conduzir a resultados contrários à segurança já que mecanismos de colapso envolvendo a formação de char neiras plásticas na laje e rótulas plásticas nas vigas resultam em cargas de colapso inferiores às cargas de projeto 3 e a condição de equilíbrio do sistema não é sempre satisfeita 2 Estudo de um painel interno típico de um piso de concreto armado Para o estudo do projeto das vigas de apoio de lajes de concreto armado considere um piso típico apresentado na Figura 1 onde se destaca um painel interno de vão Lx e Ly de interesse para as discussões que se seguem O painel em destaque na condição de ruptura pode desenvolver mecanismos de colapsos que envolvem tanto a própria laje quanto as vigas que a contornam e que lhe servem de apoio A Figura 2 ilustra estes mecanismos segundo as direções x e y respectiva mente nos quais charneiras se desenvolvem ao longo da laje e rótulas plásticas se formam sobre as vigas Promovendose o equilíbrio de um segmento da laje em torno do eixo da viga de apoio conforme indicado na Figura 2 é possível mostrar 4 que os momentos equilibrantes totais nas vigas e lajes nas direções x e y valem respectivamente onde mux mux muy muy são os momentos fletores resistentes últimos negativos e positivos da laje considerados uniformes nas respectivas direções e mux mux muy muy são os momentos fleto res resistentes últimos negativos e positivos das vigas O conceito de momento equilibrante total pode ser claramente 204 IBRACON Structures and Materials Journal 2008 vol 1 nº 2 Bending moments in beams of reinforced concrete buildings laje podem ser calculados através de qualquer um dos processos abaixo que buscam garantir a carga de colapso do mecanismo simples da laje indicado na Figura 5 a Tabelas baseadas na teoria elástica das placas b Método de Marcus c Método dos Elementos Finitos d Analogia da Grelha e Método das Charneiras Plásticas As tabelas baseadas na teoria elástica das placas são sistemati zações da solução da equação geral das placas para casos par ticulares de apoio e carregamento Admite material homogêneo linearelástico e isotrópico e usualmente fornecem momentos fle tores máximos nas duas direções No presente trabalho foram utilizadas as tabelas desenvolvidas por KALMANOK 5 adaptadas por ARAÚJO 6 O Método de Marcus se constitui numa adaptação da teoria das grelhas para o dimensionamento de lajes retangulares Baseiase compreendido examinado o seu cálculo para uma viga simples mente apoiada com carregamento uniformemente distribuído e momentos aplicados às extremidades conforme indicado na Fi gura 3 Observando esta figura podese concluir que para o equi líbrio é imperativo assegurar que a soma dos momentos fletores positivo e negativo seja igual ao momento equilibrante total neste caso Esta condição encontrase configurada nas equações 1 e 2 paras as vigas e para a laje do painel da Figura 2 em cada uma de suas direções e o dimensionamento destas vigas de forma que sejam satisfeitas estas equações assegurará que a carga de colapso será não inferior a qu Caso se deseje permitir a consideração de uniformização do car regamento das lajes sobre as vigas como indica a NBR 6118 é necessário garantir portanto a satisfação da condição de momen to equilibrante total nas duas direções Esta condição pode ser atendida se em cada direção exigirmos que o momento equili brante total nunca seja inferior a onde q carga por unidade de área da laje ln vão na direção onde os momentos estão sendo calculados l2 vão na direção transversal à ln A recomendação de uniformização das reações das lajes sobre as vigas de apoio prevista na NBR 6118 não atende necessariamente a condição de momento equilibrante total referida Também não satisfaz a condição de equilíbrio do semipainel nem assegura a capacidade de carga do sistema Para exemplificar o que se afirma considere a análise do painel interno indicado na Figura 1 individualizado na Figura 4 O mode lo de projeto adotado admite que as vigas sejam suficientemente resistentes e dimensionase a laje isolada sobre apoios indeslocá veis Posteriormente dimensionamse as vigas para as reações correspondentes das lajes Os momentos fletrores para o dimensionamento da armação da 205 IBRACON Structures and Materials Journal 2008 vol 1 nº 2 F A N SILVA B HOROWITZ no princípio de que a carga aplicada pode ser equilibrada apenas por flexão Marcus observou que o processo das grelhas fornecia valores relativamente altos para os momentos fletores positivos e propôs então uma correção destes momentos através da adoção de coeficientes específicos de modo a aproximálos dos valores reais advindos da teoria das placas Desenvolveu várias tabelas para o cálculo dos momentos fletores em lajes maciças retangula res de concreto armado para diversas condições de apoio que se encontram disponíveis na literatura 7 O Método dos Elementos Finitos MEF é uma poderosa ferra menta para análise numérica de estruturas em geral Para as análises realizadas as lajes foram modeladas por elementos de placa fina e as vigas de apoio por elementos usuais de barras tridi mensionais com seção transversal em T e largura contribuinte da laje de acordo com a norma brasileira O programa utilizado foi o STRAP 8 Como a utilização prática do MEF no projeto de estru turas ainda demanda um árduo trabalho na análise e interpretação dos resultados foram também realizadas análises através da ana logia da grelha que se constitui numa abordagem freqüentemente utilizada pela maioria dos programas automáticos para o cálculo e detalhamento de estruturas de concreto armado de edifícios resi denciais 9 10 A técnica da analogia da grelha além de ser de fácil aplicação é fundamentada em conceitos físicos de significado imediato aspecto que torna sua aplicação bastante simplificada e atrativa O Método das Charneiras Plásticas utiliza a teoria das linhas de ruptura para investigar os mecanismos de colapso no estado limite último O projeto de lajes de concreto armado através deste método possui importantes vantagens dentre as quais se destacam a eco nomia a simplicidade e a versatilidade A economia e a simplicidade 206 IBRACON Structures and Materials Journal 2008 vol 1 nº 2 Bending moments in beams of reinforced concrete buildings já foram demonstradas na prática com a construção do European Concrete Building Project em Cardington 11 onde em cada an dar da edificação foi utilizado processo distinto para o dimensiona mento e detalhamento das lajes Economia de aproximadamente 14 foi observada no andar projetado pelo Método das Charneiras Plásticas quando comparado com métodos elásticos tradicionais de dimensionamento utilizado nos outros andares Além disto o de talhamento resultante demonstrou praticidade de execução e ade quado comportamento tanto em serviço quanto em ruptura Nos exemplos onde se utilizou este método uma margem adicional de 10 nos valores dos momentos fletores para dimensionamento foi considerada para levar em conta os efeitos do mecanismo de leque conforme recomendado em 11 e para a relação entre o momento fletor na direção x e o momento fletor na direção y foi adotado um valor de 04 Este é um número próximo àquele obtido através de modelo simplificado de otimização do custo da armação da laje A carga uniformemente distribuída adotada para o cálculo dos mo mentos fletores na laje foi de 60 kNm2 para todos os processos descritos acima A Tabela 1 apresenta os momentos fletores positivos e negativos para o dimensionamento das armações da laje analisada para cada um dos processos descritos anteriormente bem como as respectivas cargas de colapso calculadas através da teoria das li nhas de ruptura para o mecanismo simples indicado na Figura 5 Como pode ser observado desta tabela a carga de colapso pro veniente da utilização do processo de armação das charneiras plásticas foi a que ficou mais próxima do valor alvo de 66 kNm2 resultante da majoração da carga de projeto em 10 ao passo em que a carga de colapso obtida através do uso dos momen tos fletores decorrentes das tabelas foi a que mais se distanciou daquele valor cerca de 67 acima da carga utilizada para o di mensionamento da laje Isto ocorre naturalmente porque estas tabelas usualmente fornecem valores máximos para os momentos fletores de dimensionamento aspecto que concorre para um de talhamento antieconômico da laje A Tabela 2 apresenta os momentos equilibrantes totais para as duas direções do painel Nesta tabela os momentos fletores na laje foram calculados por cada um dos processos descritos anteriormente e onde indicado com a abreviação NBR as reações da laje sobre as vigas necessárias ao cálculo dos momentos fletores destas foram determinadas através do procedimento simplificado permitido pela norma brasileira em seu item 14761 alínea a Os momentos equilibrantes totais nas duas direções obtidos através da equação 3 são Direção x 4860 kNm Direção y 6750 kNm Pode ser observado da Tabela 2 que n Na direção do vão maior a condição de momento equilibrante total não é atendida para nenhum dos processos simplificados de armação de lajes isolados com reação uniformizada sobre as vigas segundo a NBR 6118 n A relação mais desfavorável entre o momento resistente e o momento equilibrante corresponde ao Método das Charneiras PlásticasNBR com subdimensionamento de 22 a melhor relação corresponde a utilização de tabelas com 5 de subdimensionamento n Do ponto de vista da segurança o processo de dimensionamento da laje com a utilização de tabelas é mais aceitável que os outros dois métodos simplificados No entanto do ponto de vista da economia não é justificável superdimensionar as lajes para garantir a sua estabilidade A solução mais otimizada seria dimensionar as lajes para garantir contra o mecanismo simples de colapso e dimensionar as vigas para os mecanismos compostos de colapso assegurando a condição de momento equilibrante total Como as vigas são peças de maior altura a quantidade de armadura resultará diminuída como foi constatado em 11 n O processo de MarcusNBR que já foi tradicionalmente utilizado no país resulta em subdimensionamento de 16 na direção do maior vão Este subdimensionamento é coberto pelos valores dos coeficientes de segurança e não resulta necessariamente em colapso No entanto é de conhecimento dos autores o surgimento de fissuras nas vigas principalmente na direção do vão maior e que são freqüentemente atribuídas a esforços devidos à retração n Não é recomendável que prescrições normativas dependam de processos que superdimensionem as lajes para garantia do equilíbrio para as combinações de ações de cálculo 3 Sistema de pisos de concreto armado com vigas rígidas O projeto das vigas de apoio de lajes retangulares de concreto armado com carregamento uniformemente distribuído projetadas 207 IBRACON Structures and Materials Journal 2008 vol 1 nº 2 F A N SILVA B HOROWITZ mediante recurso à Teoria das Charneiras Plásticas pode ser con duzido através de um dos seguintes procedimentos 4 i método baseado nos mecanismos compostos de colapsos ii método baseado nos carregamentos transferidos para as vigas O primeiro método é para projetar os painéis partindo do princípio de que as vigas de apoio são suficientemente resistentes para suportar a carga última da laje e satisfeita esta condição as vigas são então projetadas através de análise limite baseada nos meca nismos de colapso vigalaje de forma que a carga de colapso do sitema seja atingida O exame do equilíbrio de um segmento da laje em torno dos eixos das vigas de apoio ver Figura 2 resulta nas equações 1 e 2 anteriormente apresentadas e o dimensionamento destas vigas de forma que sejam satisfeitas estas equações em cada direção assegura que ocorrerá ruptura simultânea das vigas e da laje quando do atingimento da capacidade de carga desta O segundo método de projeto consiste no cálculo do carregamento transferido pela laje para as vigas de apoio conforme se observa esquematicamente na representação da Figura 5 Uma questão que se coloca como de importância entretanto é que a teoria das linhas de ruptura não explicita de que maneira as reações das lajes se distribuem sobre as vigas de apoio Uma opção para resolver este problema é admitir que a distribui ção do carregamento sobre a laje para as vigas de apoio se pro cessa em consonância com o formato das linhas de ruptura ie carregamento triangular para as vigas na direção do vão menor e trapezoidal para as vigas na direção do vão maior Levandose em conta esta hipótese é possível mostrar que se o equilíbrio para as vigas em cada uma das direções for verificado as equações 4 e 5 a seguir seriam obtidas Direção do Vão Menor Direção do Vão Maior Se verificarmos o equilíbrio do segmento BEFC em relação ao lado BC ver Figura 5 e simplificarmos a expressão resultante obtémse a equação 6 a seguir De maneira inteiramente análoga fazendose o equilíbrio do seg mento CFD em relação CD obtémse a equação 7 a seguir É possível mostrar que se substituirmos o termo do lado direito da equação em 4 pela equação 6 e o termo do lado direito da equação 5 pela equação 7 obteríamos as equações a seguir As equações 8 e 9 são idênticas às equações 1 e 2 fato que permite concluir que os dois métodos expostos conduzem às mesmas expressões para o momento equilibrante total em cada direção Desta forma se as vigas forem projetadas por um destes métodos a capacidade do sistema estará assegurada Para que não seja necessária a análise plástica das lajes para o cálculo das cargas nas vigas as normas de projeto permitem aproximar o mecanismo de colapso das mesmas fixando o ângulo das charneiras com os eixos das vigas a depender da vinculação dos painés das lajes Para o caso de painel interno este ângulo é θ45º ver Figura 5 Utilizando a teoria da elasticidade é posível mostrar que estas simlificações são justificadas apenas no caso de vigas muito rígidas 4 A questão principal que se coloca portanto é como saber se as vigas de apoio são de fato suficientemente rígidas para serem consideradas apoios indeslocáveis Uma solução possível é a utilização do critério adotado pela nor ma canadense 12 que considera rígidas as vigas nas quais se verifica a seguinte relação onde PRR Parâmetro de Rigidez Relativa das vigas de apoio da laje bw largura da viga bh altura da viga sh espessura da laje nl vão livre da viga Garantida rigidez adequada para as vigas de apoio e caso se de seje admitir a uniformização das ações das lajes sobre as mesmas é preciso assegurar ainda o atendimento da condição de momento equilibrante total para as vigas duas direções conforme já referido anteriormente Uma maneira de fazer isto é determinar qual deve 208 IBRACON Structures and Materials Journal 2008 vol 1 nº 2 Bending moments in beams of reinforced concrete buildings ser o carregamento distribuído equivalente q que satisfaz esta condição Para o vão maior este carregamento pode ser obtido a partir da seguinte expressão Levandose em consideração que θ45 2 2 l yl e que a carga utilizada na equação 5 corresponde à contribuição de dois pai néis a carga distribuída equivalente nas vigas na direção do vão maior pode ser calculada pela expressão que se segue com x y l m l 209 IBRACON Structures and Materials Journal 2008 vol 1 nº 2 F A N SILVA B HOROWITZ Procedendo de maneira análoga é possível mostrar que o carre gamento uniformemente distribuído para as vigas na direção do vão menor é dado pela seguinte expressão As equações 12 e 13 representam o carregamento unifor memente distribuído equivalente que garante o atendimen to da condição de momento equilibrante total das vigas nas duas direções e deve ser utilizado caso se deseje considerar a uniformização da ação das lajes sobre as vigas de apoio É desta maneira por exemplo que a Norma Canadense 12 permite a uniformização das reações das lajes sobre as vigas de apoio para fins de cálculo do momento fletores de projeto das mesmas A uniformização do carregamento das lajes sobre as vigas de apoio conforme permitido pela NBR 6118 1 não garante a con dição de momento equilibrante total nas duas direções conforme já se demostrou e portanto necessita ser ajustada 4 Estudo comparativo A fim de se avaliar a eficiência dos procedimentos disponíveis na literatura para o cálculo das reações das lajes sobre as vigas de apoio de pisos de concreto armado foi desenvolvido um estudo comparativo utilizando os seguintes métodos n Recomendações simplificadas da NBR 6118 e Método de Marcus NBRM n Recomendações simplificadas da NBR 6118 e Teoria das Placas NBRP n Charneiras reais CHRE n Charneiras aproximadas CHAP n Carregamento distribuído equivalente CDE n Analogia da Grelha AGR e n Método dos elementos finitos MEF Para este estudo foi considerada a geometria do painel indicada na Figura 6 com os respectivos vão examinados Para cada relação entre os vãos λLyLx foram calculados os momentos fletores positivos e negativos na laje pelo Método de Marcus e pela Teoria das Placas e as reações sobre as vigas utilizando as recomendações simplificadas da NBR 6118 Os re sultados achamse indicados na Tabela 3 As charneiras reais correspondem ao procedimento de cálculo descrito em 3 ao passo em que as charneiras aproximadas correspondem aos ângulos recomendados pela NBR 6118 Além das análises através do MEF foram também efetuadas análises mediante recurso a elementos de grelha que se constitui numa abordagem freqüentemente utilizada pela maioria dos programas automáticos para o cálculo e detalhamen to de estruturas de concreto armado de edifícios residenciais A Tabela 4 e a Tabela 5 sumarizam os momentos equilibrantes totais para o sistema lajeviga na direção do vão menor e do 210 IBRACON Structures and Materials Journal 2008 vol 1 nº 2 Bending moments in beams of reinforced concrete buildings vão maior calculados para cada um dos procedimentos elen cados acima Os resultados apresentados mostram que na direção do vão maior Tabela 5 a recomendação da NBR 6118 de uniformização das reações das lajes sobre as vigas de apoio em geral subestimaram a condição de momento equilibrante total para o sistema lajeviga quando comparados com os resultados do MEF que por sua vez são idênticos aos valores obtidos com a eq 3 O valor máximo desta subestimação foi é de 20 para λ178 Os resultados da Tabela 5 mostram ainda que a menos da uniformização tradicional permitida pela norma brasileira qualquer um dos outros métodos referidos conduzem a resultados similares e constituem assim alternativas para o projetista 5 Efeito da flexibilidade dos apoios A fim de se avaliar o efeito da flexibilidade das vigas no comporta mento global do sistema lajeviga foi realizado um estudo admitin do uma variabilidade de inércia das mesmas Para tal a laje repre sentada na Figura 4 foi analisada para seis valores do Parâmetro de Rigidez Relativa PRR das vigas de apoio conforme equação 10 a saber PRR05 PRR10 PRR15 PRR20 PRR25 e PRR30 Nesta análise foram considerados os cálculos das reações das lajes sobre as vigas adotando a recomendação da NBR 6118 combinados com o Método de Marcus para cálculo do momentos fletores nas lajes denotado nas Tabelas 6 e 7 por LI SOL lajes isoladas Os resultados obtidos com o método dos elementos finitos os resultados das análises com a analogia da grelha e as recomendações decorrentes da utilização da norma canadense são também apresentados Os resultados apresentados na Tabela 6 e na Tabela 7 para as vigas na direção do maior e menor vão respectivamente mostram que a redução de rigidez das vigas de apoio resulta num acrésci mo dos momentos fletores totais na laje e redução dos momentos fletores totais nas vigas comportamento que não é abordado pela norma brasileira Com efeito se se comparam os resultados do método dos elementos finitos com o procedimento de lajes isola das é possível observar que quando a flexibilidade das vigas de apoio é elevada PRR05 o momento fletor total da laje na dire ção do vão maior sofre um incremento de 127 o que se constitui numa situação indesejada do ponto de vista do projeto que resul tará em subdimensionamento da laje Outro aspecto que merece registro é que a menos do dimensionamento através do Método de Marcus combinado com a recomendação de uniformização da carga das lajes sobre as vigas todos os outros métodos utilizados satisfazem a condição de momento equilibrante total 6 Conclusões O presente trabalho demonstrou através de exemplos ilustrativos que a recomendação da NBR 6118 de uniformização das reações das lajes sobre as vigas de apoio não garante a condição de mo mento equilibrante total para as duas direções e portanto não sa tisfaz a condição de equilíbrio do painel Como conseqüência deste fato este procedimento pode conduzir ao subdimensionamento das vigas de apoio das lajes Apesar de não se ter registro de ca sos de acidentes em pisos de edifícios de concreto decorrentes ex clusivamente deste subdimensionamento é de conhecimento dos autores diversos casos de fissuração nas vigas de apoio de lajes de concreto armado na direção do vão maior que são usualmente atribuídas a problemas de fissuração devido à retração Caso se deseje admitir a uniformização das reações das lajes so bre as vigas devese utilizar o carregamento equivalente confor me a norma canadense 12 ou utilizar as reações decorrentes do dimensionamento da laje pelo método das charneiras plásticas O cálculo dos momentos fletores nas vigas determinados por estes dois métodos combinados com os momentos fletores nas lajes decorrentes dos mesmos conduz a momentos equilibrantes totais nas duas direções da laje que atendem à condição de equilíbrio do sistema lajeviga Considerando o estudo do efeito da flexibilidade dos apoios é pos sível concluir que a Para Parâmetro de Rigidez Relativa PRR das vigas de apoio do painel superiores a dois é aceitável o dimensionamento da laje sobre apoios indeslocáveis sendo sugerida a incorporação deste critério na alínea 14722 da NBR 6118 para caracterizar apoios suficientemente rígidos b Para Parâmetro de Rigidez Relativa PRR das vigas de apoio do painel inferiores a dois não é recomendável dimensionar o sistema de lajes como painéis isolados sobre apoios indeslocáveis c A hipótese de uniformização das reações das lajes sobre as vigas de apoio somente deveria ser permitida para vigas rígidas e com carregamentos corrigidos sobre as vigas para o cálculo dos momentos fletores de projeto das mesmas O parâmetro de Rigidez Relativa da equação 10 e as cargas 211 IBRACON Structures and Materials Journal 2008 vol 1 nº 2 F A N SILVA B HOROWITZ distribuídas equivalentes das equações 12 e 13 fornecem alternativas mais consistentes do que aquela preconizada pela alínea 14761 a da NBR 6118 d Se as vigas de apoio da laje não puderem ser consideradas rígidas utilizar o método dos elementos finitos ou a analogia da grelha para o dimensionamento do sistema lajevigas 7 Referências bibliográficas 01 ABNT Norma Brasileira NBR6118 Projeto de estruturas de concreto Rio de Janeiro 2003 02 ABNT Norma Brasileira NB1 Projeto e execução de obras de concreto armado Rio de Janeiro 1978 03 SILVA F A N HOROWITZ B Momentos Fletores em Vigas Rígidas de Pisos em Concreto Armado 43º Congresso Brasileiro do Concreto Foz do Iguaçu 2001 04 PARK R GAMBLE W L Reinforced Concrete Slabs John Wiley Sons New York 1980 05 KALMANOK A S Manual Para Cálculo de Placa Editora Interciência Montevideo 1961 06 ARAÚJO J M Curso de Concreto Armado Editora Dunas Rio Grande do Sul 2003 v2 2 ed 07 ROCHA A M Curso Prático de Concreto Armado Editora Científica Rio de Janeiro 1971 v 1 08 STRAP 80 Structural Analysis Program Version 80 2000 ATIR Manual do Usuário 09 TQS Sistemas computacionais Manual do Usuário 10 EBERICK Sistema Para Projetos de Edificações em Concreto Armado Manual do Usuário 11 KENNEDY G GOODCHILD C Practical Yield Line Design British Cement Association Crowthorne Berkshire 2003 12 CSA A23304 Design of Concrete Structures Canadian Standards Association 2004