Exercícios Resolvidos sobre Triângulos: Ângulos, Congruência e Pontos Notáveis

21 A vista frontal de parte de um telhado forma um triângulo isósceles de base BC como mostra esta figura O ângulo A mede 120 O segmento AD representa a altura relativa à base e AE e AF são bissetrizes dos ângulos BAD e CAD respectivamente A partir dessas informações responda ao que se pede a Qual é a medida do ângulo EAB 90 30 x 180 x 180 120 x 60 120 30 X 180 x 180 150 x 30 Ptângulos b Qual é a medida do ângulo DFA 90 30 2 180 x 180 120 x 60 c Qual é a classificação do triângulo EAC Retângulo e escaleno 22 O triângulo ABC a seguir foi construído a partir da união dos triângulos ABD e ACD que possuem o lado AD em comum A 0 tstrio 8 ano do Ensino Fundamental 87 Questão 1 Em cada grupo de triângulos verificar os congruentes e indicar o caso de congruência a Solução I II pelo caso LAL b Solução I III pelo caso LLL c Solução I III pelo caso ALA Questão 2 Determine x em cada um dos triângulos a Solução Temos 5 x3x4 x180 12 x180 x180 12 x15 b Solução 2 xx6 x180 9 x180 x180 9 x20 c Solução Temos 3 x2x90180 5x18090 5 x90 x90 5 x18 Questão 3 Determine a medida do ângulo externo indicado em cada triângulo a Solução x6040 x100 b Solução x9045 x135 c Solução 2 x3040 2 x70 x70 2 x35 Questão 3 É possível traçar quatro segmentos de reta num triângulo cada um com diferentes características A partir destes quatro tipos diferentes de divisões do triângulo conseguimos encontrar quatro pontos notáveis altura bissetriz mediana e mediatriz no triângulo Relacione cada um dos pontos notáveis ao seu significado A Altura B Bissetriz C Mediana D Mediatriz D segmento de reta partindo do ponto médio da base e formando um ângulo reto com esta C segmento de reta a unir o ponto médio da base com o vértice oposto A Segmento de reta a unir a base com o vértice oposto formando um ângulo reto com esta B segmento de reta que divide o ângulo em duas partes congruentes Questão 4 A respeitos das propriedades dos triângulos julgue os itens em verdadeiro V ou falso F a Os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes e mede 60 cada b Os ângulos internos da base de um triângulo isósceles são congruentes c Os pontos notáveis no triângulo isósceles são coincidentes em relação a qualquer lado d Os pontos notáveis no triângulo equilátero são coincidentes em relação a base Questão 5 AS é bissetriz do triângulo da figura abaixo a Determine x Solução xx8060180 2x180140 2 x40 x40 2 x20 b Classifique o ângulo x Solução Pelo item a x20 Logo é um ângulo agudo c Classifique o triângulo dado em relação aos ângulos Solução É um triângulo acutângulo pois todos os ângulos são menores que 90 ou seja todos os ângulos são agudos Questão 6 Considere a figura a seguir a Calcule a medida do ângulo BÂO Solução B AO8646180 B AO180132 B A O48 b Identifique qual dos triângulos é um triângulo retângulo Solução Primeiro vamos encontrar o ângulo B O C B OC4545180 B O C18090 B OC90 Como o triângulo BOC é o único que possui um ângulo reto então o triângulo retângulo é o BOC c No triângulo CDO identifique o lado de maior comprimento Solução É só ver o angulo que é maior no caso o 62º o lado maior é o que fica oposto a ele então é CD Questão 7 Considere a seguinte figura a O triângulo CDE é isósceles Justifique Solução Sim Pois primeiro note que o ângulo C D E45 logo os dois ângulos da base são congruentes b O triângulo ABE é equilátero Justifique Solução Sim Pois note que o ângulo A EB60 logo todos os ângulos internos são congruentes c AE é bissetriz do ângulo BÂD Solução Sim Pois A E D75 Logo D A E1807545 D A E180120 D A E60 Assim obtemos B A DB A E D A E6060120 Ou seja AE divide o ângulo BÂD ao meio Questão 8 Os ângulos de um triângulo medem respectivamente 4x 8 3x 24 e 2x 14 a Quanto mede cada um dos ângulos Solução 4 x83 x242x14180 9 x18018 9 x198 x198 9 x22 Logo 4 x8422888880 3 x2432224662442 2x1422214441458 Portanto os ângulos são 80 42 e 58 b Classifique o triângulo quanto aos lados Solução Escaleno c Classifique o triângulo quanto aos ângulos Solução Acutângulo Questão 9 Considere a seguinte figura a Qual valor de x Solução 180x60 x18060 x120 b Qual valor de y Solução y6035180 y18095 y85 c Qual valor de z Solução z35180 z18035 z145 Questão 10 Considere a seguinte figura a Qual valor de x Solução 60x50180 x180110 x70 b Qual valor de y Solução y60 oposto pelo vértice c Qual valor de z Solução z50 oposto pelo vértice Questão 11 Na figura N e P são os pontos médios dos lados AC e BC respectivamente Se G é o baricentro do triângulo ABC AP 6cm e GN 15 cm obter em centímetros a AG Solução Considere AG2x GPxLogo 2 xx6 3 x6 x2 Daí segue AG2x224cm b GP Solução Pelo item a GPx2cm c BG Solução Sejam BG2 yGN15y Logo BG2 y2153cm Questão 12 O triângulo ABC da figura é retângulo em A B AC 90 AH é a altura do triângulo a Determine x y e z Solução x3045180 x18075 x105 z9030180 z180120 z60 y6090 y9060 y30 b Classifique o triângulo ABH quanto ao ângulo Solução Triângulo ABH é retângulo Pois possui um ângulo de 90 o ângulo BH A c Classifique os ângulos x y z Solução x105 é obtuso y30 é agudo z60 é agudo Questão 13 Num triângulo dois ângulos externos medem respectivamente 110 e 130 a Quanto mede cada ângulo desse triângulo Solução Dois ângulos desse triangulo são complementares dos ângulos 110 e 130 Logo são 70 e 50 E o terceiro ângulo denotemos por x é dado por x7050180 x180120 x60 Portanto os ângulos dos triângulos são 70 50 e 60 b Classifique os ângulos Solução Todos os ângulos são agudos c Classifique o triângulo quanto aos ângulos Solução Triângulo acutângulo Questão 14 Identifique os triângulos congruentes e escreva o caso de congruência que você utilizou para a identificação a São congruentes pelo caso LAL b Os triângulos não são congruentes c São congruentes pelo caso ALA Questão 15 RP é bissetriz no triângulo abaixo a Determine x Solução x30 b Determine y Solução 5030 y180 y18080 y100 c Determine z e t Solução 100z180 z180100 z80 8030t180 t180110 t70 Questão 16 a Calcule x Solução x6045180 x180105 x75 b Calcule y Solução y7545180 y180120 y60 c Classifique os triângulos ABC e CDE quanto aos ângulos Solução Ambos são agudos Questão 17 a Ache x Solução 4 x40x20x180 6 x18060 6 x120 x20 b Determine os ângulos Solução 4 x40420408040120 x20202040 x20 Portanto os ângulos são 20 40 e 120 c O triângulo possui algum ângulo reto Solução Não pois nenhum ângulo mede 90 Questão 18 Assinale verdadeiro ou falso a F Triângulo equilátero é aquele que possui todos os ângulos medindo 90 Solução Falso Pois o triângulo equilátero possui todos os ângulos iguais a 60 e não a 90 b F Triângulo isósceles é aquele que possui todos os lados diferentes Solução Falso Pois o triângulo isóscele é aquele que possui pelo menos dois lados iguais c V Triângulo obtusângulo é aquele que possui um ângulo obtuso Solução Verdade pois essa é a definição de triângulo obtusângulo Questão 19 Sabendo que AD é a bissetriz do ângulo BÂC a Qual valor de x Solução 3 x85 x10 2x18 x9 b Qual valor do ângulo BÂC Solução BÂC 70 c Classifique o ângulo BÂC Solução Ângulo agudo Questão 20 a Sabendo que dois ângulos adjacentes somam 140 qual a medida do ângulo formado por sua bissetriz é Solução A bissetriz divide os ângulos em duas partes iguais Sendo assim 140 2 70 Logo o ângulo formado pela bissetriz é de 70 b No ângulo AOC foi traçada a bissetriz OB dividindoo no ângulo AOB com medida igual a 3x 3 e no BOC medindo 4x 6 Qual a medida do ângulo AOC Solução Sabemos que o ângulo AOC é composto pelos ângulos AOB e BOC que são congruentes 4 x63x3 4 x3 x36 x9 Sabendo que x 9 4 x649636630 Como metade do ângulo AÔC mede 30 o ângulo AÔC mede 60 c No ângulo BAC foi traçada a bissetriz AD Posteriormente no ângulo DÂC foi traçada a bissetriz AE Sabendo que o ângulo BÂC mede 80 qual medida do ângulo BÂE Solução Sabemos que o ângulo BÂC mede 80 e que ele foi dividido ao meio quando traçada a bissetriz AD formando o ângulo BÂD medindo 40 e o ângulo DÂC medindo também 40 Porém o ângulo DÂC foi divido ao meio novamente formando dois ângulos de 20 sendo um deles o ângulo DÂE O ângulo BÂE é igual à soma da medida dos ângulos BÂD DÂE ou seja 40 20 60