Lista de Exercícios - Hexágonos Regulares e Prismas Hexagonais

06092023 1110 Unicesumar Ensino a Distância aboutblank 24 Hexágono é o polígono com seis lados e seis ângulos Se os lados e ângulos forem congruentes ou seja se tiverem a mesma medida o hexágono é regular Caso contrário é irregular Uma característica importante do hexágono regular é que esse polígono pode ser dividido em seis triângulos equiláteros Na natureza vemos um caso interessante de construção com uso de hexágonos regulares Para a construção dos alvéolos que são aquelas estruturas que conhecemos com formato hexagonal e que compõem o favo as abelhas usam um tipo de cera que é uma substância de cor branca secretada por glândulas cerígenas de abelhas operárias jovens e são moldadas na forma de pequenas placas Cada alvéolo é projetado de maneira a se encaixar perfeitamente com outros alvéolos paralelos Disponível em httpswwwpracufpbbranaisIXEnexiniciacaodocumentosanais4EDUCACAO4CCENDMMT03pdf Acesso em 03 maio2023 adaptado Fonte Disponível em httpspixabaycomptvectorshexC3A1gonosamarelofavodemel310659 Acesso em 03 maio 2023 Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas no qual as bases se situam em planos paralelos A figura formada pelos alvéolos se assemelha a um prisma hexagonal regular conforme a figura 06092023 1110 Unicesumar Ensino a Distância aboutblank 34 Fonte Elaborado pelo professor Neste sentido responda os itens a seguir considerando um tipo de abelha que projeta seu favo com alvéolos de bases hexagonais regulares de lados medindo 06 cm I Usando régua e compasso construa um hexágono regular com lado igual a medida AB indicada A B II Determine a área da superfície desse alvéolo III Determine o volume em cm do alvéolo sabendo que sua profundidade é 07 cm Observação para maior facilidade na execução dessa atividade a seguir apresentamos mais detalhes sobre a sua realização Leia com atenção as informações contidas aqui e procure outras informações sobre o assunto que agreguem à sua atividade 3 06092023 1110 Unicesumar Ensino a Distância aboutblank 44 No MATERIAL DA DISCIPLINA de Geometria com Construções Geométricas encontrase disponível um TEMPLATE para elaboração da atividade Seu texto deve ser escrito na fonte Times New Roman ou Arial com tamanho de letra 12 e não se esqueça de inserir todos os calculos realizados fotografias dos calculos não serão aceitas Realize uma cuidadosa revisão em sua atividade e anexe o arquivo nela clicando sobre o botão Selecionar Arquivo Após anexar o trabalho e se certificar que se trata do arquivo correto clique no botão Responder e posteriormente em Finalizar Questionário após finalizar o questionário não será possível reenviar a atividade ou realizar qualquer modificação no arquivo enviado ALTERNATIVAS Nenhum arquivo enviado ATIVIDADE 1 Questão discursiva Acadêmico RA Curso Licenciatura em Matemática Disciplina Geometria com Construções Geométricas Valor da atividade 10 pontos Prazo Instruções para Realização da Atividade Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos É obrigatória a utilização deste formulário para a realização da atividade Esta é uma atividade individual Caso identificado cópia de colegas o trabalho de ambos sofrerá decréscimo de nota Utilizando este formulário realize sua atividade salve em seu computador renomeie e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade discursiva Formatação exigida para esta atividade documento Word Fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12 Espaçamento entre linhas 15 texto justificado Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa referência conforme as normas da ABNT Procure argumentar de forma clara e objetiva de acordo com o conteúdo da disciplina Envie o arquivo do TEMPLATE preenchido corretamente no campo indicado dentro do ambiente da atividade 1 não serão aceitos arquivos fora da data de realização da atividade CUIDADO PARA NÃO INSERIR O ARQUIVO ERRADO Antes de realizar a atividade faça a leitura do enunciado no ambiente da atividade em seu Studeo e em seguida a responda utilizando esse template ATENÇÃO As orientações acima em vermelho devem apagadas antes do envio de sua atividade Em caso de dúvidas entre em contato com seu Professor Mediador Bons estudos UniCesumar EDUCAÇÃO PRESENCIAL E A DISTÂNCIA ATIVIDADE 1 Questão discursiva Acadêmico RA Curso Licenciatura em Matemática Disciplina Geometria com Construções Geométricas Valor da atividade 10 pontos Prazo Instruções para Realização da Atividade Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos É obrigatória a utilização deste formulário para a realização da atividade Esta é uma atividade individual Caso identificado cópia de colegas o trabalho de ambos sofrerá decréscimo de nota Utilizando este formulário realize sua atividade salve em seu computador renomeie e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade discursiva Formatação exigida para esta atividade documento Word Fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12 Espaçamento entre linhas 15 texto justificado Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa referência conforme as normas da ABNT Procure argumentar de forma clara e objetiva de acordo com o conteúdo da disciplina Envie o arquivo do TEMPLATE preenchido corretamente no campo indicado dentro do ambiente da atividade 1 não serão aceitos arquivos fora da data de realização da atividade CUIDADO PARA NÃO INSERIR O ARQUIVO ERRADO Antes de realizar a atividade faça a leitura do enunciado no ambiente da atividade em seu Studeo e em seguida a responda utilizando esse template ATENÇÃO As orientações acima em vermelho devem apagadas antes do envio de sua atividade Em caso de dúvidas entre em contato com seu Professor Mediador Bons estudos 1 Para todas as construções a seguir utilizamos o software GEOGEBRA I Como por definição o hexágono regular é o polígono que pode ser subdivido como 6 triângulos equiláteros então seus ângulos internos medem 60º cada um Assim dado o segmento 𝐴𝐵 de comprimento 06𝑐𝑚 façamos a A partir do vértice B tomase 60º no sentido antihorário como na figura abaixo b Agora tomase um segmento 𝐵𝑂 de tamanho 𝑙 06𝑐𝑚 partindo de B e cujo ângulo 𝐵Ô𝐴 60𝑜 também no sentido antihorário como na figura abaixo c A partir de B tomemos mais 60º no sentido antihorário e projetemos mais um segmento de tamanho 𝑙 06𝑐𝑚 até o ponto C como na abaixo d Observe que os ângulos 𝐵Ô𝐶 e 𝑂𝐶𝐵 são congruentes pois os segmentos 𝐵𝐶 𝑒 𝐵𝑂 são congruentes por construção além disso como 𝑂𝐵𝐶 60𝑜 temos 𝐵Ô𝐶 𝑂𝐶𝐵 𝑂𝐵𝐶 60𝑜 e A partir do segmento 𝐶𝑂 tomemos 60º no sentido antihorário e projetemos um segmento de tamanho 𝑙 06𝑐𝑚 até o ponto D exatamente como abaixo f De modo análogo ao item d vemos que 𝐶Ô𝐷 𝐷Ô𝐶 𝑂𝐶𝐷 60𝑜 pois 𝑂𝐶 𝐶𝐷 06𝑐𝑚 o que implica que os ângulos opostos a estes lados são congruentes Observemos a figura abaixo g A partir do ponto D continuemos o processo de tomar um ângulo de 60º no sentido antihorário e projetemos um segmento de tamanho 𝑙 06𝑐𝑚 h Também pelo que concluímos no itens d e f 𝐷Ê𝑂 𝐸Ô𝐷 𝑂𝐷𝐸 60𝑜 uma vez que 𝑂𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝑂 06𝑐𝑚 Observemos na figura abaixo i Repitamos o processo de tomar um ângulo de 60º a partir do vértice E e projetemos nessa direção um segmento de comprimento 𝑙 06𝑐𝑚 até o vértice F Vejamos j Novamente utilizaremos o que foi concluído nos itens anteriores 𝐸𝐹𝑂 𝐹Ô𝐸 𝑂Ê𝐹 60𝑜 Uma vez que 𝑂𝐸 𝐸𝐹 𝐹𝑂 𝑙 06𝑐𝑚 Observemos abaixo k Por último tomemos um ângulo de 60º no sentido antihorário a partir de F e projetemos até um ponto G AFIRMAMOS QUE 𝑮 𝑨 Pelo mesmo visto nos itens anteriores temos que 𝐵Ô𝐴 𝐴Ô𝐵 𝐴𝐵𝑂 60𝑜 já que 𝐴𝐵 𝐵𝑂 𝑂𝐴 𝑙 Ademais 𝐴Ô𝐹 𝐹Ô𝐺 60𝑜 Ou seja 𝐺Ô𝐴 0𝑜 Isto mostra que 𝐺 𝐴 Por fim vemos que o hexágono ABCDEF é o hexágono da figura abaixo cujos medem 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐹𝐴 𝑙 06𝑐𝑚 E os ângulos respectivos a cada vértice medem  𝐵 𝐶 𝐷 Ê 𝐹 120𝑜 Como na figura abaixo construído apenas com régua e compasso II Para a área de cada alvéolo observe que esta vale 6 vezes a área de cada triângulo equilátero que compõe o hexágono regular Sendo a última dada pela seguinte equação 𝐴𝑇 𝑙23 4 Ao considerarmos 𝑙 060 𝑐𝑚 teremos 𝐴𝑇 0623 4 0363 4 𝐴𝑇 0093 𝑐𝑚2 Como temos 6 triângulos idênticos de área 𝐴𝑇 093 𝑐𝑚2 teremos uma área total do hexágono sendo 𝐴𝐻 6 𝐴𝑇 6 0093 𝐴𝐻 0543 𝑐𝑚2 06cm 06cm Portanto a área do hexágono vale 𝑨𝑯 𝟎 𝟓𝟒𝟑 𝒄𝒎𝟐 III Supondo que cada alvéolo possui profundidade de 07cm determinar o volume de cada um Ora cada alvéolo é um prisma de base hexagonal cuja área da base vale 𝐴𝐻 0543 𝑐𝑚2 O volume do prisma é dado pelo produto da área da base pela altura assim sendo 𝑉 𝐴𝐻 ℎ Onde ℎ 07𝑐𝑚 Dessa forma 𝑉 𝐴𝐻 ℎ 0543 07 𝑉 3783 𝑐𝑚3 Se aproximarmos 3 171 teremos 𝑉 378 171 𝑐𝑚3 64638 𝑐𝑚3 Daí o volume de cada alvéolo será 𝑽 𝟑 𝟕𝟖𝟑 𝒄𝒎𝟑 ou aproximadamente 𝑽 𝟔 𝟒𝟔𝟑𝟖 𝒄𝒎𝟑 ATIVIDADE 1 Questão discursiva Acadêmico RA Curso Licenciatura em Matemática Disciplina Geometria com Construções Geométricas Valor da atividade 10 pontos Prazo Instruções para Realização da Atividade Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos É obrigatória a utilização deste formulário para a realização da atividade Esta é uma atividade individual Caso identificado cópia de colegas o trabalho de ambos sofrerá decréscimo de nota Utilizando este formulário realize sua atividade salve em seu computador renomeie e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade discursiva Formatação exigida para esta atividade documento Word Fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12 Espaçamento entre linhas 15 texto justificado Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa referência conforme as normas da ABNT Procure argumentar de forma clara e objetiva de acordo com o conteúdo da disciplina Envie o arquivo do TEMPLATE preenchido corretamente no campo indicado dentro do ambiente da atividade 1 não serão aceitos arquivos fora da data de realização da atividade CUIDADO PARA NÃO INSERIR O ARQUIVO ERRADO Antes de realizar a atividade faça a leitura do enunciado no ambiente da atividade em seu Studeo e em seguida a responda utilizando esse template ATENÇÃO As orientações acima em vermelho devem apagadas antes do envio de sua atividade Em caso de dúvidas entre em contato com seu Professor Mediador Bons estudos 1 Para todas as construções a seguir utilizamos o software GEOGEBRA I Como por definição o hexágono regular é o polígono que pode ser subdivido como 6 triângulos equiláteros então seus ângulos internos medem 60º cada um Assim dado o segmento AB de comprimento 06c m façamos a A partir do vértice B tomase 60º no sentido antihorário como na figura abaixo b Agora tomase um segmento BO de tamanho l06c m partindo de B e cujo ângulo BÔA60 o também no sentido antihorário como na figura abaixo c A partir de B tomemos mais 60º no sentido antihorário e projetemos mais um segmento de tamanho l06c m até o ponto C como na abaixo d Observe que os ângulos BÔC e O CB são congruentes pois os segmentos BC e BO são congruentes por construção além disso como O BC60 o temos BÔCO CBO BC60 o e A partir do segmento CO tomemos 60º no sentido antihorário e projetemos um segmento de tamanho l06c m até o ponto D exatamente como abaixo f De modo análogo ao item d vemos que CÔDDÔCO C D60 o pois OCCD06cm o que implica que os ângulos opostos a estes lados são congruentes Observemos a figura abaixo g A partir do ponto D continuemos o processo de tomar um ângulo de 60º no sentido antihorário e projetemos um segmento de tamanho l06c m h Também pelo que concluímos no itens d e f DÊOEÔDO D E60 o uma vez que ODDEEO06 cm Observemos na figura abaixo i Repitamos o processo de tomar um ângulo de 60º a partir do vértice E e projetemos nessa direção um segmento de comprimento l06c m até o vértice F Vejamos j Novamente utilizaremos o que foi concluído nos itens anteriores E FOFÔEOÊF60 o Uma vez que OEEFFOl0 6c m Observemos abaixo k Por último tomemos um ângulo de 60º no sentido antihorário a partir de F e projetemos até um ponto G AFIRMAMOS QUE GA Pelo mesmo visto nos itens anteriores temos que BÔAAÔBA BO60 o já que ABBOOAl Ademais AÔFFÔG60 o Ou seja GÔA0 o Isto mostra que GA Por fim vemos que o hexágono ABCDEF é o hexágono da figura abaixo cujos medem ABBCCDDEEFFAl06 cm E os ângulos respectivos a cada vértice medem ÂBCDÊF120 o Como na figura abaixo construído apenas com régua e compasso II Para a área de cada alvéolo observe que esta vale 6 vezes a área de cada triângulo equilátero que compõe o hexágono regular Sendo a última dada pela seguinte equação ATl 23 4 Ao considerarmos l060c m teremos AT 06 23 4 036 3 4 AT0093c m 2 Como temos 6 triângulos idênticos de área AT093cm 2teremos uma área total do hexágono sendo AH6 AT60093 AH054 3 cm 2 06cm 06cm 06cm 06cm 06cm 06cm Portanto a área do hexágono vale AH0543c m 2 III Supondo que cada alvéolo possui profundidade de 07cm determinar o volume de cada um Ora cada alvéolo é um prisma de base hexagonal cuja área da base vale AH0543c m 2O volume do prisma é dado pelo produto da área da base pela altura assim sendo VAH h Onde h07cm Dessa forma VAH h054307V3783cm 3 Se aproximarmos 3171 teremos V378171cm 364638cm 3 Daí o volume de cada alvéolo será V3783cm 3 ou aproximadamente V64638cm 3