Lógica Matemática - Ricardo Cardoso de Oliveira

PROFESSOR Dr Ricardo Cardoso de Oliveira Lógica Matemática ACESSE AQUI O SEU LIVRO NA VERSÃO DIGITAL EXPEDIENTE Coordenadora de Conteúdo Antoneli da Silva Ramos Projeto Gráfico e Capa André Morais Arthur Cantareli e Matheus Silva Editoração Adrian Marçareli dos Santos Design Educacional Ivana Martins Curadoria Luana Brutscher Revisão Textual Erica F Ortega Ilustração Eduardo Aparecido Welington Vainer Fotos Shutterstock NEAD Núcleo de Educação a Distância Av Guedner 1610 Bloco 4 Jd Aclimação Cep 87050900 Maringá Paraná wwwunicesumaredubr 0800 600 6360 Universidade Cesumar UniCesumar U58 Impresso por Bibliotecária Leila Regina do Nascimento CRB 91722 Núcleo de Educação a Distância Ficha catalográfica elaborada de acordo com os dados fornecidos peloa autora Lógica Matemática Ricardo Cardoso de Oliveira Indaial SC Arqué 2023 224 p il ISBN papel xxxxxxxxxxxxxxx ISBN digital xxxxxxxxxxxxxxx Graduação EaD 1 Lógica 2Matemática 3 Cálculo 4 Ricardo Cardoso de Oliveira 1 5 I Título CDD 5113 FICHA CATALOGRÁFICA AVALIE ESTE LIVRO CRIAR MOMENTOS DE APRENDIZAGENS INESQUECÍVEIS É O NOSSO OBJETIVO E POR ISSO GOSTARÍAMOS DE SABER COMO FOI SUA EXPERIÊNCIA Conta para nós leva menos de 2 minutos Vamos lá DIGITE O CÓDIGO 02511400 RESPONDA A PESQUISA Ricardo Cardoso de Oliveira Olá alunoa sou o professor Ricardo Sou bacharel em Engenharia Química pela Universidade Estadual de Ma ringá UEM e licenciado em Matemática pela Universi dade Cesumar Sou especialista em Inovações no Ensino da Matemática pela UNICESUMAR mestre e doutor na área de Desenvolvimento de Processos pela UEM Atual mente curso mestrado em Bioestatística na UEM Atuei como professor de Matemática Química e Física no en sino fundamental e médio entre os anos de 2006 e 2009 Desde 2008 atuo como professor no ensino superior mi nistrando diferentes disciplinas como Lógica Matemáti ca Matemática Financeira Cálculo Diferencial e Integral Geometria Analítica Equações Diferenciais Mecânica dos Fluidos Termodinâmica e Fenômenos de Transportes Durante a minha primeira graduação participei do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Cientifica PIBIC e desenvolvi estudos na área de micro e ultrafil tração área esta que acabei escolhendo para os estudos de mestrado e doutorado Atualmente faço parte do quadro de professores da Unicesumar e ministro as disciplinas de Lógica Matemá tica Geometria Analítica Cálculo Diferencial e Integral Pesquisa Operacional e Cálculo Numérico httplattescnpqbr1827765984672389 Caroa alunoa você deve saber que a Matemática é uma ciência que pauta os co nhecimentos que denominamos de abstratos e concretos Sabemos que a Matemática busca situar de modo estruturado e claro conceitos e técnicas para a compreensão de diversos fenômenos e situações Por exemplo entre os tópicos de estudo da Matemá tica estão os números e operações as estruturas algébricas as formas geométricas a probabilidade a análise de dados e outros Apenas observe o seu redor e analise onde a Matemática está inserida Agora analise além e tente responder as perguntas o que fundamenta tudo isso Como tudo isso faz sentido Isso tudo faz sentido e é fundamentado porque a Matemática é construída a partir da lógica A Lógica discute o uso do raciocínio em alguma atividade e ela é a disciplina tida como normativa e do raciocínio válido sendo denominada de lógica formal Essa lógica formal é baseada na validação de um argumento com base em leis e não pelo seu conteúdo Prezadosas alunosas vamos raciocinar um pouco O que é um número primo Quando dois números são primos entre si Por que a raiz quadrada de dois é um número irracional Aliás o que é um número irracional Por que o determinante de uma matriz Perceba que quando efetuamos questionamentos matemáticos as res postas corretas a esses questionamentos precisam ser bem fundamentadas e que quase sempre a resposta é fruto de uma argumentação Agora como proceder essa argumentação Ou ainda como provar a partir de proposições verdadeiras que um argumento é válido Nesse sentido a disciplina de Lógica Matemática possibilitará a você caroa alunoa criar bases e estruturas para tal Você será apresentadoa a um arsenal de informações que fundamenta por exemplo todo o curso de Cálculo Dife rencial e Integral todo o curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear LÓGICA MATEMÁTICA Ao longo deste curso vamos começar pelo básico definindo as estruturas lógicas lógica simbólica e passando para a lógica formal que é quando faremos uso da infe rência puramente formal e pautada em regras Os conteúdos que abordaremos neste material são de extrema importância à Matemática e também às demais áreas do saber como por exemplo programação e em tecnologia da informação Diante do exposto você se sente preparadoa Quais são as dificuldades que você considera menos familiares diante do seu histórico de conhecimento e interações pro fissionais Você enquanto alunoa qual resgate consegue fazer Você já tinha pensado no quanto essas questões apontadas e abordadas se relacionam e no quanto elas estão presentes no seu futuro como professor de Matemática Por exemplo como podemos provar que a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles e com catetos unitários é um número irracional Aliás como provar que esse número é irracional A demonstração por contradição é a chave dessa demonstração Assim espero encontráloa dispostoa a discutir problemas que num primeiro mo mento podem parecer sem sentido ou fora de contexto Espero encontráloa dispos toa a manter a objetividade em aprender Espero muito encontráloa dispostoa a promover a transformação no cenário em que você atua E aí bora IMERSÃO RECURSOS DE Ao longo do livro você será convida doa a refletir questionar e trans formar Aproveite este momento PENSANDO JUNTOS NOVAS DESCOBERTAS Enquanto estuda você pode aces sar conteúdos online que amplia ram a discussão sobre os assuntos de maneira interativa usando a tec nologia a seu favor Sempre que encontrar esse ícone esteja conectado à internet e inicie o aplicativo Unicesumar Experien ce Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os recur sos em Realidade Aumentada Ex plore as ferramentas do App para saber das possibilidades de intera ção de cada objeto REALIDADE AUMENTADA Uma dose extra de conhecimento é sempre bemvinda Posicionando seu leitor de QRCode sobre o códi go você terá acesso aos vídeos que complementam o assunto discutido PÍLULA DE APRENDIZAGEM OLHAR CONCEITUAL Neste elemento você encontrará di versas informações que serão apre sentadas na forma de infográficos esquemas e fluxogramas os quais te ajudarão no entendimento do con teúdo de forma rápida e clara Professores especialistas e convi dados ampliando as discussões sobre os temas RODA DE CONVERSA EXPLORANDO IDEIAS Com este elemento você terá a oportunidade de explorar termos e palavraschave do assunto discu tido de forma mais objetiva Quando identificar o ícone de QRCODE utilize o aplicativo Unicesumar Experience para ter acesso aos conteúdos online O download do aplicativo está disponível nas plataformas Google Play App Store APRENDIZAGEM CAMINHOS DE 1 2 3 4 5 CONECTIVOS LÓGICOS E TABELA VERDADE 9 EQUIVALÊNCIA E IMPLICAÇÕES LÓGICAS 45 91 MÉTODOS DE INFERÊNCIA 133 QUANTIFICADORES E LÓGICA DE PREDICADOS 173 O PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA 1 Conectivos Lógicos e Tabela Verdade Dr Ricardo Cardoso de Oliveira Olá caroa alunoa na primeira unidade do livro de Lógica Matemá tica você terá contato com os conceitos básicos que envolvem essa importante disciplina Você aprenderá a identificar uma proposição lógica será apresentado às definições dos principais conectivos lógicos matemáticos fará uso desses conectivos para escrever proposições matemáticas e aprenderá a construir uma tabela verdade UNIDADE 1 10 Nas aulas de Matemática do ensino fundamental é certo que você tenha estudado sobre a tabuada Ela é obtida por meio da multiplicação de um número inteiro pela sucessão dos números naturais 0 1 2 3 A sequência de resultados ob tidos por meio dessa multiplicação é denominada de múltiplos de um número Por outro lado em matemática dizemos que um número inteiro digamos x é múltiplo de um outro número inteiro digamos y sendo esse diferente de zero quando a divisão de x por y for exata Nessa condição podemos afirmar que o número y é um divisor do número x Daí para verificar a divisibilidade de núme ros inteiros basta efetuar a divisão e verificar se ela é ou não exata Contudo essa etapa tornase demasiadamente trabalhosa e é natural a pergunta será que existe algum critério ou padrão para verificar a divisibilidade de um número por outro Os critérios de divisibilidade dos números inteiros estão baseados no algorit mo euclidiano da divisão Você deve se lembrar que um número é divisível por outro nãonulo quando o resto da divisão é zero Para não efetuarmos o processo de divisão existem alguns critérios de divisibilidade que permitem verificar rapi damente se um número inteiro é divisível por outro número inteiro sem ter que efetuar a divisão Por exemplo um número par é divisível por 2 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4 Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é 0 ou 5 Para ser divisível por 6 o número precisa ser divisível por 2 e por 3 Quero que você coloque um pouco de atenção na maneira que se dá o critério de divisibilidade por 4 5 e 6 Você percebe que o uso dos conectivos E e OU faz toda a diferença Esses critérios de divisibilidade estão relacionados entre si por meio de padrões eou regularidades Diante desse fato quero que você me ajude a criar outros critérios de divisibilidade Vamos iniciar com o critério de divisibilidade por 12 Note que o número 780 é divisível por 12 pois ele é divisível por 3 confira e por 4 confira também Por outro lado o número 870 não o é Embora seja um número divisível por 3 não é divisível por 4 Verifique se os números 1672 e 1200 são divisíveis por 12 Será que existe algum padrão para o critério de divisibilidade por 12 Agora vamos analisar se conseguimos criar um critério de divisibilidade por 25 Observe que os números 400 525 850 e 1075 são todos divisíveis por 25 ao passo que o número 615 não o é Verifique a veracidade dessa última frase 11 UNICESUMAR Aproveite e verifique também que 1200 é um número divisível por 25 e que 1528 não o é Será que existe algum padrão para o critério de divisibilidade por 25 Você deve ter percebido que para ser divisível por 12 um número inteiro pre cisa ser divisível por 3 e por 4 Note aqui que usei o conectivo E que é conhecido como conjunção Dessa forma para ser divisível por 12 é necessário ser divisível pelos números três e quatro Já para a divisibilidade por 25 você deve ter notado que o número inteiro deve ter os dois algarismos finais terminados em 00 25 50 OU 75 Observe que fiz uso de um conectivo conhecido como disjunção Dessa forma basta o número ter os dois algarismos finais terminados em 00 25 50 ou 75 que teremos os resultados satisfazendo esse critério Use o seu Diário de Bordo para anotar as primeiras impressões sobre os conectivos lógicos e sobre como a disciplina de lógica poderá te auxiliar ao longo das disciplinas específicas do curso de matemática Escreva livremente o que você entendeu tendo como base os exemplos apresentados e os aspec tos importantes para a sua solução UNIDADE 1 12 Carosas alunosas nesta unidade formalizaremos o conceito dos conectivos lógicos em uma linguagem formal e sistemática Normalmente esse conteúdo não é apresentado no Ensino Médio porém para o melhor desenvolvimento rigor e praticidade em Matemática precisamos falar sobre eles e também estudar as operações envolvendo esses conectivos Em Matemática uma proposição é qualquer sentença declarativa que expri me um pensamento de sentido completo e assume um dos dois valoresverdade Verdadeiro e Falso que é denominado valor verdade Assim as sentenças i Santiago é a capital do Chile ii 2 é um número par iii Dois mais dois são 10 são exemplos de proposições uma vez que podemos atribuir a ela valor lógico verdadeiro ou falso Por outro lado as sentenças i Que lindo ii 2 é um número primo iii Não corre aqui não são exemplos de proposições pois no caso da sentença Que lindo temos uma exclamação da sentença 2 é um número primo temos uma interrogação e no caso de Não corre aqui temos uma sentença imperativa De acordo com Alencar Filho 2002 a Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os seguintes princípios ou axiomas i PRINCÍPIO DA IDENTIDADE Toda proposição é igual a si mesma ii PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo iii PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa ou seja não existe uma terceira possibilidade Alencar Filho 2002 afirma que uma proposição pode ser simples ou com posta Dizse que uma proposição é simples ou atômicas quando vem desa companhada de conectivos Já uma proposição composta é aquela formada por duas ou mais proposições simples conectadas entre si Nesse estudo vamos denotar as proposições simples e compostas por letras minúsculas ou maiúsculas do alfabeto latino a b c d A B C D Os conectivos lógicos são palavras ou símbolos que são empregados para formar proposições compostas a partir de proposições simples Os conectivos mais usuais em Lógica são e ou ou ou se então se e somente se não Analise o exemplo a seguir NOVAS DESCOBERTAS A lógica é a ferramenta usada para sustentar as argumentações ma temáticas Nesse vídeo o professor Maurício Carvalho apresenta a diferença entre a lógica formal e a lógica informal evidenciando a necessidade desta ferramenta não dar margem à dúvida 13 UNICESUMAR São exemplos de proposições simples a p Buenos Aires é a capital do Argentina b q 3 é um número primo c r 200 é divisível por 25 d s Machado de Assis é o autor de Dom Casmurro São exemplos de proposições compostas e P 16 é um quadrado perfeito e 2 é um número primo f Q Machado de Assis é o autor de Dom Casmurro ou Ricardo é professor g R Se Machado de Assis é o autor de Dom Casmurro então 16 é um nú mero quadrado perfeito O valor lógico de uma proposição com posta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples que a compõe ficando por eles univocamente determinado Dessa maneira na prática a determinação do valorlógico de uma proposição composta é feita usando a tabela verdade A tabela verdade é uma tabela na qual são apresentadas todas as possibilidades para os valores lógicos de uma ou mais proposições Agora faremos um estudo detalhado de alguns conectivos lógicos CONECTIVOS LÓGICOS Sejam P e Q duas proposições a conjunção das proposições P e Q é uma nova proposição que assume valor lógico verdadeiro somente quando P e Q forem verdadeiras simultaneamente A tabela verdade do conectivo conjunção é mostrada na Tabela 1 Tabela 1 Tabela verdade do conectivo conjunção Fonte o autor A conjunção é lida como e e pode ser expressa em palavras como mas todavia contudo no entanto enquanto embora além disso visto que Considere que P e Q sejam duas proposições a disjunção das proposições P e Q denotada por P Q é uma nova proposição que assume valor lógico verdadeiro somente quando P ou Q forem verdadeiras simultaneamente não necessariamente simultâneas A disjunção é lida como ou e a sua tabela verdade é mostrada na Tabela 2 Tabela 2 Tabela verdade do conectivo disjunção Fonte o autor Exemplo 7 Entre as opções abaixo a única com valor lógico verdadeiro é a Se Brasília é a capital do Brasil Buenos Aires é a capital da Colômbia b Se Brasília é a capital do Brasil Paris não é a capital da França 17 Tabela 6 Tabela verdade do conectivo negaçãol Fonte o autor UNICESUMAR P P V F F V O conectivo da negação não liga duas proposições mas nega a afirmação da pro posição que o precede Tratase de um conectivo unitário enquanto os demais são binários pois ligam duas proposições Dependendo do autor eou livro de lógica matemática que podemos fazer con sulta é possível fazer uso de outros símbolos para os conectivos lógicos Por exemplo é comum fazer uso do símbolo para a negação Os símbolos e são emprega dos para a conjunção E ainda o símbolo pode ser empregado para a condicional Exemplo 2 Considere a proposição João lê mas não escreve bem Nessa proposição o conectivo lógico é a disjunção inclusiva b disjunção exclusiva c condicional d bicondicional e conjunção Solução A proposição composta João lê mas não escreve bem é formada pelas seguintes proposições simples João lê e não escreve bem que por sua vez são ligadas pelo operador conjunção mas Logo alternativa E 19 UNICESUMAR Solução Temos que a oração uma matriz de ordem quadrada é a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas é uma proposição simples Logo sua representação não faz uso de conectivos lógicos e sua representação em termos lógicos é P pois denota apenas que é uma proposição e responde à questão a alternativa D Exemplo 4 Considere as proposições simples abaixo p Rafaela é irmã de Luana q Luana é filha única Assinale a alternativa que expressa corretamente a proposição composta p q a Rafaela é irmã de Luana ou Luana é filha única b Rafaela não é irmã de Luana e Luana é filha única c Se Rafaela não é irmã de Luana então Luana é filha única d Ou Rafaela não é irmã de Luana ou Luana é filha única e Rafaela não é irmã de Luana e Luana não é filha única Solução temos as proposições p Rafaela é irmã de Luana e q Luana é filha única A negação de p denotada por p é redigida como p Rafaela não é irmã de Luana Dessa forma a proposição composta p q é redigida como Ra faela não é irmã de Luana e Luana é filha única e dessa forma responde à questão a alternativa B UNIDADE 1 20 Exemplo 5 A representação simbólica correta da proposição O gato é semelhante ao leão assim como a capivara é semelhante ao rato é a P Q b P c P Q d P Q e P Q Solução considere as proposições P O gato é semelhante ao leão e Q a capivara é semelhante ao rato Note que dentre os conectivos lógicos estudados aquele que melhor descreve a proposição composta O gato é semelhante ao leão assim como a capivara é semelhante ao rato é a bicondicional e portanto a representação sim bólica dessa proposição é P Q Logo responde à questão a alternativa A Definidos os conectivos lógicos podemos retornar à situação sobre os cri térios de divisibilidade por 12 e por 25 Observe que no caso do critério de divisibilidade por 12 o número inteiro precisa ser divisível por 3 e por 4 isto é fizemos uso do conectivo conjunção Dessa forma um número inteiro será divisível por 12 ou seja terá valor lógico verdadeiro quando for divisível por 3 e por 4 ou seja as duas proposições devem assumir valor lógico verdadeiro Por outro lado um número inteiro para ser divisível por 25 quando apresentar os dois algarismos finais terminados em 00 25 50 ou 75 isto é fizemos uso do conectivo disjunção Nesse caso a proposição assume valor lógico verdadeiro quando os dois últimos dígitos do número inteiro for 00 25 50 ou 75 e caso contrário assumirá valor lógico falso Agora vamos aplicar esses conectivos e suas tabelas verdade e calcular o valor lógico de algumas proposições Exemplo 6 Assinale a opção que apresenta valor lógico falso a 24 16 e 2 3 5 b Se 5 3 então 6 3 2 c Ou 3 2 1 ou 4 1 8 d Se 7 3 4 então 4 2 7 e 42 16 se e somente se 38 2 Solução Segue que 24 16 assume valor lógico V e 2 3 5 assume valor lógico V dessa maneira a proposição composta 24 16 e 2 3 5 assume valor lógico V 5 3 assume valor lógico F e 6 3 2 assume valor lógico V dessa maneira a proposição composta Se 5 3 então 6 3 2 assume valor lógico V 3 2 1 assume valor lógico V e a proposição 4 1 8 assume valor lógico F Desse modo a proposição Ou 3 2 1 ou 4 1 8 assume valor lógico V 7 3 4 assume valor lógico V e 4 2 7 assume valor lógico F e dessa maneira a proposição composta Se 7 3 4 então 4 2 7 assume valor lógico F 42 16 assume valor lógico V e o mesmo ocorre com 38 2 Dessa maneira a proposição composta 42 16 se e somente se 38 2 assume valor lógico V Logo apresenta valor lógico falso a afirmação da alternativa D c Buenos Aires é a capital da Colômbia e Brasília é a capital do Brasil ou Paris é a capital da França d Brasília é a capital do Brasil e Buenos Aires é a capital da Colômbia ou Paris é a capital do Canadá e Buenos Aires é a capital da Argentina e Paris não é a capital da França Solução Temos que as proposições Brasília é a capital do Brasil Buenos Aires é a capital da Argentina e Paris é a capital da França assumem valorlógico V Assim Se Brasília é a capital do Brasil Buenos Aires é a capital da Colômbia assume valorlógico F Se Brasília é a capital do Brasil Paris não é a capital da França assume valorlógico F Buenos Aires é a capital da Colômbia e Brasília é a capital do Brasil ou Paris é a capital da França assume valorlógico V Brasília é a capital do Brasil e Buenos Aires é a capital da Colômbia ou Paris é a capital do Canadá assume valorlógico F Buenos Aires é a capital da Argentina e Paris não é a capital da França assume valorlógico F Logo apresenta valorlógico verdadeiro a afirmação da alternativa C Exemplo 8 Assinale a alternativa que possui valor lógico FALSO a Se 3 3 6 então log₅ 125 2 b Se 3 3 5 então log₅ 125 3 c 3 3 6 ou log₅ 125 2 d log₃⁶ 2 se e somente se log₅ 125 3 e log₅ 125 3 e logₖ 36 2 Solução Sejam as proposições P 3 3 6 que tem valor lógico V e Q log₅ 125 2 que tem valor lógico F Assim como na afirmação temos a condicional segue da tabela verdade da condicional que o valor lógico da proposição é F b P 3 3 5 que tem valor lógico F e Q log₅ 125 3 que tem valor lógico V Assim como na afirmação temos a condicional segue da tabela verdade da condicional que o valor lógico da proposição é V c P 3 3 6 que tem valor lógico V e Q log₅ 125 2 que tem valor lógico F Assim como na afirmação temos a disjunção segue que a proposição tem valor lógico V d P log₃₆ 2 que tem valor lógico V e Q log₅ 125 3 que tem valor lógico V Assim como na afirmação temos a bicondicional segue que o valor lógico da proposição é V e P log₅ 125 3 que tem valor lógico V e Q log₃₆ 2 que tem valor lógico V Assim como na afirmação temos a conjunção segue que a proposição tem valor lógico é V Portanto responde à questão a alternativa A geral as letras maiúsculas do alfabeto latino A B C etc são empregadas para representar as proposições simples e por isso são denominadas letras propositionais Alguns símbolos são empregados para construir as chamadas proposições compostas e esses símbolos de acordo com Alencar Filho 2002 são não empregado para negar uma proposição e empregado para fazer uma conjunção de proposições ou empregado para fazer a disjunção de proposições implicação empregado para relacionar condicionalmente as proposições isto é A B significa se A então B A proposição A tem valor lógico contrário ao de A a proposição A B terá valor lógico F quando A e B forem F caso contrário será sempre V a proposição A B terá valor lógico V quando A e B forem V caso contrário será sempre F a proposição A B terá valor lógico F quando A for V e B for F caso contrário será sempre V Considerando as definições apresentadas as letras propositionais adequadas e a proposição Nem Ricardo é professor nem João é engenheiro assinale a opção correspondente à simbolização correta dessa proposição a A B b A B c A B d A B e A B A tabela verdade consiste em todas as combinações possíveis dos valoresverdade das proposições simples O número de linhas da tabela verdade depende do número de proposições simples que a constituem e esse número é dado por 2n em que n é o número de proposições simples A seguir é apresentado um guia para a construção da tabela verdade onde há n proposições simples Passo 1 determinar o número de linhas da tabela verdade que se deve construir Passo 2 para a primeira proposição simples atribuemse 2n1 valores V e 2n1 valores F alternados para a segunda proposição simples atribuemse 2n2 valores V e 2n2 valores F alternados para a késima proposição atribuemse 2nk valores V e 2nk valores F alternados Passo 3 observase a precedência entre os conectivos isto é determinase a forma das proposições que ocorrem no problema Passo 4 aplicamse as definições das operações lógicas que o problema exigir Exemplo 11 Há um provérbio chinês que diz que Se o seu problema não tem solução então não é preciso se preocupar com ele pois nada que você fizer o resolverá Qual o número de linhas da tabela verdade correspondente a essa proposição a 4 b 8 c 16 d 18 e 20 Solução a proposição é formada por três proposições simples P o seu problema não tem solução Q não é preciso se preocupar com ele e R nada que você fizer o resolverá Assim o número de ligas da tabela verdade de P2 é 23 8 Portanto alternativa B Notação Faremos uso dos sinais e para evitar ambiguidades como por exemplo em P Q R que pode gerar ambiguidade na hora da interpreta Exemplo 12 Construir a tabela verdade da seguinte proposição P P P Q Solução A proposição composta é formada por 2 proposições simples P e Q Assim a tabela verdade terá 4 linhas Vamos montar a tabela verdade efetando o procedimento etapa a etapa Etapa I Montar a tabela com o par de colunas correspondentes às duas proposições simples P e Q P Q V V V V F V F F V F F F F F Etapa II À direita das colunas das proposições P e Q traçase uma coluna para cada uma dessas proposições e para cara um dos conectivos Etapa III Completar as colunas da tabela escrevendo em cada uma das colunas os valores lógicos convenientes para as proposições presentes Nesse caso são as proposições P e Q P Q P Q P P P Q V V V V V V V V V V V F V V V F F V V F F F F F F F F 1 1 1 1 Etapa IV Devido à prioridade do operador negação vamos calculálo primeiro P Q P Q P P P Q V V V F V F V F V V V F V V F F V F V F F F 1 2 1 2 Etapa V Agora vamos calcular os valores lógicos que estão dentro dos parênteses P Q P Q P P Q V V V F V V F V F F F V V F V F V F F F V F V F V F F F 1 3 2 1 2 1 3 1 Etapa VI Por fim a tabela verdade completa ao calcular o valor verdade com o conectivo condicional Para finalizar vamos calcular o valor lógico dos resultados entre parênteses agora submetido ao conectivo disjunção Dessa forma a tabela verdade é Construir a tabela verdade da seguinte proposição P P R Solução A proposição composta é formada por duas proposições simples P e R Assim a tabela verdade terá 4 linhas Dessa forma a tabela verdade é P Q R P R Q R P Q R UNIDADE 1 32 F F F F F F F F F V F V V F V V F 1 2 1 3 1 5 2 1 4 2 1 3 2 1 Denominase tautologia toda proposição composta cuja última coluna da sua tabela verdade contém apenas valorverdade V Por outro lado deno minase contradição toda proposição composta cuja última coluna da sua tabela verdade contenha apenas valorverdade F E por fim denominase de contingência toda proposição composta cuja última coluna da sua tabela verdade contenha V e F como valorverdade As tautologias também são denominadas de proposições logicamente verda deiras as contradições também são denominadas de proposições logicamente falsas e as contingências também são denominadas proposições indeterminadas As proposições compostas dos exemplos 15 e 17 são tautologias enquanto as proposições compostas dos exemplos 16 e 18 são contradições Já as proposições compostas dos exemplos 13 e 14 são contingências P Q P Q P Q R P Q P Q P Q P Q P 35 UNICESUMAR Dizemos que uma proposição composta é uma contradição quando sua tabe la verdade encerra na última coluna de sua construção com valores lógicos falsos Vamos substituir primeiro o conectivo bicondicional e nesse caso a tabela verdade fica P Q P Q P Q P Q V V V F V V V F V F V V V V F V F F V V F F F V V F F V F F V V F F V F F V V F F F V F F F F F V F F F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 O que mostra que com o operador bicondicional temos uma contradição Va mos substituir agora o conectivo condicional e nesse caso a tabela verdade fica P Q P Q P Q P Q V V V F V V V F V F V V V V F V F F V V F F F V V F F V F F V V F F V F F V V F F F V F F F V F V F F F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 Observe agora que no caso do conectivo condicional temos uma contingência Vamos substituir agora conectivo disjunção e nesse caso a tabela verdade fica UNIDADE 1 36 P Q P Q P Q P Q V V V F V V V V V F V V V V F V F F V V V F F V V F F V F F V V F V V F F V V F F F V F F F V F V F F F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 Observe agora que no caso do conectivo disjunção temos uma tautologia Va mos substituir agora conectivo conjunção e nesse caso a tabela verdade fica P Q P Q P Q P Q V V V F V V V F V F V V V V F V F F V V F F F V V F F V F F V V F F V F F V V F F F V F F F F F V F F F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 Observe que no caso do conectivo conjunção temos uma contradição Vamos substituir agora conectivo disjunção inclusiva e nesse caso a tabela verdade fica P Q P Q P Q P Q V V V F V V V V V F V V V V F V F F V V V F F V V F F V F F V V F V V F F V V F F F V F F F V F V F F F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 Observe então que no caso do conectivo disjunção inclusiva temos uma tauto logia Vamos substituir agora conectivo negação conjunta e nesse caso a tabela verdade fica P Q P Q P Q P Q V V V V V F V V V V F V F V F V F F V F F F F V V V V F V F F F V F V F V F F F F F F 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 Vamos retomar o critério de divisibilidade por 12 e construir a tabela verdade da proposição lógica Se um número inteiro é divisível por 3 e por 4 então ele é divisível por 12 e em seguida fazer uma análise dos resultados obtidos Para construir a tabela verdade considere as proposições simples em que x seja um número inteiro qualquer P x é divisível por 3 Q x é divisível por 4 R x é divisível por 12 39 UNICESUMAR P Q R P Q R V V V V V V V V V V F V V V F F V F V V F F V V V F F V F F V F F V V F F V V V F V F F F V V F F F V F F F V V F F F F F F V F 1 2 1 3 1 Eis uma pergunta trai çoeira e que jamais deveria ter sido feita Isso pois a pergunta parece simples e de fato é No entanto a resposta não é Todos sabemos usar os núme ros Todos sabemos o aspecto de um número Todos sabemos contar No entanto tratase de uma abstração um conceito mental humano derivado da realidade mas não verdadeira mente real Isso o que vou conversar com vocês nesse podcast Faça um cafézinho e bora lá o que é numero A proposição dada fica escrita em notação lógica como P Q R Como temos 3 proposições simples a tabela verdade terá 8 linhas Dessa forma a tabela verdade é UNIDADE 1 40 Na condicional se um número inteiro é divisível por 3 e por 4 então ele é divi sível por 12 não está a afirmar de modo nenhum que o fato de x ser divisível por 12 se deduz do fato de x ser divisível por 3 e x ser divisível por 4 ou que a proposição x é divisível por 12 é consequência da proposição x ser divisível por 3 e x ser divisível por 4 O que uma condicional afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente de acordo com sua tabela verdade Tome a situação em que P e Q assumem valor lógico V e R assume valor lógico F temos que a condicional assume valor lógico F olhe para a segunda linha da tabela verdade Nesse caso o resto da divisão do número inteiro x por 12 não é zero e o algoritmo da divisão de Euclides não é verificado Análise análoga pode ser feita no critério de divisibilidade por 25 em que po dese construir a tabela verdade da proposição se um número é divisível por 25 então os dois algarismos finais são 00 25 50 ou 75 Essa situação deixarei a cargo de você alunoa Você pode consultar Silveira e Silveira 2008 para mais critérios de divisibilidade 1 Considere as seguintes sentenças 1 A quarta parte de um número natural 2 Carla é arquiteta 3 Mente vazia em corpo vazio 4 O dobro de 2 é igual a 5 5 Não consuma drogas 6 Oitenta e três décimos É correto afirmar que são proposições APENAS os itens de números a 1 4 e 5 b 2 4 e 5 c 2 3 e 5 d 3 e 5 e 2 e 4 2 Considere a proposição composta Ricardo faz regime mas come bolo Nessa proposição o conectivo lógico é a Disjunção inclusiva b Disjunção exclusiva c Condicional d Bicondicional e Conjunção 3 Sejam P Q e R proposições lógicas tal que o valor lógico de P Q e R são respectivamente V V e F Com base nessas proposições a qual o valor lógico da proposição Q R b qual o valor lógico da proposição PR 4 Resolva os itens a seguir a Considere que as proposições P e Q tenham valor lógico V Qual o valor lógico da proposição P Q b Considere que a proposição T tenha valor lógico V e a proposição R tenha valor lógico F Qual o valor lógico da proposição composta R T c Considere que as proposições P e Q tenham valor lógico V e a proposição R tenha valor lógico F Qual o valor lógico da proposição composta P R Q 5 A quantidade de linhas da tabela verdade associada à proposição Se um número natural é divisível por 2 e é divisível por 3 então ele é divisível por 6 é igual a a 2 b 4 c 8 d 16 e 32 6 Considere as proposições A B e C e a tabela abaixo que apresenta as três primeiras colunas da tabela verdade dessas proposições A B C V V V F V V V F V V F F V V V V F V F V F F Assinale a alternativa que corresponde à última coluna da tabela verdade de cima para baixo da proposição composta C A B a V F V F V V V b V F F F V F V c V F V F F V V d V F F F V V V e V V F F V V V 7 Considere que P Q e R sejam proposições lógicas e que a tabela a seguir apresenta as três primeiras colunas da tabela verdade de uma proposição construída a partir dessas proposições P Q R V V V F V V V F F V F F V V F V V F F V F V F V F F F Assinale a alternativa que corresponde à última coluna de cima para baixo da tabela da verdade da proposição composta P Q P R a V V V V V F V b V F F F V V V c V V V V V V F d F V V F V F V e V V F F V V V 2 Equivalência e Implicações Lógicas Dr Ricardo Cardoso de Oliveira Nessa unidade vamos estudar maneiras distintas de escrever os conectivos lógicos Em situações como essa em diversas áreas em particular na matemática podemos cortar caminhos e realizar as operações envolvidas com menos trabalho e nisso gostamos e temos interesse Até porque sobra tempo para mais um cafezinho UNIDADE 2 46 Em 2006 o prêmio Nobel de Química foi para Roger Kornberg Ele descreveu como a informação é retirada dos genes e convertida em moléculas chamadas RNA mensageiro e como estas moléculas transportam a informação às fábricas de proteínas dentro das células Bem conversado em 2006 o prêmio Nobel de Química foi dado ao processamento de informação Dessa forma uma coisa é certa à medida que entendemos mais o universo ao nosso redor boa parte dele pode ser modelada e quase toda a modelagem que nós fazemos do universo de informação ao nosso redor é computacional Agora por falar em linguagem computacional algo tão comum nos dias de hoje vamos admitir que você seja incumbido de avaliar dois programas computacio nais de matemática para executar uma mesma tarefa Em português a sequência de comandos dos códigos são CÓDIGO 1 Etapa 1 você entra com um número real qualquer x Etapa 2 subtrair uma unidade do número real x e armazenar a resposta como y Etapa 3 adicionar uma unidade ao número real x e armazenar a resposta em z Etapa 4 calcular o produto y e z e informar a resposta CÓDIGO 2 Etapa 1 você entra com um número real qualquer x Etapa 2 calcular a potência de x ao quadrado e armazenar a resposta em y Etapa 3 subtrair uma unidade de y armazenar em z e informar a resposta Vamos verificar o que acontece quando substituímos valores numéricos nos códigos 1 e 2 Vamos iniciar com o código 1 Na etapa 1 vamos considerar que x seja igual a 2 Assim na etapa 2 temos que y é igual a 3 e na etapa 3 temos que z é igual a 1 Por fim na etapa 4 temos que o produto entre os números obtidos nas etapas 2 e 3 é igual a 3 Agora vamos usar o código 2 Vamos iniciar a etapa 1 considerando também que x seja igual a 2 Daí na etapa 2 temos que o quadrado de x é igual a 4 Por fim temos que a diferença entre os números obtidos nas etapas 2 e 3 do código 2 tem como resultado 3 Observe que os dois códigos iniciando com o mesmo valor isto é x igual a 2 fornecem os mesmos resultados ou seja 3 No entanto o primeiro código faz as operações em quatro etapas enquanto o segundo código em 3 etapas Isso tem impacto significativo em programação pois economizamos tempo em não executar uma etapa Essa ideia pode ser aplicada também em Lógica Matemática quando definimos as equivalências e as implicações lógicas Sugiro agora que você escreva esses dois códigos em notação matemática ou seja expresse as sequências de operação por meio de equações matemáticas Alguns valores que testamos e resolvemos analiticamente constatamos que os dois programas entregam a mesma resposta numérica Observe nos dois códigos que as tarefas executadas são distintas embora ambos os programas entregam sempre as mesmas respostas pois a expressão algébrica x1x1 é equivalente a expressão algébrica x²1 UNIDADE 2 48 Uma pergunta que surge é caso os códigos computacionais fossem executados no mesmo computador os tempos de execução da tarefa e o gasto de memória são iguais ou são distintos E por quê Outra pergunta que surge é embora os códigos sejam equivalentes existe preferência a um deles em detrimento do outro Por quê Usaremos essa mesma ideia para falar de equivalência e implicações ló gicas que serão úteis nas demonstrações matemáticas Use o seu Diário de Bordo para anotar as primeiras impressões sobre equivalência lógica e im plicação lógica Escreva livremente o que você entendeu tendo como base o exemplo apresentado e os aspectos importantes para a sua solução 49 Vimos anteriormente que uma proposição composta é tautologia se e somente se seu valorverdade é sempre V independentemente do valor lógico das propo sições simples que a compõem Vimos também que uma proposição composta é uma contradição se e somente se o seu valor lógico é sempre F independen temente do valorverdade das proposições simples que a compõem Dizemos que P é logicamente equivalente ou apenas é equivalente a Q se as duas tabelas verdades forem idênticas Quando isso ocorrer temos uma equi valência lógica ou biimplicação A notação que usaremos para denotar que P é equivalente a Q é P Q ou P Q Vamos ver a seguir alguns exemplos que nos auxiliarão a compreender a equi valência lógica Exemplo 1 Um princípio fundamental do raciocínio lógico chamado dupla negação esta belece que P P Assim a dupla negação é uma equivalência lógica Para verificar esse fato vamos comparar a tabela verdade da proposição P que é UNICESUMAR UNIDADE 2 50 P P V V F V F F V F 3 2 1 com a tabela verdade da proposição P que é P V F Observe que a segunda coluna da primeira tabela verdade é idêntica a segunda coluna da segunda tabela verdade Portanto temos que P P é uma equi valência lógica Exemplo 2 Um estudante de Lógica afirmou eu não entendi nada Embora a dupla nega ção seja empregada em língua portuguesa com a ideia de reforço à negação em lógica matemática é equivalente a uma afirmação Dessa forma o estudante que afirmou eu não entendi nada está na verdade dizendo eu entendi tudo Exemplo 3 51 Considere o trecho da canção Sampa de autoria Caetano Veloso E foste um difícil começo Afasta o que não conheço E quem vem de outro sonho feliz de cidade Aprende depressa a chamarte de realidade Porque és o avesso do avesso do avesso do avesso Considerando o trecho em destaque e considerando que a cidade de São Paulo a quem a música faz referência como algo agradável e que seu avesso corresponda a algo ruim do ponto de vista lógico é correto concluir que a cidade de São Paulo é algo a ruim e bom b ruim c análogo a seu avesso d equivalente a seu avesso e bom UNICESUMAR Solução Note que o avesso do avesso indica uma dupla negação e o avesso do avesso do avesso indica uma dupla dupla negação Logo o trecho da música de Caetano Veloso afirma que São Paulo é uma cidade boa e responde a questão a alternativa E Exemplo 4 Um princípio fundamental do raciocínio lógico chamado condicional estabelece que PQPQ Assim a condicional é uma equivalência lógica Para verificar esse fato comparar a tabela verdade da proposição PQ que é P Q PQ V V V V F F F V V F F V F F F 1 1 2 com a tabela verdade da proposição PQ que é P Q P Q V V F V V F F F V V F V V 2 1 3 1 Observe que a terceira coluna da primeira tabela verdade é idêntica à quinta coluna da segunda tabela verdade Portanto temos que PQPQ é uma equivalência lógica Os símbolos e são distintos porque no primeiro temos uma relação tautológica Já no segundo temos a operação lógica da bicondicional A mesma coisa acontece com os símbolos e Nesse caso o símbolo denota uma relação de implicação enquanto denota a operação lógica de condicional Fiquem atentos Exemplo 5 Considere a proposição Se tenho dinheiro então sou feliz Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é a Tenho dinheiro e sou feliz b Não tenho dinheiro ou sou feliz c Se não tenho dinheiro então não sou feliz d Se sou dinheiro então tenho saúde e Tenho dinheiro e não sou feliz Solução Vamos considerar as seguintes proposições P Tenho dinheiro e Q sou feliz Em notação lógica podemos escrever a proposição dada como PQ que por sua vez é equivalente a escrever PQ Assim uma forma de escrever a proposição dada é não tenho dinheiro ou sou feliz Logo responde à questão a alternativa B Observe que a terceira coluna da primeira tabela verdade é idêntica à quinta coluna da segunda tabela verdadeira Portanto temos que PQQP é uma equivalência lógica Um princípio fundamental do raciocínio lógico chamado Leis de De Morgan estabelece que i PQPQ ii PQPQ Assim as Leis de De Morgan é uma equivalência lógica Para verificar esse fato vejamos as tabelas verdade começando com PQPQ que é conhecido como negação da conjunção Assim vamos comparar a tabela verdade da proposição composta PQ que é com a tabela verdade da proposição composta P Q que é UNIDADE 2 58 e Beto não é alto e Beth a não é baixa Solução Vamos considerar as seguintes proposições P Beto é alto e Q Beth é baixa Em notação lógica podemos escrever a proposição dada como P Q A negação da conjunção é de acordo com a lei de De Morgan equi valente a escrever P Q Assim a negação da proposição fica escrita como Beto não é alto ou Beth não é baixa Exemplo 10 A negação da proposição x é positivo ou y é ímpar é a x é negativo e y é par b x é negativo ou y é par c x é negativo ou y não é ímpar d x não é positivo e y não é par e x não é positivo ou y é par Solução Vamos considerar as seguintes proposições P x é positivo e Q y é ímpar Em notação lógica podemos escrever a proposição dada como P Q A negação da disjunção é de acordo com a lei de De Morgan equivalente a escrever P Q Assim a negação da proposição fica escrita como x não é positivo e y não é ímpar ou de forma mais elegante pode mos escrever x é negativo e y é par Logo responde à questão a alternativa A Exemplo 11 Considere a proposição composta Se t é um número positivo então y é um número par Assinale a alternativa que corresponda à negação dessa proposição composta a t é um número positivo e y é um número ímpar b t é um número negativo e y é um número par c t não é um número positivo ou y é um número par Observe que a terceira coluna da primeira tabela verdade da proposição composta P Q é idêntica à quinta coluna da segunda tabela verdade da proposição composta P Q Portanto temos que P Q P Q é uma equivalência lógica A negação da proposição composta Josiane é prima de Marli e Marli não é filha única é Observe que a quarta coluna da primeira tabela verdade da proposição composta P Q é idêntica à quarta coluna da segunda tabela verdade da proposição composta Q P Portanto temos que P Q Q P é uma equivalência Agora efetuandose o mesmo processo para P Q Q P que é conhecido como comutatividade da disjunção Assim vamos comparar a tabela verdade da proposição composta P Q que é 1 1 1 2 1 com a tabela verdade da proposição composta Q P que é 1 1 1 2 1 Observe que a terceira coluna da primeira tabela verdade da proposição P Q é idêntica à terceira coluna da segunda tabela verdade da proposição composta Q P Portanto temos que P Q Q P é uma equivalência lógica Exemplo 14 Ricardo não gosta de feijoada ou Carlos gosta de pão e gosta de bolo Uma afirmação que corresponda à negação lógica dessa é a Carlos não gosta de bolo ou não gosta de pão e Ricardo gosta de feijoada b Ricardo gosta de feijoada e Carlos não gosta de pão e não gosta de bolo c Se Ricardo não gosta de feijoada então Carlos gosta de pão e bolo d Se Carlos não gosta de pão e bolo então Ricardo gosta de feijoada e Ricardo gosta de bolo e Carlos gosta de feijoada Considere a proposição composta Se uma pessoa não é licenciada em matemática então ela não licenciada em matemática Assinale a alternativa que corresponda à proposição logicamente equivalente à proposição composta dada a É falso que uma pessoa não é licenciada em matemática ou estuda lógica matemática b Não é verdade que uma pessoa não é licenciada em matemática e não estuda lógica matemática c Se uma pessoa não é licenciada em matemática então ela não estudou lógica matemática d Uma pessoa é licenciada em matemática ou não estuda lógica matemática e Uma pessoa não é licenciada em matemática ou estuda lógica matemática sigla IDN IDN COM COM ASS ASS DM DM DIST DIST DN DC DE EX R CP C T P P Vimos a equivalência lógica P land Q iff Q land P denominada de comutatividade do operador conjunção Dessa forma temos na operação de adição de números reais que a b b a em que a e b são números reais e essa é a propriedade associativa da operação de adição analogamente para a operação de multiplicação de números reais onde temos a imes b b imes a Teorema 1 Sejam P1 P2 P3 ldots Q1 Q2 Q3 ldots proposições quaisquer A forma sentencial PP1 P2 P3 ldots iff Q1 Q2 Q3 ldots se e somente se PP1 P2 P3 ldots iff Q1 Q2 Q3 ldots é uma tautologia Para a demonstração desse teorema consulte Alencar Filho 2002 Agora vamos aplicar esse teorema Exemplo 16 No exemplo 7 vimos que a contrapositiva estabelece que P rightarrow Q iff eg Q rightarrow eg P ou seja a contrapositiva é uma equivalência lógica Assim segundo este teorema apresentado a forma sentencial P rightarrow Q iff eg Q rightarrow eg P é uma tautologia De fato UNIDADE 2 68 P Q P Q Q P V V V V V V F V V F V V F V F F V V F F F V F V F V V V F V V V F F F F V F V V F V V F 1 2 1 4 2 1 3 2 1 VIRAR PÁGINA PARA VISUALIZAR Observe que a sexta coluna da tabela verdade da proposição P rightarrow Q iff eg Q rightarrow eg P encerra apenas valores lógicos verdadeiros e dessa forma a proposição é tautológica como queríamos demonstrar Exemplo 17 No exemplo 8 vimos as leis de De Morgan as quais estabelecem que i eg P land Q iff eg P lor eg Q ii eg P lor Q iff eg P land eg Q ou seja as leis de De Morgan são uma equivalência lógica Assim segundo o teorema 1 a forma sentencial eg P land Q iff eg P lor eg Q é uma tautologia De fato Segue também que a forma sentencial eg P lor Q iff eg P land eg Q é uma tautologia De fato 71 P Q P Q P Q V V F V V V V F V F F V V F F V V F V F V F V F F V F F V V V V F F F V F F V F F F V V F V V F 3 1 2 1 4 2 1 3 2 1 Observe que as duas tabelas verdades são tautológicas como queríamos demonstrar Esse procedimento que acabamos de efetuar nos exemplos 16 e 17 pode ser feito para todas as equivalências lógicas do Quadro 1 Você como futuroa matemáticoa precisa saber fazer e aplicar essas relações Agora vamos aprender sobre as implicações lógicas Sejam P e Q duas proposições Dizemos que P implica logicamente Q se Q assumir o valorlógico V sempre que P for V Assim dizemos que temos uma implicação lógica ou inferência e denotamos por P Q UNICESUMAR Exemplos 18 Exemplos 19 Exemplos 20 com a tabela verdade da proposição P R que é implicação lógica nome sigla Teorema 2 Sejam P₁ P₂ P₃ Q₁ Q₂ Q₃ proposições quaisquer A forma sentencial PP₁ P₂ P₃ Q₁ Q₂ Q₃ é uma tautologia Para a demonstração desse teorema consulte Alencar Filho 2002 e Hegenberg 2012 Agora vamos aplicar esse teorema Exemplo 21 No exemplo 18 vimos que o Modus Ponens P Q P Q é uma inferência Assim segundo o teorema apresentado a forma sentencial P Q P Q é uma tautologia De fato P Q P Q P Q V V V V V V V V V V F F F F F V F V V F V V F F F F V F F V V F F F F F F V F F F V V F F V 79 Sá de Miranda foi o responsável por introduzir o soneto em Portugal e Camões foi o res ponsável por seu triunfo fazendo com que esse gênero poético se consolidasse em terras lusitanas Amor é fogo que arde sem se ver é um soneto de Camões que foi publicado na segunda edição da obra Rimas lançada em 1598 Vejamos Amor é fogo que arde sem se ver é ferida que dói e não se sente é um contentamento descontente é dor que desatina sem doer É um não querer mais que bem querer é um andar solitário entre a gente é nunca contentarse de contente é um cuidar que ganha em se perder É querer estar preso por vontade é servir a quem vence o vencedor é ter com quem nos mata lealdade Mas como causar pode seu favor nos corações humanos amizade se tão contrário a si é o mesmo Amor De acordo com Rebeca Fuks Doutora em Estudos da Cultura Camões desenvolve seu poema de amor por meio da apresentação de ideias opostas e usa o recurso de aproxi mação de coisas que parecem distantes para explicar um conceito tão complexo como o amor Um ponto importante é que o soneto é baseado num raciocínio lógico que leva a uma conclusão Essa argumentação fundamentada na apresentação de afirmações que levam a uma consequência lógica é chamada silogismo Fonte adaptado de Fuks 2022 EXPLORANDO IDEIAS UNICESUMAR Exemplo 22 Considere as proposições lógicas simples X e Y Assinale a alternativa que corresponde à expressão lógica equivalente à proposição composta X Y a Y X b X Y c Y X d X Y e X Y Solução No exemplo 4 vimos que X Y X Y Assim para a expressão lógica poder ser reescrita como segue Exemplo 23 Considere que a proposição Se x 11 então x é primo tenha valor lógico verdadeiro Podese concluir que a se x 11 então x é primo b se x é primo então x 11 c se x 11 então x não é primo d se x não é primo então x 11 e se x não é primo então x 11 Solução Considere as seguintes proposições simples P x 11 e Q x é primo A proposição composta dada pode ser escrita em notação lógica como P Q Mas usando algumas regras de equivalência reescrevemos como segue 1 P Q P Q Q P Q P 1 foi usada equivalência lógica de condicional 2 foi usada equivalência lógica de comutatividade do operador disjunção 3 foi usada equivalência lógica de condicional Assim a proposição pode ser reescrita como Se x não é primo então x 11 Portanto alternativa E Assuma que a proposição composta expressa por Ricardo é louro ou estuda matemática tenha valor lógico verdadeiro Dessa forma é correto concluir que a se Ricardo é louro então estuda matemática b se Ricardo estuda matemática então é louro c se Ricardo não estuda matemática então não é louro d se Ricardo não é louro então estuda matemática e Ricardo não pode ser louro e estudar matemática Solução Considere as seguintes propostas simples R Ricardo é louro e S Ricardo estuda matemática A proposição composta dada pode ser escrita em notação lógica como R S Mas usando algumas regras de equivalência reescrevemos como segue 1 R S R S 1 foi usada equivalência lógica de condicional Assim a proposição pode ser reescrita como Ricardo é louro então estuda matemática Portanto alternativa D A negação da proposição composta Ludmila é asiática e não é loira é a Ludmila é loira b Ludmila é asiática e loira c Ludmila não é asiática e é loira d Ludmila não é asiática ou é loira e Ludmila não é asiática e não é loira Solução Considere as seguintes propostas simples P Ludmila é asiática Q Ludmila é loira A proposição composta dada pode ser escrita em notação lógica como P Q Efetuando a negação dessa proposição composta temos que 1 P Q P Q P Q 1 foi usada lei de De Morgan 2 foi usada a equivalência da dupla negação Assim a proposição pode ser reescrita como Ludmila não é asiática ou é loira Portanto alternativa D A negação da proposição Maribel gosta de morango ou Laís gosta de cachorroquente é a Maribel gosta de morango e Laís não gosta de cachorroquente b Maribel não gosta de morango e Laís gosta de cachorroquente c Maribel não gosta de morango ou Laís gosta de cachorroquente d Maribel gosta de morango ou Laís não gosta de cachorroquente e Maribel não gosta de morango e Laís não gosta de cachorroquente Solução Considere as seguintes propostas simples P Maribel gosta de morango Q Laís gosta de cachorroquente A proposição composta dada pode ser escrita em notação lógica como P Q Efetuando a negação dessa proposição composta temos que P Q P Q 1 foi usada lei de De Morgan Assim a proposição pode ser reescrita como Maribel não gosta de morango e Laís não gosta de cachorroquente Portanto alternativa E 85 Você pode consultar Villar 2012 para outros exemplos e aplicações de lógica matemática Estamos chegando ao final desta unidade e algumas perguntas foram feitas no início dela a lembrar i caso os códigos computacionais fossem executados no mesmo computador os tempos de execução da tarefa e o gasto de memória são iguais ou são distintos E por quê ii Embora os códigos sejam equivalentes existe preferência a um deles em detrimento do outro Por quê Diante do que estudamos nesta unidade você já consegue responder a essas questões Vamos lá Para a primeira pergunta temos que o código 1 executa 4 operações enquanto o código 2 3 operações Isso vai impactar no sentido de tempo é natural que o tempo de execução do código 1 é maior que o do código 2 e além disso o gasto de memória computacional também será maior para o código 1 pois nele executamos mais operações Para a segunda pergunta podemos garantir que o código 2 será preferido ao código 1 Embora sejam equivalentes isto é entreguem a mesma resposta temos que o custo computacional de tempo e de memórias para o código 2 são menores que os do código 1 e isso já explica a seleção do código 2 em relação ao código 1 Ao final desta unidade espero que você consiga perceber que as regras de equivalências e as de inferência lógica são dispositivos que nos auxiliam nos pro cessos de demonstração encurtando o caminho do processo Com isso temos para algumas situações demonstrações mais rápidas e práticas e dependendo até mesmo idêntica porém mais fáceis UNICESUMAR AGORA É COM VOCÊ 87 a for ao show no sábado e não for ao churrasco no domingo b for ao churrasco no sábado e for ao show no domingo c for ao show no sábado e no domingo d não for ao show no sábado e não for ao churrasco no domingo e não for ao churrasco no sábado e nem for ao churrasco no domingo 5 Um famoso cientista político afirmou que O poder executivo e as leis vigentes são incapazes de administrar os conflitos existentes entre os donos dos meios de pro dução e a classe de operários ou de impedir o aumento do espaço político dessas forças Assinale a alternativa que corresponda à negação lógica da afirmação desse cientista político a O poder executivo e as leis vigentes não são capazes de administrar os conflitos existentes entre os donos dos meios de produção e a classe de operários nem de impedir o aumento do espaço político dessas forças b O poder executivo e as leis vigentes não são capazes de administrar os conflitos existentes entre os donos dos meios de produção e a classe de operários ou de impedir o aumento do espaço político dessas forças c O poder executivo ou as leis vigentes não são incapazes de administrar os con flitos existentes entre os donos dos meios de produção e a classe de operários nem de impedir o aumento do espaço político dessas forças d O poder executivo e as leis vigentes não são incapazes de administrar os conflitos existentes entre os donos dos meios de produção e a classe de operários ou de impedir o aumento do espaço político dessas forças e O poder executivo e as leis vigentes são capazes de administrar os conflitos exis tentes entre os donos dos meios de produção e a classe de operários e de im pedir o aumento do espaço político dessas forças 88 6 Considere a seguinte proposição ao final da disciplina o universitário Rodolfo será aprovado ou não será aprovado Do ponto de vista lógico a afirmação da proposição caracteriza a uma negação b uma tautologia c uma equivalência d uma contingência e uma contradição 7 Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F mas não como ambas simultaneamente De acordo com esse referen cial e considerando os conceitos de lógica avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas I A proposição ao final da disciplina o universitário Rodolfo será aprovado e não será aprovado é contradição PORQUE II Independentemente do valor lógico de cada uma das proposições simples que compõem a proposição composta ela é sempre falsa A respeito dessas asserções assinale a opção correta a As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa correta da I b As asserções I e II são proposições verdadeiras mas a II não é uma justificativa correta da I c A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa d A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira e As asserções I e II são proposições falsas 89 O número um Números individuais têm seus próprios traços característicos e conduzem a uma variedade de áreas da matemática Sabemos que o número inteiro e po sitivo é 1 Ele é a unidade indivisível da aritmética o único número positivo que não pode ser obtido pela soma de dois números positivos menores Nesse podcast vamos discutir algumas particula ridades interessantes desse número Preparados Título Estrelas Além do Tempo Ano 2016 Sinopse Estrelas Além do Tempo remonta o auge da corrida espacial entre Estados Unidos e Rússia durante a Guerra Fria Como pano de fundo há a segregação racial da sociedade que também se reflete na NASA onde um grupo de funcionárias negras é obrigado a trabalhar à parte do processo Nesse grupo estão Katherine Johnson Dorothy Vaughn e Mary Jackson três matemáticas que além de provar sua competência dia após dia precisam lidar com o preconcei to para que consigam ascender na hierarquia da NASA MEU ESPAÇO 3 Métodos de Inferência Dr Ricardo Cardoso de Oliveira Olá caroa alunoa na terceira unidade do livro de Lógica Matemáti ca você terá contato com os métodos usados para demonstração em Matemática Vamos aprender a usar a técnica da demonstração direta a técnica da demonstração condicional e a técnica da demonstração por contradição UNIDADE 3 93 tângulo anterior Dessa forma vemos os novos triângulos retângulos com cateto menor igual a 1 e cateto maior igual à hipotenusa do triângulo anterior Vamos fazer juntos primeiro tome um triângulo retângulo isósceles com catetos medindo 1 e nesse caso a hipotenusa mede 2 Agora para o segundo triângulo retângulo tome a medida de um dos catetos igual a 1 e a medida do outro cateto igual a 2 e observe nesse caso que o valor da medida da hipote nusa é igual a 3 que por sua vez é um número irracional Use essa ideia para encontrar outros números irracionais Use o seu Diário de Bordo para anotar as primeiras impressões sobre esses números irracionais obtidos a partir do teorema de Pitágoras Escreva livremente o que você entendeu tendo como base o exemplo apresentado e os aspectos importantes para a sua solução Aproveite e construa esses triângulos retângulos em uma mesma figura para a construção de uma espiral de Teodoro Uma pergunta que surge como demonstrar que esses números não são racionais UNICESUMAR UNIDADE 3 94 Estudamos anteriormente a validade de proposições por meio da construção e uso da tabela verdade Nessa unidade estudaremos um método de demonstra ção denominado método dedutivo que é mais rápido mais eficiente que não precisa construir a tabela verdade Com o uso do método dedutivo podemos chegar a conclusões por meio do uso de uma ou mais proposições Definese um argumento como uma sequência finita de n1 proposições denominadas por H H H Hn 1 2 3 e T em que H H H Hn 1 2 3 são deno minadas premissas e T é denominada consequência conclusão ou tese Um argumento de premissas e conclusão é denotado por H H H H T n 1 2 3 onde se lê H H H Hn 1 2 3 acarretam em T H H H Hn 1 2 3 infere T ou H H H Hn 1 2 3 deduz T O argumento H H H H T n 1 2 3 é válido se e somente se a conclusão T é verdadeira todas as vezes em que as premissas H H H Hn 1 2 3 são ver dadeiras Por outro lado um argumento que não é válido se diz sofisma Teorema Um argumento H₁ H₂ H₃ Hn T é válido se e somente se H₁ H₂ H₃ Hn T é uma tautologia Para demonstração desse teorema consulte Gerônimo e Franco 2006 ou Alencar Filho 2002 Vamos a alguns exemplos e aplicações todas aquelas leis de implicação e inferência que fizemos na unidade anterior e serão empregadas aqui para efetuar as demonstrações Exemplo 1 Verificar a validade do seguinte argumento H₁ PQ H₂ QR H₃ R T P Solução Note que temos três hipóteses e queremos provar a partir das operações de inferência e equivalência a validade da tese Assim segue que Ordem Proposição Justificativa 1 PQ H₁ 2 QR H₂ 3 R H₃ 4 PR 1 2 Lei transitiva 5 P 4 3 Modus Tollens Note que com as hipóteses 1 e 2 e a lei transitiva chegamos ao resultado PR Por fim com o resultado da etapa 4 a hipótese 3 e Modus Tollens chegamos ao resultado P que é a tese que queríamos demonstrar Observe que esse procedimento é mais prático e rápido que construir uma tabela verdade Exemplo 2 Verificar a validade do seguinte argumento H₁ PQ H₂ PR H₃ Q H₄ RST T S Solução De fato Ordem Proposição Justificativa 1 PQ H₁ 2 PR H₂ 3 Q H₃ 4 RST H₄ 5 P 1 3 Modus Tollens 6 R 2 5 Silogismo disjuntivo 7 ST 4 6 Modus Ponens 8 S 7 Simplificação Exemplo 3 Verificar a validade do seguinte argumento H₁ PQ H₂ PQ H₃ P T C em que C denota a contradição Solução De fato Ordem Proposição Justificativa 1 PQ H₁ 2 PQ H₂ 3 P H₃ 4 Q 1 3 Modus Tollens 5 P 2 4 Silogismo disjuntivo 6 PP 3 5 Conjunção 7 C 6 Contradição Exemplo 4 Verificar a validade do seguinte argumento H₁ PQ H₂ RS H₃ QSM H₄ M T PR H₁ PQ H₁ H₂ RS H₂ H₃ QR H₃ H₄ PSX H₄ UNIDADE 3 100 Acabamos de aprender a técnica de demonstração direta O vídeo a seguir faz uso dessa técnica de demonstração para provar que se um número n é ímpar então o quadrado dele também é ímpar O vídeo é do canal do YouTube TriunfABC Na demonstração indireta também chamada de demonstração por contradição ou demonstração por absurdo validamos o argumento usando a negação da tese e passamos a usar a contradição como tese ou seja o argumento H H H H T n 1 2 3 passa a ser escrito como H H H H T c n 1 2 3 em que c é a contradição Daí procedemos como no método da demonstração direta Exemplo 6 Verificar a validade do argumento a seguir usando demonstração indireta H1 P Q H2 R Q H3 P R T R Solução Usando demonstração indireta escrevemos o argumento apresentado como H₁ PQ H₁ H₂ RQ H₂ H₃ PR H₃ H₄ R H₄ Exemplo 7 Verificar a validade do argumento a seguir usando demonstração indireta H1 P Q R H2 R S U H3 U T Q Solução Usando demonstração indireta escrevemos o argumento acima como H1 P Q R H2 R S U H3 U H4 Q T c em que c é a contradição Desse modo agora procedemos como na demonstração direta Assim Ordem Proposição Justificativa 1 P Q R 2 R S U 3 U 4 Q 5 R S 2 3 Modus Tollens Exemplo 8 Verificar a validade do argumento a seguir usando demonstração indireta H1 P H2 Q R H3 S R H4 P Q U T S Solução Usando demonstração indireta escrevemos o argumento anterior como H1 P H2 Q R H3 S R H4 P Q U H5 S T c Exemplo 9 Verificar a validade do argumento a seguir usando demonstração indireta H1 P Q R H2 R S U H3 U T Q Solução Usando demonstração indireta escrevemos o argumento anterior como H1 P Q R UNIDADE 3 106 Na demonstração direta condicional queremos validar argumentos do tipo H H H H H T n 1 2 3 Para demonstrar a validade desse tipo de argumento consideramos o antecedente H como uma premissa ou hipótese adicional e a consequente T será a conclusão ou tese a ser demonstrada Assim o argumento passa a ser reescrito como H H H H H T n 1 2 3 e procedemos como no método da demonstração direta H1 R U H1 P Q S Ordem Proposição Justificativa UNIDADE 3 112 Dado um argumento qualquer não há uma regra para determinar qual tipo de técnica de demonstração a ser empregado É claro que resolver exercícios nos fornece a intuição necessária para decidirmos o melhor caminho Vejamos al gumas situações 117 Exemplo 18 Sobre o time do coração dos amigos Aldo Baldo e Caldo sabese que I Se Caldo é atleticano então Aldo não é tricolor II Se Baldo não é gremista então Aldo é tricolor III Se Baldo é gremista então Caldo não é atleticano Logo deduzse que a Aldo é tricolor b Aldo não é tricolor c Caldo é atleticano d Caldo não é atleticano e Baldo é vascaíno Solução Sejam as proposições P Caldo é atleticano Q Aldo é tricolor e R Baldo é gremista Desse modo as proposições compostas I II e III são escritas em linguagem lógica respectivamente como H1 P Q H2 R Q H3 R P Assumindo as premissas H1 H2 e H3 como verdadeiras e usando o método da demonstração direta temos Ordem Proposição Regra utilizada 1 P Q H1 2 R Q H2 3 R P H3 4 Q R 2 Contrapositiva 5 Q R 4 Dupla negação UNICESUMAR UNIDADE 3 118 6 Q P 5 3 Lei Transitiva 7 P P 1 6 Lei Transitiva 8 P P 7 Condicional 9 P 8 Idempotência Assim a conclusão é P ou seja Caldo não é atleticano Portanto alternativa D Exemplo 19 Em uma roda de amigos Caio fez as seguintes afirmações Sou herdeiro e não trabalho Se não tiro férias então trabalho Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras é incorreto concluir que Caio a É inteligente b Tira férias c Trabalha d Não trabalha e tira férias e Trabalha ou é herdeiro Solução Sejam as proposições P Caio é herdeiro Q Caio trabalha e R Caio tira férias Desse modo as proposições compostas são escritas em linguagem lógica como H1 P Q H2 R Q Assumindo as premissas H1 e H2 como verdadeiras e usando o método da de monstração direta temos UNIDADE 3 120 Solução Assumindo as premissas H1 até H4 como verdadeiras e usando o método da demonstração direta temos Ordem Proposição Regra utilizada 1 P Q H1 2 P R H2 3 R S H3 4 Q T H4 5 P T 14 Lei Transitiva 6 P S 2 3 Lei Transitiva 7 T P 5 Contrapositiva 8 T P 7 Dupla Negação 9 T S 8 6 Lei Transitiva Assim a conclusão correta é T S Exemplo 22 Se ontem tivesse nevado e tivesse sido um dia muito frio Kate teria cancelado a massagem de hoje Como Kate não cancelou a massagem então com certeza ontem a Fez calor e não nevou b Foi um dia de céu azul c Não nevou e não fez muito frio d Não nevou ou não fez muito frio e Não nevou e fez pouco frio 125 10 P Q 1 9 Modus Tollens 11 P Q 10 Lei de De Morgan 12 P Q 11 Dupla Negação 13 Q 12 4 Silogismo Disjuntivo 14 S Q 8 13 conjunção Assim a conclusão correta é S Q Você pode consultar Hegenberg 2012 Alencar Filho 2002 e Villar 2012 para outros exercícios e aplicações Voltemos ao início dessa unidade em que abordamos a existência de números irracionais A espiral de Teodoro é obtida a partir de um triângulo retângulo de catetos com medidas iguais a um e na sequência novos triângulos retângulos com cateto menor igual a um e cateto maior igual à hipotenusa do triângulo anterior como ilustra a Figura 1 Figura 1 Espiral de Teodoro até a hipotenusa de 17 Fonte o autor Descrição da Imagem a figura apresenta o desenho de uma espiral de Teodoro que possui o formato semelhante ao de um caracol O caracol se divide em dezesseis triângulos retângulos Nessa espiral de Teodoro há um ponto central e todos os triângu los partem deste ponto Dentro dos triângulos há vários núme ros que correspondem ao valor das hipotenusas desses triângu los retângulos que na sequência vai de raiz quadrada de um até a raiz quadrada de dezessete UNICESUMAR UNIDADE 3 126 A sequência de hipotenusas geradas a partir do cateto unitário na espiral de Teodoro é 2 3 4 5 Embora Theodore termine esta espiral no triângulo retângulo com raiz hipote nusa 17 você pode continuar essa construção adicionando mais triângulos re tângulos Em 1958 Erich Teuffel provou que duas hipotenusas da espiral nunca colidem não importando o tamanho da espiral Perceba que na espiral de Teo doro podemos perceber a existência de outros números irracionais Em mate mática sabemos que há outros números irracionais como o p pi o e núme ro de Euler o f razão áurea etc A partir dessa espiral fizemos uma demonstração geométrica que alguns números irracionais existem e têm seu lugar na reta real De todos os números irracionais dois deles despertaram ao longo dos séculos a atenção dos matemáticos de várias partes do mundo o p e 3 2 O primeiro está associado ao círculo e à circunferência e o segundo está associado em dobrar o valor da medida do volume do cubo Oi Números bei jantes como as sim O menor nú mero igual à soma de seus próprios divi sores é o 6 Dizemos que o número 6 é o número beijante do pla no Mas o que são números beijantes Humm certeza de que você está pensando em algo bom Nesse podcast vou explicar sobre a ma neira como os antigos gregos distinguiam nú meros Bora lá 127 Estamos chegando ao final da unidade e agora vamos retomar a questão da demonstração envolvendo números irracionais Vamos pegar como exemplo o número 2 e provar por contradição que ele não é racional Primeiramente devemos lembrar que um número racional é um número da forma de a b em que a e b são números inteiros e b não é zero Admita que x 2 seja racional então 2 a b Como o MDCab é igual a 1 segue que a b é fração irredutível Assim escrevemos também que a b 2 2 2 isto é a b 2 2 2 e consequentemente a2 é par e consequentemente a também o é Como a b 2 e assumindo que a k 2 e 2 4 2 2 b k com k inteiro obtemos b k 2 2 2 ou seja b2 é par e assim b também é par Então a b não é irredutível o que é uma contradição Por tanto 2 é irracional UNICESUMAR 132 Nessas condições analise as afirmações que seguem I Na linha de ordem 5 a proposição resultante é P II Na linha de ordem 6 a proposição resultante é R III Na linha de ordem 7 a proposição resultante é T S IV Na linha de ordem 7 a proposição resultante é T S Qual o número de afirmações corretas a 0 b 1 c 2 d 3 e 4 4 Quantificadores e Lógica de Predicados DrRicardo Cardoso de Oliveira O interesse do cálculo de predicados consiste em quantificar os pre dicados Dessa forma ao invés de isolarmos as proposições P1 P2 estaremos interessados no estudo simultâneo de toda a classe de proposições Px obtidas a partir do predicado P Dessa forma a estra tégia é quantificar os predicados e é esse assunto que será abordado nessa unidade Bons estudos UNIDADE 4 134 Os polígonos são figuras geométricas fechadas obtidas a partir de segmentos de reta Os polígonos são caracterizados por apresentar os seguintes elementos ân gulos vértices diagonais e lados De acordo com o número de lados que possuem esses polígonos recebem nomes especiais tais como triângulo quadrilátero pen tágono hexágono heptágono octógono eneágono e assim por diante Com certeza você deve se recordar das suas aulas de matemática no ensino fundamental Os quadriláteros são polígonos de quatro lados e que possuem quatro vérti ces Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360 e as suas diagonais são duas diagonais que ligam dois vértices não conse cutivos Eis que alguns quadriláteros recebem nomes especiais como trapézio paralelogramo retângulo losango e quadrado De acordo com Silveira e Marques 2008 os trapézios são quadriláteros que têm dois lados paralelos e são classificados em trapézio retângulo trapézio isósceles e trapézio escaleno Os paralelogramos são quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos e de mesma medida Esses paralelogramos recebem nomes específicos de acordo com as suas características quadrado retângulo e losango Os quadriláteros que não possuem lados paralelos são chamados de quadriláteros irregulares Retângulos são paralelogramos que têm todos os ângulos internos retos ou seja iguais a 90 Os losangos são paralelogramos em que todos os lados têm a mesma medida e que suas diagonais se encontram em seus pontos médios formando ângulo reto Por fim quadrados são parale logramos em que a medida dos lados tem valores iguais e todos os ângulos são retos Faça esboços geométricos das afirmações apresentadas As afirmações que foram feitas são procedentes segundo seus esboços De posse de todas essas informações podemos começar a formular perguntas Todo quadrilátero tem lados dois a dois paralelos Existe quadrado que é retângulo Todo quadrado é retângulo Algum losango que é retângulo E por aí vai Chegou a hora de começarmos a formatar esse conhecimento e responder essas perguntas Use o seu Diário de Bordo para anotar as primeiras impressões sobre esses quadriláteros Escreva livremente o que você entendeu tendo como base o tex to apresentado Aproveite e construa um diagrama com esses quadriláteros na forma de um diagrama de Venn Uma pergunta que surge como seria tudo isso caso estudássemos apenas triângulos UNIDADE 4 136 Exemplo 1 Considere a proposição aberta Px x 1 e o universo de discurso U 2 3 399 Note que P2 assume valor lógico V pois 2 1 é uma proposição verdadeira P3 assume valor lógico V pois 3 1 é uma proposição verdadeira P399 assume valor lógico V pois 399 1 é uma proposição verdadeira Note nesse caso que TODO elemento de U faz da proposição aberta Px uma proposição verdadeira UNIDADE 4 138 Podemos operar as proposições abertas da mesma forma que as proposições usando inclusive os mesmos operadores lógicos Dessa forma obtemos novas proposições a partir de outras mais simples Para transformar proposições abertas em uma proposição fazemos uso dos quantificadores O interesse do cálculo de predicados consiste em quantificar os predicados obtendose e estudandose classes de proposições ao invés de isolarmos proposições P2 P3 Q3 como fizemos nos exemplos 1 e 2 A ideia é o estudo simultâneo de todas as classes de proposições Px obtidas a partir de um predicado P Para tanto a estratégia será quantificar os predicados e as formas mais comuns envolvem dois quantificadores o universal para todos e o existencial existe algum denotados respectivamente por e Ao longo deste capítulo Px denota um predicado arbitrário com variável x Vamos considerar um predicado P com variável x denotado por Px A proposição Para todo sujeito x a afirmação Px é verdadeira simbolicamente expressa por xP x está associada ao predicado cuja variável x foi quantificada universalmente Isto é o operador xP x é verdadeiro quando absolutamente todas as proposi ções Px são válidas na medida que variamos x dentro do universo de discurso Exemplo 3 a Considere a proposição aberta Px x 1 e o universo de discurso o conjunto dos números naturais positivos Observe que P1 P2 P3 são todas pro posições verdadeiras Nesse caso dizemos que xP x assume valor lógico V NOVAS DESCOBERTAS Existe e para todo são dois termos bastante empregados em Mate mática e são utilizados nas construções de sentenças O professor Maurício Carvalho do Canal do YouTube Portal da Matemática OBMEP nos apresenta a diferenciação entre esses dois quantificadores de uma maneira bem acessível UNICESUMAR 139 b Considere a proposição aberta Qx x 0 e o universo de discurso o conjunto dos números inteiros Observe que Q1 Q2 Q3 são to das proposições verdadeiras No entanto Q1 falha e essa falha acon tece também para os demais números inteiros negativos Nesse caso dizemos que xP x assume valor lógico F ATENÇÃO observe a partir do exemplo 3 que é necessário especificar qual é o universo do discurso U universo no qual x pode assumir valores para que a operação fique bem definida Agora considere a frase Existe pelo menos um sujeito x para o qual a afirmação Px é verdadeira simbolicamente expressa por xP x está associada ao predicado cuja variável x foi quantificada existencialmente Isto é o operador xP x assume valor lógico V quando ao buscar por um elemen to dentro do universo de discurso encontra esse elemento e a sentença relativa ao sujeito é verdadeira Caso contrário assume valor lógico F Cumpre notar que sendo Px uma proposição aberta necessita de valor lógico V ou F No entanto e são proposições e portanto tem valor lógico que pode ser V ou F Acrescen tase ainda que tudo o que fora discutido anteriormente sobre os operadores lógicos tabela verdade e métodos de inferência continuam válidos PENSANDO JUNTOS Exemplo 4 a Considere a proposição aberta Px x 1 e o universo de discurso o con junto dos números inteiros Observe que P1P2P3 são todas propo sições verdadeiras No entanto P0 P1 falham No entanto já encon tramos pelos menos um elemento que faz xP x ter valor lógico V UNICESUMAR 151 Exemplo 17 Se não é verdade que alguma atriz de novela não faz atuações interessantes então é verdade que a Todas as atrizes de novela fazem atuações interessantes b Nenhuma atriz de novela faz atuação interessante c Nenhuma atuação interessante é feita por alguma atriz de novela d Nem todas as atrizes de novela fazem atuação interessante e Todas as atuações não interessantes são feitas por atrizes de novela Solução o enunciado dos exercícios diz que alguma atriz de novela não faz atuações interessantes tem valor lógico falso Dessa forma sua negação tem valor lógico verdadeiro Sabemos que a negação do quantificador alguma é toda Assim a negação de alguma atriz de novela não faz atuações interessantes é escrita como todas as atrizes de novela fazem atuações interessantes e portanto responde à questão a alternativa A UNICESUMAR 153 MElizabeth II Elizabeth II é mortal MRicardo Ricardo é mortal que são verdadeiras e assim por diante Portanto parece plausível assumir como legítimo o argumento regra o que vale para todos deve valer para um sujeito em particular Esse enunciado escrito em notação simbólica se vale xM x então vale para em que c é um sujeito particular Essa regra é conhecida como exemplifi cação universal EU e é resumida na forma xP x P c em que P é um predicado qualquer e c é um sujeito escolhido no universo de discurso Observe que essa regra elimina o quantificador universal A segunda regra de inferência que é denominada de generalização univer sal GU permite a quantificação de uma afirmação Se mostrarmos que Pc vale para todo c em um universo de discurso então podemos concluir que xP x e dessa forma fica resumido como P c xP x em que P é um predicado qualquer Observe que essa regra inclui o quanti ficador universal A terceira regra de inferência denominada de exemplificação existencial EE formaliza a regra se Px vale para algum x então Pc vale para algum sujeito c convenientemente escolhido Essa regra fica simbolizada como xP x P c em que P é um predicado qualquer e c é um sujeito escolhido no universo de discurso Observe que essa regra elimina o quantificador existencial A última regra denominada de generalização existencial GE diz que se Pc vale para algum sujeito então deve valer para xP x A generalização da regra fica escrita como P c xP x UNICESUMAR 161 Nessa situação a premissa 1 hipóteses 1 está representada pelo diagrama de Venn da Figura 1 Observe que o conjunto dos homens está contido no conjunto dos mortais Descrição da Imagem nessa figura há a representação de dois conjuntos por dois círculos sendo um maior o qual recebe o nome de Mortais e o outro menor que recebe o nome de Homens O círculo cujo nome é Homens está totalmente contido no interior do conjunto cujo nome é Mortais Figura 1 Diagrama de Venn para a situação problema Fonte o autor A premissa 2 hipótese 2 afirma que Renato é homem ou seja ele pertence ao conjunto menor conjunto dos Homens e desse modo também faz parte do conjunto maior conjunto dos Mortais Logo Renato é mortal Observe que a conclusão do argumento dado é uma consequência obrigatória das premissas que foram dadas ou seja o argumento dado é válido UNIDADE 4 162 Exemplo 25 Considere as seguintes afirmações feitas por um professor de lógica Afirmação 1 Alguns A são R Afirmação 2 Nenhum G é R Se ambas as afirmações têm valor lógico verdadeiro então é necessariamente verdadeiro que a Nenhum A é G b Algum A não é G c Algum G é A d Nenhum G é A e Algum A é G Solução como nenhum G é R segue que os elementos comuns de A e R não são G Logo algum A não é G Observe na Figura 2 que os elementos da intersec ção do conjunto A com o conjunto R região hachurada no diagrama de Venn por pertencerem também ao conjunto R não podem ser G Logo responde à questão a alternativa B NOVAS DESCOBERTAS Zero é um número O zero surgiu pela primeira vez em sistemas de anotar números Era um recurso notacional Só mais tarde foi reconhecido como um nú mero propriamente dito com a permissão de assumir seu lugar como característica fundamental de sistemas numéricos matemáticos Nes se podcast vamos discutir sobre o tal número zero Acesse o QR Code UNICESUMAR 163 Descrição da Imagem nessa figura há a representação de dois conjuntos por dois círculos um conjunto foi chamado de A e o outro de B Os dois conjuntos apresentam uma região hachurada em cinza que corresponde à interseção dos dois conjuntos Figura 2 Diagrama de Venn para a situação problema Fonte o autor Exemplo 26 Considere as seguintes afirmações Todo engenheiro deve ter noções de Matemática Alguns funcionários da Unicesumar são engenheiros Se as duas afirmações são verdadeiras então é correto afirmar que a Todo funcionário da Unicesumar deve ter noções de Matemática b Se Joaquim tem noções de Matemática então ele é engenheiro c Se Joaquim é funcionário da Unicesumar então ele é engenheiro d Se Joaquim é engenheiro então ele é funcionário da Unicesumar e Alguns funcionários da Unicesumar podem não ter noções de Matemática UNIDADE 4 164 Descrição da Imagem nessa figura há a representação de três conjuntos por círculos um conjunto foi chamado de N outro de E e outro de F O conjunto E está contido no conjunto N O conjunto F intersecciona os conjuntos E e F A parte do conjunto F que não está contida nos conjuntos E e N está hachurada em cinza Figura 3 Diagrama de Venn para a situação problema Fonte o autor Solução Vamos considerar N o conjunto de todos aqueles que têm noção de Ma temática E o conjunto de todos os engenheiros e F o conjunto dos funcionários da Unicesumar são engenheiro A representação em diagrama de Venn fica como apresentado na Figura 3 Note que é possível inferir que alguns funcionários da Unicesumar podem não ter noções de Matemática e dessa maneira responde à questão a alternativa E UNICESUMAR 165 Exemplo 27 Considere que as afirmações seguintes são verdadeiras Todo apreciador de café é inteligente Toda pessoa que não aprecia chá é apreciadora de café Com base nessas afirmações é correto concluir que a Toda pessoa inteligente é apreciadora de café b Todo apreciador de café não aprecia chá c Existem pessoas que não apreciam chá e não são inteligentes d Existem apreciadores de café que apreciam chá e Existem pessoas que não apreciam chá e não são apreciadores de café Solução vamos considerar I o conjunto de todos aqueles que são inteligentes M o conjunto de todos os apreciadores de café e N o conjunto de todas as pessoas que não apreciam chá A representação em diagrama de Venn fica como apre sentado na Figura 4 Note que é possível inferir que existem apreciadores de café que apreciam chá e dessa maneira responde à questão a alternativa D Descrição da Imagem nessa figura há a re presentação de três conjuntos por círculos um conjunto foi chamado de I outro de M e outro de N O conjunto N está contido no conjunto M e o conjunto M está contido no conjunto IE e N está hachurada em cinza Figura 4 Diagrama de Venn para a situação problema Fonte o autor UNIDADE 4 166 Exemplo 28 Considere o seguinte argumento Hipótese 1 Todos os advogados são ricos Hipótese 2 Os poetas são temperamentais Hipótese 3 José é advogado Hipótese 4 Nenhuma pessoa temperamental é rica Conclusão José não é poeta Use o diagrama de Venn para ilustrar a demonstração do argumento dado Solução vamos considerar R o conjunto de todos as pessoas ricas A o con junto de todos os advogados T o conjunto de todas as pessoas temperamentais Descrição da Imagem nessa figura há a representação de dois conjuntos por círculos e estes conjuntos são distintos À esquerda há o conjunto A que está contido no conjunto R e dentro do conjunto A há um desenho de um homem representando José À direita está um conjunto P que está contido no conjunto T Figura 5 Diagrama de Venn para a situação problema Fonte o autor e P o conjunto de todos os poetas A representação em diagrama de Venn fica como apresentado na Figura 5 Note que é possível inferir que José não é poeta e também que José não é temperamental UNICESUMAR 167 ATENÇÃO O procedimento usado nos exemplos de 25 a 28 não efetuam a de monstração formal e rigorosa como feito nos exemplos de 19 a 24 Uma sugestão de atividade é você efetuar as demonstrações formais dos exemplos de 25 até 28 Você pode consultar Loyola 2014 para outros exercícios Exemplo 29 Os quadriláteros são polígonos de quatro lados e que possuem quatro vértices Al guns quadriláteros têm nomes especiais como é o caso do trapézio do paralelogra mo do retângulo do losango e do quadrado Os trapézios têm dois lados paralelos e são classificados em trapézio retângulo trapézio isósceles e trapézio escaleno Os paralelogramos têm dois pares de lados paralelos e de mesma medida Estes paralelogramos recebem nomes específicos de acordo com as suas características quadrado retângulo e losango Retângulos são paralelogramos que têm todos os ângulos internos retos e os losangos são paralelogramos em que todos os lados Descrição da Imagem nessa figura há a representação dos conjuntos de todos os tipos de quadriláteros Esses conjuntos foram representados por retângulos para facilitar a compreensão Começamos de fora para dentro dentro de um conjunto denominado de quadriláteros há outros conjuntos de nomes trapézios paralelogramos losangos quadrados e retângulos O conjunto trapézio está contido no conjunto quadri látero O conjunto dos paralelogramos está contido dentro do conjunto dos trapézios Os conjuntos dos retângulos e dos losangos estão contidos no conjunto dos paralelogramos A interseção entre os conjuntos dos retângulos e losangos resulta em um conjunto denominado quadrado Figura 6 Os tipos de quadriláteros Fonte o autor UNIDADE 4 168 têm a mesma medida e que suas diagonais se encontram em seus pontos médios formando um ângulo reto Já os quadrados são paralelogramos em que a medida dos lados tem valores iguais e todos os ângulos são retos Acerca das definições apresentadas construa um diagrama ilustrando essa classe de polígonos Solução analisando as definições dos quadriláteros é possível construir o diagrama de Venn da Figura 6 Estamos chegando ao final dessa unidade e algumas perguntas foram feitas A lembrar Todo quadrilátero tem lados dois a dois paralelos Existe quadrado que é retângulo Todo quadrado é retângulo Algum losango que é retângulo Note que nessas perguntas fizemos uso dos quantificadores 169 existencial e universal Dessa forma para encerrar e retornando ao Exemplo 29 podemos afirmar que Todo quadrado é um retângulo Todo quadrado é um losango Alguns retângulos são quadrados Alguns losangos são retângulos Todo quadrado é um paralelogramo Ao final dessa unidade espero que você tenha percebido que o uso dos quantifica dores é de grande importância para a construção de proposições em Matemática e que toda esta construção está fundamentada nas ideias de lógicas nas leis de equivalência nas leis de inferências e nas regras de demonstração Disciplinas como Cálculo Álgebra Geometria e outras fazem uso dessas técnicas para validar seus teoremas lemas proposições etc Agora é sua vez de pôr a mão na massa e resolver os exercícios propostos 1 A negação da proposição Todo professor de filosofia usa calças é a Nenhum professor de filosofia usa calças b Ninguém que usa calças é professor de filosofia c Todos os professores de filosofia não usam calças d Existe alguma pessoa que usa calças e não é professor de filosofia e Existe algum professor de filosofia que não usa calças 2 Considere verdadeira a seguinte afirmação Todas as mulheres bonitas gostam de tratamento estético Com base na afirmação acima concluise que a Alice gosta de tratamento estético b Se uma mulher é feia então gosta de tratamento estético c Maria que é feia não gosta de tratamento estético d Murilo não gosta de tratamento estético e A esposa de Murilo gosta de tratamento estético 170 3 Qual a negação da proposição Todos os elementos do conjunto dos naturais são números positivos a Todos os elementos do conjunto dos naturais são números negativos b Todos os elementos do conjunto dos naturais não são números positivos c Pelo menos um dos elementos do conjunto dos naturais é um número negativo d Pelo menos um dos elementos do conjunto dos naturais não é um número po sitivo e Pelo menos um dos elementos do conjunto dos naturais é o zero 4 Um professor de lógica afirmou que Afirmação 1 todo X é Y Afirmação 2 se existe algum X que também é Z Nessas condições e assumindo que as afirmações têm valor lógico verdadeiro é certo que a Existe algum Z que não é Y b Existe algum Y que também é Z c Existe algum X que não é Y d Existe algum Y que não é X e Existe algum Z que não é X 5 Se nenhum engenheiro vende chocolates e alguns atletas são engenheiros então a Todos os atletas não vendem chocolates b Alguns atletas não vendem chocolates c Alguns atletas feirantes vendem chocolates d Nenhum engenheiro é atleta ou chocolatier e Alguns atletas são chocolatier e engenheiro 171 6 Um analista de meio ambiente afirmou que Afirmação 1 todos os carros da marca X possuem motores com baixa potência Afirmação 2 alguns carros da marca X são confortáveis Considerando que as afirmações do analista de meio ambiente apresentam valor lógico verdadeiro é correto inferir que a Apenas carros confortáveis podem ter motor com baixa potência b Todo carro com motor de baixa potência é confortável c Alguns carros confortáveis possuem motor com baixa potência d Apenas os carros confortáveis são da marca X e Todo carro com motor de alta potência é confortável 7 Afirmar que é verdade que para todo t se t é um sapo e se t é preto então t está saltando é logicamente equivalente a dizer que não é verdade que a Alguns sapos que não são pretos estão saltando b Alguns sapos pretos estão saltando c Nenhum sapo preto não está saltando d Existe um sapo preto que não está saltando e Algo que não seja um sapo preto está saltando NOVAS DESCOBERTAS Título Introdução à lógica matemática Autor Carlos Alberto F Bispo Luiz B Castanheira Oswaldo Melo S Filho Editora Cengage Learning Ano 2011 Sinopse esta obra foi escrita por docentes da Academia da Força Aérea AFA responsáveis pela disciplina Lógica Matemática e tem por objetivo dar ao leitor o fundamento introdutório necessário para o estudo aprofundado da Lógica 5 O Princípio de Indução Finita Dr Ricardo Cardoso de Oliveira Olá caroa alunoa nesta unidade do livro de Lógica Matemática você terá contato com o Princípio de Indução Finita Você aprende rá a efetuar algumas demonstrações matemáticas empregando esse princípio Bons estudos UNIDADE 5 174 Durante seus estudos no Ensino Médio é certo que você tenha se deparado com o estudo de sequências numéricas Você se lembra das progressões aritméticas e das progressões geométricas No geral quando estamos cursando o Ensino Médio nossos professores não estão interessados em demonstrar teoremas e equações matemáticas Alguns simplesmente os colocam ali e aplicam em exercícios É bem provável que seu professor de matemática quando explicou a soma dos termos de uma progressão aritmética tenha contato uma estória de que Gauss um jovem alemão e que mais tarde se tornaria um grande matemático era um jovem travesso e que durante uma aula de matemática sua professora fez sua turma somar todos os números inteiros compreendidos entre 1 e 100 Ele em tempo recorde foi o primeiro a terminar e o único a acertar o resultado do valor da soma 5050 Detalhe sem calculadora É claro que hoje sabemos que os termos dessa soma é uma progressão aritmé tica e que a soma é uma série Temos até equação pronta que nos permite escrever os termos dessa sequência e outra equação que permite somar os termos dessa sequência Vamos analisar a operação 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 O questionamento que surge é o que observou Gauss na soma acima para re solvêla de forma rápida e corretamente A grande sacada de Gauss foi ter percebido que a soma do primeiro nú mero com o último tem como resultado 101 e que o mesmo acontecia para o segundo e penúltimo terceiro e antepenúltimo e assim por diante Não pas sou muito tempo para ele calcular que ao final teria 50 resultados iguais a 101 e que a soma exigida pelo professor era igual ao produto 50 por 101 O pensamento de Gauss norteia a ideia central empregada para demonstrar a equação da soma dos n primeiros termos de uma PA Anote essas operações matemáticas e verifique sua validade no espaço a seguir 175 Agora estudaremos o método de demonstração de proposições abertas de uma variável pertencente ao conjunto dos números naturais De acordo com Alencar Filho 2002 o Princípio de Indução Finito PIF é um método poderoso de demonstração matemática Muitas afirmações em matemática são do tipo n Pn em que Pn denota um predicado sobre o universo do conjunto dos núme ros naturais positivos Um grande obstáculo para provar nPn é o fato de o conjunto universo ser infinito e em situações como essa recorremos ao PIF cujo enunciado segue UNICESUMAR UNIDADE 5 176 Teorema 1º princípio de indução finita Seja Pn um predicado sobre o universo do conjunto dos números naturais positivos Suponha que as duas afirmações a seguir sejam verdadeiras P 1 é verdadeira Para todo natural positivo k se P k é verdadeiro então P k 1 também é verdadeiro Nas condições apresentadas o PIF afirma que Pn é verdadeiro para todo natural positivo n Para a demonstração do teorema apresentado consulte Domingues e Iezzi 2018 Como imagem para ilustrar o PIF costumase usar o efeito dominó Imagine uma fileira infinita de pedrinhas de dominós todas em pé Se a primeira pedra tombar para a frente fará com que a da frente também tombe e então todas as pedrinhas tombarão como ilustrado na Figura 1 Descrição da Imagem há seis peças de dominós na cor branca e com pontinhos pretos As duas primeiras peças do dominó estão caindo e encostadas na terceira mostrando o efeito dominó Figura 1 Efeito dominó e o PIF UNIDADE 5 190 Exemplo 7 Considere que um quadrado cujo lado mede 1 cm é dividido em nove quadrados idênticos e da malha resultante removese o quadrado que ocupa a posição cen tral Em seguida repetese esse procedimento com cada um dos oito quadrados restantes como ilustra a Figura 2 191 Desse modo na etapa n aplicase o procedimento descrito a cada um dos quadra dos conservados na etapa n 1 Use o PIF e prove a equação que calcula a soma das áreas dos quadrados removidos até a etapa n Solução desprende do enun ciado que a equação que calcula a soma das áreas dos quadrados re movidas não foi fornecida Desse modo necessitamos determinar essa equação Para tal considere a Tabela 1 a seguir Descrição da Imagem há dois quadrados O quadrado da esquerda foi dividido em nove quadrados idênticos e o quadrado central está hachurado O quadrado da direita foi obtido a partir do quadrado da esquerda em que cada um dos oito quadrados não hachurados foi dividido em outros nove quadrados e o quadrado central está hachurado Figura 2 Representação do exercício Fonte o autor UNICESUMAR 195 Período Saldo devedor inicial Juros apurados no período Montante ao final do período 1 C C i CC iC1i 2 C C i C1iCiC12i 3 C C i C12iCiC13i Use o Princípio de Indução Finita e prove que para todo n o valor do mon tante pode ser determinado pela equação MnC1in Solução inicialmente defina o predicado P n MnC1in Note que P 1 M1C1i tem valor lógico verdadeiro e o passo inicial é satisfeito Agora vamos ao passo indutivo em que fixamos k k maior ou igual a 1 e assumimos que P k tem valor lógico verdadeiro isto é assumimos que Eq21 tem valor lógico verdadeiro P k MkC1ik Precisamos provar que P k 1 é verdadeiro ou seja precisamos provar que Eq20 tem valor lógico verdadeiro P k 1 Mk1C1ik1 Uma análise entre os primeiros membros das equações 21 e 22 já nos dá a dica a diferença entre os membros é o fator aditivo Ci Assim vamos somar o termo Ci em ambos os lados da Eq21 Daí segue que MkC1ik MkCiC1ikCi Mk1CCikCi Mk1C1ikk1 Tabela 2 Planilha de monitoramento de capital no regime de capitalização simples Fonte o autor UNICESUMAR 201 UNIDADE 1 ALENCAR FILHO E Introdução à Lógica Matemática São Paulo Nobel 2002 GERÔNIMO J R FRANCO V S Fundamentos de Matemática uma introdução à lógica mate mática teoria dos conjuntos relações e funções Maringá Eduem 2006 HEGENBERG L Lógica São Paulo Forense Universitária Grupo Gen 2012 ROCHA E Raciocínio lógico para concursos você consegue aprender 4 ed Rio de Janeiro Impetus 2012 SILVEIRA E SILVEIRA C M Matemática compreensão e prática São Paulo Moderna 2008 VILAR B Raciocínio lógico questões comentadas FCC 2 ed Rio de Janeiro Método 2012 UNIDADE 2 ALENCAR FILHO E Introdução à Lógica Matemática São Paulo Nobel 2002 FUKS R Poema Amor é fogo que arde sem se ver com Análise e Interpretação Cultura Ge nial 2022 Disponível em httpswwwculturagenialcompoemaamorechamaquearde semseverdeluisvazdecamoes Acesso em 8 ago 2022 GERÔNIMO J R FRANCO V S Fundamentos de Matemática uma introdução à lógica mate mática teoria dos conjuntos relações e funções Maringá Eduem 2006 HEGENBERG L Lógica São Paulo Forense Universitária Grupo Gen 2012 VILLAR B Raciocínio lógico questões comentadas FCC 2 ed Rio de Janeiro Método 2012 UNIDADE 3 ALENCAR FILHO E Introdução à Lógica Matemática São Paulo Nobel 2002 GERÔNIMO J R FRANCO V S Fundamentos de Matemática uma introdução à lógica mate mática teoria dos conjuntos relações e funções Maringá Eduem 2006 HEGENBERG L Lógica São Paulo Forense Universitária Grupo Gen 2012 VILLAR B Raciocínio lógico questões comentadas FCC 2 ed Rio de Janeiro Método 2012 202 UNIDADE 4 ALENCAR FILHO E Introdução à Lógica Matemática São Paulo Nobel 2002 GERÔNIMO J R FRANCO V S Fundamentos de Matemática uma introdução à lógica mate mática teoria dos conjuntos relações e funções Maringá Eduem 2006 HEGENBERG L Lógica São Paulo Forense Universitária Grupo Gen 2012 LOYOLA R Raciocínio lógico para concursos teoria e questões mais de 600 questões resol vidas e propostas 2 ed Rio de Janeiro Método 2014 RODRIGUES C T Matemática como Ciência mais Geral Forma da Experiência e Categorias COGNITIOESTUDOS Revista Eletrônica de Filosofia v 4 n 1 p 3759 2007 SILVEIRA E MARQUES C Matemática compreensão e prática São Paulo Moderna 2008 UNIDADE 5 ALENCAR FILHO E Introdução à Lógica Matemática São Paulo Nobel 2002 BRANCO A C C Matemática Financeira Aplicada método algébrico HP12C Microsoft Ex cel 3 ed São Paulo Cengage Learning 2010 DANTE L R VIANA F Matemática Volume único Contexto aplicações 4 ed São Paulo Atual 2019 DOMINGUES H H IEZZI G Álgebra Moderna 5 ed São Paulo Saraiva 2018 GERÔNIMO J R FRANCO V S Fundamentos de Matemática uma introdução à lógica mate mática teoria dos conjuntos relações e funções Maringá Eduem 2006 IEZZI G DOLCE O DEGENSZAJN D Matemática ensino médio Volume único 6 ed São Paulo Atual 2015 PICKOVER C A The math book New York Sterling Publishing 2009 203 UNIDADE 1 1 Solução Sabese que uma proposição é qualquer sentença declarativa que exprime um pensamento de sentido completo e assume um dos dois valoresverdade Verda deiro e Falso Assim 1 3 e 6 não são sentenças pois não existem sujeitos e pode assumir valorverdade V ou F 5 é uma sentença imperativa e por isso não é uma sentença Já 2 e 4 são sentenças pois formam sentenças declarativas ou seja para elas existem sujeito e predicado Portanto alternativa E 2 Solução A proposição composta Ricardo faz dieta mas come bolo é formada pelas seguintes proposições simples Ricardo faz dieta e Ricardo come bolo que por sua vez são ligadas pelo operador conjunção mas Logo alternativa E 3 Solução a a proposição Q R tem valor lógico F b a proposição P R tem valor lógico V 4 Solução Segue que a Se as proposições P e Q são verdadeiras segue que P e Q são F Assim P Q de acordo com a definição de disjunção também é F b Se a proposição T é V então T é F Assim de acordo com a definição de condicional R T é V c Se P é V e R é F então P R de acordo com a definição de conjunção é F Temos agora que P R e Q são F Assim a condicional é V 5 Solução Note que a proposição é composta e formada por outras 3 proposições sim ples P1 o número é divisível por 2 P2 o número é divisível por 3 e P3 o número é divisível por 6 Dessa forma a tabela verdade terá 8 linhas 6 Solução Note que há 3 proposições simples A B e C e dessa forma a tabela verdade apresentará 8 linhas Respeitando a prioridade das operações temos que 204 A B C C A B V V V V V V V V F V V V F F F V V F V V F V F F F F V V F F F F V V F F F V V V F V F F V F F V V F F F V V F F F F F F V F F F 1 3 1 2 1 Logo alternativa D 7 Solução Note que há 3 proposições simples P Q e R e dessa forma a tabela verdade apresentará 8 linhas Respeitando a prioridade das operações temos que P Q R P Q P R V V V V V V V V V V F V V F V V V F V V V F V V F F V V V V F F V F V F V F V V V V F V V V V V F F F V F F V V V F V F V F F V F F F V F F F F F F V F V F V F 1 2 1 3 1 2 1 205 Logo alternativa A UNIDADE 2 1 Solução Vamos considerar as seguintes proposições P A B e Q A 17 Assim a proposição dada passa a ser reescrita como P Q Q P Pelo teorema 2 devemos mostrar que a tabela verdade de P Q Q P é tau tológica De fato P Q P Q Q P V V V V V F F V V V V F V V F V V F V V F V F V V F F V V F F F F F F F V F V F Etapa 1 2 1 3 2 1 4 1 2 Solução Temos que p q p q p q q p q p Logo alternativa D 3 Solução Tome as seguintes proposições P Raul é argentino e Q Raul lê Borges A proposição Raul é argentino ou lê Borges é simbolicamente escrita como P Q Assim P Q P Q que é traduzida como se Raul não é argentino então lê Borges Responde à questão alternativa D 4 Considere as proposições P Sábado vou ao show e Q domingo vou ao churrasco A proposição dada é escrita em notação lógica como P Q Assumindo que essa proposição tenha valor lógico verdadeiro temos que sua negação tem valor lógico falso A negação de P Q é P Q Concluise que ela mentiu se ela não for ao show no sábado e não for ao churrasco no domingo Alternativa D 5 A afirmação dada é O poder executivo e as leis vigentes são incapazes de administrar os conflitos existentes entre os donos dos meios de produção e a classe de operários ou de impedir o aumento do espaço político dessas forças Sua negação fica escrita como O poder executivo ou as leis vigentes não são incapazes de administrar os conflitos existentes entre os donos dos meios de produção e a classe de operários nem de impedir o aumento do espaço político dessas forças Alternativa C 206 6 Solução Considere a proposição P Rodolfo será aprovado na disciplina Assim P Rodolfo não será aprovado na disciplina Logo P ou P é uma tautologia Logo alternativa B 7 Solução Considere a proposição P Rodolfo será aprovado na disciplina Assim P Rodolfo não será aprovado na disciplina Assumindo que P seja V então P é F e a proposição composta P P é F Por outro lado se P é F então P é V e a proposição composta P P é F Logo é uma contradição Portanto alternativa A UNIDADE 3 1 Solução Usando demonstração indireta escrevemos o argumento como H1 P Q H2 R Q H3 P R H4 R T c em que c é a contradição Desse modo agora procedemos como na demonstração direta Assim Ordem Proposição Justificativa 1 P Q H1 2 R Q H2 3 P R H3 4 R H4 5 Q R 2 Contrapositiva 6 Q R 5 Dupla negação 207 Ordem Proposição Justificativa 7 P Q R 3 6 Inferência por casos 8 P Q R 7 Lei de De Morgan 9 R 8 1 Modus Ponens 10 R R 4 9 conjunção 11 c 10 Contradição Portanto em D foi empregado Modus Ponens e responde à questão a alternativa D 2 Solução Note que a tese da primeira tabela U Q teve a proposição U adicionada como hipótese na segunda tabela Esse tipo de técnica de demonstração é denominado de demonstração condicional ou demonstração diretacondicional Alternativa D 3 Solução Efetuando demonstração direta temos Ordem Proposição Justificativa 1 R U H1 2 R S H2 3 S P Q H3 4 U H4 5 U R 1 Contrapositiva 6 R 45 Modus Ponens 7 S 2 6 Modus Ponens 8 P Q 37 Modus Ponens 9 Q 8 Simplificação 208 Portanto em B foi empregado Modus Ponens Logo responde à questão a alternativa B 4 Solução Por demonstração direta temos que Ordem Proposição Justificativa 1 P Q H1 2 P R H2 3 Q H3 4 R S T H4 5 P 1 3 Modus Tollens 6 R 2 5 Silogismo disjuntivo 7 S T 4 6 Modus Ponens 8 S 7 Simplificação Assim são corretas as afirmações I e III ou seja há duas afirmações corretas UNIDADE 4 1 Solução sejam as proposições abertas Px professor de filosofia usa calças e P professor de filosofia não usa calças e o universo de discurso constituído pelos professores de filosofia Em termos simbólicos temos xP x Daí sua negação da proposição é xP x x P x Que por sua vez é redigida como professor de filosofia usa calças Portanto responde à questão a alternativa E 209 2 Solução seja a proposição aberta Px mulher bonita gosta de tratamento estético Considerando o universo de discurso o conjunto de todas as mulheres bonitas temos em termos simbólicos a proposição Todas as mulheres bonitas gostam de tratamento estético é escrita com xP x Usando exemplificação universal EU temos que seja c a esposa de Murilo Segue que xP x P c Portanto responde à questão a alternativa E 3 Solução seja a proposição aberta Px elementos do conjunto dos naturais são números positivos e em termos simbólicos a proposição Todas elementos do conjunto dos naturais são números positivos é escrita como xP x A negação dessa proposição é xP x x P x Assim escrevemos que Pelo menos um dos elementos do conjunto dos naturais não é um número positivo Logo responde à questão a alternativa D 4 Solução sejam as proposições abertas Px x é elemento de X e Y x elemento de Y Zx x é elemento de Z c é elemento de X e o universo de discurso apropriado para o exercício Em notação simbólica temos x X x Y x X c x X x Z x Agora vamos verificar o argumento para encontrar a conclusão De fato 210 Ordem Proposição Justificativa 1 x X x Y x Hipótese 1 2 x X x Z x Hipótese 3 3 Xc Hipótese 2 4 X c Y c 1 EU 5 X c Z c 2 EE 6 Yc 43 Modus Ponens 7 Zc 53 Modus Ponens 8 Y c Z c 67 Conjunção 9 x Y x Z x 8 GE Assim podemos concluir que existe algum Y que também é Z Portanto responde à questão a alternativa B 5 Solução sejam as proposições abertas Px x é engenheiro e Q x vende chocolates Zx x é atleta c é um atleta e o universo de discurso apropriado para o exercício Em notação simbólica temos Z c x P x Q x x Z x P x 211 Agora vamos verificar o argumento para encontrar a conclusão De fato Ordem Proposição Justificativa 1 x P x Q x Hipótese 2 2 x Z x P x Hipótese 3 3 Zc Hipótese 1 4 x P x Q x 1 negação 5 Z c P c 2 EE 6 P c Q c 4 EE 7 P c Q c 6 definição condicional 8 P c Q c 7 lei De Morgan 9 P c Q c 8 dupla negação 10 Q c 9 simplificação 11 x Q x 10 GE Dessa forma a conclusão nos permite escrever que alguns atletas não vendem chocolates e responde à questão a alternativa B 212 6 Descrição da Imagem há dois retângulos No retângulo superior está escrito carros com motor de baixa potência No retângulo inferior está escrito carros confortáveis Há intersecção entre esses retângulos Há um círculo e metade desse círculo está na região de intersecção dos retângulos e a outra metade está contida no retângulo superior Figura 1 Representação do exercício 6 Fonte o autor Carros com motor de baixa potência Marca X Carros confortáveis 213 A partir da construção do diagrama de Venn apresentado nesta figura para a situação apre sentada é possível concluir que alguns carros confortáveis possuem motor com baixa potên cia e responde à questão a alternativa C 7 A proposição dada pode ser escrita como todo sapo preto está saltando o que de acordo com o exercício tem valor lógico verdadeiro Dessa forma sua negação tem valor lógico falso e é escrito como existe um sapo preto que não está saltando Assim responde à questão a alternativa D UNIDADE 5 1 Solução para aplicar o PIF um passo importante é identificar o predicado Nesse caso defini mos o predicado 3 1 3 6 9 12 3 2 n n P n n A afirmação P1 equivale à proposição lógica 31 1 1 3 2 P que é claramente vá lida Vamos ao segundo passo Seja k um número natural fixado tal que k seja maior ou igual a 1 Dessa forma P k comportase como proposição Admitimos que P k é verda deiro ou seja vale a igualdade 3 1 3 6 9 12 3 2 k k P k k Precisamos provar que P k 1 é verdadeiro ou seja 3 1 2 1 3 6 9 12 3 1 2 k k P k k A pergunta que surge é como sair da Eq1 e chegar na Eq2 Para usar o PIF o ponto crucial está em responder essa questão Uma análise entre os primeiros membros das equações 1 e 2 já nos dá a dica a diferença entre os membros é o fator aditivo 3 k 1 Adicionando 3 k 1 em ambos os membros de Eq1 e efetuando as manipulações algébricas neces 214 Dessa forma o resultado de 3 1 3 6 9 12 3 2 n n n segue pelo PIF Logo n Pn 2 Solução para aplicar o PIF um passo importante é identificar o predicado Nesse caso defini mos o predicado 4 2 1 5 9 13 4 3 2 n n P n n A afirmação P1 equivale à proposição lógica 14 2 1 1 1 2 P que é claramente válida Vamos ao segundo passo Seja k um número natural fixado tal que k seja maior ou igual a 1 Dessa forma P k comportase como proposição Admitimos que P k é verda deiro ou seja vale a igualdade 4 2 1 5 9 13 4 3 2 k k P k k Precisamos provar que P k 1 é verdadeiro ou seja 2 2 2 3 1 3 6 9 12 3 2 3 1 3 6 9 12 3 3 1 3 1 2 3 1 6 1 3 6 9 12 3 3 1 2 3 3 6 6 3 6 9 12 3 3 1 2 3 9 6 3 6 9 12 3 3 1 2 3 3 2 3 6 9 12 3 3 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 2 3 1 2 3 6 9 12 3 3 1 2 k k k k 215 14 2 1 1 5 9 13 4 3 4 1 2 k k P k k k Eq2 A pergunta que surge é como sair da Eq1 e chegar na Eq2 Para usar o PIF o ponto crucial está em responder essa questão Uma análise entre os primeiros membros das equações 1 e 2 já nos dá a dica a diferença entre os membros é o fator aditivo 4 k 1 Adicionando 4 k 1 em ambos os membros de Eq1 e efetuando as manipulações algébricas necessá rias temse que 2 4 2 1 5 9 13 4 3 2 4 2 1 5 9 13 4 3 4 1 4 1 2 4 2 24 1 1 5 9 13 4 3 4 1 2 4 6 2 1 5 9 13 4 3 4 1 2 14 2 1 5 9 13 4 3 4 1 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Dessa forma o resultado de 4 2 1 5 9 13 4 3 2 n n n segue pelo PIF Logo nPn 3 Solução para aplicar o PIF um passo importante é identificar o predicado Nesse caso defini mos o predicado 2 2 1 P n n n A afirmação P1 equivale à proposição lógica 1 12 2 1 P que é claramente vá lida Vamos ao segundo passo Seja k um número natural fixado tal que k seja maior ou igual a 1 216 Dessa forma P k comportase como proposição Admitimos que P k é verdadeiro ou seja vale a igualdade 2 2 1 P k k k Precisamos provar que P k 1 é verdadeiro ou seja 2 1 1 2 1 P k k k A pergunta que surge é como sair da Eq1 e chegar na Eq2 Para usar o PIF o ponto crucial está em responder essa questão Uma análise entre os primeiros membros das equações 1 e 2 já nos dá a dica a diferença entre os membros é o fator aditivo 2 k 1 Adicionando 2 k 1 em ambos os membros de Eq1 e efetuando as manipulações algébricas necessá rias temse que 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 4 k k k k k k k k Assim como k é um número natural positivo podemos escrever que 4 2 1 k k ou ainda 2 1 4 2 1 k k k Dessa forma o resultado de 2 2 1 n n segue pelo PIF Logo n Pn 4 Solução para aplicar o PIF um passo importante é identificar o predicado Nesse caso defini mos o predicado 1 1 n P n x nx A afirmação P1 equivale à proposição lógica 1 1 1 P x x que é clara mente válida Vamos ao segundo passo Seja k um número natural fixado tal que k seja maior ou igual a 1 Dessa forma P k comportase como proposição Admitimos que P k é verdadeiro ou 217 seja vale a igualdade 1 1 k P k x kx Eq1 Precisamos provar que P k 1 é verdadeiro ou seja 1 1 1 1 1 k P k x k x Eq2 A pergunta que surge é como sair da Eq1 e chegar na Eq2 Para usar o PIF o ponto crucial está em responder essa questão Uma análise entre os primeiros membros das equações 1 e 2 já nos dá a dica a observação entre os membros é o fator multiplicativo 1 x Multi plicando 1 x em ambos os membros de Eq1 e efetuando as manipulações algébricas necessárias temse que 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k x kx x x kx x x x kx x x x kx kx Sabemos que 2 1 1 x kx kx x kx Dessa forma o resultado de 1 1 1 1 1 1 1 k k x x kx x x k segue pelo PIF Logo n Pn 5 Solução para aplicar o PIF um passo importante é identificar o predicado Nesse caso defini mos o predicado 1 1 2 3 3 1 1 3 3 3 3 2 n n P n A afirmação P1 equivale à proposição lógica 2 1 3 1 1 1 3 2 P que é claramente válida Vamos ao segundo passo Seja k um número natural fixado tal que k seja maior ou igual a 1 Dessa forma P k comportase como proposição Admitimos que P k é verda deiro ou seja vale a igualdade 218 1 1 2 3 3 1 1 3 3 3 3 2 k k P k Precisamos provar que P k 1 é verdadeiro ou seja 2 1 2 3 1 3 1 1 1 3 3 3 3 2 k k P k A pergunta que surge é como sair da Eq1 e chegar na Eq2 Para usar o PIF o ponto crucial está em responder essa questão Uma análise entre os primeiros membros das equações 1 e 2 já nos dá a dica a diferença entre os membros é o fator aditivo 1 3k Adicionando 1 3k em ambos os membros de Eq1 e efetuando as manipulações algébricas necessárias temse que 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 2 1 2 3 1 3 1 1 3 3 3 3 2 3 1 1 3 3 3 3 3 3 2 3 1 23 1 3 3 3 3 3 2 3 1 2 1 1 3 3 3 3 3 2 3 1 1 3 3 3 3 3 2 k k k k k k k k k k k k k k k k Dessa forma o resultado de 1 1 2 3 3 1 1 3 3 3 3 2 n n segue pelo PIF Logo n Pn 219 6 Solução a equação para o termo geral de uma progressão aritmética de primeiro termo 1a e razão r é 1 1 na a n r Assim definimos o predicado 1 1 n P n a a n r A afirmação P1 equivale à proposição lógica 1 1 1 1 1 1 P a a r a que é cla ramente válida Vamos ao segundo passo Seja k um número natural fixado tal que k seja maior ou igual a 1 Dessa forma P k comportase como proposição Admitimos que P k é verdadeiro ou seja vale a igualdade 1 1 k P k a a k r Precisamos provar que P k 1 é verdadeiro ou seja 1 1 1 k k P k a a r a kr A pergunta que surge é como sair da Eq1 e chegar na Eq2 Para usar o PIF o ponto crucial está em responder essa questão Uma análise entre os primeiros membros das equações 1 e 2 já nos dá a dica a diferença entre os membros é o fator aditivo r Adicionando r em ambos os membros de Eq1 e efetuando as manipulações algébricas necessárias temse que 1 1 1 1 1 1 k k k a a k r a r a k r r a a kr Dessa forma o resultado de 1 1 na a n r 220 segue pelo PIF Logo nPn 7 Solução inicialmente faremos alguns testes para determinar o valor numérico de 0n Analise a Tabela 3 apresentada a seguir n 2n 2n n 1 2 1 2 4 2 3 8 6 4 16 24 5 32 120 6 64 720 7 128 5040 De acordo com os resultados da Tabela 3 notase que P4 é verdadeiro pois 24 16 4 24 Agora defina o predicado 2 n P n n A afirmação P4 equi vale à proposição lógica 4 24 16 4 24 P que é claramente válida Assim o pas so 1 do 2º princípio de indução finita está verificado Vamos ao segundo passo Seja k um número natural fixado tal que k seja maior ou igual a 1 Dessa forma P k comportase como proposição Admitimos que P k é verda deiro ou seja vale a igualdade 2 k P k k Precisamos provar que P k 1 é verdadeiro ou seja 1 1 2 1 k P k k Tabela 3 Valores investigados para determinar Fonte o autor 221 Uma análise entre os primeiros membros das equações 1 e 2 já nos dá a dica a diferença entre os membros é o fator multiplicativo 2 Multiplicando por 2 em ambos os membros de Eq1 e efetuando as manipulações algébricas necessárias temse que 2 2 2 2 k k k k Devemos lembrar que 2 1 2 3 1 2 2 1 1 2 3 1 k k k k k k k k Note que 1 2 k k Assim podemos escrever que 2 2 1 2 k k k ou ainda 2 1 1 k k Dessa forma o resultado de 0 4 2 n n N n n segue pelo PIF Logo n 4Pn