Derivadas Parciais - Material Teórico e Exercícios Resolvidos

Cálculo Diferencial e Integral II Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Derivadas Parciais Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Esp Clovis Jose Serra Damiano Revisão Técnica Profª Me Edmila Montezani Revisão Textual Profª Esp Márcia Ota 5 Nesta Unidade estudaremos as derivadas parciais as derivadas direcionais e o vetor gradiente No mundo real as quantidades físicas geralmente dependem de duas ou mais variáveis Por isso vamos direcionar os nossos estudos para funções de várias variáveis e como calcular as derivadas para as funções com mais de uma variável independente Desse modo leia com atenção a parte teórica procurando estabelecer relações entre o que você está aprendendo e as coisas que acontecem no dia a dia Os exercícios o ajudarão a sedimentar esses novos conhecimentos Então aprofunde seus conhecimentos investigando sobre o assunto na bibliografia indicada Lembrese só aprendemos alguma coisa quando essa coisa tem algum significado para nós Afinal somos os agentes na construção do nosso próprio conhecimento Assim sendo organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de entrega das atividades propostas Derivadas Parciais definição e interpretação geométrica Notação e cálculo de derivadas parciais Derivadas parciais de segunda ordem como calcular Distinguir derivadas puras de derivadas mistas Derivadas direcionais e vetor gradiente Cálculo de derivadas direcionais Derivadas Parciais Introdução Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais Derivadas Parciais de Segunda Ordem Derivada Direcional 6 Unidade Derivadas Parciais Contextualização A produção P de uma companhia medida em toneladas é uma função do número N de empregados e do valor V dos equipamentos em unidades de R 2500000 A função de produção da companhia é dada por 075 025 5 P f N V N V Atualmente a companhia tem 80 funcionários e seu equipamento vale R 75000000 1 Quais são os valores de N e V 2 Calcule os valores de f fN e fV correspondentes aos valores atuais de N e V Forneça as unidades e explique o significado de cada resposta em termos de produção Expectativa de resposta O aluno deverá reconhecer que está diante de uma função Produção que depende de duas variáveis o número N de funcionários e o valor V dos equipamentos A questão 1 deverá ser respondida como N80 e V30 O número N é o número de funcionários simplesmente todavia o número V é fornecido em unidades de R 2500000 Portanto é preciso efetuar a divisão 750000 30 V 25000 A questão 2 pede que se calcule o valor da função nesse ponto 80 30 e em seguida sua derivadas parciais e seus significados 075 025 5 P f N V N V 075 025 8030 5 80 30 3132 f A produção com os números atuais é de cerca de 313 toneladas 075 025 5 N N V f N V N 7 025 025 375 Nf N V N V 025 025 8030 375 80 30 29 Nf Nas atuais condições a produção é de 29 toneladas por funcionário 075 025 5 V N V f N V V 075 075 125 26 Vf N V N V Para cada unidade de R 25000 a produção é de 26 toneladas 8 Unidade Derivadas Parciais Introdução O cálculo de várias variáveis é o cálculo de uma variável aplicado a várias variáveis uma de cada vez Quando se fixa todas as variáveis independentes de uma função exceto uma que usaremos para ser derivada estaremos obtendo uma derivada parcial Calculase derivadas parciais aplicando as regras utilizadas para derivar funções de uma única variável Definese a derivada parcial de f em relação a x no ponto x0y0 como a derivada de fx0 y0 em relação a x no ponto x x0 Para diferenciar as derivadas parciais das derivadas ordinárias usaremos o símbolo no lugar da letra d que é utilizada para o cálculo das derivadas ordinárias Quando temos uma função fxyx2 se vamos calcular a derivada dessa função representamos com a seguinte notação dy f x ou dx As duas notações representam a primeira derivada de uma função de uma variável Agora trabalharemos com funções de mais do que uma variável por exemplo fxyx2 y5y3 Observe que nossa função depende de duas variáveis Se chamarmos fxy de z diremos que z depende de x e z depende de y Nós podemos calcular tanto a derivada de x como a derivada de y A notação que se usa para representar derivadas parciais é fx xy Derivada parcial em relação à variável x fy xy Derivada parcial em relação à variável y Podese usar também a notação f x y x Derivada parcial em relação à variável x f x y y Derivada parcial em relação à variável y 9 Vamos recordar como derivamos uma função de uma variável y2x35 Para achar a derivada da função y em relação à variável x fazemos o seguinte 3 1 2 3 2 0 6 dy x dx dy x dx Observe que quando a constante está atrelada a uma variável ela compõe o cálculo do valor da derivada O número dois está atrelado à variável x portanto ele permanece do termo para efeito do cálculo O número cinco não está atrelado à variável nenhuma portanto como já foi visto anteriormente a derivada de uma constante é zeroDesse modo quero que você note que quando a constante está atrelada a uma variável ela é salva pela variável ou seja ela não desaparece porque a variável está protegendo Quando vamos efetuar derivadas parciais a variável que não estiver sendo derivada será tratada como uma constante Atenção Atenção fx xy Derivada parcial em relação à variável x portanto o y terá comportamento de constante fy xy Derivada parcial em relação à variável y portanto o x terá comportamento de constante Exemplo Dada a função 3 2 4 3 5 8 10 f x y x y xy x y encontre suas derivadas parciais Primeiro vamos calcular a derivada parcial em relação à x e depois em relação ày Primeiro passo indicar as derivadas de cada termo em relação à variável x 3 2 4 3 5 8 10 x x y xy x y f x y x x x x x Segundo passo derivar cada termo observando que quando ele contiver a variável y esta será tratada como constante 2 2 12 3 5 0 0 xf x y x y y 2 2 12 3 5 xf x y x y y 10 Unidade Derivadas Parciais Terceiro passo fazer a derivada em relação ày portanto agora a variável x será tratada como uma constante 3 2 4 3 5 8 10 y x y xy x y f x y y y y y y 3 8 3 0 8 0 yf x y x y x 3 8 3 8 yf x y x y x Explore Explore Capítulo 4 Livro CÁLCULO B FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS INTEGRAIS MÚLTIPLAS INTEGRAIS CURVILÍNEAS E DE SUPERFÍCIE Ebook Diva Marília Flemming e Miriam Buss Gonçalves 2º Edição 2007 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais Vamos tomar uma função z fxy ou seja a função z depende de x e depende de y Quando se calcula a derivada parcial de uma função em um determinado ponto encontrase a taxa de variação instantânea da função naquele ponto que é numericamente igual à declividade da reta tangente a esse ponto em relação à variável que está sendo analisada Na figura 1 temos a representação de uma derivada parcial em relação à variável x uma vez que y está sendo mantido constante Figura 1 z Declive da reta tangente ao ponto P k P y x 11 Na figura 2 temos a representação de uma derivada parcial em relação à variável y uma vez que x está sendo mantido constante Figura 2 z Declive da reta tangente ao ponto P k y x P Exercício 1 Encontre a declividade da reta tangente à curva de fxy com o plano x 1 no Ponto P111 na função fxyx2y22x3y5xy41 Se buscamos a declividade da reta tangente à curva mantendo x 1 implica em achar a derivada parcial em relação à y 2 3 4 2 2 5 1 y y x y xy x f x y y y y y y 3 3 0 2 2 20 0 yf x y y x xy 3 3 2 2 20 yf x y y x xy 3 3 11 1 2 1 2 1 20 1 1 16 yf Portanto o valor encontrado 16 é a derivada parcial de fxy em relação a y no ponto P ou ainda a taxa e variação instantânea da função fy xy no ponto P Exercício 2 Qual é a declividade da reta tangente à curva zx2y2 resultante da intersecção da função fxy com o plano y 2 no ponto P 115 12 Unidade Derivadas Parciais Estamos fixando o valor de y portanto temos que derivar a função em relação à variável x 2 2 x x y f x y x x 2 xf x y x 115 2 1 2 xf A derivada parcial da função fxy em relação à variável x é 2 O valor encontrado é também a inclinação ou a declividade da reta tangente à curva do ponto P 115w Derivadas Parciais de Segunda Ordem Quando se deriva uma função fxy duas vezes produzse sua derivada de segunda ordem Essas derivadas têm notações especiais que vou identificar resolvendo um exemplo Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de 2 2 3 4 2 5 6 Z x y x y xy Nosso primeiro passo será calcular as derivadas parciais em relação à x e em relação à y 2 2 3 4 2 5 6 Z x y x y xy 2 2 3 4 2 5 6 x x y x y xy Z x x x x x 2 4 2 0 6 5 0 Zx x x y y 2 4 2 6 5 Zx x x y y Vamos derivar em relação à y 2 2 3 4 2 5 6 y x y x y xy Z y y y y y 3 3 0 2 2 20 0 Zy y x xy 3 3 2 2 20 Zy y x xy 13 Podese derivar pela segunda vez tanto em relação à x como em relação à y Observe Fizemos a derivada de Z em relação à x e podemos escrever da seguintes forma Z x Agora queremos derivar essa função mais uma vez 2 2 Z Z d Z que podemos escrever também x x x Isto é derivada parcial de segunda ordem da função Z em relação à variável x Podemos também calcular a derivada parcial de segunda ordem da função Z em relação à variável y 2 Z Z Z y x y x Derivadas parciais com índice de apenas uma variável são chamadas derivadas puras e as derivadas mistas são aquelas com duas variáveis em seus índices Exemplo de derivadas puras 2 2 d Z x Exemplo de derivadas mistas 2 Z y x As derivadas parciais de segunda ordem mistas de uma função são sempre iguais Continuando o exemplo Achamos as derivadas de primeira ordem em relação às variáveis x e y Nosso próximo passo será calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação à primeira derivada em x 2 4 2 6 5 Zx x x y y 2 4 2 2 6 5 2 x y y x d Z x x x x 2 2 2 12 0 d Z xy x 2 2 2 12 d Z xy x Faremos o cálculo da derivada de segunda ordem em relação à y Zx 2x 6x2 y 5y4 ²Zxy 0 6x2 20y3 ²Zxy 6x2 20y3 Nosso próximo passo será refazer todo o processo utilizando agora a primeira derivada parcial em y Zy 2y 2x3 20xy3 ²Zy² 2yy 2x3y 20xy3y ²Zy² 2 0 60xy2 ²Zy² 2 60xy2 Em Síntese O diagrama a seguir mostra como proceder para achar as derivadas parciais de segunda ordem 15 Temse uma função fxy que pode ser derivada parcialmente em relação àx e em relação à y Observe o diagrama Cada uma dessas derivadas parciais poderá ser novamente derivada em relação às variáveis x e y Derivadas de segunda ordem As derivadas parciais de segunda ordem destacadas em vermelho fxy efyx são iguais Exemplos Exercício 1 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem possíveis da função 2 2 2 Z x y xy x y Solução Primeiro passo calcular as derivadas de primeira ordem em relação a cada uma das variáveis Em seguida calcular as derivadas de segunda em relação à x e à y a saber 2 2 2 2 2 2 d Z Z d Z Z x y x y x y Note que essas derivadas são iguais 2 2 2 Z x y xy x y 2 2 2 x x y xy x y Z x x x x 2 2 2 Zx xy y 2 2 2 2 2 y xy d Z x x x x 2 2 2 2 2 0 0 2 d Z d Z y y x x 2 2 2 2 y xy Z y x y y y 2 2 2 2 0 2 2 Z Z x y x y y x y x 16 Unidade Derivadas Parciais Agora faremos todas os passos em relação à variável y 2 2 2 Z x y xy x y 2 2 2 y x y xy x y Z y y y y 2 2 0 1 Zy x xy 2 2 1 Zy x xy 2 2 2 2 1 x xy d Z y y y y 2 2 0 2 0 d Z x y 2 2 2 d Z x y 2 2 2 1 x xy Z x y x x x 2 2 2 0 Z x y x y 2 2 2 Z x y x y Exercício 2 Dada a função Zxy encontre suas derivadas de segunda ordem 2 2 2 0 1 x xy Z y x y d Z x x y Z y x y 2 2 2 0 1 y xy Z x y x d Z y y x Z x y x 17 Derivada Direcional As derivadas direcionais são extensões das derivadas parciais As derivadas parciais analisam a variação das funções em relação aos eixos horizontal 0x e vertical 0y As derivadas direcionais estudam as variações das funções em qualquer direção inclusive as direções horizontal e vertical o que nos permite afirmar que as derivadas parciais são casos particulares das derivadas direcionais A derivada direcional irá nos auxiliar a determinar a declividade de uma reta tangente a uma superfície em um determinado ponto Tome o ponto Px0 y0 da figura 3 O deslocamento de P para Q cria o vetor v que tem uma inclinação θ com a horizontal forma um ângulo θ coma horizontal O nosso objetivo será calcular a derivada da função f nessa direção Figura 3 P ν Q y y0 x0 x θ A derivada direcional de f em relação a v é dada pelo produto escalar entre o vetor u e o vetor gradiente f P f u f P u Sendo u é o vetor unitário ou o versor de v Ñ f P é o vetor gradiente Se v não estiver com o módulo igual a 1 é preciso normalizar o vetor ou seja se v for dado pelas componentes a e b então vab 18 Unidade Derivadas Parciais A sua norma seu módulo é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes 2 2 v a b v a b Exemplo Normalizar o vetor a 34 2 2 3 4 25 5 a O próximo passo é dividir cada um componentes do vetor pela sua norma 3 4 5 5 æ ö ç ç çè ø u Esse é o vetor unitário que buscávamos ou seja o seu módulo é igual a 1 Em Síntese Para normalizar um vetor achamos a sua norma e depois dividese cada um de seus componentes pela sua norma v u v O vetor gradiente é dado por æ ö ç Ñ ç ç è ø f f f P P P x y Sendo que A primeira componente f P x é a derivada parcial de f em relação à variável x calculada no ponto P A segunda componente f P y é a derivada parcial de f em relação à variável y calculada no ponto P 19 Cada componente do vetor tem um módulo dado pela derivada parcial e uma direção por exemplo se nos interessa o gradiente de uma função de duas variáveis a fórmula para encontrar esse gradiente é dada por æ ö ç Ñ ç ç è ø f f f x y i j x y Se nossa função tiver três variáveis æ ö ç Ñ ç ç è ø f f f f x y z i j k x y z Se escrevermos o vetor u em função de θ chegaremos a seguinte conclusão ucos θsen θ Já sabemos que o módulo do vetor unitário vale 1 Para acharmos a derivada direcional de f em relação ao vetor u basta fazer a multiplicação escalar entre esses dois vetores Ñ f P u f P u Substituindo teremos o seguinte cos æ ö ç q q ç ç è ø f f f P sen P P u x y Agora faremos a multiplicação o componente pintado em amarelo do 1º vetor com o componente amarelo do 2º vetor E somar com o produto dos componentes pintados em azul cos q q f f f P x P sen P u x y Se tomarmos a direção de 0 radianos a derivada direcional convergirá para a derivada parcial de f em relação à variável x cos0 0 1 0 f f f f f f P P sen P P P P u x y x y x cos cos cos cos cos cos f f f q q P sen P P q q cos q q cos P sen P P cos q q cos P sen P P cos cos P sen P P cos cos q q q q P sen P P q q q q cos q q cos cos q q cos P sen P P cos q q cos cos q q cos f f f P sen P P f f f q q f f f q q P sen P P q q f f f q q cos q q cos f f f cos q q cos P sen P P cos q q cos f f f cos q q cos q q f f f q q P sen P P q q f f f q q u x y cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos f f f f f f cos P sen P P cos cos P sen P P cos cos q q cos P sen P P cos q q cos cos cos P sen P P cos cos cos cos P sen P P cos cos cos q q cos cos q q cos P sen P P cos q q cos cos q q cos f f f P sen P P f f f f f f P sen P P f f f cos f f f cos P sen P P cos f f f cos cos f f f cos P sen P P cos f f f cos f f f P sen P P f f f f f f P sen P P f f f q q f f f q q P sen P P q q f f f q q cos q q cos f f f cos q q cos P sen P P cos q q cos f f f cos q q cos q q f f f q q P sen P P q q f f f q q u x y u x y æ ö æ ö æ ö è ø è ø è ø è ø f f f æ ö f f f æ ö f f f æ ö æ ö f f f æ ö æ ö P sen P P P sen P P P sen P P f f f P sen P P f f f f f f P sen P P f f f è ø u x y è ø è ø u x y è ø cos cos cos æ ö cos cos cos cos cos cos è ø è ø è ø è ø cos cos cos cos cos cos æ ö f f f æ ö f f f f f f f f f æ ö æ ö f f f æ ö æ ö æ ö æ ö f f f æ ö æ ö æ ö æ ö f f f æ ö æ ö cos P sen P P cos cos P sen P P cos cos P sen P P cos cos P sen P P cos cos cos P sen P P cos cos f f f P sen P P f f f f f f P sen P P f f f f f f P sen P P f f f cos f f f cos P sen P P cos f f f cos cos f f f cos P sen P P cos f f f cos cos f f f cos P sen P P cos f f f cos f f f P sen P P f f f f f f P sen P P f f f f f f P sen P P f f f è ø u x y è ø è ø u x y è ø è ø u x y è ø è ø u x y è ø 20 Unidade Derivadas Parciais Se tomarmos a direção de 2 π radianos a derivada direcional convergirá para a derivada parcial de f em relação à variável y 0 1 2 2 f f f f f f P cos P sen P P P P u x y x y y π π Portanto está provado que quando o vetor gradiente aponta na direção horizontal ou vertical os vetores direcionais convergem para derivada parcial em x e em y Se tivermos o ângulo ϕ formado pelos vetores u e f P então Ñ Ñ j f P u f P u f P cos u Como u 1 podemos reescrever a fórmula Ñ j f P f P cos u Podemos isolar o cosseno passando f P para o outro lado da igualdade j Ñ j Ñ f P u cos f P f P arccos u f P O ângulo ϕ é aquele cujo cosseno é dado pela derivada direcional de f dividida pelo vetor gradiente em P E qual a consequência do que acabamos de ver Se Ñ j f P f P cos u O cosseno de ϕ Fi é um valor compreendido entre 1 e 1 portanto o maior valor que a derivada direcional possui é quando o valor de cosϕ1 Quando o cosseno for igual a 1 é o momento em que a derivada assume seu menor valor E a derivada será nula quando o cosseno assumir o valor zero 21 Se ϕπ radianos então teremos a derivada direcional mínima Lembrese que o cosseno de π1 Ñ p Ñ f P f P cos f P u Se 2 j p radianos então teremos a derivada direcional nula Lembrese que o cosseno de 2 π 0 0 2 p Ñ f P f P cos u Se ϕ0 radianos então teremos a derivada direcional máxima Lembrese que o cosseno de π1 Ñ p Ñ f P f P cos f P u Propriedades importantes I O vetor gradiente aponta para uma direção segundo a qual a função f é crescente II Dentre todas as direções ao longo das quais a função f cresce a direção do gradiente é a de crescimento mais rápido III O vetor gradiente de f no ponto xy é perpendicular à curva de nível de f que passa por esse ponto Dado 2 f D diferenciável e dado que dizse que o ponto xy D está no nível relativamente à função f quando fxy Fixado o valor de o conjunto dos pontos do domínio D que estão no nível K é a imagem inversa f1 a qual é denominada curva de nível de f Observe que sobre a superfície está um ponto P figura 4 e por esse ponto passam infinitas retas com diferentes declividades e direções Suponhamos que eu tenha um interesse especial na reta r que é tangente ao ponto P e tem a mesma direção do vetor u Para achar a inclinação dessa reta é que usaremos as derivadas direcionais A notação de usaremos para a derivada direcional na direção de u é u D f 22 Unidade Derivadas Parciais Então as derivadas direcionais servem para nos dar a taxa de variação de uma função f na direção de um determinado vetor Passos para a resolução de uma derivada direcional 1 Derivar a função em relação a todas as variáveis derivadas parciais 2 Aplicar o ponto P em cada uma das derivadas parciais 3 Normalizar o vetor diretor que nos dará o sentido da taxa de variação que queremos encontrar Figura 4 z x y N P u Fórmulas para a resolução Função com duas variáveis 1 2 x y u D f x y f x y u f x y u Função com três variáveis 1 2 3 x y z u D f x y z f x y z u f x y z u f x y z u Exemplo 1 Qual é a derivada direcional da função 2 f x y x y y no ponto P21 na direção de 5 2 a i j Resolução O primeiro passo é normalizar o vetor 23 A norma de um vetor é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes 2 2 a x y Em seguida vamos dividir cada componente do vetor por sua norma é o mesmo que achar o versor xi yj u a a Voltando ao nosso problema O vetor diretor é dado por 5 2 a i j 2 52 2 25 4 29 a a a Vamos achar o vetor v vetor unitário ou versor 5 2 29 29 i j u Estando o vetor normalizado nosso próximo passo será achar as derivadas parciais da função 2 2 2 0 2 x x f x y x y y y x y f x y x x f x y xy xy 2 2 1 2 y y y x y f x y y y f x y x y 24 Unidade Derivadas Parciais O passo seguinte é aplicar o Ponto P21 nas derivadas encontradas 2 1 2 yf x y x y 2 1 21 2 2 1 yf 1 9 21 4 2 2 yf Aplicar os valores obtidos na fórmula 1 2 5 9 2 4 2 29 29 20 9 29 29 11 29 x y u u u u D f x y f x y u f x y u D f x y D f x y D f x y Exemplo 2 Calcular a taxa e variação de f no ponto A na direção de a dados 2 3 f x y z x y yz z A 1 2 0 2 2 a i j k O primeiro passo para resolver o problema será normalizar o vetor a Normalizar um vetor significa achar o seu versor ou o seu vetor unitário Vamos então achar a norma do vetor e em seguida dividir cada um de seus componentes pela norma 2 2 2 2 1 2 9 3 a 25 A norma do vetor é 3 Vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma para encontrar o seu versor ou vetor unitário 2 1 2 3 3 3 u i j k Para explicitar 1 2 3 2 3 1 3 2 3 u u u Feito isso é preciso encontrar as derivadas parciais da função f 1 2 3 2 1 2 4 1 1 3 3 3 8 1 2 9 3 3 3 3 3 x y z u u u D f x y z f x y z u f x y z u f x y z u D f x y z D f x y z Antes vamos achar o valor de cada derivada parcial aplicado ao ponto A1 2 0 fx y z x2y yz3 z fx1 2 0 2xy 21 2 4 fy1 2 0 x2 z3 12 03 1 fz1 2 0 3yz2 1 3 202 1 1 Agora vamos substituir os valores encontrados em 1 2 3 u x y z D f x y z f x y z u f x y z u f x y z u 2 1 2 4 1 1 3 3 3 u D f x y z 8 1 2 9 3 3 3 3 3 u D f x y z 26 Unidade Derivadas Parciais Material Complementar Para aprofundar seus conhecimentos acerca do estudo sobre derivadas parciais e direcionais utilize um dos livros da bibliografia e faça um resumo sobre os conceitos que abordam o assunto Explore Outras indicações httpsyoutubej9jjZHFasYE httpsyoutubebTXco9OwefI httpsyoutuben7vOtWNYpc httpsyoutubeEZkQZdx6t58 httpsyoutubel84cmUOtwnQ 27 Referências DEMANA Franklin D WAITS Bert K FOLEY Gregory D KENNEDY Daniel PréCálculo 2 ed São Paulo Pearson 2013 FLEMMING Diva Marília GONCALVES Miriam Buss Cálculo A funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 STEWART James Cálculo 6 Ed São Paulo Cengage Learning 2010 THOMAS JR George B Et Al Cálculo de George B Thomas Jr 12 ed São Paulo AddisonWesley 2003 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Em curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 20012002 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário