Integrais Duplas em Coordenadas Polares - Teoria e Aplicações

Cálculo Diferencial e Integral II Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Cálculo Diferencial e Integral II Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Integrais duplas na forma polar Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Esp Clovis Jose Serra Damiano Revisão Técnica Profª Me Edmila Montezani Revisão Textual Profª Esp Márcia Ota Cálculo Diferencial e Integral II 5 Vamos iniciar os nossos estudos definindo uma região limitada por coordenadas polares Além disso resolveremos alguns exercícios para calcular áreas ou integrais duplas na forma polar Para tanto o material foi organizado da seguinte forma 1 Introdução 2 Definição 3 Limites de Integração 4 Mudança de Integrais para polares 5 Cálculo de integrais usando coordenadas polares Desse modo ao terminar essa unidade você deverá ser capaz de identificar e diferenciar coordenadas polares de coordenadas cartesianas bem como mudar as coordenadas cartesianas para polares e efetuar o cálculo de integrais duplas na forma polar Para ajudálo realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos Não deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização e envio Nesta Unidade estudaremos as integrais duplas na forma polar Algumas vezes fica mais fácil calcular as integrais duplas se mudarmos as variáveis as polares Então leia com atenção a parte teórica e não deixe de rever o cálculo de integrais duplas na forma cartesiana Os exercícios propostos ajudarão você a sedimentar esses novos conhecimentos Sendo assim organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de entrega das atividades propostas Integrais duplas na forma polar Integrais duplas na forma polar Limites de Integração 6 Unidade Integrais duplas na forma polar Contextualização Cálculo de área Suponha que você tenha de calcular a área da figura abaixo Qual é essa área Diga qual foi a técnica utilizada para esse cálculo e porque ela foi escolhida Expectativa de resposta O aluno deverá calcular a seguinte integral Por se tratar do cálculo de área de uma região circular é mais fácil utilizar a integral com coordenadas polares 1 2 0 0 2 0 1 2 0 0 1 0 1 0 1 2 0 2 2 0 2 2 2 2 1 0 2 2 2 4 p p p q q q é ù êp ú ê ú ë û p é ù p ê ú ê ú ë û é ù p p ê ú ê ú ë û ò ò ò ò ò ò A r dr d A d A r dr A r dr A r dr r A A 7 Integrais duplas na forma polar Vimos anteriormente as integrais duplas bem adaptadas às coordenadas cartesianas Seja pela região ou pela função a ser integrada existem situações em que a integral dupla é mais bem adaptadas às coordenadas polares Nesta unidade aprenderemos a calcular integrais sobre regiões cujas fronteiras são dadas por coordenadas polares A definição de integral dupla de uma função sobre uma região R do plano xy é feita dividindo a região R em retângulos cujos lados são paralelos aos eixos coordenados Em coordenadas polares o formato natural é um retângulo polar cujos lados têm valores constantes de r e θ Dada uma função frθ que esteja definida sobre uma região R e limitada pelos raios θ α e θ β e pelas curvas contínuas rg1 θ e rg2 θ Imagine também que 0 g1 g2 α para todo valor de θ entre α e β Portanto R estará contido em uma região Q com formato de leque que é definida pelas desigualdades 0 r α e α θ β Vide figura 1 Figura 1 Observe que a região R em azul está contida na região no formato de leque Se fizermos a partição de Q por arcos circulares e raios isso induzirá a uma partição da região R Então cobriremos Q com uma grade de arcos circulares e raios Os arcos serão cortados de circunferências centradas na origem e com raios 2 r r m r sendo que r a m Os raios serão dados por 2 Q Q m Q sendoque a Q m θ α θ α θ α θ α β β Concluindo Os arcos e os raios dividem Q em pequenos pedaços chamados de retângulos polares Agora iremos numerar os retângulos polares que estão dentro da região R sem uma ordem particular e denominaremos suas áreas de 1 2 n A A A Seja k r θk qualquer ponto no retângulo polar cuja área é Ak Formamos então a seguinte soma 1 n n k k k k S f r A θ 8 Unidade Integrais duplas na forma polar Se f for contínua em R essa soma aproximará um limite quando refinarmos a grade para fazer r e θ tender a zero Esse limite é chamado integral dupla de f sobre R e tem a seguinte notação lim a n n R S f r dA θ Para calcularmos esse limite é preciso escrever a soma Sn de forma que expresse kA em termos de r e θ Considere que rk seja a média entre os raios interno e externo que definem o késimo retângulo polar Ak Observa na figura 2 O raio do arco interno que delimita o retângulo 2 k k r A é r O raio do arco externo é dado por 2 k r r Figura 2 A área de um setor circular de raio e r ângulo θ é dada por 2 1 2 A θr Portanto as áreas dos setores circulares subentendidos por esses arcos na origem são Raio interno 2 1 2 2 k r r Q Raio externo 2 1 2 2 k r r Q 9 Portanto a área kA é igual à área do setor maior menos a área do setor menor 2 2 2 2 2 2 2 k k k k k r r A r r r r r r θ θ θ Combinando esses resultados com a soma que define Sn teremos 1 n n k k k k S f r r r θ θ À medida que os valores de n tendem a infinito n e os valores de r e θ se aproximam de zero essas somas convergem para a integral dupla a R r θ r dr d θ Um versão do Teorema de Fubbini diz que o limite aproximado por essas somas pode ser calculado por repetidas integrações simples em relação a r e a θ quando 2 1 r g a R r g r dA f r r dr d θ θ β θ α θ θ θ θ Se temos uma região circular limitada pelos ângulos α e β e pelas funções 1 2 g θ e g θ podemos calcular essa área integrando a função em relação a r e a θ Sabemos que podemos representar um mesmo ponto de formas diferentes isto é podemos definir bem um ponto por meio de suas coordenadas cartesianas ou retangulares ou podemos definir o mesmo ponto verificando o ângulo que ele forma em relação ao eixo polar e a sua distância da origem e chamamos esse tipo de representação de coordenadas polares Nesse primeiro momento vamos aprender a transformar uma coordenada cartesiana em uma coordenada polar Para tanto vamos recordar as seguintes relações x r cos y r sen dA dx dy r dr d θ θ θ 10 Unidade Integrais duplas na forma polar É importante recordar como calcular as integrais duplas O que iremos aprender será transformar uma integral dupla em uma região xy para uma integral dupla em uma região dada por rθ a a R x y R r f x y dxdy f rcos rsen rdrd θ θ θ θ Fizemos a conversão das variáveis x foi convertido para rcosθ y foi convertido para rsenθ dydx ou dA foi convertido em rdrdθ Note que dx dy não é substituído por dr dθ mas por r dr dθ Para que possamos entender melhor vou apresentar um exemplo Calcule a área do círculo de raio igual a dois Nas aulas de geometria aprendemos que a área de um círculo é dada por 2 A πr Portanto nosso círculo figura 1 tem a seguinte área 2 2 4 A unidadesdemedida π π Hoje aprenderemos a calcular essa mesma área utilizando nossos conhecimentos de integrais A equação de uma circunferência é dada pela seguinte fórmula 2 2 2 x y r No exercício proposto nossa circunferência tem raio 2 portanto a sua equação é dada por 2 2 4 x y 11 Vamos colocar o y em função de x ou seja vamos isolar o y 2 2 2 4 4 y x y x Há duas situações Ou Observe na figura 3 essas indicações Temos um círculo de raio 2 A parte superior do círculo em laranja A parte inferior do círculo em verde Figura 3 y y 4 x 2 x 2 R 2 y 4 x2 No eixo x temos os limites de integração em relação à variável x No eixo y temos os limites de integração em relação à variável y Vamos escrever isso na forma de uma integral dupla O que fizemos foi variar o x de 2 até o 2 e o y de 2 4 x até 2 4 x Mas no caso interessanos trabalhar com as coordenadas polares e não com as coordenadas cartesianas Assim é importante para nós a variação do raio e a variação dos ângulos contidos na figura Concluímos portanto 2 4 y x 2 4 y x 2 2 2 4 2 4 x x dx dy 12 Unidade Integrais duplas na forma polar 0 2 r 0 2 θ π Vamos transformar a nossa integral dupla cartesiana em uma integral dupla polar 2 2 0 p q ò ò 0 I rdrd Quando trabalhamos com duas variáveis aquela que não está sendo integrada funciona como constante 2 2 0 2 2 0 p p q q ò ò ò ò 0 0 I rdrd I rdr d A integral de dθ 1dθ θ Quando se integra uma constante acrescentase a ela a variável de integração 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 p q p p ò ò ò I rdr I rdr I rdr Observe agora que 2π é uma constante portanto pode sair para fora do sinal de integração 2 0 2 I pò rdr Vamos integrar a variável r 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 4 2 2 4 é ù ê ú pê ú ë û é æ ö ù ê ç ú p ç ê ú çè ø ê ú ë û p p p r I I I I I 13 Limites de Integração Um procedimento que devemos ter habilidade é o de encontrar os limites de integração Vimos anteriormente que é possível determinar os limites de integração para coordenadas polares Quando se quer calcular RrafrdA sobre uma região R em coordenadas polares integrando primeiro em relação a r e depois em relação a A siga os seguintes passos 1 Faça um esboço da curva e identifique as curvas limitantes Figura 4 Figura 4 2 Encontre os limites de integração de r Imagine um raio L partindo da origem e cortando a região R no sentido crescente de r Marque os valores de r onde L entra e sai da região R Esses são os limites de integração de r Figura 5 Figura 5 3 Encontre os limites de integração de r Encontre o menor e o maior valor de θ que limitem a região R Esses são os limites de integração de r Figura 6 14 Unidade Integrais duplas na forma polar Figura 6 A integral é 2 2 2 4 p q p q q q q q òò ò ò r R r r csc f r dA f r r dr d Você deve estar se perguntado quando se deve usar as coordenadas polares Devese usar as coordenadas polares sempre que regiões circulares estiverem envolvidas em nossos cálculos ou quando o domínio de uma função for um círculo ou parte de um círculo A maneira de aprender é resolvendo exercícios Exemplo Calcule a integral dupla abaixo cujo domínio está representado na figura 7 pintado em vermelho 2 2 D 1 òò dA x y Figura 7 Nosso primeiro passo será identificar os limites de integração em relação a r e θ Vamos utilizar a figura para identificar esse limites O círculo tem raio igual a dois portanto 0 r 2 y y x x 2 2 2 2 15 A área que se quer calcular não abrange todo o círculo e sim parte dele portanto precisamos identificar esses pontos limitados pelos valores que o ângulo θ poderá assumir Queremos calcular a área vermelha A reta que serve de fronteira nos dá a seguinte informação yx Essa informação nos diz que o primeiro quadrante está sendo dividido exatamente ao meio O ângulo entre os eixos x e y é de 90 graus Se dividirmos ao meio esse ângulo será de 45 graus Portanto a área que queremos calcular vai de 450 até 2700 todavia não trabalhamos com graus e sim em radianos portanto é preciso transformar essas medidas em radianos 450 4 p é e 2700 é 3 2 p Com isso temos os seguintes limites de integração 3 4 2 p p q Vamos reescrever a nossa integral colocando os limites obtidos Ainda é preciso fazer algumas manipulações para conseguirmos efetuar o cálculo dessa integral dupla Vamos usar algumas relações conhecidas para fazer algumas substituições Sabemos que dAdxdyr dr dθ x2y2r2 3 2 2 2 2 0 4 1 p p ò ò dA I x y Observe que as partes grifadas em amarelo podem ser substituídas pelas relações acima 3 2 2 2 0 4 1 p p q ò ò r dr d I r Agora temos condições de calcular essa integral 3 2 2 2 0 4 2 2 3 2 4 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 1 1 3 1 2 4 6 1 4 5 1 4 p p p p q q æ ö p p ç ç çè ø æ ö ç pp ç çè ø p ò ò ò ò ò ò r dr I d r r dr I r r dr I r r dr I r r dr I r 2 2 3 2 2 4 1 p p ò ò o dA I x y 16 Unidade Integrais duplas na forma polar Faremos agora a integral em relação a r portanto podemos tirar a constante para fora do sinal de integração Vou reescrever a função da seguinte forma 2 2 0 5 1 4 1 p ò I r dr r Eu reescrevi dessa forma para que você possa identificar que temos um produto de duas funções Nesse caso a técnica utilizada para resolver o problema é a de substituição de variável u1r2 du2rdr 1 2 2 du rdr du rdr Portanto podemos substituir esses valores para transformar nossa sentença em uma integral imediata que sabemos como integrar 2 0 2 0 5 1 1 4 2 5 1 1 4 2 p p ò ò I du u I du u Lembrese a integral de 1 ln x C x Como estamos trabalhando com integrais definidas podemos esquecer o C pois ele irá se cancelar 2 0 5 8 p é ù ë û I ln u Retornando o valor de u Como ln 1 0 então 5 5 8 p I ln Vamos aprender agora a calcular uma área circular contida em uma região entre dois círculos 2 2 0 5 4 1 p ò r dr I r 2 2 0 5 1 8 5 5 1 8 p é ù ê ú ë û p I ln r I ln ln 17 Exemplo Calcular a integral 2 2 D òò x y e dxdy Sendo que D é a região compreendida entre as curvas x2y24 x2y29 Essas duas equações representam dois círculos sendo um de raio 2 e outro de raio 3 Estamos em busca da área entre eles É a parte pintada em verde da figura 8 Figura 8 Vamos identificar os limites de integração das variáveis r e θ que determinará a região de integração D 2 r 3 0 θ 2π Reescrevendo a integral dupla com esses limites teremos 2 2 3 2 2 0 p ò ò x y I e dxdy Agora vamos substituir as variáveis cartesianas pelas variáveis polares na função lembrando que dAdxdyr dr dθ x2y2r2 Grifei em amarelo as mudanças que faremos na função x2 y2 9 x2 y2 4 x y 2 2 3 3 2 3 2 2 0 p q ò ò r I e r dr d 18 Unidade Integrais duplas na forma polar Agora faremos o cálculo da integral para cada variável Faremos agora a integração em relação à variável r portanto podemos colocar a constante 2π para fora do sinal de integração Para calcular a primitiva de er2 r dr teremos de usar o método da substituição aprendido anteriormente Vamos resolver mais um exercício para fixar esse aprendizado Exercício Dado que D é o contorno de x2y24 calcule 2 2 D òò x y dxdy Resolução Sabemos que o domínio será dado pelo contorno do círculo de raio 2 2 2 2 2 3 2 2 0 3 2 0 2 3 2 3 2 2 0 2 p p q q p p ò ò ò ò ò r r r r I e r dr d I e r dr I e r dr I e r dr 2 3 2 2 pò r I e r dr 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 9 4 1 2 2 1 2 2 1 2 2 p p é ù pê ú ë û é ù p ê ú ë û p ò ò u u r du rdr du I e du I e du I e I e e I e e 19 Portanto 0 r 2 0 θ 2π Achado os limites de integração vamos substituir as variáveis cartesianas pelas variáveis polares na função Para isso vamos usar as relações já conhecidas Fazendo as substituições teremos As relações que devemos saber são xr cosθ yr senθ dAdxdyr dr dθ x2y2r2 2 2 2 2 2 D 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 p p p p p q q q q q p p òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò x y dxdy r r dr d I r r dr d I r dr d I r dr d I r dr I r dr I r dr 2 2 0 2 3 0 3 3 2 2 3 2 0 2 3 3 8 2 3 16 3 p é ù ê ú pê ú ë û é ù ê ú p ê ú ë û p p ò I r dr r I I I I 20 Unidade Integrais duplas na forma polar Material Complementar Para aprofundar seus estudos assista aos seguintes vídeos httpswwwyoutubecomwatchvXhOqMAz8AA httpswwwyoutubecomwatchvAFxAszcLbzo httpswwwyoutubecomwatchve89dG9hZutY 21 Referências DEMANA Franklin D WAITS Bert K FOLEY Gregory D KENNEDY Daniel PréCálculo 2 ed São Paulo Pearson 2013 BOULOS PréCálculo São Paulo Makron Books 19992001 FLEMMING Diva Marília GONCALVES Miriam Buss Cálculo A funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 STEWART James Cálculo 6 Ed São Paulo Cengage Learning 2010 THOMAS JR George B Et Al Cálculo de George B Thomas Jr 12 ed São Paulo AddisonWesley 2003 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Em curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 20012002 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário