Funções de Várias Variáveis - Cálculo Diferencial e Integral II - Cruzeiro do Sul

Cálculo Diferencial e Integral II Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Funções de várias variáveis Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Me Walter Franco Lopes da Silva Revisão Técnica Profª Me Edmila Montezani Revisão Textual Profª Esp Márcia Ota 5 Vamos iniciar os nossos estudos aprendendo o que é o conceito matemático de função A proposta é ampliar a ideia básica do cálculo de funções de uma única variável para as funções de várias variáveis Para organizar nosso estudo vamos adotar a seguinte sequência Definição Domínio e Imagem Função de duas variáveis Gráfico de curvas de nível e função e duas variáveis O gráfico das funções Funções de três variáveis Superfícies de nível de uma função de três variáveis Limites e continuidade Ao terminar essa unidade você deverá ser capaz de interpretar e conceituar funções de mais de uma variável Para ajudálo realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo Não deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização e envio Nesta Unidade estudaremos as funções de duas ou de mais variáveis do ponto de vista numérico por meio de uma tabela de valores algébrico por intermédio de uma fórmula e visualmente por um gráfico ou curvas de nível No mundo real as quantidades físicas geralmente dependem de duas ou mais variáveis Então vamos direcionar os nossos estudos para funções de várias variáveis e estender o conceito do cálculo diferencial e integral para essas funções Funções de várias variáveis Funções de várias variáveis Domínio e Imagem Estratégia para Investigar Funções de Duas Variáveis 6 Unidade Funções de várias variáveis Contextualização Utilização de curvas de nível Considere os efeitos das condições climáticas sobre a produção de milho nos Estados Unidos O que aconteceria se a temperatura média aumentasse devido ao aquecimento global por exemplo ou se a quantidade de chuva diminuísse devido a uma seca Uma maneira de estimar o efeito dessas mudanças climáticas consiste em utilizar um diagrama de curvas de nível que mostre a produção de milho CfRT nos Estados Unidos em função do índice pluviométrico R em polegadas e a temperatura média T em graus Fahreinheit durante a estação de crescimento Suponha que atualmente R 15 polegadas e T 76 o F Então medese a produção como um percentual da produção atual Assim a curva de nível correspondente a R15 e t76 é C100 ou seja Cf1576100 Desse modo use a figura abaixo para estimar f1878 e explique sua resposta em termos da produção de milho Expectativa de resposta Os pontos de coordenadas R18 e T78 pertencem à curva de nível C 100 de modo que f1878100 Isso significa que se o índice pluviométrico anual fosse de 18 polegadas e a temperatura de 780 F o país produziria praticamente a mesma quantidade de milho que hoje em dia apesar de ter um clima mais úmido e mais quente que no presente 7 Funções de várias variáveis O objetivo dessa unidade será assimilar o conceito matemático de função de duas ou mais variáveis Ao se estudar um fenômeno do mundo real deparamos normalmente com situações em que uma quantidade depende de duas ou mais variáveis independentes É preciso então ampliar a ideia básica do cálculo de funções de uma variável para funções de várias variáveis Muitas funções dependem de mais de uma variável independente Exemplo O volume de um cilindro circular reto depende do seu raio e de sua altura A temperatura de um ponto da superfície da terra depende da sua latitude e da sua longitude As funções reais de várias variáveis independentes são definidas de forma muito similar as de uma função de uma variável Os domínios passam a ser o conjunto de triplas quádruplas e nuplas conforme o número de variáveis envolvidas e as imagens são os conjuntos dos números reais como aprendemos anteriormente Definição Função de n variáveis independentes Sendo D um conjunto de nuplos ordenados de números reais 1 2 n x x x Uma função de f em D é uma regra que associa um único número real wf 1 2 n x x x a cada elemento em D O conjunto D é o domínio de f e a imagem é o conjunto dos valores de w assumidos por f Se f é uma função de duas variáveis independentes costumase usar a notação x e y para representar essas variáveis O domínio de f será representado por uma região do plano xy Se f é uma função de três variáveis independentes denominamse as variáveis como x y e z e o domínio de f é representando por uma região do espaço Para calcular uma função definida por uma fórmula basta substituir os valores da variável independente na fórmula e calcular o valor da variável dependente Exemplo Calcular o valor da função f no ponto 304 2 2 2 2 2 2 fxyz x y z f304 3 0 4 25 5 2 2 2 304 3 0 4 25 5 f 8 Unidade Funções de várias variáveis Domínio e Imagem Ao definir função de mais de uma variável excluemse as entradas que levem a números complexos ou à divisão por zero Considerase o domínio das funções os maiores conjuntos para os quais as regras de definição geram números reais exceto quando esse domínio seja especificado de forma explícita A imagem é o conjunto de valores de saída para a variável dependente Exemplos Função e duas variáveis 2 w y x Domínio Observe que dentro da raiz o número terá que ser positivo uma vez que não existe raiz quadrada de número negativo no campo dos números reais Existe portanto uma restrição ou seja o valor de y não pode ser menor do que x2 Suponha que se atribua o valor 1 para y e 2 para x 2 1 2 3 w w Não existe raiz quadrada de número negativo portanto esses valores não fazem parte do domínio da função Podemos escrever que o domínio de w é dado por Domínio y 0 E com relação à imagem A imagem calculada pela função será qualquer número real positivo e poderá também ser o número zero Imagem 0 Função de três variáveis 2 2 2 1 w x y z A restrição que se tem agora é que x y e z têm de ser diferentes de zero Domínio xyz0 Imagem Qualquer número real Como acontece com os domínios de funções que são definidas em intervalos da reta real os domínios das funções definidas por porções do plano podem ter pontos interiores e pontos de fronteira 9 Definição Um ponto 0 0 x y em uma região R do plano xy é um ponto interior de R se é o centro de um disco que está inteiramente em RFigura 1 Um ponto 0 0 x y em uma região R do plano xy é um ponto de fronteira de R se todo o disco centrado em 0 0 x y contém ao mesmo tempo pontos que pertençam a R e pontos que estejam do lado de fora de R Figura 2 Figura 1 Figura 2 Em aplicações de cálculo podemos nos deparar com funções de qualquer número de variáveis A densidade de matéria no universo por exemplo é função de três variáveis pois ela toma três números para especificar um ponto no espaço Os economistas frequentemente usam funções com 10 variáveis ou mais É preciso então aprendermos a aplicar o cálculo a um número arbitrário de variáveis Quando tratamos com funções de mais de duas variáveis teremos uma grande dificuldade de visualizar essas funções O gráfico de uma função de uma variável é uma curva em 2D O gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície em 3D assim como o gráfico de uma função de três variáveis é uma curva em 4D No entanto tendo em vista a dificuldade em visualizar 4D não usaremos os gráficos de funções de três variáveis Por outro lado é possível desenhar diagramas de contorno para funções de três variáveis sendo que os contornos serão superfícies em 3D Uma função de duas variáveis fx y pode ser representada por uma família de curvas de nível Uma superfície de nível ou conjunto de nível de uma função de três variáveis xyz é uma superfície da forma fxyzc em que c é uma constante A função f pode ser representada pela família de superfícies de nível obtida permitindo que c varie 10 Unidade Funções de várias variáveis Já vimos anteriormente que o gráfico de uma função de uma variável é uma curva no plano xy Para as funções de duas variáveis o gráfico é uma superfície gerada em R3 Definese uma função de várias variáveis como 1 1 n n n f x x f x x Exemplo 3 2 3 f x y x y Para calcular o valor da função em um determinado ponto é preciso de um par ordenado xy Calcule o valore da função 3 2 3 f x y x y no ponto P 13 3 2 1 3 1 3 3 1 3 1 27 28 f f Se a função for de 3 variáveis o procedimento é semelhante 2 2 2 11 2 1 2 1 2 11 2 9 f x y z x yz f f Um ponto importante ao se trabalhar com funções de duas ou mais variáveis é identificar o domínio da função Esboce o domínio da 2 1 3 x f x y y x O domínio da função está em 2 Temos duas restrições a observar 1 A sentença dentro da raiz tem de ser maior ou igual a zero uma vez que não existe raiz quadrada de números negativos no campo dos números reais 2 A segunda restrição tem a ver com o denominador que tem de ser obrigatoriamente diferente de zero Portanto o domínio da função é 2 2 1 0 3 0 3 x D x y e y x y x Feito isso vamos estudar os sinais de cada uma dessa igualdades 2 1 0 1 1 3 0 x Raízes são e y x Raizé Passos para a construção gráfica do domínio Desenhar o plano cartesiano 11 Marcar as raízes da primeira igualdade Desenhar a reta que representa a segunda igualdade Ela deverá ser pontilhada porque y3x tem de ser diferente de zero Observar que o plano ficou dividido em seis partes Estudar os sinais das igualdades em cada uma das partes Como nos interessa apenas o que for positivo vamos escolher como partes do domínio o que tiver dois sinais iguais No desenho é o que está pintado em azul Figura 3 1 1 Vamos esboçar a representação gráfica do domínio da função ln 1 f x y yx Se a função estudada é o logaritmo de alguma coisa a condição imposta é que essa alguma coisa tem de ser maior do que zero Portanto 2 1 0 D x y yx Passos para a representação gráfica do domínio Igualar yx1 zero Portanto yx10 Isolando o y 1 y x Esboçar o gráfico e analisar o sinal em cada parte do plano que ficou dividido pela função Pontilhar as linhas do gráfico pois sabemos que tem de ser maior do que zero O domínio da função está pintado em turquesa 3 y x 12 Unidade Funções de várias variáveis Figura 4 y x Gráficos Só é possível esboçar gráficos de funções de duas variáveis Estamos habituados a desenhar o gráfico de uma função de uma variável Para isso utilizamos o plano Identificase um domínio e para cada ponto desse domínio calculase a altura do ponto pela função Para esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis z fxy usase o espaço O gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície O domínio é uma região do plano do xy ou ainda a sombra da superfície que representa o gráfico projetada no plano xy Cada ponto do domínio vai subir a altura relativa a fxy Figura 5 z y x x y z x y Esboce o gráfico da função 2 2 z f x y x y Como não há nenhum de restrição podemos afirmar que o domínio da função é em 2 O primeiro passo para esboçar esse gráfico é escolher alguns planos significativos Se fizermos x0 a função estará contida no plano yz Se x0 então zy2 O gráfico dessa função é uma parábola 13 Figura 6 z y x Nosso segundo corte será fazer o y 0 Se y 0 então zx2 O gráfico de z quando y 0 também é uma parábola só que agora desenhada no plano xz Figura 7 z y x Nosso terceiro corte será fazer z 1 Portanto se z 1 a função ficará 2 2 1 x y Essa é a equação de uma circunferência de raio igual a 1 Figura 8 z 1 y x 14 Unidade Funções de várias variáveis Diagrama de Contorno e Gráficos A superfície que representa uma função de duas variáveis nos dá uma boa ideia do comportamento dessa função isto é se ela cresce ou decresce quando uma das variáveis cresce entretanto é muito difícil ver todo o comportamento da função através de uma superfície Por isso as funções de duas variáveis frequentemente são representadas por diagramas de contorno que possuem a vantagem adicional de poder ser estendido para as funções de três variáveis Diagramas de contorno e gráficos são maneiras diferentes de representar funções de duas variáveis O diagrama de contorno foi criado ligando todos os pontos em uma mesma altura na superfície e baixando a curva no plano xy Mas é possível fazer de outra maneira Suponha que se quer desenhar a superfície dada pelo diagrama de contorno dado pela figura 9 Ao longo de cada contorno a função tem um valor constante Tomando cada contorno e levantando acima do plano para uma altura igual a esse valor obteremos a superfície da figura 10 Figura 9 Figura 10 15 Observe que os contornos levantados são curvas que obtemos fatiando a superfície horizontalmente Linhas de contorno ou curvas de nível são obtidas pelo fatiamento de uma superfície em planos horizontais Função Linear de Duas Variáveis No cálculo de uma função linear de uma variável o gráfico é uma reta Em cálculo de duas variáveis uma função linear é aquela cujo gráfico é um plano Exemplo Um plano corta o eixo z em z 5 e em inclinação 2 na direção x e inclinação 1 na direção y Qual é a equação do plano Determinar a equação do plano é construir uma fórmula para a coordenada z no ponto do plano diretamente acima do ponto xy no plano xy Vamos esquematizar o passo a passo de como isso acontece Vamos começar pelo ponto z 5 acima da origem Andar x unidades da direção x Como a inclinação de x 2 a altura aumenta por 2x Agora andaremos y unidades na direção y Como sabemos que a inclinação de y 1 a altura diminui por y unidades Como a altura mudou de 2x1 unidades a coordenada z é 52xy Portanto a equação do plano é z52xy Se um plano tem inclinação m na direção x inclinação n na direção y e passa pelo ponto 0 0 0 x y z a sua equação é dada por 0 0 0 z z m x x n y y Esse plano é o gráfico da função linear 0 0 0 f x y z m x x n y y Se fizermos 0 0 0 c z mx ny obtemos a forma equivalente de fxy f x y c mx ny 16 Unidade Funções de várias variáveis Resolução de Exercícios 1 Encontre o domínio das funções fxyyx Solução Como não há restrição o domínio é qualquer número real que pertença ao plano xy a 2 D x y qualquer númeroreal que pertençaao plano xy b 2 2 1 16 f x x y Solução Observe que para resolver esse exercício temos duas restrições O denominador tem de ser diferente de zero e o que está dentro da raiz tem de ser um número positivo 2 2 2 16 D x y x y 2 O custo C do aluguel de um carro em uma companhia que cobra R 4000 por dia e R 015 por quilômetro rodado de modo que C40d015k em que d é o número de dias e k o número que quilômetros percorridos a Faça uma tabela de valores para C usando d 1234 e k 100200300400 b Encontre f3200 e interprete Solução item a Calculase o custo do aluguel em cada um dos pontos Abaixo está descrito o custo de andarmos 100 k por dia C110040101510055 C210040201510095 C3100403015100135 C4100404015100175 Repetimos a operação para cada uma das possibilidades C120040101520070 C2200402015200110 C3200403015200150 C4200404015200190 C130040101530085 C2300402015300125 17 C3300403015300165 C4300404015300205 C1400401015300100 C2400402015300140 C3400403015300180 C4400404015300220 Basta transcrever os dados obtidos para uma tabela dk 100 200 300 400 1 R 5500 R 7000 R 8500 R 10000 2 R 9500 R 11000 R 12500 R 14000 3 R 13500 R 15000 R 16500 R 18000 4 R 17500 R 19000 R 20500 R 22000 b Solução do ítem b f3200150 Se alugarmos o carro por 3 dias e andarmos 200 quilômetros nesses três dias o valor a ser pago pelo aluguel do carro é de R 15000 Estratégia para Investigar Funções de Duas Variáveis É possível aprender muito sobre uma função de duas variáveis variando uma delas e mantendo a outra constante Esse processo fornece a função de uma variável denominada uma função da reta da função original Concentração de um medicamento no sangue Ao se injetar um medicamento no tecido musculoso ele se espalha na corrente sanguínea A concentração de medicamento no sangue aumenta até atingir um nível máximo e depois decresce A concentração C em mg por litro do medicamento no sangue é função de duas variáveis a quantidade x em mg do medicamento injetado e o número de horas t desde que o medicamento tenha sido injetado A concentração pode ser modelada por 5 t x C f x t te para 0 x 4 e t 0 18 Unidade Funções de várias variáveis Explique o significado das seções retas abaixo em termos da concentração de medicamento no sangue a f4t b fx1 Solução a Manter o x fixo e igual a 4 Isso implica que estamos considerando uma injeção com 4 mg do medicamento Deixar que o t varie significa que estamos examinando o efeito dessa dose ao longo do tempo Portanto a função f4t descreve a concentração do medicamento no sangue devido a uma injeção de 4 mg em função do tempo A figura 11 apresenta o gráfico de 4 t f t te Observe que a concentração dessa dosagem é máxima uma hora depois da injeção e que a concentração finalmente tende a zero Figura 11 Solução b Fixar t 1 significa focalizar a concentração no sangue uma hora depois da injeção Deixar o x variar significa que estamos considerando o efeito de diferentes doses no mesmo instante A função fx1 fornece a concentração de medicamento no sangue uma hora após a injeção em função da quantidade injetada A figura 12 mostra o gráfico de 5 5 1 x x f x e e A função fx1é crescente pois se administrarmos doses maiores a concentração na corrente sanguínea é maior Figura 12 19 Material Complementar Para aprofundar seus conhecimentos sobre o estudo das Funções de várias variáveis utilize um dos livros da bibliografia e faça um resumo sobre os conceitos que abordem função de várias variáveis Outras indicações Leia também o capítulo 2 do livro THOMAS JR George B Et Al Cálculo de George G Thomas Jr 12 ed São Paulo AddisonWesley 2003 Páginas 287 a 294 20 Unidade Funções de várias variáveis Referências DEMANA Franklin D WAITS Bert K FOLEY Gregory D KENNEDY Daniel PréCálculo 2 ed São Paulo Pearson 2013 BOULOS PréCálculo São Paulo Makron Books 19992001 FLEMMING Diva Marília GONCALVES Miriam Buss Cálculo A funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 STEWART James Cálculo 6 Ed São Paulo Cengage Learning 2010 THOMAS JR George B Et Al Cálculo de George B Thomas Jr 12 ed São Paulo AddisonWesley 2003 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Em curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 20012002 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário