Integrais Triplas - Material Teórico e Definições Cruzeiro do Sul

Cálculo Diferencial e Integral II Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Integrais triplas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Esp Clovis Jose Serra Damiano Revisão Técnica Profª Me Edmila Montezani Revisão Textual Profª Esp Márcia Ota 5 Vamos iniciar os nossos estudos definindo integrais triplas Em seguida vamos aprender a calcular volumes de formas tridimensionais usando esse conceito Para tanto o material foi organizado da seguinte forma Introdução Definição Volume de uma região no espaço Limites de integração Cálculo de integrais triplas Propriedades das Integrais Triplas Ao terminar essa unidade você deverá ser capaz de identificar e calcular uma integral tripla Para ajudálo realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos Não deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização e envio Nesta Unidade estudaremos as integrais triplas em coordenadas cartesianas Vale salientar que uma das aplicações das integrais triplas é encontrar o volume de formas tridimensionais Desse modo leia com atenção a parte teórica e não deixe de fazer os exercícios propostos que ajudarão você a sedimentar esses novos conhecimentos Assim sendo organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de entrega das atividades propostas Integrais triplas Integrais triplas em coordenadas cartesianas 6 Unidade Integrais triplas Contextualização Calcule o volume usando a integral tripla de um sólido definido no primeiro octante e limitado pelos planos coordenados e pela equação 3x6y4z12 O passo a passo desse exercício você poderá acompanhar no seguinte endereço eletrônico httpsyoutubeO7hJAo1rexA Expectativa de resposta Não há expectativa de reposta O aluno deverá acompanhar as explicações dadas no vídeo indicado 7 Integrais triplas em coordenadas cartesianas Nesta unidade iremos estudar as integrais triplas Já definimos anteriormente as integrais para funções de uma única variável e integrais duplas para funções de duas variáveis Agora definiremos as integrais triplas para funções de três variáveis Se tomarmos a função fxyz que esteja definida em uma região que chamaremos de D fechada e limitada no espaço Suponha ainda que essa região seja ocupada por uma esfera por exemplo A integral de f sobre D poderá ser definida da seguinte forma Tomamos uma região em forma de paralelepípedo que contenha a região D e vamos particionar essa região em pequenos paralelepípedos cortandoa por planos paralelos aos planos coordenados Veja a figura 1 Figura 1 Nosso próximo passo será enumerar esses pequenos paralelepípedos que estão contidos dentro da região D de 1 até n segundo algum critério ou segundo alguma ordem O késimo paralelepípedo típico terá as seguintes dimensões xk yk e zk e portanto o volume desse késimo paralelepípedo será dado por Vkxkykzk Escolhese um ponto xkykzk em cada um dos vários pequenos paralelepípedos e efetuase a seguinte soma 1 n n k k k k k S f x y z V Nosso interesse será saber o que acontece conforme a região for particionada em células cada vez menoresde forma que os valores de xkyk e zk se aproximem de zero ou seja teremos uma grade composta por paralelepípedos infinitamente pequenos cujas dimensões de cada um de seus lados tendam a zero Quando se alcança um valor limite que seja único independente da forma como escolhemos as partições e os pontos xkykzk podemos afirmar que f é integrável sobre a região do espaço D 8 Unidade Integrais triplas Concluindo conforme n tende a infinito e Sn se aproxima de um limite esse limite é denominado integral tripla de f sobre D que se denota lim d n n D S f x y z dV Lembrese que dV dx dy dz Você já deve ter percebido que uma das aplicações das integrais triplas será o cálculo de volumes Após vamos definir o que é o volume de uma região do espaço Se f é uma função constante que vale 1 então 1 1 n n k k k k k k k S f x y z V V V À medida que xkyk e zk se aproximam de zero o volume dos paralelepípedos Vk vai ficando cada vez menor e mais numeroso e vai preenchendo cada vez mais o espaço dado por D Isso nos permite definir o volume de D como a integral tripla 1 lim d n k n k D V dV Vamos começar a trabalhar com integrais triplas de uma forma mais simples quando f é definida em uma caixa retangular Na figura 2 temos um sólido e queremos calcular o seu volume usando as integrais triplas Figura 2 z 2 3 4 y x 0 Observe a figura para calcular o volume usando as integrais triplas pois nossa figura é função de três variáveis xy e z Nosso primeiro passo será definir os limites de integração para cada variável 9 Vamos começar com a variável x É possível observar que ela varia de zero a três A variável y varia de zero a quatro e variável z varia de zero a dois Resumindo temos os seguintes limites de integração 0 x 3 0 y 4 0 z 2 Vamos escrever cada limite na direção de cada variável 2 4 3 0 0 0 ò ò ò dz dy dx Podemos fazer essa notação que representa um volume de uma outra forma 2 4 3 0 0 0 ò ò ò dx dy dz Note a ordem dx referese à integral mais interna dy à integral do meio e dz à integral mais externa Uma outra forma de representar essa integral seria chamando dx dy dv de dV 2 4 3 0 0 0 ò ò ò dx dy dz Então como fazemos para calcular essas integrais 2 4 3 0 0 0 ò ò ò dy dz dx Primeiro faremos o cálculo da integral em relação à variável x Lembrese que a integral de dx é x Para facilitar o cálculo vamos separar cada integral com suas variáveis 2 4 3 0 0 0 2 4 3 0 0 0 2 4 0 0 3 0 ò ò ò ò ò ò ò V dz dy dx V dz dy x V dz dy O resultado da integral será 3 que é uma constante Portanto podemos tirála para fora e em seguida vamos integrar dy 10 Unidade Integrais triplas 2 4 0 0 2 4 0 0 2 0 3 3 3 4 0 ò ò ò ò V dz dy V dz y V dz A integral de dy também é uma constante portanto poderemos retirála para fora do sinal de integração e integraremos dz 2 0 2 0 43 12 ò V dz V z V1220 V24 unidades de medida de volume V24 Vamos analisar mais um exemplo Calcule a integral tripla 2 òòòB xyz dV em que B é uma caixa retangular dada por Bxyz 0 x 1 1 y 2 0 z 3 Resolução O primeiro passo será escrever essas informações na forma de uma integral tripla Em seguida vamos integrar a função na nessa ordem 1 Primeiro em relação àx 2 Depois em relação ày 3 E por último em relação àz 3 2 1 2 0 1 0 3 2 1 2 0 1 0 ò ò ò ò ò ò I xyz dx dy dz I dz dy xyz dx 11 Comece pela integral mais interna 1 3 2 2 2 0 0 1 2 2 3 2 2 2 0 1 3 2 2 0 1 2 1 0 2 2 2 é ù ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ê ú ë û ò ò ò ò ò ò x yz I dz dy yz yz I dz dy yz I dz dy Vamos integrar em relação à variável y 2 3 2 2 1 0 2 2 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 0 3 3 3 3 0 0 3 3 4 2 1 4 4 4 4 4 3 4 3 12 4 3 0 4 4 27 4 é ù ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ë û æ ö ç ç ç çè ø é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û é ù ê ú ê ú ê ú ë û ò ò ò ò y z I dz z z I dz z z I dz z I dz z z I I I A integral tripla sempre existe se a função f for contínua O método prático para calcular uma integral tripla é expressála como uma integral iterada Teorema de Fubbine Se f é contínua em uma caixa retangular Babcdrs então òòò ò ò ò s d b B r c a f x y z dV f x y z dx dy dz Pelo Teorema a integral iterada do lado direito indica que primeiro se integra a função em relação àx mantendo y e z fixados Na sequência integrase em relação ày mantendo o z fixado e finalmente integrase em relação àz 12 Unidade Integrais triplas Existem outras ordens de integração que fornecem o mesmo resultado por exemplo se integrarmos primeiro em relação ày depois em relação àz e finalmente em relação àx portanto indicaríamos a integral da seguinte forma òòò ò ò ò b s d B a r c f x y z dV f x y z dy dz dx Integral Tripla sobre uma região limitada genérica Calculase uma integral tripla aplicando uma versão tridimensional do Teorema de Fubbini e realizando três integrações repetidas Existe um procedimento geométrico para encontrar os limites de integração para essas integrais simples Para calcular a integral abaixo sobre uma região Dintegrase primeiro em relação àz depois em relação ày e por fim em relação àx òòò D f x y z dV Suponha o esboço de uma região D e sua projeção vertical R no plano xy Identifique as superfícies limitantes superior e inferior de D e as curvas de fronteira superior e inferior de R Vide a figura 3 Figura 3 Vamos encontrar agora os limites de integração de z Trace uma reta M que passe por um ponto xy em R e que seja paralela ao eixo z À medida que z cresce M entra em D em zf1 xy e sai em zf2 xy Esses são os limites de integração da variável z Observe a figura 4 13 Figura 4 Para encontrar os limites de integração de y desenhe uma reta L que passe por xy e que seja paralela ao eixo y À medida que y cresce L entra em R em yg1 x e sai em yg2 x Esses são os limites de integração de y Vide a figura 5 Figura 5 Finalmente encontre os limites de integração de x escolhendo todas as retas que passam por R e são paralelas ao eixo yxa e xb da figura 5 Portanto a integral fica 2 2 1 1 ò ò ò y g x z f x y x b x a y g x z f x y f x y z dz dy dx 14 Unidade Integrais triplas Caso você troque a ordem de integração siga procedimentos similares A projeção da região D estará no plano das duas últimas variáveis em relação às quais a integração iterada é feita Esse procedimento será aplicado sempre que uma região sólida D é limitada superior e inferiormente por uma superfície e quando a projeção R é limitada acima e abaixo por uma curva Vamos aprender a efetuar o cálculo de uma integral tripla Exemplo Calcule 2 3 òòò 12 R xy z dV Dado que R é a região limitada por 1 x 2 0 y 3 0 z 2 Para efetuar esse cálculo vamos reescrever a integral com essas informações Nosso próximo passo será integrar de dentro para fora Se vamos integrar em relação à variável x tudo que sobra na sentença são constantes e sesão constantes podemos tirar para fora do sinal de integração para facilitar o cálculo Veja como fica 2 3 2 2 3 0 0 1 12 ò ò ò I dz dy y z x dx Basta calcular a integral definida xdx no intervalo especificado usando o Teorema Fundamental do Cálculo que consiste em achar a primitiva da função e em seguida fazer diferença entre os limites de integração de acordo com a função encontrada 2 2 3 2 2 3 1 0 0 2 2 2 3 2 3 0 0 2 3 2 3 0 0 2 3 2 3 0 0 12 2 2 1 12 2 2 3 12 2 18 é ù ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ê ú ë û ò ò ò ò ò ò ò ò x I dz dy y z I dz dy y z I dz dy y z I dz y z dy 2 3 2 2 3 0 0 1 12 ò ò ò I dz dy xy z dx 15 Calculamos a integral em relação à variável x Agora vamos calcular a integral em relação à variável y usando o mesmo procedimento 2 3 3 2 0 0 3 2 3 3 0 0 3 3 3 2 3 0 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 2 4 0 4 4 18 18 3 3 0 18 3 3 18 9 162 162 162 4 2 0 162 4 4 1624 648 é ù ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ê ú ë û ò ò ò ò ò ò ò I dz z y dy y I dz z I dz z I dz z I z dz I z dz z I I I Em algumas situações teremos que calcular integrais triplas e alguns limites de integração não são constantes e sim funções mas o procedimento para resolver o problema é exatamente o mesmo Veja o exemplo Vamos determinar os limites de integração para o cálculo de uma integral tripla da função fxyz sobre o tetraedro D com os vértices 000 110 e 011 Na figura 6 temos o esboço de D e de sua projeção no plano xz Figura 6 16 Unidade Integrais triplas Nosso primeiro objetivo é encontrar os limites e integração para calcular a integral tripla da função definida sobre o Tetraedro D Observe A superfície limitante inferior à esquerda está contida no plano yxz A fronteira superior de R é a reta z1x A fronteira inferior de R é a reta z0 Em primeiro lugar vamos encontrar os limites de integração de y A reta que passa por um ponto xz em R e é paralela ao eixo y entra em yx1 e sai em y1 Vamos agora em busca dos limites de integração da variável z A reta L que passa por xz e que é paralela ao eixo z entra em R em z0 e sai em z1x Agora falta encontrar os limites de integração da variável x Observe que à medida que L varre R o valor de x varia de zero a um Portanto a integral é 1 1 1 0 0 ò ò ò x x z f x y z dy dz dx Achado os limites de integração vamos calcular essa integral que eu vou chamar de I 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 2 2 1 0 1 2 0 1 2 1 0 1 1 0 0 2 2 1 1 1 2 é ù ê ú ê ú ë û é ù æ ö æ ö ç ç ê ú ç ç ê ú ç ç ç ç ê ú ç ç è ø è ø ë û ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò x x z x x z x x z x x I dy dz dx I dx dz dy I dx dz y I dx x z dz z I dx z xz x I dx x x x x I dx x x x x 2 1 2 2 0 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 é ù ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ë û ò I dx x x x x x x I x x x 17 Fazendo as simplificações pertinentes sobra 1 2 0 1 2 3 0 2 3 2 3 1 2 2 1 2 2 6 1 1 0 0 1 1 1 0 2 2 6 2 2 6 1 1 1 2 2 6 1 6 æ ö ç ç ç çè ø é ù ê ú ê ú ë û é ù æ ö æ ö ç ç ê ú ç ç ê ú ç ç ç ç ê ú ç ç è ø è ø ë û ò x I x dx x x I x I I I Se quisermos integrar fxyz sobre o mesmo tetraedro D na ordem dz dy dx começamos achando os limites de integração de z depois de y e por último de x e a integral seria 1 1 0 0 ò ò ò y x x I dx dy dz Se fxyz1 o volume do tetraedro é encontrado calculando essa integral que dará o mesmo resultado da integral anterior embora estejamos integrando em uma outra ordem 1 1 0 0 1 1 0 1 1 2 0 2 2 1 0 1 2 2 0 1 2 0 1 2 3 0 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 6 1 2 é ù ê ú ê ú ë û é ù æ ö æ ö ç ç ê ú ç ç ê ú ç ç ç ç ê ú ç ç è ø è ø ë û æ ö ç ç ç çè ø æ ö ç ç ç çè ø é ù ê ú ê ú ë û ò ò ò ò ò ò ò ò y x x x x I dx dy z I dx y x dy y I dx xy x I dx x x x x I dx x x x I x dx x x I x I 2 3 2 3 1 1 0 0 1 1 0 2 6 2 2 6 1 1 1 1 2 2 6 6 é ù æ ö æ ö ç ç ê ú ç ç ê ú ç ç ç ç ê ú ç ç è ø è ø ë û I 18 Unidade Integrais triplas Quando trabalhamos com as integrais triplas podem existir até seis ordens de integração já que podemos combinar dx dy e dz de diferentes maneiras Cada ordenação nos leva a uma descrição diferente da região do espaço a ser integrada e a diferentes limites de integração A figura 7 representa um sólido É possível calcular o volume desse sólido de seis formas diferentes de acordo com a combinação de dx dy dz Figura 7 Cada uma das integrais abaixo calcula o volume desse sólido 1 1 2 1 0 0 0 1 1 2 2 0 0 0 1 2 1 3 0 0 0 2 1 1 4 0 0 0 1 1 2 5 0 0 0 1 2 1 6 0 0 0 ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò z y z z y y I dx dy dz I dx dz dy I dy dx dz I dy dz dx I dz dx dy I dz dy dx 19 O volume desse sólido é 1 Para treinar resolva essas seis integrais Todas darão o mesmo resultado As integrais triplas têm as mesmas propriedades que as integrais simples e duplas Sendo Fxyz e Gxyz se F e G forem contínuas 1 Multiplicação por constante k para qualquer valor de k òòò òòò D D k F dV k F dV 2 Soma e diferença òòò òòò òòò D D D F G dV F dV G dV 20 Unidade Integrais triplas Material Complementar Para aprofundar seus estudos assista aos seguintes vídeos httpsyoutube32oMHqLSuFc httpsyoutube6I9zh7l762I 21 Referências DEMANA Franklin D WAITS Bert K FOLEY Gregory D KENNEDY Daniel PréCálculo 2 ed São Paulo Pearson 2013 BOULOS PréCálculo São Paulo Makron Books 19992001 FLEMMING Diva Marília GONCALVES Miriam Buss Cálculo A funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 STEWART James Cálculo 6 Ed São Paulo Cengage Learning 2010 THOMAS JR George B Et Al Cálculo de George B Thomas Jr 12 ed São Paulo AddisonWesley 2003 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Em curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 20012002 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário