Distribuições de Probabilidade Discretas: Teoria e Recomendações de Estudo

Econometria Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Bruno Leonardo Silva Tardelli Revisão Textual Prof Ms Luciano Vieira Francisco Distribuição de Probabilidade Discreta Introdução Distribuição de Probabilidade Discreta Esperança Função de Probabilidade e Função de Distribuição de Probabilidade Variância Aleatória Considerações Finais Apresentar o significado das distribuições de probabilidade a partir da aplicação de distribuições discretas de probabilidade Explorar cálculos de média e variância envolvendo probabilidades para se aprofundar na temática em questão OBJETIVO DE APRENDIZADO Distribuição de Probabilidade Discreta Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como o seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas Entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Distribuição de Probabilidade Discreta Contextualização Observe o Quadro abaixo o qual apresenta a distribuição de probabilidade de chuva em cada região do País Dito de outra forma para cada região o Quadro apresentou as probabilidades dos possíveis eventos separandoos em três categorias de chuva acima do normal normal e abaixo do normal Quadro 1 As previsões probabilísticas de precipitação e temperatura do ar para o período de JAS2016 são mostradas no Quadro abaixo A Figura 1 ilustra as áreas com previsão de chuva e as respectivas probabilidades em tercis considerando três categorias acima da normal normal e abaixo da normal climatológica Região Previsão Norte Chuva maior probabilidade na categoria abaixo da faixa normal climatológica no Norte da Região Nas demais áreas a previsão indica igual probabilidade para as três categorias Temperatura normal a acima da faixa normal climatológica Nordeste Chuva maior probabilidade na categoria dentro da faixa normal climatológica no Leste da Região com a segunda maior probabilidade na categoria abaixo da faixa normal Nas demais áreas a previsão indica igual probabilidade para as três categorias Temperatura normal a acima da faixa normal climatológica CentroOeste Chuva a previsão indica igual probabilidade para as três categorias na maior parte da região exceto para o extremo Sul do Mato Grosso do Sul onde a maior probabilidade é para a categoria dentro da faixa normal climatológica Temperatura normal a acima da faixa normal climatológica Figura 1 Previsão probabilística em tercis por consenso do total de chuva no período de julho a setembro de 2016 Sudeste Chuva a previsão indica igual probabilidade para as três categorias Temperatura normal a acima da faixa normal climatológica Sul Chuva maior probabilidade na categoria dentro da faixa normal climatológica na maior parte da região com a segunda maior probabilidade na categoria acima da faixa normal Temperatura em torno da faixa normal climatológica Fonte httpinfoclima1cptecinpebr 8 9 Introdução Esta Unidade se reserva inicialmente a entender o significado de uma distribuição de probabilidade mais precisamente a distribuição de probabilidade discreta Além disso o aspecto gráfico e algumas medidas associadas a uma distribuição de probabilidade também serão explorados como é o caso da esperança e da variância Assim a presente Unidade está dividida em quatro seções além desta introdução e das considerações finais A primeira seção pretende apresentar a distribuição de probabilidade discreta em seu sentido geral a segunda seção apresenta o conceito de esperança a terceira seção insere o significado de uma função de probabilidade e de uma função de distribuição acumulada por fim na quarta seção aplicase o cálculo da variância envolvendo uma variável aleatória discreta Distribuição de Probabilidade Discreta Se avaliarmos um dado com seis lados qual a probabilidade de que cada número seja selecionado Seria 1 6 ou seja uma chance em seis possibilidades E esta probabilidade é a mesma independentemente se estamos nos referindo ao número 1 2 3 4 5 ou 6 Entretanto as probabilidades podem se diferenciar entre os eventos como no exemplo de um sorteio de um número par em um conjunto X 5 7 8 Neste caso em um sorteio como o único número par é o oito então a probabilidade de sortear um número par é de 1 3 ao passo que o de sortear um número ímpar é de 2 3 Assim o que pode ser percebido é que os eventos possíveis podem ter probabilidades iguais ou distintas de ocorrer e o estudo da distribuição de probabilidade trata de estudar e entender tal mapeamento ou seja de como as probabilidades se repartem entre os eventos Além do valor é possível apresentar a distribuição de probabilidade em formato gráfico para melhor visualização Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta ou contínua Nesta Unidade será concentrada exclusiva atenção para as distribuições de probabilidade discretas A forma discreta referese a ser possível determinar o valor para a probabilidade de cada evento mesmo que às vezes com a necessidade de uso de arredondamento dos valores quando estes são muito quebrados Por exemplo se tivermos 9 bolas em uma urna com numeração de 1 até 9 e tivermos de sortear uma das quais a chance de cada número ser sorteado é de 1 9 que é igual a 011111111 aproximadamente 011 ou 11 9 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Discreta Esperança Um conceito fundamental quando se trabalha com uma distribuição de probabilidade é o de esperança conhecida também como esperança matemática ou valor esperado A esperança é uma média ponderada pelas probabilidades dos eventos possíveis Para entender isso partiremos da compreensão de uma média ponderada Média ponderada é uma média que leva em consideração os pesos de cada elemento de um conjunto Por exemplo suponha que o aluno Joãozinho estuda em uma escola cuja regra para aprovação seja ter uma média geral de nota superior a 600 considerando que a média de nota máxima é 1000 Joãozinho tem 3 disciplinas Português Matemática e Educação Física Joãozinho concluiu o ano com média 600 conforme se vê no Quadro 1 Quadro 1 Notas de Joãozinho com média aritmética das notas anuais das disciplinas Disciplina Nota anual Educação Física 1000 Matemática 600 Português 200 Média 600 Fonte elaborado pelo professor conteudista Entretanto ao ver tal resultado a escola entende que as disciplinas Matemática e Português deveriam ter um peso maior que Educação Física Assim a escola avalia que precisaria ajustar o peso de cada disciplina para o próximo ano de acordo com o Quadro 2 É importante lembrar que qualquer valor poderia ser utilizado como peso conforme será facilmente entendido adiante Quadro 2 Pesos das notas anuais das disciplinas cursadas por Joãozinho Disciplina Peso Educação Física 3 Matemática 15 Português 12 Soma dos pesos das disciplinas 30 Fonte elaborado pelo professor conteudista A partir destes pesos será que Joãozinho conseguiria ser aprovado no ano vigente O cálculo da média ponderada resolve este problema para nós 1 Multiplique a nota de cada disciplina pelo respectivo peso 2 Some os valores encontrados entre si e 3 Divida a soma encontrada pela soma dos pesos O Quadro 3 ilustra a aplicação dos passos para o cálculo 10 A partir do Quadro 3 identificase que Joãozinho não seria aprovado neste novo cenário Em termos de equação este cálculo poderia ser descrito como X 10 3 615 212 30 90 24 30 144 30 480 Ou escrevendo de outra forma dividindo cada peso pela soma dos pesos X 10 010 6 050 2040 1 300 080 480 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Discreta valor esperado é a esperança ou seja o valor médio que se espera ao final do dia dadas as probabilidades de cada evento possível Podemos entender a esperança da seguinte forma se um número infinito de dias que a empresa opera fosse observado em 50 dos quais a receita seria de 500 em 20 de 1000 e nos 30 restantes a receita registrada seria de 2000 Mas o que importa é calcular uma média esperada para um dia qualquer Assim será uma média ponderada e levará em conta os percentuais como peso Observe o cálculo a seguir em que E X é a esperança de X E X 500 0 50 1000 0 30 2000 0 20 250 300 400 950 O resultado da esperança de X aponta que o valor médio de receita ao longo de cada dia é de 950 de modo que um dia o negócio pode estar ruim outro médio ou mesmo excelente mas em média esperase ter receita diária de 950 Importante Veja que esse cálculo é muito próximo do que foi realizado no exemplo do aluno Joãozinho quando se considerou os pesos das disciplinas na forma percentual Importante Note que esse tipo de análise por si já se apresenta importante para uma empresa ter uma ideia do que pode ser projetado para seu futuro apesar da simplicidade do exemplo e da subjetividade na elaboração das probabilidades propostas a cada evento Explor De forma geral a esperança pode ser definida como E X X P X X P X X P X n n 1 1 2 2 Em que E X é a esperança da variável X com n elementos de modo que o conjunto de números é definido entre X1 e X n e o respectivo intervalo de probabilidades de P X1 a P X n 12 13 Função de Probabilidade e Função Distribuição de Probabilidade Conforme Sartoris 2003 p 58 podese pensar em P X como uma função que associa o valor de X à sua probabilidade a qual é denominada função de probabilidade Um exemplo de função de probabilidade é a relação gerada no Quadro 4 entre receitas de uma empresa e as respectivas probabilidades As funções de probabilidade podem ser descritas graficamente A partir dos dados do Quadro 4 a apresentação gráfica da função poderia ser tal como apresentado no gráfico abaixo 500 1000 2000 x 0 10 20 30 40 50 60 PX Figura 1 Função de probabilidade P X receitas de uma empresa e as probabilidades Fonte elaborada pelo professor conteudista Por exemplo P500 50 050 A função de probabilidade P X tem um formato de retângulos os quais as alturas representam a probabilidade de cada evento possível Uma P X pode ser transformada em uma função de distribuição acumulada A função de distribuição acumulada conhecida também como função de distribuição é simbolizada por F X Esta F X é uma função que acumula sequencialmente as probabilidades associadas à variável X Um exemplo de função de distribuição está presente na Figura 2 construído a partir das informações da Figura 1 Podese observar que a Figura 2 é formada a partir da seguinte lógica F P 500 500 50 F F P 1000 500 1000 50 30 80 F F P 2000 1000 2000 80 20 100 13 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Discreta 500 1000 2000 x 0 20 40 60 80 100 120 FX Figura 2 Função de distribuição acumulada F X receitas de uma empresa e as probabilidades Fonte elaborada pelo professor conteudista Uma característica própria das funções de distribuição é que em todos os casos o último valor da FX é 100 ou seja 1 Variável Aleatória Todas as variáveis trabalhadas nesta Unidade são conhecidas como variáveis aleatórias Conforme Sartoris 2003 p 31 grifo nosso variável aleatória é uma variável que está associada a uma distribuição de probabilidade Portanto é uma variável que não tem valor fixo podendo assumir vários valores O valor que cai ao se jogar um dado por exemplo pode ser 1 2 3 4 5 ou 6 com probabilidade igual a 16 para cada um dos valores se o dado não estiver viciado É portanto uma variável aleatória Assim como são variáveis aleatórias o valor de uma ação ao final do dia de amanhã o número de pontos de um time num campeonato que está começando esta semana a quantidade de chuva que vai cair no mês que vem a altura de uma criança em fase de crescimento daqui a seis meses a taxa de inflação no mês que vem Todas essas variáveis podem assumir diferentes valores valores estes que por sua vez estão associados a probabilidades E não são variáveis aleatórias o valor de uma ação ao final do pregão de ontem o número de pontos de um time num campeonato que já acabou a altura de uma pessoa na faixa dos 30 anos de idade daqui a seis meses a área útil de um apartamento a velocidade de processamento de um computador Todas essas variáveis têm valores fixos 14 15 Variância de uma Variável Aleatória Discreta A variância representa uma medida de dispersão associada a uma média dos desvios em relação à média elevada ao quadrado A forma mais comum para cálculo da variância é descrita por var X X X X X X X n n 1 2 2 2 2 Em que X representa um conjunto de números qualquer e X é a média aritmética do conjunto X Alternativamente a equação de cálculo da variância pode ser apresentada de forma mais condensada por meio da seguinte expressão var X n X X i n i 1 1 2 Calculando a variância o procedimento para o cálculo é o seguinte em primeiro lugar devese pegar cada elemento subtrair da média e elevar ao quadrado Em seguida proceder com todos os elementos do conjunto somar os valores encontrados e por fim dividir pelo número de elementos que estão envolvidos Vamos ao exemplo com o conjunto Y 3 5 7 A média de Y é Y 5 Assim var Y 3 5 5 5 7 5 3 2 2 2 var Y 2 0 2 3 2 2 2 var Y 4 0 4 3 var Y 8 3 15 varX 1n Σ Xi² X² Em que X representa um conjunto de números qualquer X é a média aritmética do conjunto X e Xi representa cada elemento de i 1 n Para apresentar como se realiza o cálculo voltaremos ao exemplo do conjunto y 357 no qual Y 5 Cada elemento deve ser inserido no somatório de modo que o termo 1n Σ Xi² Será representado por 13 Σ Yi² O qual é igual a 13 3² 5² 7² 3² 5² 7² 9 25 49 83 3 17 var X 83 75 3 var X 8 3 O qual é o mesmo resultado encontrado quando aplicamos a equação var X n X X i n i 1 1 2 Agora e se cada elemento de Y tiver uma probabilidade distinta entre si Observe o Quadro 5 Considerando que cada elemento contém um valor de probabilidade como calcular a variância para este tipo de situação Quadro 5 Conjunto Y e as probabilidades de cada elemento Y P Y i 1 3 50 i 2 5 20 i 3 7 30 Fonte elaborado pelo professor conteudista O cálculo da variância envolvendo probabilidades nos i s elementos é calculada de forma semelhante a var X n X X i n i 1 1 2 2 Nos dois termos dessa equação temos cálculos de média aritmética Contudo ao invés de utilizarmos a média aritmética aplicaremos o cálculo da esperança Lembrese que a esperança é uma média ponderada pelas probabilidades de cada elemento envolvido Assim o cálculo da variância a partir das informações do Quadro 5 deverá ser guiado pela equação var X E X E X 2 2 Aplicaremos o exemplo do Quadro 5 com a variável Y para que você possa entender o processo do cálculo 17 1 Calcule a esperança de Y ou seja EY e eleve o resultado ao quadrado para obter o termo EY² EY Y₁PY₁ Y₂PY₂ Y₃PY₃ EY 3 050 5 020 7 030 EY 150 100 210 EY 150 100 210 EY 460 Elevando ao quadrado temos que EY² 460² EY² 2116 2 Calcule a esperança de Y² ou seja EY² EY² Y²₁PY₁ Y²₂PY₂ Y²₃PY₃ EY² 3² 050 5² 020 7² 030 EY² 9 050 25 020 49 030 EY² 45 5 147 EY² 242 3 Calcule varY varY EY² EY² varY 242 2116 varY 304 Exercícios Resolvidos Envolvendo Esperança e Variância de uma Variável Aleatória Discreta Nesta seção serão apresentados dois exercícios de cálculo com esperança e variância de uma variável aleatória discreta com resolução 1 Katerine realiza consultorias na área de gestão de pessoas Como a atividade não é muito regular Katerine fica insegura em relação à sua sobrevivência com esse negócio Sabendo que Katerine possui 25 de possibilidade de receber ao final de um dia 100 35 de possibilidade de ganhar 250 e 40 de receber 500 calcule o valor esperado e o valor da variância dos ganhos da consultora ao longo de um dia de trabalho Resolução Cálculo da esperança EX EX Σ X₁PX EX X₁PX₁ X₂PX₂ X₃PX₃ EX 100 025 250 035 500 040 EX 25 8750 200 EX 31250 Cálculo da variância varX varX EX² EX² Calculando EX² EX² X²₁PX₁ X²₂PX₂ X²₃PX₃ EX² 100² 025 250² 035 500² 040 EX² 10000 025 62500 035 250000 040 EX² 2500 21875 100000 EX² 124375 Calculando EX² Como EX 31250 Então EX² 31250² EX² 9765625 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Discreta Assim como var X E X E X 2 2 Portanto var X 124375 97656 25 var X 26718 75 2 Jéssica é cabelereira e possui um salão Imaginando que tem 10 de chance de atender nenhum cliente 10 de atender 10 clientes 20 de atender 20 clientes e 60 de atender 30 clientes qual a esperança e variância do número de clientes Resolução Cálculo da esperança E X E X X P X i i 1 4 E X X P X X P X X P X X P X 1 1 2 2 3 3 4 4 E X 0 0 10 10 0 10 20 0 20 30 0 60 E X 0 1 4 18 E X 23 Cálculo da variância var X var X E X E X 2 2 Calculando E X 2 E X X P X X P X X P X X P X 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 E X 2 2 2 2 2 0 0 10 10 0 10 20 0 20 30 0 60 E X 2 0 0 25 100 0 10 400 0 20 900 0 60 E X 2 0 10 80 540 E X 2 630 20 21 Calculando E X 2 Como E X 23 Então E X 2 2 23 E X 2 529 Assim como var X E X E X 2 2 Portanto var X 630 529 var X 101 Considerações Finais A econometria é basicamente fundamentada em um estudo de variáveis que podem ser explicadas a partir de outras As variáveis tratadas na econometria são normalmente variáveis aleatórias ou seja que estão sujeitas a uma distribuição de probabilidade Assim nesta Unidade você teve a oportunidade de estudar conceitos fundamentais para o estudo da econometria tais como o de distribuição de probabilidade discreta função de probabilidade função de distribuição de probabilidade esperança ou esperança matemática ou valor esperado e formas de cálculo para a esperança e variância de uma variável aleatória discreta 21 UNIDADE Distribuição de Probabilidade Discreta Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros Estatística aplicada à Administração e Economia DOANE D P SEWARD L E Estatística aplicada à Administração e Economia Porto Alegre RS Grupo A 2012 Estatística para Administração e Economia MCCLAVE J T BENSON P G SINCICH T Estatística para Administração e Economia 10 ed São Paulo Pearson Makron Books 2009 Estatística aplicada Administração Economia e negócios SHARPE N R DE VEAUX R D VELLEMAN P F Estatística aplicada Administração Economia e negócios Porto Alegre RS Grupo A 2011 22 23 Referências MORETTIN L G Estatística básica inferência São Paulo Pearson Makron Books 2005 SARTORIS A Estatística e introdução a econometria São Paulo Saraiva 2003 23 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional