Introdução à Probabilidade: Teoria de Conjuntos e Recomendações de Estudo

Econometria Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Bruno Leonardo Silva Tardelli Revisão Textual Prof Ms Luciano Vieira Francisco Probabilidade Introdução Probabilidade Conjunto Contínuo Conjunto Discreto Probabilidade União e Intersecção Considerações Finais Introduzir o estudo de probabilidade a partir dos conceitos básicos que cercam a teoria básica de conjuntos OBJETIVO DE APRENDIZADO Probabilidade Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como o seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas Entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Probabilidade Contextualização Leia a reportagem a qual relata estudo científico que aponta a possibilidade de a ejaculação frequente reduzir a probabilidade de risco de câncer de próstata Disponível em httpsgooglXnAnFP Explor 8 Introdução O estudo de Econometria pressupõe um bom entendimento de estatística Por tal motivo dedicarnosemos a explorar alguns aspectos ligados à probabilidade Assim esta Unidade está dividida em três seções além desta Introdução e das Considerações finais A primeira seção trata do conceito de probabilidade a segunda seção apresenta a distinção entre um conjunto discreto e um conjunto contínuo por fim a terceira seção insere a teoria dos conjuntos com a união e interseção na temática de probabilidade Probabilidade A probabilidade é simplesmente uma medida relacionada à proporção em que determinados eventos ocorrem Por exemplo em um dado não viciado e com seis lados a probabilidade de cada evento é de frac16 em uma jogada ou seja cada evento possível ocorre de forma única em um total de 6 eventos possíveis Por outro lado se a pergunta fosse qual a probabilidade de encontrar um número par em um dado não viciado de seis lados o evento número par ocorre 3 vezes número 2 4 ou 6 em um total de 6 eventos Assim a probabilidade é de 3 em 6 ou seja frac36 que pode ser simplificada para frac12 Generalizando dado um evento A qualquer em que PA é a probabilidade de A ocorrer pode ser definido como PA frac extnúmero de vezes que A ocorre extnúmero de vezes que todos os eventos ocorrem No caso da probabilidade de o número 1 ser selecionado em um dado comum teríamos P extcair 1 frac extnúmero de vezes no qual 1 ocorre extnúmero de vezes que todos os eventos ocorrem frac16 No caso da probabilidade de encontrar um número par em um dado comum teríamos P extcair par frac extnúmero de vezes no qual par ocorre extnúmero de vezes que todos os eventos ocorrem frac36 frac12 Uma distinção importante é analisarmos um conjunto contínuo e um conjunto discreto Conjunto Contínuo Imagine um conjunto de números X entre os números reais de 0 e 10 ou seja o conjunto X x in mathbbR 0 x 10 Qual probabilidade de encontrar o número 3 em um sorteio em que valem todos os números desse intervalo Note que se estivermos considerando o conjunto X dos números reais teríamos infinitos números existentes entre 0 e 10 Por exemplo qualquer um dos seguintes números poderia ser sorteado 10000000000001 248375 3 4948599230989859304894387598398347937584594 957392839 589 63298 Assim como existem infinitos números reais entre 0 e 10 a probabilidade de encontrar exatamente o número 3 será considerada muito próxima de zero Ou seja será um evento entre infinitos possíveis Uma analogia é imaginar a chance de sortear determinado grão de areia em uma praia Formalmente dizemos que no limite quando o número de todos os eventos possíveis tende ao infinito a probabilidade de selecionar determinado evento tende a zero Assim a partir do exemplo acima a probabilidade de sortear o número 3 será dada por Px 3 limn o infty frac1n frac1infty 0 Importante Sempre que estivermos trabalhando com um conjunto contínuo a lógica anterior poderá ser aplicada Ou seja esse raciocínio ocorre quando trabalhamos com um conjunto contínuo Entretanto mesmo em um conjunto contínuo é possível modificarmos a pergunta e encontrarmos um resultado diferente de zero Imagine que dentro do conjunto de números reais de 0 a 10 ou seja X x in mathbbR 0 x 10 queremos 11 achar a probabilidade de encontrar um número entre 2 e 6 ou seja P x 2 6 Uma forma de entender isto é analisar a Figura 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 1 Conjunto X x R x 0 10 Fonte Elaborada pelo professor conteudista Entre 0 e 10 é como se tivéssemos 10 partes iguais Se for assim entre 2 e 6 teríamos 4 dessas 10 partes Observe os blocos marcados em vermelho Assim a resolução da pergunta anterior seria P x 2 6 4 10 0 40 Dito de outra forma temos 40 de chances de sortear um número qualquer entre 2 e 6 dentro do conjunto X x R x 0 10 Importante Será que existe diferença entre P x 2 6 e P x 2 6 No primeiro caso o intervalo é fechado ou seja inclui tanto o número 2 como o número 6 Por outro lado no segundo caso o intervalo é aberto de modo que os números 2 e 6 estão excluídos A questão é que considerando os números reais entre 2 e 6 temos infi nitos números Então incluir ou excluir o 2 e o 6 não altera a probabilidade A conclusão é que a inclusão ou exclusão dos números dos extremos do intervalo não altera de fato a probabilidade do evento ou seja P x 2 6 P x P x 2 6 2 6 P x 2 6 Importante Conjunto Discreto Um conjunto discreto é aquele que possui alguns saltos entre os números Por exemplo em um dado convencional existem 6 números em intervalos de 1 em 1 1 2 3 4 5 e 6 Isso é um conjunto discreto Assim um conjunto discreto normalmente é visto como aquele que possui finitos números ao contrário de um conjunto contínuo o qual possui normalmente infinitos números Dito de outra forma em um conjunto contínuo entre 1 e 2 2 e 3 3 e 4 4 e 5 5 e 6 existem infinitos números reais 11 Exercícios Resolvidos de Probabilidade Envolvendo Conjuntos Contínuos e Discretos Exercício 1 Calcule a probabilidade de em sorteio de um número obter o número 5 em cada um dos conjuntos a seguir a X x in Z 1 leq x leq 6 Assim Px 5 frac16 13 Exercício 2 Considere o conjunto X x Z x 4 12 Imaginando um sorteio de um número do conjunto X encontre o valor de a P x 7 9 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Observando as parcelas acima temos que P x ou seja 7 9 2 8 1 4 0 25 25 b P x 4 12 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Observando as parcelas acima temos que P x ou seja 4 12 8 8 1 100 c P x 1 8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Como somente é considerado o conjunto X os valores entre 1 e 4 exclusive não participam do cálculo Observando as parcelas acima temos que P x P x ou seja 1 8 4 8 4 8 1 2 0 50 50 13 UNIDADE Probabilidade Probabilidade União e Intersecção Considerando um exemplo no qual todos os números possíveis são representados por S e S 1 2 3 4 5 este é chamado de espaço amostral Normalmente a literatura define o espaço amostral como S Particularmente no exemplo exposto é representado pelos números 1 2 3 4 e 5 Aproveitando o espaço amostral apresentado qual a probabilidade de em um sorteio de um número selecionarmos um número ímpar Ao invés de respondermos de forma direta observe a Figura 2 Nesta você pode conferir tais números ao longo do espaço amostral S Além disto você pode encontrar um conjunto dentro do espaço amostral Tratase do conjunto A que possui os números ímpares inteiros entre 1 e 5 ou seja os números 1 3 e 5 A S 2 3 4 1 5 Figura 2 Conjunto A e o espaço amostral Fonte Elaborada pelo professor conteudista A pergunta anterior portanto pode ser reescrita como qual a probabilidade de em um sorteio de um número selecionarmos um elemento de A Existem 3 eventos em A dentro de um total de eventos igual a 5 Portanto P A 3 5 Outra pergunta poderia ser qual a probabilidade de em um sorteio de um número selecionarmos um elemento que não esteja em A ou seja não A Formalmente seria o mesmo que perguntar qual é a probabilidade de Acomplementar A 14 O conjunto barA é os elementos que não pertencem a A Portanto tratase dos números pares 2 e 4 Assim PA frac25 UNIDADE Probabilidade Na jogada de um dado por exemplo se o evento do conjunto A for o número 1 de um dado e A os demais números então P A 1 6 e P A 5 6 Assim P A A P A P A 1 6 5 6 1 Entretanto o cálculo de união das probabilidades de um evento ou outro ocorrer somente está tão simples de calcular em função dos eventos serem mutualmente exclusivos ou disjuntos Na próxima seção você entenderá melhor este conceito Eventos Mutuamente Exclusivos ou Disjuntos Exemplos clássicos no estudo de probabilidade são aqueles que envolvem dados cara e coroa e bolas de diversas cores Em todos esses casos os eventos são denominados mutuamente exclusivos ou disjuntos Quer dizer que a ocorrência de um evento implica a não ocorrência do outro Por exemplo se em uma jogada de um dado sair o número 5 isto implicou que os números 1 2 3 4 e 6 não saíram No caso de cara e coroa se em uma jogada sair cara isto significa que não saiu coroa Em um sorteio de bolas coloridas envolvendo esferas azuis vermelhas e brancas se no sorteio de uma bola a selecionada for azul então isto significa que não houve o sorteio de uma bola vermelha ou branca Ou seja a conclusão é que em eventos mutuamente exclusivos não existe intersecção de eventos A Figura 3 ilustra eventos mutuamente exclusivos nos quais os conjuntos A e B não se cruzam A B S Figura 3 Diagrama de Venn de eventos mutuamente exclusivos Fonte Elaborada pelo professor conteudista Exemplos envolvendo eventos mutuamente exclusivos 1 Considere uma urna na qual foram inseridas 8 bolas vermelhas 9 bolas brancas e 3 bolas azuis Levando em consideração as seguintes siglas V bola Vermelha B bola Branca A bola Azul determine a probabilidade de ao retirar uma bola ao acaso 16 a a bola seja vermelha PV fracbolas vermelhastotal de bolas frac820 frac25 UNIDADE Probabilidade c um número maior ou igual a 2 P maior ou igual a P 2 2 3 4 5 6 5 6 Dado não viciado é aquele no qual as probabilidades de cada número são as mesmas ou seja em uma jogada 16 de chance para cada número Explor Apesar da exposição anterior sobre eventos mutualmente exclusivos existem situações nas quais os eventos não precisam possuir essa característica Para tais casos surge a ideia da intersecção a qual é objetivo de estudo na sequência Intersecção A intersecção expressa os eventos que ocorrem em dois ou mais conjuntos distintos de modo que eventos podem ocorrer de forma simultânea Vamos a um exemplo relacionado a gostos de cores Acompanhe o seguinte raciocínio dada uma situação em que diversas pessoas respondam à seguinte enquete você gosta da cor azul da cor rosa de ambas ou de nenhuma das duas O resultado da pesquisa está apresentado no diagrama de Venn Figura 4 e mostra que entre os entrevistados 25 gostavam somente da cor Azul A 40 gostavam somente da cor Rosa R 35 gostavam de ambas 20 não gostavam de ambas Portanto 120 pessoas foram entrevistadas nessa pesquisa A 25 20 35 40 R S Figura 4 Gosto por cores azul rosa ou ambas Fonte Elaborada pelo professor conteudista 18 19 A partir disto se sortearmos ao acaso uma pessoa que participou da pesquisa a qual a probabilidade de que este indivíduo goste da cor azul P A 25 35 120 60 120 1 2 b qual a probabilidade de que este indivíduo goste somente de azul P somente A 25 120 5 24 c qual a probabilidade de que este indivíduo goste da cor rosa P R 40 35 120 75 120 5 8 d qual a probabilidade de que este indivíduo goste somente de rosa P somente R 40 120 1 3 e qual a probabilidade de que este indivíduo goste de ambas as cores P A R 35 120 7 24 f qual a probabilidade de que este indivíduo goste de rosa ou de azul Observe que nem todos gostam de rosa ou azul Entre os 120 apenas 100 gostam de uma cor ou outra Assim a resposta é 100 120 que pode ser simplificada para 5 6 Entretanto o objetivo aqui é entender como calcular este ou Ao dizermos rosa ou azul significa que tanto faz se a pessoa goste de uma ou outra cor entre as duas opções Assim unimos o grupo de pessoas que gosta de pelo menos uma das duas cores Para tanto não se pode somar a probabilidade de selecionar alguém que goste de azul à probabilidade de alguém que goste de rosa pois P A P R 60 120 75 120 135 120 que é diferente de 100 120 ou 5 6 19 Onde está o problema A questão é que ao somar as probabilidades de A e R a interseção é somada duas vezes dado que o grupo de 35 pessoas apreciadoras de ambas as cores está inserido nos dois conjuntos Assim precisamos retirar uma vez a probabilidade da interseção Veja como funciona PA R PA PR PA R PA R 60 120 75 120 35 120 PA R 100 120 5 6 21 Antes de responder a algumas perguntas observe que é possível dividir as probabilidades da seguinte forma S 020 020 050 010 H S Figura 5 Fonte Elaborada pelo professor conteudista Como isso foi feito O primeiro passo é sempre inserir a probabilidade de estar em ambos os conjuntos que no caso é 050 Então como a probabilidade de sortear alguém que goste de carros sedan é de 070 índice representado pelo conjunto azul e de gostar de sedan e hatch ao mesmo tempo é de 050 então somente sobram 020 de probabilidade para sortear alguém que goste somente de carros do tipo sedan De forma análoga a probabilidade de sortear alguém que goste de carros hatch é de 060 índice representado pelo conjunto rosa Como a probabilidade da intersecção é de 050 então o restante que representa a probabilidade de sortear alguém que goste somente de carros hatch é de 010 Por fim ao somar as probabilidades de gostar de pelo menos um dos tipos de carros encontramos 080 de modo que existe a probabilidade de 020 para selecionarmos alguém que não goste de qualquer um dos dois modelos automotivos A partir das informações do enunciado responda a Qual a probabilidade de sortear um entrevistado que goste de carros sedan ou hatch Como P S H P S P H P S H Então P S H 0 70 0 60 0 50 P S H 0 80 21 Importante Dado dois eventos X e Y Se X e Y são mutuamente exclusivos PX Y PX PY Se X e Y não são mutuamente exclusivos PX Y PX PY PX Y Exemplo envolvendo interseção Uma pesquisa perguntou às pessoas se gostavam somente de carros do tipo Sedan S somente do tipo Hatch H se gostavam de ambos ou de nenhum desses dois tipos A pesquisa revelou que a probabilidade de sortear uma pessoa entrevistada que goste de carros sedan é de 070 a probabilidade de sortear uma pessoa entrevistada que goste de carros hatch é de 060 e a probabilidade de sortear uma pessoa entrevistada que goste de ambos é de 050 Considerando as siglas PS probabilidade de encontrar alguém que goste somente de carro sedan PH probabilidade de encontrar alguém que goste somente de carro hatch 23 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros Estatística Aplicada LARSON R FARBER B Estatística Aplicada 2 ed São Paulo Prentice Hall 2004 Probabilidade Aplicações e Estatística MEYER P L Probabilidade aplicações e estatística 2 ed São Paulo LTC 1997 Estatística Básica Inferência MORETTIN L G Estatística Básica Inferência São Paulo Pearson Makron Books 2005 Estatística e Introdução a Econometria SARTORIS A Estatística e Introdução a Econometria São Paulo Saraiva 2003 23 UNIDADE Probabilidade Referências MORETTIN L G Estatística básica inferência São Paulo Pearson Makron Books 2005 SARTORIS A Estatística e introdução à econometria São Paulo Saraiva 2003 24 b Qual a probabilidade de sortear um entrevistado que goste somente de carros hatch A probabilidade de gostar somente de hatch é dada pela probabilidade de gostar de hatch menos a probabilidade de gostar de hatch e sedan ou seja Psomente H PH PS H Psomente H 060 050 Psomente H 010 c Qual a probabilidade de sortear um entrevistado que goste somente de carros sedan Analogamente ao caso do item anterior Psomente S PS PS H Psomente S 070 050 Psomente S 020 d Qual a probabilidade de sortear um entrevistado que não goste de qualquer um dos dois tipos automotivos Como PS H 080 não gostar de qualquer um dos dois tipos automotivos significa o complemento a gostar de hatch ou sedan Assim PNenhum dos dois tipos 1 PS H PNenhum dos dois tipos 1 080 PNenhum dos dois tipos 020 Considerações Finais De forma resumida nesta Unidade foi possível compreender como é possível unir o estudo da probabilidade à teoria dos conjuntos de modo a se poder manipular os cálculos de probabilidade a partir dessa teoria Cruzeiro do Sul Educacional