Inferência e Comparação para Proporções Populacionais

Inferências Estatísticas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profª Me Adriana Domingues Freitas Revisão Textual Profª Me Sandra Regina Fonseca Moreira Inferência e Comparação para Proporções Populacionais Introdução A Estatística Proporção Testes de Significância para Proporção Comparação entre Proporções de Duas Amostras Compreender e realizar Testes de Signifi cância para validar uma determinada Propor ção Populacional Realizar comparação entre duas proporções OBJETIVOS DE APRENDIZADO Inferência e Comparação para Proporções Populacionais Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você tam bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discus são pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Inferência e Comparação para Proporções Populacionais Introdução Já vimos que a partir dos dados de uma determinada amostra podemos re correr à inferência estatística para estimar ou validar parâmetros populacionais E que tanto para determinar intervalos de confiança como para realizar testes de significância temos alguns passos a serem seguidos bem como observar algumas informações necessárias No caso da inferência a respeito de uma média populacional µ recorremos à média amostral x Nesta unidade nosso foco será a proporção Então a partir de uma proporção amostral ˆp lêse p chapéu podemos fazer a inferência para a proporção popula cional p ou π como aparece em alguns livros O comportamento das proporções amostrais ˆp é semelhante ao comportamen to das médias amostrais x exceto pelo fato de a distribuição de ˆp ser aproximada mente Normal Na prática a forma de realizar a inferência para proporção tanto para intervalos de confiança como para testes de significância é semelhante aos procedimentos executados para a média o que difere é a fórmula para cálculo da estatística de teste A Estatística Proporção Você se lembra do que é e como se obtém uma proporção A proporção é a razão divisão dada entre uma parte do todo e o todo É calcu lada então por meio da razão na qual no numerador está o número de registros observados ou para o qual se quer calcular a proporção enquanto no denomina dor está o número total de registros númerodecasosobservados proporção númerototal deregistrosdasamostra A proporção pode ser expressa por uma fração por um decimal resultado da divisão ou ainda por porcentagem Importante É por meio da proporção que se tem a informação do quanto uma parte do todo repre senta para o todo Importante 8 9 Observe que ao falar que 24 dentre 120 candidatos foram aprovados temos que 24 está para 120 na proporção de 24 120 que pode ser simplificada e resultar em 1 02 5 cujo resultado da divisão é de 1 5 02 e que também é usualmente colo cada em porcentagem 20 Ou seja 20 da amostra de 120 candidatos foram aprovados o que representa 24 1 02 120 5 Exemplo 01 Em uma pesquisa na qual temos a amostra de 2345 registros de crianças vacinadas em determinado período temos que 945 estão entre idades de 1 a 3 anos dê o valor numérico da proporção ˆp Resolução veja que ˆp é obtido pela seguinte razão ˆ númerodecasosobservados p númerototal deregistrosdasamostra Logo 945 04030 234 ˆ 5 p Ou seja da amostra temos que aproximadamente 04030 ou 403 corres ponde a crianças com idades entre 1 a 3 anos A proporção é importante para se ter uma leitura intuitiva e rápida da represen tatividade dos dados observados em relação à amostra Os testes assim como para a média podem ser bilaterais ou unilaterais e para os quais continuam valendo as seguintes relações Teste Unilateral à direita α 0 RC Figura 1 Teste Unilateral à direita O teste unilateral à direita diz respeito a hipóteses nas quais consideramos a desigualdade maior Como por exemplo H0 0 µ µ e H1 0 µ µ Na imagem RC diz respeito à região crítica que corresponde à área de rejeição Em alguns livros também pode aparecer como H0 0 µ µ e H1 0 µ µ Observe contudo que 9 UNIDADE Inferência e Comparação para Proporções Populacionais H1 sempre se contrapõe H0 logo H1 0 µ µ e é essa desigualdade que define a região crítica Teste Unilateral à esquerda 0 RC α Figura 2 Teste Unilateral à esquerda O teste unilateral à esquerda diz respeito a hipóteses nas quais consideramos a desigualdade menor Como por exemplo H0 0 µ µ e H1 0 µ µ Da mesma forma que no exemplo anterior não estranhe caso você observe em algum livro também a seguinte situação H0 0 µ µ e H1 0 µ µ Observe que H1 0 µ µ e essa desigualdade que define a região crítica Teste Bilateral 0 RC RC α 2 α 2 Figura 3 Teste Bilateral O teste bilateral é utilizado quando tratamos da igualdade H0 0 µ µ e por consequência a H1 como a diferença Veremos na sequência como ocorrem os testes de significância para a proporção 10 11 Testes de Significância para Proporção Os testes de significância que envolvem proporção se baseiam na estatística de teste z que é calculada por 0 0 0 ˆ 1 p p z p p n Onde ˆp proporção amostral p0 proporção populacional n corresponde ao tamanho da amostra Importante Devemos usar esse teste na prática quando np0 10 e n 1 p0 10 Há livros e resoluções na internet que utilizam np0 5 e n1 p0 5 Porém nesta disciplina temos como referência Moore Notz e Fligner 2017 que adotam como valor para validação o 10 Atenção novamente destacamos que em alguns livros e vídeos a simbologia pode ser um pouco diferente em que proporção amostral pode ser denotada por ˆp ou por p e a proporção populacional pode ser denotada por p0 ou π0 Importante Analisaremos agora um exemplo de uma situação problema retirada do livro de Moore Notz e Fligner 2017 p 420 Exemplo 02 Ouvimos sempre que entre os bebês recémnascidos é mais pro vável encontrar meninos do que meninas presumivelmente para compensar a alta taxa de mortalidade de meninos no início da vida Isso é verdade Uma amostra aleatória encontrou 13173 meninos entre 25468 crianças recémnascidas A pro porção amostral de meninos foi de 13173 05172 25 8 ˆ 46 p Os meninos constituem mais da metade da amostra mas naturalmente não es peramos uma divisão exata meio e meio em uma amostra aleatória Essa amostra constitui evidência de que os meninos sejam mais comuns do que as meninas em toda a população Resolução Primeiramente devemos observar que nosso parâmetro de teste é a proporção A hipótese na situação problema indaga se há evidências de que 11 UNIDADE Inferência e Comparação para Proporções Populacionais meninos sejam mais comuns do que meninas Devemos lembrar que H0 trata sem pre de uma igualdade dessa forma então teremos H0 p 05 Ou seja meninos estariam na mesma proporção note que aqui temos a igualdade e então faremos a negação de H0 a partir de H1 H1 p 05 Ou seja meninos estariam em uma proporção maior que a metade Antes de darmos prosseguimento ao cálculo da estatística de teste devemos verificar duas condições iniciais e necessárias para que o teste seja válido np0 10 e n1 p0 10 Podemos observar que ambas estão validadas np0 10 2546805 10 12734 10 n1 p0 10 254681 05 10 12734 10 Passaremos então para o cálculo da estatística de teste z 0 0 0 1 05172 05 00172 54898 549 00031 05 1 05 254 ˆ 68 p p z p p n z Observe que esse é o nosso z calculado chamamos de Zcalc Sabemos que para aceitar ou não a hipótese H0 devemos contrapor z calculado com o z observado na tabela normal No exemplo os autores não definem o nível de significância porém adotaremos um nível de significância de 5 Lembrese de que para contrapor z calculado com z observado na tabela normal devemos levar em consideração à área complementar à região crítica e para isso também devemos analisar se é um teste unilateral quando envolve as desigualdades ou ou bilateral quando envolve apenas a diferença e a igualdade Sabemos ser comum usar 5 ou 1 Observe contudo que tanto com 5 como com 1 temos que o valor de z calculado pertencerá à região crítica RC 005 z 1645 zcalc 549 RC 001 z 233 zcalc 549 Figura 4 Testes Unilaterais do exemplo 2 com variação do nível de significância 12 13 Os autores fazem a observação de que o valor de z calculado de 549 fornece um pvalor área à direita na cauda da distribuição muito pequeno que de fato é menor que 00005 Ou seja ele pertencerá à região crítica até mesmo com um nível de confiança de 005 Logo devemos negar H0 e aceitar H1 lembrando que H0 p 05 Ou seja meninos estariam na mesma proporção Note que aqui temos a igualdade e então faremos a negação de H0 a partir de H1 H1 p 05 Ou seja meninos estariam em uma proporção maior que a metade Portanto ao negar H0 p 05 e mantendo H1 p 05 podemos concluir que há evidência muito forte de que mais da metade dos recémnascidos seja de meninos Exemplo 03 Estimase que na população de certo município 10 dos adultos são fumantes Uma pesquisa com uma amostra aleatória de 8000 adultos obteve 852 fumantes Nesse contexto é possível afirmar com um nível de significância de 5 que os fumantes nesse município representem mais de 10 Resolução sabemos que nosso parâmetro de teste é a proporção E temos nessa situação problema a proporção de 852 01065 80 ˆ 00 p Como hipóteses temos H0 assumindo que a proporção de fumantes é igual a 10 e H1 assumindo que a proporção de fumantes é maior do que 10 Portanto H0 p 010 H1 p 010 Antes de calcular nossa estatística de teste z devemos verificar duas condições iniciais np0 10 e n1 p0 10 Observe que ambas são validadas np0 10 8000010 10 800 10 n1 p0 10 80001 010 10 720 10 Passaremos então para o cálculo da estatística de teste z 0 0 0 1 01065 01 00065 19379 194 00034 010 1 010 8000 ˆp p z p p n z 13 UNIDADE Inferência e Comparação para Proporções Populacionais Temos então que z calculado é z 194 Resta agora observar o z na tabela normal para identificar a região crítica Como o nível de significância solicitado foi de 5 e temos um teste unilateral então z ob servado 1645 Nesse caso z calculado está na região crítica conforme podemos observar no esboço a seguir RC 005 z 1645 zcalc 194 Figura 5 Teste Unilateral do exemplo 3 Portanto devemos rejeitar H0 e assumir H1 Dessa forma temos que com um nível de 5 de significância mais de 10 da população adulta do município no qual foi realizada a pesquisa é fumante Exemplo 04 Estimase que menos de 20 dos indivíduos vacinados contra a gripe H1N1 em determinada região tiveram gripe no último ano Em uma pesquisa realizada com uma amostra de 600 indivíduos 108 deles declaram terem tido gripe no último ano Com um nível de significância de 1 é possível assumir que de fato menos de 20 dos indivíduos contraíram a gripe Resolução sabemos que nosso parâmetro de teste é a proporção E temos nessa situação problema a proporção de 108 018 6 0 ˆ p 0 Como hipóteses temos H0 assumindo que a proporção de pessoas que con traíram a gripe é igual a 20 e H1 assumindo que a proporção de pessoas que contraíram a gripe é menor do que 20 Portanto H0 p 020 H1 p 020 14 15 Antes de calcular nossa estatística de teste z devemos verificar duas condições iniciais np0 10 e n1 p0 10 Observe que ambas são validadas np0 10 600020 10 120 10 n1 p0 10 6001 020 10 480 10 Passaremos então para o cálculo da estatística de teste z 0 0 0 1 018 02 002 12247 122 00163 020 1 0 ˆ 20 600 p p z p p n z Temos então que z calculado é z 122 Com o nível de significância de 1 em um teste unilateral temos z observado na tabela normal de 233 Importante Observe que estamos lidando com números negativos uma vez que estamos com um teste unilateral do lado direito já que H1 p 020 mas lembrese que a normal é dividida em duas áreas simétricas de 05 de cada lado do ponto central zero Então 1 de significância do lado esquerdo com z observado 233 corresponde à 1 de signi ficância do lado direito mudando apenas o sinal de z observado z 233 Importante 001 0 RC z 233 zcalc 122 Figura 6 Teste Unilateral à esquerda exemplo 04 15 UNIDADE Inferência e Comparação para Proporções Populacionais Ao contrapor z calc 122 com z obs 233 percebemos que Zcalc não per tence à região crítica portanto devemos manter H0 com um nível de significância de 1 Podemos concluir então que com base nos dados amostrais e com nível de sig nificância de 1 não podemos assumir que menos de 20 de pessoas vacinadas no último ano contra o vírus H1N1 contraiu gripe Comparação entre Proporções de Duas Amostras Ao observar duas proporções amostrais podemos identificar uma diferença e in ferir se de fato é uma diferença real ou uma diferença meramente devida à chance na amostragem aleatória A partir dos testes de significância podemos decidir se a diferença ou não presente nas amostras se reflete nas respectivas populações Temos por padrão que a hipótese nula H0 diz que não há diferença entre as duas populações enquanto a hipótese alternativa H1 será o contraponto à H0 de acor do com o contexto observado Para realizar o teste de significância com a comparação entre proporções de duas amostras utilizamos a estatística de teste z e seguimos as etapas dos testes de hipótese A estatística z é obtida por 1 2 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ p p p p z p p n n Em que 1ˆp e 2ˆp são as proporções das amostras 1 e 2 respectivamente n1 e n2 corresponde ao número de registros de cada amostra p1 e p2 são as proporções populacionais das populações 1 e 2 respectivamente ˆp é uma estimativa ponderada dada por 1 2 1 2 ˆ x x p n n Em que 1 1 1 ˆ x n p e 2 2 2ˆ x n p 16 17 Veja o exemplo Exemplo 05 em uma pesquisa realizada com duas amostras selecionadas de forma aleatória obtevese uma amostra com 295 adolescentes do sexo feminino e 340 adolescentes do sexo masculino Ao analisar os dados verificouse que 20 das meninas afirmaram fazer uso de álcool regularmente e que para os meninos essa porcentagem foi de 26 Ao nível de significância de 10 devemos testar a afirmação de que há uma diferença entre a proporção de meninos e meninas ado lescentes que declaram consumir álcool regularmente Resolução nessa situação problema claramente devemos fazer o teste de signi ficância para verificar se há diferença entre as proporções de duas amostras aleató rias independentes Então temos que nosso parâmetro de interesse é a proporção Como hipótese inicial devemos sempre trabalhar com a igualdade mas observe que o questionamento no exemplo é Ao nível de significância de 10 devemos tes tar a afirmação de que há uma diferença entre a proporção de meninos e meninas adolescentes que declaram consumir álcool regularmente Há afirmação da situa ção problema é portanto de que há uma diferença então essa será nossa hipótese alternativa já que a hipótese inicial tem como premissa a igualdade Assim sendo teremos como hipóteses Para H0 não há diferença entre as proporções ou seja H0 1 2 0 H p p o que gera por consequência que H0 1 2 0 p p E para H1 teremos então que há diferença ou seja H1 1 2 H1 p p Dessa forma as hipóteses são 1 2 1 2 0 1 H p p H p p Para calcular a estatística de teste z temos a seguinte fórmula 1 2 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ p p p p z p p n n Chamaremos de amostra 1 a que contempla as meninas adolescentes e amostra 2 a que contempla os meninos adolescentes Em relação aos dados temos que n1 295 n2 340 1p 020 de 20 2p 026 de 26 1 2 p p Como temos que p1 p2 em H0 então p1 p2 0 17 UNIDADE Inferência e Comparação para Proporções Populacionais ˆp é dado por 1 2 1 2 ˆ x x p n n Em que 1 1 1 ˆ x n p e 2 2 2ˆ x n p Então vamos por partes 1 1 1 ˆ x n p então temos que x1 295 020 59 2 2 2ˆ x n p logo x2 340 026 884 Então 1 2 1 2 59 884 02321 29 3 ˆ 5 40 x x p n n Agora basta aplicar os números para cálculo da estatística de teste 1 2 1 2 1 2 1 1 1 020 026 0 006 01782 00063 1 1 02321 1 02321 295 340 006 006 00336 17861 179 01782 00063 ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p z p p n n z z A partir do cálculo de da estatística de teste obtemos z calc 179 Devemos contrapor esse valor com o z observado na tabela normal Para identificar o z na tabela normal temos que ter em mente o nível de signifi cância solicitado bem como o tipo de teste se unilateral ou se bilateral Sempre que temos H0 como igualdade e H1 como diferença temos um teste bilateral Como a significância solicitada foi de 10 e por se tratar de um teste bilateral temos em cada extremo da curva normal de distribuição 102 5 Devemos então procurar na tabela normal Lembrese que na distribuição nor mal temos dois lados simétricos e com área igual a 050 50 dos dados Logo temos 05 em cada lado mas como a significância será 5 005 em cada lado então o valor procurado na tabela normal será o complementar para 050 ou seja 050 005 0495 Ao consultar a tabela z normal reduzida para o valor de 0495 temos z 1645 Observe o esquema gráfico abaixo ele representa um teste bilateral com signifi cância total de 10 e por ser bilateral temos duas áreas em cada extremo de 5 O valor de z que delimita o que chamamos de região crítica é z 1645 ao lado direito e seu simétrico z 1645 ao lado esquerdo 18 19 Devemos agora identificar se z calculado 179 pertence ou não à região crítica 0 RC RC 005 045 045 z 1645 z 1645 005 Figura 7 Teste Bilateral do exemplo 05 Note que por se negativo estará à esquerda de zero e sim pertencerá à re gião crítica Como z calc 179 pertence à região crítica delimitada por z obs 1645 temos que H0 deve ser rejeitada e H1 aceita para hipótese provável à um nível de significância de 10 Como H1 é aceita como hipótese provável temos que ao nível de significância de 10 há uma diferença populacional entre os adolescentes fumantes sendo que meninos possuem uma proporção maior quando comparados às meninas No item material complementar foram inseridos alguns links nos quais você poderá ter acesso a outros exercícios não só relativos à comparação de proporção mas como teste de significância para uma proporção É importante que faça os exemplos para fixar os conhecimentos aqui explanados Leia o enunciado da situa ção problema com atenção e tente resolvêla para só então confrontar e comparar sua resolução com a do vídeo Chegamos ao final desta unidade em que tivemos por objetivo apresentar os Testes de Significância para a proporção tanto para uma amostra quanto para a comparação entre duas amostras Para melhor aproveitamento releia o material teórico refaça os exemplos assis ta à videoaula leia e acesse a indicação do material complementar Bons estudos 19 UNIDADE Inferência e Comparação para Proporções Populacionais Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros A estatística básica e sua prática MOORE D S NOTZ W I FLIGNER M A A estatística básica e sua prática Tradução de Ana Maria Lima de Farias Rio de Janeiro LTC 2017 Para melhor aprofundamento dos temas tratados nesta unidade sugiro a leitura dos capítulos 22 e 23 do livro A estatística básica e sua prática Há exemplos e também exercícios que podem auxiliar você no aprofundamento e fixação do conteúdo Vídeos Estatística Teste de Hipóteses para Proporção No vídeo da Universidade Virtual do Estado de São Paulo UNIVESP você verá um exemplo de teste de significância para a proporção Sugiro assistir ao vídeo e resolver o exemplo para depois então assistir à resolução do professor httpsyoutube1N4Su2XDgU Grings Teste de Hipótese para Proporção aula 21 O prof Fernando Grings do canal omatematicocom explica o teste de significância para proporção httpsyoutubemLQXYMmGVjw Teste de Hipóteses para a Proporção O prof Conrad Pinheiro do canal Professor Guru explica o teste de significância para proporção httpsyoutubeUjzEnGDAR8g Teste de hipóteses para a igualdade de proporções de 2 populações O prof Conrad Pinheiro do canal Professor Guru explica o teste de comparação para duas proporções httpsyoutubeOS8V6Zr83L8 20 21 Referências MOORE D S NOTZ W I FLIGNER M A A estatística básica e sua prática Tradução de Ana Maria Lima de Farias Rio de Janeiro LTC 2017 21 Cruzeiro do Sul Educacional