Estatistica Descritiva e Introducao a Probabilidade - Notas de Aula

ıstica DescritivaI2 ˆencia EstatısticaIII108 2 Roberto Quirino do Nascimento Introducao a Probabilidade e Aplicacoes i Introducao a Probabilidade e Aplicacoes Roberto Quirino do Nascimento Parte I Estatística Descritiva Dedicatoria A todos os professores do meu paıs herois anˆonimos pilares na construcao de nossa sociedade Prefacio Estou tentando construir esse trabalho na intencao de deixar algo que possa ser utilizado pelos meus colegas e alunos do Centro de Informatica iii Sobre o Autor Roberto Quirino obteve o tıtulo de Bacha rel em Matematica na Universidade Federal da ParaıbaUFPB o de Mestre em Matematica na Universidade Federal do CearaUFC e o Douto rado em Engenharia de Sistemas e Computacao na Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ Leciona probabilidade e estatıstica pes quisa operacional e otimizacao ha mais de 30 anos na UFPB em varios cursos de graduacao e pro gramas de pos graduacao tendo orientado nesse perıodo varias dissertacoes e teses nas areas de pesquisa operacional e otimizacao Sua area de pesquisa e otimizacao contınua com ˆenfase em algoritmos para otimizacao glo bal e programacao geometrica A producao dessas notas foi motivada pela ex periˆencia obtida visando o corpo discente do recem criado curso de graduacao em Ciˆencia de Dados e Inteligˆencia Artificial do Centro de Informatica da UFPB Sumario Conteudo v I Estatıstica Descritiva 1 1 Estatıstica Descritiva 2 11 Introducao 2 12 Conceitos Basicos 2 121 Introducao 2 122 Tipos de Variaveis e Escalas de Mensuracao 4 13 Organizacao e Apresentacao de Dados 8 II Probabilidade 9 2 Probabilidade 10 21 Introducao 10 22 O conceito de Probabilidade 11 221 Espaco Amostral e Eventos 11 222 Espacos Mensuraveis 12 23 Probabilidade em espacos Amostrais Finitos 16 24 Probabilidade Condicional Independˆencia e o Teorema de Bayes 16 25 exercıcios 18 3 Variaveis Aleatorias 22 31 Variaveis Aleatorias Discretas 24 32 Variaveis Aleatorias Contınuas 30 v SUM ARIO vi 33 Vetores Aleatorios 37 34 Exercıcios 40 341 Respostas de Alguns Exercıcios 46 4 A Funcao de Distribuicao Acumulada 48 41 A Funcao de Distribuicao Acumulada de uma variavel Aleatoria 48 42 Funcoes de Densidade de Vetores Aleatorios Distribuicoes Mar ginais e Condicionais 57 5 Momentos de Variaveis Aleatorias 63 51 Introducao 63 52 Esperanca e Variˆancia de Variaveis Aleatorias 64 53 Media e Variˆancia de Algumas Variaveis Aleatorias Discretas 66 54 Media e Variancia de Algumas Variaveis Aleatorias Contınuas 71 55 Probabilidades e Desigualdades de Momentos 79 6 Funcao Caracterıstica e Funcao Geratriz de Momentos 81 61 Introducao 81 62 FGM de Algumas Var Aleat 83 7 Transformacoes de Variaveis Aleatorias 86 71 O Caso Univariado 86 711 Applicacao 1 Transformacoes de Variaveis Aleatorias Discretas 86 72 Exercıcios 90 73 O Caso Multivariado 91 731 Aplicacao 2 As distribuicoes t e F 96 74 Exercıcios 100 75 Transformacoes Lineares de Vetores Aleatorios 100 8 Teoremas Limites de Sequˆencias de Variaveis Aleatorias 101 81 Tipos de Convergˆencia 101 82 O Teorema Central do Limite e as Leis dos Grandes Numeros 106 SUM ARIO vii III Inferˆencia Estatıstica 107 9 Estimacao Pontual 108 91 Introducao 108 92 A Ideia basica da Estimacao Pontual 109 93 Estimacao de Maxima Verossimilhanca Motivacao e Examplos 112 931 A Famılia Exponencial e os Estimadores de Maxima Verossimilhanca120 932 Exercıcios 123 94 Propriedades das EMVs 124 941 Exercıcios 129 95 Estimativas Imparciais de Variancia Mınima Uniforme 131 96 Exercıcios 138 10 Intervalos de Confianca e Regioes de Confianca 139 101 A Ideia Basica da Estimacao Intervalar 139 102 Intervalos de Confianca 141 103 Alguns exemplos de Intervalos de Confianca 142 104 Intervalos de Confianca na Presenca de Parˆametros Incˆomodos144 Bibliografia 145 Lista de Tabelas 31 Grafico da Distribuicao Binomial 27 41 Naturalidade x Opiniao 59 42 Naturalidade x Opiniao 60 43 Naturalidade x Opiniao 60 viii Lista de Figuras 31 Grafico da Distribuicao Binomial 26 32 Grafico de Distribuicao Normal 31 33 Grafico de Distribuicao Uniforme Uα β 35 34 Distribuicao Normal Bivariada 39 ix Capıtulo 1 Estatıstica Descritiva 11 Introducao 12 Conceitos Basicos 121 Introducao A palavra estatıstica vem de status que significa Estado em latim O termo era utilizado para descrever e designar um conjunto de dados relativos aos Esta dos tornando a estatıstica um meio de administracao para os governantes com a finalidade de controle fiscal e seguranca nacional Atualmente a estatıstica pode ser definida como a ciˆencia que tem por objetivo a coleta analise e interpretacao de dados qualitativos e quantitativos Ou ainda como um conjunto de metodos para coleta organizacao resumo analise e interpretacao de dados para tomada de decisoes A estatıstica esta dividida em trˆes grandes partes estatıstica descritiva ou dedutiva estatıstica probabilıstica e estatıstica inferencial ou indutiva 2 CAPÍTULO 1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 3 Estatística Descritiva Probabilística Inferencial Figura 1 Áreas da Estatística População Amostra Estatística Inferencial Estatística Descritiva Erro Tabelas Gráficos e Medidas Probabilidade Figura 2 Interrelação entre as áreas da Estatística Definição 1 População Conjunto que contém todos os indivíduos objetos ou elementos a serem estudados que apresentam uma ou mais características em comum Por exemplo podemos citar o conjunto de idades de todos os alunos do Colégio SacréCoeur de Marie o conjunto de rendas de todos os habitantes de João Pessoa o conjunto de pesos de todas as crianças nascidas em Bayeux etc Definição 2 Amostra Subconjunto extraído da população para análise devendo ser representativo daquele grupo A partir das informações colhidas na amostra os resultados obtidos poderão ser utilizados para generalizar inferir ou tirar conclusões acerca dessa população inferência estatística O processo de escolha de uma amostra da população é denominado amostragem Definição 3 Censo Censo ou recenseamento é o estudo dos dados relativos a todos os elementos da população A Organização das Nações Unidas ONU define CAPITULO 1 ESTATISTICA DESCRITIVA 4 censo como o conjunto das operacoes que consiste em recolher agrupar e publi car dados demograficos econˆomicos e sociais relativos a determinado momento ou em certos perıodos a todos os habitantes de um paıs ou territorio Definicao 4 Variavel E uma caracterıstica ou atributo que se deseja observar medir ou contar a fim de se obter algum tipo de conclusao Como exemplos podemos citar o setor de atuacao o faturamento ou a quantidade de funcionarios de empresas listadas na Bolsa de Valores de Sao Paulo Definicao 5 Dados Os dados podem ser considerados a materiaprima de qual quer analise estatıstica e de qualquer modelagem exploratoria ou confirmatoriaA partir deles podem ser obtidas informacoes de interesse correspondentes a uma ou mais variaveis Definicao 6 Parˆametro Medidas estatısticas numericas que precisam ser estima das a partir de criterios ou metodos definidos pelo pesquisador para representar determinadas caracterısticas da populacao geralmente desconhecidas 122 Tipos de Variaveis e Escalas de Mensuracao Definicao 7 Variavel Variavel e uma caracterıstica da populacao ou amostra em estudo possıvel de ser medida contada ou categorizada enddfn As variaveis podem ser classificadas como nao metricas tambem conhecidas como qualitativas ou ainda categoricas ou metricas tambem conhecidas como quantitativas Tipos de Variaveis Nao Metrica ou Qualitativa Metrica ou Quantitativa CAPITULO 1 ESTATISTICA DESCRITIVA 5 Figura 3 Tipos de Variaveis As variaveis ainda podem ser classificadas de acordo com o nıvel ou escala de mensuracao Definicao 8 Mensuracao e o processo de atribuir numeros ou rotulos a objetos pessoas estados ou eventos de acordo com as regras especıficas para representar quantidades ou qualidades dos atributos Regra e um guia metodo ou comando que indica ao investigador como medir o atributo Escala e um conjunto de sımbolos ou numeros construıdo com base em uma regra e aplicase a indivıduos ou a seus comportamentos ou atitudes A posicao de um indivıduo na escala e baseada na posse dele do atributo que a escala deve medir Nominal Variavel Qualitativa Ordinal Intervalar Variavel Quantitativa Razao Figura 4 Tipos de variaveis x Escalas de mensuracao Definicao 9 Variaveis Qualitativas Escala Nominal A escala nominal classifica as unidades em classes ou categorias em relacao a caraterıstica representada nao estabelecendo qualquer relacao de grandeza ou de ordem E denominada nominal porque as categorias se diferenciam apenas pelo nome CAPITULO 1 ESTATISTICA DESCRITIVA 6 Como exemplos de variaveis nao metricas em escalas nominais podemos mencionar profissao religiao cor estado civil localizacao geografica ou paıs de origem Definicao 10 Variaveis Qualitativas Escala Ordinal Uma variavel qualitativa em escala ordinal classifica as unidades em classes ou categorias em relacao a caracterıstica representada estabelecendo uma relacao de ordem entre as uni dades das diferentes categorias A escala ordinal e uma escala de ordenacao designando uma posicao relativa das classes segundo uma direcao Qualquer conjunto de valores pode ser atribuıdo as categorias das variaveis desde que a ordem entre elas seja respeitada Exemplos de variaveis ordinais incluem opiniao e escalas de preferˆencia de consumidores grau de escolaridade classe social faixa etaria etc Definicao 11 Variavel Quantitativa escala intervalar De acordo com a classi ficacao de Stevens 1946 as variaveis metricas ou quantitativas possuem dados em escala intervalar ou de razao A escala intervalar alem de ordenar as uni dades quanto a caracterıstica mensurada possui uma unidade de medida cons tanteA origem ou o ponto zero dessa escala de medida e arbitrario e nao expressa ausˆencia de quantidade Um exemplo classico de escala intervalar e a temperatura medida em graus Celsius oC ou Fahrenheit oF Definicao 12 Variavel Quantitativa escala de razao Analogamente a escala in tervalar a escala de razao ordena as unidades em relacao a caracterıstica men surada e possui uma unidade de medida constante Por outro lado a origem ou ponto zero e unica e o valor zero expressa ausˆencia de quantidade Dessa forma e possıvel saber se um valor em um intervalo especıfico da escala e multiplo de outro Razoes iguais entre valores da escala correspondem a razoes iguais entre uni dades mensuradas Assim escalas de razao sao invariantes sob transformacoes de proporcoes positivas Exemplos de variaveis cujos dados podem estar na escala de razao incluem renda idade quantidade produzida de determinado produto e distˆancia percorrida CAPITULO 1 ESTATISTICA DESCRITIVA 7 Dicotˆomica ou Binaria Variavel Qualitativa Policotˆomica Discreta Variavel Quantitativa Contınua Figura 5 Variaveis qualitativas x Num de categorias e Variaveis Quantitativas x Escalas de precisao Definicao 13 Variavel dicotˆomica ou binaria dummy Uma variavel dicotˆomica ou binaria dummy pode assumir apenas duas categorias sendo que os valores 0 ou 1 sao atribuıdos a essas categorias O valor 1 e atribuıdo quando a ca racterıstica de interesse esta presente na variavel e o valor 0 ou caso contrario Como exemplos temos fumantes 1 e nao fumantes 0 paıs desenvolvido 1 e subdesenvolvido 0 pacientes vacinados 1 e nao vacinados 0 Definicao 14 Variavel policotˆomica Uma variavel qualitativa pode assumir mais do que duas categorias e nesse caso e chamada policotˆomica Como exemplos podemos citar a classe social baixa media e alta e o grau de escolaridade ensino fundamentalensino medio ensino superior e posgraduado Definicao 15 Variavel quantitativa discreta As variaveis quantitativas discretas podem assumir um conjunto finito ou enumeravel de valores que sao provenientes frequentemente de uma contagem como por exemplo a quantidade de numero de filhos 0 1 2 a quantidade de senadores eleitos ou a quantidade de carros fabricados em determinada fabrica CAPITULO 1 ESTATISTICA DESCRITIVA 8 Definicao 16 Variavel quantitativa contınua As variaveis quantitativas contınuas por sua vez sao aquelas cujos possıveis valores pertencem a um intervalo de numeros reais e que resultam de uma mensuracao metrica por exemplo peso altura ou o salario de um indivıduo Bussab e Morettin 2011 13 Organizacao e Apresentacao de Dados Parte II Probabilidade Capıtulo 2 Probabilidade 21 Introducao O objetivo dessas notas de aula proporcionar ao aluno uma abordagem mais ri gorosa da teoria das probabilidades apresentaremos aqui as demonstracoes de alguns resultados dessa teoria o conceito frequentista foi substituıdo pelo con ceito de probabilidade pelo matematico russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov 19031987 no seu trabablho Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Fundamentos de Teoria das Probabilidades em que ele formula a axioma tizao da teoria das probabilidades e esboca o que seria nos dias de hoje teoria da medida Estas notas destinamse basicamente aos cursos de Metodos Probabiliti cos para Computacao Calculo das Probabilidades I e Teoria das Probabilidades cursos ministrados para os alunos dos cursos de Ciˆencia da Computacao Enge nharia de Computacao Matematica Computacional e Ciˆencia de Dados e Inte ligˆencia Artificial do Centro de Informatica da UFPB essa notas sao dinˆamicas pois serao atualizadas a cada semestre acrescentandose mais topicos e mais exercıcios resolvidos e intencao do autor incluir nessas notas um aspecto compu tacional utilizando o software livre R alem de outros topicos a serem selecionados conforme demanda dos nossos cursos 10 CAPÍTULO 2 PROBABILIDADE 11 22 O conceito de Probabilidade Probabilidade é uma linguagem matemática para quantificar ou medir incertezas Neste Capítulo nós introduziremos os conceitos fundamentais da teoria das probabilidades Iniciamos com o conceito de espaço amostral que é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento o conceito de eventos e alguns eventos especiais 221 Espaço Amostral e Eventos Dado um experimento chamamos de espaço amostral e denotaremos por Ω o conjunto formado por todos os resultados possíveis desse experimento qualquer resultado particular desse experimento será chamado de evento e denotaremos por E Ω Dado um evento A o conjunto Ac w Ω w A representa o complemento de A em Ω Informalmente Ac pode ser lido como não A O complemento of Ω é o conjunto vazio A união de dois eventos A e B é definida como A B w Ω w A ou w B Se A1 A2 é uma sequência de conjuntos então i1 Ai w Ω w Ai para pelo menos um i A interseção de dois eventos A e B é definida como A B w Ω w A e w B lida como A e B Algumas vezes nós escrevemos A B como AB ou A B Se A1 A2 é uma sequência de conjuntos então i1 Ai w Ω w Ai para todo i O conjunto diferença é definido como CAPÍTULO 2 PROBABILIDADE 12 A B w Ω w A e w B Se todo elemento de A está contido em B nós escrevemos A B ou equivalentemente B A Se A é um conjunto finito então Ω denota a cardinalidade ou o número de elementos de A Definição 17 Dizemos que os conjuntos A₁ A₂ são disjuntos ou mutuamente exclusivos se Aᵢ Aⱼ para i j Por exemplo os intervalos A₁ 0 1 A₂ 1 2 e A₃ 2 3 são disjuntos Definição 18 Uma partição of Ω é uma sequência de eventos disjuntos A₁ A₂ tal que i1 Aᵢ Ω Definição 19 Dado um evento A definimos a função indicadora de A da seguinte forma IAω Iω A 1 se ω A 0 caso contrário Definição 20 Uma sequência de eventos A₁ A₂ é monótona crescente se A₁ A₂ A₃ e definimos lim n Aᵢ i1 Aᵢ Uma sequência de eventos A₁ A₂ é monótona decrescente se A₁ A₂ A₃ e definimos lim n Aᵢ i1 Aᵢ 222 Espaços Mensuráveis Nesta serão apresentamos os conceitos de uma álgebra e de uma campo σálgebra apresentando vários exemplos e apresentando alguns resultados básicos Definição 21 Dado um espaço amostral Ω uma álgebra 𝓕 é uma coleção de subconjuntos de Ω satisfazendo as seguintes condições 𝓕₁ 𝓕 𝓕₂ Aᶜ 𝓕 para todo A 𝓕 CAPÍTULO 2 PROBABILIDADE 13 𝓕₃ Se Aᵢ Aⱼ 𝓕 j ℕ então Aᵢ Aⱼ 𝓕 Se trocarmos a condição 𝓕₃ por 𝓕₃ Se Aⱼ 𝓕 j ℕ então i1 Aⱼ 𝓕 então a álgebra 𝓕 é chamada de σálgebra O par Ω 𝓕 é chamado de espaço mensurável Definição 22 Probabilidade Dado um espaço amostral Ω e uma função p Ω ℝ dizemos que p é uma probabilidade se p satisfaz as seguintes condições C₁ pΩ 1 C₂ pE 0 para todo evento E Ω C₃ Se Aᵢ Ω i ℕ é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos isto é Aᵢ Aⱼ i j então p i1 Aᵢ i1 pAᵢ Definição 23 Espaços Probabilísticos O terno Ω 𝓕 p é chamado de espaço probabilístico Propriedades P₁ p 0 P₂ Se Aᵢ Ω i 1n é uma sequência finita de eventos mutuamente exclusivos então pⁿ i1 Aᵢ ⁿ i1 pAᵢ P₃ Se E Ω pEᶜ 1 pE P₄ p é uma função não decrescente isto é se A B Ω A B então pA pB CAPÍTULO 2 PROBABILIDADE 14 P₅ pA B pA pB pA B P₆ 0 pA 1 para todo evento A Isto segue de C1 C2 and P4 P₇ p is subaditiva isto é p j1 Aⱼ j1 pAⱼ e também pⁿ j1 Aⱼ ⁿ j1 pAⱼ Prova P₁ Ω Ω e Ω pΩ C₃ pΩ pΩ i1 p pela condições C1 pΩ 1 pela condição C2 p 0 como pΩ pΩ i1 p temos 1 1 i1 p concluímos que i1 p 0 portanto p 0 P₂ Vamos construir a sequência Bₖ k ℕ da seguinte forma Bₖ Aₖ Ω k 1n Bₖ k n 1 pⁿ i1 Aᵢ pⁿ i1 Bᵢ C₃ i1 pBᵢ ⁿ i1 pAᵢ in1 pBᵢ ⁿ i1 pAᵢ in1 p ⁿ i1 pAᵢ P₃ Ω E Eᶜ e E Eᶜ pela propriedade P₂ pΩ pE pEᶜ pela condição C1 pE pEᶜ 1 logo pEᶜ 1 pE P₄ Sendo B A x Ω x B e x A e B A B A e A B A usando a condição C3 temos pB pA pB A pela condição C2 pB A 0 logo pA pB P₅ Vamos escrever A B A B A B como A B A B usando a propriedade P₂ pA B pA pB A B observe que B A B B A B o que nos diz que pB A B pB pA B logo pA B pA pB A B pA pB pA B CAPÍTULO 2 PROBABILIDADE Teorema 1 Para um número qualquer de eventos temos p j1n Aj i1n pAi 1j1j2n p Aj1 Aj2 1j1j2j3n p Aj1 Aj3 1n p A1 A2 An Teorema 2 Continuidade de Probabilidades Se An A e p é uma probabilidade então p An p A quando n Prova Suponha que An is monótona crescente como A1 A2 A3 Fazendo A limn Ai i1 Ai Definamos B1 A1 B2 ω Ω ω A2ω A1 B3 ω Ωω A3ω A1ω A2 B1 B2 B3 é uma sequência de eventos disjuntos e An i1n Ai i1n Bi para cada n usando a propriedade P2 p An p i1n Bi i1n p Bi Finalmente limn p An limn p i1n Bi limn i1n p Bi i1 p Bi p i1 Bi p i1 Ai p limn An p A Corolário 1 Se An é uma sequência monótona isto é crescente ou decrescente de eventos Então limn p An p limn An CAPITULO 2 PROBABILIDADE 16 23 Probabilidade em espacos Amostrais Finitos Quando lidamos com espacos amostrais finitos fica mais facil caracterizarmos uma probabilidade e o faremos da seguinte forma Definicao 24 Dado um espaco amostral finito Ω seja Ω a cardinalidade de Ω isto e o numero de elementos de Ω se A Ω definimos pA A Ω Provase facilmente que p satisfaz as condicoes C1C2 e C3 para ser uma proba bilidade 24 Probabilidade Condicional Independˆencia e o Teorema de Bayes Quando estudamos probabilidade e frequente nos interessarmos por espacos amos trais menores que o espaco amostral Ω isso nos leva as vezes a considerar eventos de Ω como espacos amostrais entao fazemos uma restricao da probabilidade as sociada a Ω ao nosso evento em questao surge daı o conceito de Probabilidade Condicional Definicao 25 Dados os eventos A B Ω definimos a probabilidade condicional de A dado B como a seguinte probabilidade pAB pA B pB Proposicao 1 A funcao p B R definida por pA pA B pB e uma proba bilidade p e a probabilidade induzida de Ω Prova Vamos provar que p satisfaz as condicoes C1 C2 e C3 pB pBB pB 1 pE pEB pB 0 pois E B Ω logo pE 0 CAPÍTULO 2 PROBABILIDADE Se A1 A2 Ω com Ai Aj então Ai B Aj B logo pi1 Ai p i1 Ai B pB p i1 Ai B pB i1 pAi B pB i1 pAi B pB i1 pAi Definição 26 Dados os eventos A B Ω dizemos que estes eventos são estatisticamente ou estocásticamente independentes se pAB pA e pBA pB Segue da definição que A e B são independentes se e somente se pA B pApB Proposição 2 Se os eventos A e B são independentes então A e Bc e Ac e B também são independentes Definição 27 Os eventos A1 A2 An Ω formam uma partição finita de Ω se Ω A1 A2 An Ai Aj para todo i e j Teorema 3 Teorema da Probabilidade Total Se A1 A2 An Ω formam uma partição de Ω e B Ω então pB j1n pBAjpAj Prova B B A1 B A2 B An logo pB j1n pB Aj j1n pBAjpAj Teorema 4 Teorema de Bayes Se A1 A2 An Ω formam uma partição de Ω e pAj 0 então CAPÍTULO 2 PROBABILIDADE pAjB pBAjpAj j1n pBAjpAj Prova O teorema de bayes é decorrencia imediata do teorema da probabilidade total pois pAjB pAj B pB pB Aj pB pBAjpAj pB usando o teorema da probabilidade total temos pAiB pBAipAi j1n pBAjpAj 25 exercícios Questão 1 Uma bola ser retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas Qual a probabilidade desta bola ser verde Questão 2 Três moedas são lançadas ao mesmo tempo Qual é a probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima Questão 3 Se dois dados honestos são lançados qual a probabilidade de que o total dos números mostrados sejam 1 Igual a 5 2 Divisível por 3 Questão 4 Vinte bolas numeradas de 1 a 20 são misturadas em uma urna e duas bolas são retiradas sucessivamente sem reposição Se x1 e x2 são os números escritos na primeira e segunda bola retirada respectivamente Qual a probabilidade que 1 x1 x2 8 2 x1 x2 5 Questão 5 Sejam A B e C eventos de um espaço a amostral Ω prove que PA B C PA PB PC PA B PA C PB C PA B C CAPITULO 2 PROBABILIDADE 19 Questao 6 Fazse uma inspecao final em aparelhos de TV depois de mon tados Trˆes tipos de defeitos sao identificados como crıticos graves e pequenos defeitos com identificacoes AB e C feitas por uma loja que processa ordens pelo correio Os dados sao analisados obtendose os seguintes resultados Aparelhos com apenas defeitos crıticos 2 Aparelhos com apenas defeitos graves 5 Aparelhos com apenas defeitos pequenos 7 Aparelhos com apenas defeitos crıticos e graves 3 Aparelhos com apenas defeitos crıticos e pequenos 4 Aparelhos com apenas defeitos graves e pequenos 3 Aparelhos com os tres tipos de defeitos 1 a Qual a fracao dos televisores que nao apresenta qualquer defeito b Aparelhos com defeitos crıticos ou com defeitos graves sao totalmente retra balhados Qual a fracao que cai nessa categoria Questao 7 Um circuito e selecionado de uma sequencia de producao de 1000 circuitos Os defeitos de fabricacaos sao classificados em 3 categorias identifi cadas como A B e C Os defeitos do tipo A ocorrem 2 das vezes defeitos do tipo B ocorrem 1 das vezes e defeitos do tipo C ocorrem 15 das vezes Alem disso sabese que 05 tem defeitos A e B 06 tem defeitos A e C 04 tem defeitos B e C enquanto que 02 apresentam os 3 defeitos Qual a probabilidade de um circuito selecionado apresentar pelo menos um dos trˆes defeitos Questˆao 8 Um lote de producao tem 100 unidades das quais 20 sao defeitu osas uma amostra aleatoria de 4 unidades e selecionada sem reposicao Qual a probabilidade de que a amostra contenha nao mais que duas unidades defeituosas Questao 9 Um prisioneiro politico esta para ser exilado para a Siberia ou para os Montes Urais As pssibilidades dele ser enviado para esses lugares sao de 06 e 04 respectivamente Sabese que se um morador da Siberia for aleatoriamente CAPITULO 2 PROBABILIDADE 20 selecionado a probabilidade dele estar vestindo casaco de pele e de 05 enquanto essa probabilidade para moradores dos montes Urais e de 07 Chegando no exi lio a primeira pessoa que o prisioneiro ver nao esta vestindo casaco de pele Qual aprobabilidade que ele esteja na Siberia Questao 10 Duas bolas sao retiradas de uma urna contendo m bolas numera das de 1 a m A primeira bola e retirada se for a de numero 1 e devolvida a urna se nao for Qual a probabilidade da segunda bola ser de numero 2 Questao 11 Um ponto e selecionado aleatoriamente dentro de um cırculo Qual a probabilidade de que o ponto esteja situado mais proximo do centro do que da circunferencia Questao 12 Dois dıgitos sao selecionados dentre os dıgitos de 1 a 9 e a selecao e feita sem reposicao Se a soma de dois dıgitos e par ache a probabili dade de ambos os dıgitos serem ımpares Questao 13 Em uma determinada universidade 20 dos homens e 1 das mulheres tem mais de 18m de altura Alem disso 40 dos estudantes sao mu lheres Se um estudante e selecionado aleatoriamente e se constata que tem mais de 18m de altura qual a probabilidade de ser uma mulher Questao 14 Um casal pretende ter filhos Sabese que a cada mˆes a probabili dade da mulher engravidar e de 20 Qual e a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mˆes de tentativas Questao 15 Um credor esta a sua procura A probabilidade dele encontralo em casa e 04 Se ele fizer 5 tentativas qual a probabilidade do credor lhe encon trar uma vez em casa Questao 16 Em uma caixa ha 2 fichas amarelas 5 fichas azuis e 7 fichas verdes Se retirarmos uma unica ficha qual a probabilidade dela ser verde ou amarela Questao 17 Alguns amigos estao em uma lanchonete Sobre a mesa ha duas CAPITULO 2 PROBABILIDADE 21 travessas Em uma delas ha 3 pasteis e 5 coxinhas Na outra ha 2 coxinhas e 4 pastais Se ao acaso alguem escolher uma destas travessas e tambem ao acaso pegar um dos salgados qual a probabilidade de se ter pego um pastel Questao 18 O jogo de domino e composto de pelas retangulares formadas pela juncao de dois quadrados Em cada quadrado ha a indicacao de um numero representado por uma certa quantidade de bolinhas que variam de nenhuma a seis O numero total de combinacoes possıveis e de 28 pecas Se pegarmos uma pela qualquer qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face Questao 19 Em uma caixa ha 4 bolas verdes 4 azuis 4 vermelhas e 4 bran cas Se tirarmos sem reposicao 4 bolas desta caixa uma a uma qual a probabili dade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde azul vermelha e branca Questao 20 Em uma escola de idiomas com 2000 alunos 500 alunos fazem o curso de inglˆes 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cur sos Selecionandose um estudante do curso de inglˆes qual a probabilidade dele tambem estar cursando o curso de espanhol Questao 21 De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retirase uma bola Qual e a probabilidade desta bola ser divisıvel por 3 ou divisıvel por 4 Capítulo 3 Variáveis Aleatórias Dado um espaço amostral Ω e uma probabilidade p o grande objetivo da teoria das probabilidades é calcular probabilidade de eventos de nosso interesse Tais cálculos são facilitados pela transformação de um espaço amostral as vezes muito abstrato em um subconjunto dos números reais que é mais familiar isto pode ser feito a partir do conceito de variáveis aleatórias Uma variável aleatória va é uma função que associa a cada evento em um espaço amostral um número real A notação XΩ será usada para o conjunto de valores da va X Variáveis aleatórias são denotadas pelas últimas letras do alfabeto X Y Z com ou sem subscritos Para um subconjunto B R denotaremos X B para o seguinte evento em Ω X B ω Ω Xω B por simplicidade Em particular X x ω Ω Xω x A função de distribuição de probabilidade ou apenas a distribuição de uma vaX é usualmente denotada por PX e representa a função de probabilidade definida em subconjuntos de R da seguinte forma PXB pX B Definição 28 Uma variável aleatória X é dita discreta se existe um conjunto discreto finito ou enumerável de números reais XΩ x1 x2 x3 xn tal que PXxi 0 Σj PXxj Σj pX xj 1 Dessa forma podemos definir uma função fX R R definida por CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS fXx PXxj pX xj se x x1 x2 x3 xn 0 caso contrário Com isso temos pX B Σxj B fXxj Suponha que uma va X tome valores em um intervalo limitado ou ilimitado I R com a seguinte qualificação pX x 0 para qualquer x isolado de I Neste caso dizemos a va em questão é uma va contínua e X possue uma distribuição fX que satisfaz a seguinte condição fXx 0 para todo x I I fXxdx 1 No caso contínuo se J I calculamos pX J J fXxdx Exemplo 1 Um moeda honesta é lançada 4 vezes seja X a variável aleatória definida nessa amostra S como segue Xs número de caras na sequencia s 1 Qual o conjunto de valores de X 2 Qual a distribuição de X 3 Qual a partição de Ω induzida por X Solução Qual o conjunto de valores de X Ao lançarmos uma moeda 4 vezes podemos ter os seguinte número de caras X 0 1 2 3 4 Qual a distribuição de X Para esclarecer melhor vamos construir o espaço amostral Ω associado a esse experimento Seja c se o resultado obtido for coroa e c se o resultado obtido for cara Ω c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c a c CAPITULO 3 VARI AVEIS ALEAT ORIAS 24 Nesse caso teremos fXk 1 16 se k 0 4 16 se k 1 6 16 se k 2 4 16 se k 3 1 16 se k 4 Observe que fX e uma funcao de distribucao de probabilidade Qual a particao de Ω induzida por X A particao e dada por Xcccc 0 Xcccc cccc cccc cccc 1 Xcccc cccc cccc cccc cccc cccc 2 Xcccc cccc cccc cccc 3 Xcccc 4 31 Variaveis Aleatorias Discretas Descreveremos nessa secao algumas variaveis aleatorias discretas e suas distribuicoes A distribuicao de Bernoulli Definicao 29 Uma variavel aleatoria X tem distribuicao de Bernoulli com parˆametro p com 0 p 1 se sua fdp e dada por fXk p se k 1 1 p se k 0 0 caso contrario Notacao X Bp Uma distribuicao de Bernoulli caracteriza um experimento do tipo Com um tiro apenas tentar acertar um alvo sendo p a probabilidade de acerto essa variavel assume apenas dois valores X 0 e X 1 Experimentos desse tipo sao chamados experimentos de Bernoulli A Distribuicao Binomial Definicao 30 Uma variavel aleatoria X tem distribuicao Binomial com parˆametro p se sua fdp e dada por CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS fXk n n kk pk 1 pnk se k XΩ 0 caso contrário onde M significa o fatorial de M M M 1M 2 2 1 Notação X Bn p XΩ 0 1 2 n A distribuição binomial modela os experimentos binomiais que consistem em experimentos com as seguintes caracteristicas Cada experimento possui apenas dois resultados possiveis Sucesso ou Fracasso com probabilidades p e 1 p respectivamente e 0 p 1 O número de repetições n é conhecido a priori As repetições são feitas de forma independente Fórmula do Binômio de Newton x yn Σ j0 n n n jj xjynj fX é uma fdp pois Σ k0 n fXk Σ k0 n n n kk pk 1 pnk p 1 pn 1 e fXk 0 A distribuição de Poisson Definição 31 Uma variavel aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ 0 se sua fdp é dada por fXk PX k eλ λk k se k XΩ 0 caso contrário Onde CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 26 Figura 31 Grafico da Distribuição Binomial XΩ 0 1 2 3 Notação X Pλ Para provar que X é uma fdp usaremos a fórmula ex Σ k0 to xk k logo Σ k0 to PX k Σ k0 to eλ λk k eλ Σ k0 to λk k eλ eλ 1 Pelo fato de eλ 0 e λ 0 fXk 0 provando que fX é uma fdp A distribuição de Poisson é muito empregada pra prever números de chamada em uma central telefônica num determinado espaço de tempo para prever o número de partículas emitidas por uma fonte radioativa durante um período de tempo etc A distribuição Hipergeométrica Suponha que em uma urna existam m bolas vermelhas e n bolas pretas r bolas são retiradas aleatoriamente e sem reposição Seja X a va que reperesenta o número de bolas vermelhas retiradas entre as r selecionadas e fXk a probabilidade de retirar k bolas vermelhas nesse caso dizemos que X tem distribuição Hipergeométrica CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 27 Tabela 31 Gráfico da Distribuição Binomial k fk fk 0 000098 003168 1 000977 01267 2 004395 02323 3 011719 02581 4 020508 01936 5 024609 01032 6 020509 00401 7 011719 00115 8 004395 00024 9 000977 00004 10 000098 000003 11 0000002 12 0000000 Definição 32 Uma variavel aleatória X tem distribuição Hipergeométrica se sua fdp é dada por fXk m choose kn choose rk mn choose r se k XΩ 0 caso contrário Onde m choose k 0 para k m XΩ 0 1 2 3 r Vamos provar que fX é uma fdp mas antes vamos enunciar a Identidade de Vandermond mn choose r Σ k0 to r m choose kn choose rk Usando esta identidade temos CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 28 Σ k0 to r fXk Σ k0 to r m choose kn choose rk mn choose r Σ k0 to r m choose kn choose rk mn choose r 1 A distribuição Binomial Negativa Definição 33 Uma variável aleatória X tem distribuição Binomial Negativa se ela tem a seguinte distribuição fXk pr rk1 choose k qk se k XΩ 0 caso contrário Onde XΩ 0 1 2 3 0 p 1 q 1 p fX é uma função de distribuição de probabilidade Prova Usando o seguinte resultado 1 1xn Σ j0 to nj1 choose j xj x 1 31 temos Σ k0 to fk pr Σ k0 to rk1 choose k qk pr 1 qr 1 32 Esta distribuição ocorre em situações nas quais temos o seguinte modelo Um experimento Binomial é repetido independentemente até que r sucessos apareçam e então o experimento é finalizado A distribuição Uniforme Discreta Definição 34 Uma va X tem distribuição Uniforme discreta se sua fdp é dada por fXk 1n se k 0 1 n 1 0 caso contrário A Distribuição Geométrica ou de Pascal Definição 35 Uma variavel aleatória X tem distribuição geométrica ou de Pascal com parâmetro 0 p 1 se sua fdp é dada por fXk pqk se k 0 1 2 0 caso contrário onde q 1p Como X é uma va discreta vamos mostrar que Σk0 pqk 1 De fato como Σk0 pqk é a soma de uma Progressão Geométrica com a0 p e razão r q temos Σk0 pqk p1 q 1 Lembrete Soma Infinita de uma Progressão Geométrica Σx0 a0 rx a01r 0 r 1 32 Variáveis Aleatórias Contínuas Suponha que uma variável aleatória X tome valores em um intervalo I ℝ com a seguinte qualificação pX x 0 para qualquer x isolado de I Neste caso dizemos a variável aleatória em questão é uma variável aleatória contínua e X possui uma distribuição fX que satisfaz a seguinte condição Cond 1 fXx 0 para todo x I 33 Cond 2 ℝ fXxdx 1 34 Se J I calculamos pX J J fXxdx A distribuição Normal ou Gaussiana Definição 36 Uma variável aleatória contínua tem distribuição normal ou Gaussiana com parâmetros μσ2 se sua função de distribuição é dada por fXx 12πσ exμ22σ2 x 35 Notação X Nμσ2 A prova que fX é uma fdp não segue uma forma tradicional calculando a integral diretamente mas sim utilizando um caminho alternativo Claramente fXx 0 Provar que I fxdx 1 é equivalente a provar que I2 1 De fato I2 fxdx 2 fxdx fydy 12π exμ22σ2 dx 1σ eyμ22σ2 dy Fazendo Figura 32 Gráfico de Distribuição Normal Distribuição Normal z xμσ z e v yμσ v temos I2 12π 1σ ez22 σ dz 1σ ev22 σ dv 12π ez2v22 dz dv Fazendo z r cosθ v r senθ 0 r e 0 θ 2π temos I2 12π 0 02π er22 r dr dθ 12π 0 er22 r dr 02π dθ 0 er22 r dr er 0 1 Provando que fx dx 2 1 como fX 0 temos o resultado CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 32 A Distribuição Gamma Definição 37 Uma variável aleatória contínua tem distribuição Gamma com parâmetros α e β α 0 β 0 se sua fdp é dada por fXx 1 Γαβα xα1 ex β x 0 0 x 0 onde Γα 0 yα1 ey dy Notação X Γαβ Claramente fx 0 vamos provar que 0 fx dx 1 Prova É fácil ver que fXx 0 fx dx 1 Γαβα 0 xα1 exβ dx Fazendo z xβ x βz dz dxβ para x 0 z 0 quando x z logo 1 Γαβα 0 xα1 exβ dx 1 Γαβα 0 β βzα1 ez dx β βα Γαβα 0 zα1 ez dz βα Γα Γαβα 1 A Função Gamma e algumas propriedades Definição 38 A função Gamma é definida por Γα 0 yα1 ey dy 36 Esta integral existe para todo α 0 e satisfaz as seguintes propriedades Propriedades CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 33 1 Γ1 1 2 Γα α 1 Γα 1 3 Se α é inteiro Γα α 1 4 Γ12 π Prova 1 Γ1 0 ey dy ey0 1 2 Γα 0 yα1 ey dy Usando integração por partes com u yα1 e dv ey podemos escrever Γα yα1 ey0 α 1 0 yα11 ey dy α 1 Γα 1 3 A prova será feita usando indução finita sobre α para α 3 pelas propriedades 1 e 2 Γα 2Γ2 2 1 Γ1 2 1 α 1 Suponha que esta afirmação seja válida para α n N isto é Γn n 1 37 Vamos provar que Γn 1 n Usando a hipótese de indução 37 temos Γn 1 n 1 1 Γn 1 1 nΓn nn 1 n 4 Γ12 0 y12 ey dy Fazendo y12 t2 y t22 dy t dt t 0 CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 34 Γ12 2 0 1t et22 t dt π 1 2π 2 0 et22 dt π 1 2π et22 dt π Onde 1 2π et22 dt 1 pois fXt 1 2π et22 é a fdp de uma va contínua X N 0 1 conforme 35 A distribuição QuiQuadradoχ² Definição 39 Dada a distribuição Gamma para os casos particulares em que r 1 r inteiro fazendo α r2 β 2 temos a distribuição QuiQuadrado cuja fdp é dada por fXx 1 Γr2 2r2 xr2 1 ex2 x 0 0 x 0 r é denominada grau de liberdade da distribuição Como fX é um caso particular da distribuição Γ fica claro que se trata também de um fdp Notação X χ²r A distribuição Exponencial Definição 40 Ainda como caso particular da distribuição Gamma para o caso em α 1 e β 1λ temos a distribuição Exponencial negativa cuja fdp é dada por fXx λ eλx x 0 0 x 0 Observe que fXx 0 λ eλx dx eλx0 1 Provando que fX é uma fdp CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 35 Figura 33 Gráfico de Distribuição Uniforme Uα β A distribuição Uniforme Uα β Definição 41 Definição Dizemos que uma va tem distribuição uniforme no intervalo α β se sua fdp é dada por fXx 1βα α x β 0 caso contrário Claramente fx 0 fxdx 1βα α β dx 1 Notação X Uα β A distribuição Beta Definição 42 Uma var aleatória X tem distribuição Beta com parâmetros α β se sua fdp é dada por fx ΓαβΓαΓβ xα11xβ1 0 x 1 0 Caso contrário α 0 β 0 Claramente fx 0 Vamos mostrar que 0 1 fxdx 1 ΓαΓβ 0 xα1exdx 0 yβ1eydy 0 0 xα1yβ1exyd xdy CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 36 Fazendo u xxy x uy1u2 dx ydu1u2 u 01 e x y y1u ΓαΓβ 0 0 1 uα1 1uα1 yα1 yβ1 ey1u y1u2 dud y 0 0 1 uα1 1uα1 yαβ1 ey1u dud y Fazendo agora y1u w resulta y w1u dy 1ud w w 0 temos ΓαΓβ 0 0 1 uα11 uβ1wαβ1 ew dud w 0 wαβ1 ew d w 0 1 uα11 uβ1 du Γα β 0 1 uα11 uβ1 du Conluímos até agora que ΓαΓβ Γα β 0 1 xα11 xβ1dx Finalmente 0 1 fxdx ΓαβΓαΓβ xα11 xβ1 1 A distribuição Lognormal Definição 43 Uma variável aleatória X tem distribuição lognormal com parâmetros α 0 e β 0 Se sua fdp é dada por fXx 1xβ2π elogxlogα22β2 x 0 0 Caso contrário Vamos provar que f é uma fdp fxdx 0 1xβ2π elogxlogα22β2 dx Fazendo a transformação x ey y logx y dy ey dx fxdx 1β2π 1ey eylogα22β2 dx 1β2π eylogα22β2 dy 1 CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 37 Pois fy 1β2π eylogα22β2 é a fdp de uma va Y Nlogα β2 A distribuição de Cauchy Definição 44 Uma var aleatória com a seguinte fdp tem distribuição de Cauchy com parâmetros µ e σ fx σπ 1σ2xµ2 µ x R σ 0 Vamos provar que f é uma fdp Claramente fx 0 para todo x R fxdx σπ 1σ2xµ2 dx σσ2π 11xµσ2 dx 1σπ 11y2 dy 1π arctanxµσ ππ 1 A distribuição Logística A distribuição Triangular Definição 45 Uma variável aleatória X tem distribuição Triangular com parâmetros α β e γ Se sua fdp é dada por fXx 2x αβ αγ α se α x γ 2β α se x γ 2β xβ αβ γ se γ x β 0 Caso contrário 33 Vetores Aleatórios Quando uma variável aleatória definida em um espaço amostral Ω e tomando valores em no plano no R3 ou mais geralmente em Rn ela é chamada de vetor aleatório de dimensão CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 38 n e será denotada por X PX é definida como no caso unidimensional simplesmente trocando o conjunto B por subconjuntos Bk Rn Definição 46 O vetor aleatório X é discreto se PX xj 0 j 1 2 with Σ j PX xj 1 e a função fXx PX xj para X xj e fXx 0 caso contrário é a fdp de X Novamente PX B ΣxjB fXxj para B Rn Definição 47 O vetor aleatório X é contínuo se PX x 0 para todo x I I1xI2x In mas existe uma função fX defined on Rn tal que fXx 0 para todo x Rn and Px J JxfXxdx para qualquer subretangulo J de I A função fX is the fdp of X A distribuição de um vetor n dimensional é também referenciada como um vetor discreto n dimensional ou contínuo para uma distribuição discreta ou contínua respectivamente Iremos escrever sempre f em lugar de fX se não houver confusão A distribuição Multinomial Definição 48 Seja XΩ X x1 x2 xk xj 0 j 1 2 k Σk j1 xj n xj N e X o vetor aleatório cuja densidade é dada por fXx n xj pxjj k j1 pj 1 pk 0 Nesse caso dizemos que X tem distribuição multinomial fX é uma fdp pois Σ x1x2xk n xj pjxj k j1 pj n 1 CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 39 A Distribuição Normal Bivariada Aqui XΩ R2 ou seja X é um vetor aleatório bidimensional com fx1 x2 1 2πσ1σ21ρ² eq2 onde x1 x2 R σ1 σ2 0 1 ρ 1 e q 11ρ² x1μ1σ1 ² 2ρ x1μ1σ1 x2μ2σ2 x2μ2σ2 ² com μ1 μ2 R A distribuição de X é chamada Normal Bivariada e os números μ1 μ2 σ1 σ2 ρ são os parâmetros da distribuição Claramente fx1 x2 0 a demonstração que R2 fx1 x2dx1 dx2 1 será feita a seguir Figura 34 Distribuição Normal Bivariada 1ρ²q x1μ1σ1 ² 2ρ x1μ1σ1 x2μ2σ2 x2μ2σ2 ² ρ² x2μ2σ2 ² ρ² x2μ2σ2 ² x1μ1σ1 ² 2ρ x1μ1σ1 x2μ2σ2 ρ² x2μ2σ2 ² 1ρ² x2μ2σ2 ² x1μ1σ1 ρ x2μ2σ2 ² 1ρ² x2μ2σ2 ² x1μ1ρσ1 x2μ2σ2 σ1 ² 1ρ² x2μ2σ2 ² Feito isso temos CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 40 R2 fx1 x2dx1 dx2 12π 11ρ²σ1 ex1μ1ρσ1x2μ2σ2² 21ρ²σ1² dx1 12πσ2 ex2μ2² 2σ2² dx2 Fazendo μ1 μ1 ρσ1 x2μ2σ2 e σ1 1ρ²σ1 obtemos R2 fx1 x2dx1 dx2 12πσ1 ex1μ1² 2σ1² dx1 12πσ2 ex2μ2² 2σ2² dx2 Como 12πσ1 ex1μ1² 2σ1² dx1 1 e 12πσ2 ex2μ2² 2σ2² dx2 1 Finalmente obtemos R2 fx1 x2dx1 dx2 1 A distribuição de Wishart 34 Exercícios Questão 1 Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna que contém 8 bolas brancas 4 pretas e 2 laranjas Suponha que ganhemos R 200 para cada bola preta selecionada e percamos R 100 para cada bola branca selecionada Suponha que X represente nossas vitórias Quais são os valores possíveis de X e quais são as probabilidades associadas a cada valor Questão 2 Um vendedor agendou duas visitas para vender enciclopédias Sua primeira visita resultará em venda com probabilidade 03 e sua segunda visita resultará em venda com probabilidade de 06 sendo ambas as probabilidades de venda independentes Qualquer venda realizada tem a mesma probabilidade de ser do modelo luxo que custa R 100000 ou do modelo padrão que custa R 50000 Determine a função de probabilidade de X o valor total das vendas em reais Questão 3 Suponha que uma caixa contenha 6 bolas vermelhas e 4 pretas Selecionase uma amostra aleatória de tamanho n Seja X o número de bolas vermelhas na amostra Determine a densidade de X para amostragem a sem reposição e CAPITULO 3 VARI AVEIS ALEAT ORIAS 41 b com reposicao Questao 4 Seja N um numero inteiro positivo e seja fXx c2x x 1 2 N 0 caso contrario Determine o valor de c para o qual fX e uma densidade de probabilidade Questao 5 Suponha que X tem uma distribuicao geometrica com p 0 8 Determine as probabilidades dos seguintes eventos X 3 4 X 7 ou X 9 3 X 5 ou 7 X 10 Questao 6 Suponha que X tem distribuicao uniforme discreta sobre 0 1 99 Deter mine a PX 25 b P8 X 10 ou 30 X 32 c P8 X 10 ou 30 X 32 d P25 X 30 Questao 7 Qualquer ponto no intervalo 0 1 pode ser representado atraves de sua expansao decimal 0 x1 x2 Suponha que se escolhe aleatoriamente um ponto do intervalo 0 1 Seja X o primeiro dıgito da expansao decimal que representa o ponto Determine a densidade de X Questao 8 Suponha que um dado seja rolado duas vezes Quais sao os possıveis valores que as seguintes variaveis aleatorias podem assumir a o maximo valor que aparece nas duas vezes que o dado e jogado b o mınimo valor que aparece nas duas vezes que o dado e jogado c a soma das duas jogadas d o valor da primeira jogada menos valor da segunda jogada CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 42 Questão 9 Suponha que durante o vôo de forma independente os motores de um avião tenham probabilidade 1 p de falharem Se um avião precisa da maioria de seus motores operando para completar um vôo de forma bem sucedida para que valores de p um avião com 5 motores é preferível em relação ao um avião de 3 motores Questão 10 Se f é fdp de uma var aleat X Nμ σ² mostre que 1 f é simétrica com relação a μ 2 maxxR fx 1 2πσ Obs Uma função é simétrica com relação a um parâmetro μ se dado 0 s μ fμ s fμ s Questão 11 Se X N0 1 e para a b seja p Proba X b Então use a simetria da fdp para mostrar que 1 Para 0 a b p Φb Φa 2 Para a 0 b p Φb Φa 1 3 Para a b 0 p Φa Φb 4 Para c 0 Probc X c 2Φc 1 onde Φx 12π x et²2 dt Questão 12 Questão 13 Suponha que uma var aleatoria X denota tempo de vida de um tubo de TV e suponha q ue sua fdp f é dada por fx λeλx se x 0 0 se x 0 Calcule as seguintes probabilidades 1 Probj X j 1 2 ProbX t t 0 3 ProbX s tX s Questão 14 Suponha que a expectativa de vida de um grupo de pessoas é uma var aleatória X tendo distribuição exponencial com parâmetro λ 150 anos Para um individuo do grupo em questão calcule a probabilidade que 1 Ele vai sobreviver para se aposentar aos 65 anos CAPITULO 3 VARI AVEIS ALEAT ORIAS 43 2 Ele vai viver pelo menos 70 anos sabendo que completou 40 anos 3 Para que valor de c ProbX c 1 2 Questao 15 Se X Uα α X tem distr Uniforme no intervalo α α Determine os valores do parˆametro α tal que 1 Prob1 X 2 075 2 ProbX 1 ProbX 2 Questao 16 Para que valores da constante c as funcoes abaixo sao fdps 1 fx ce4x se x 0 cx se 1 x 0 0 se x 1 2 fx cx2ex3 x 0 Questao 17 Seja X N3 025 Use a tabela e determine as seguintes probabilidades 1 ProbX 1 2 Prob25 X 3 Prob05 X 13 Questao 18 A distribuicao do QI das pessoas em um determinado grupo social pode ser bem aproximada por um distribuicao normal com µ 105 e σ 20 Que proporcao do grupo tem QI 1 Pelo menos 150 2 No maximo 80 3 Entre 95 e 125 Questao 19 Uma certa fabrica produz bulbos para lˆampadas cujo tempo de vidaem ho ras segue uma N2000 2002 um bulbo e considerado defeituoso se seu tempo de vida e menor que 1800 horas Se 25 bulbos sao testados qual a probabilidade no maximo 15 sejam defeituosos Questao 20 Se X tem distribuicao Nµ σ2 encontre o valor de c talque PX c 2 9PX c CAPITULO 3 VARI AVEIS ALEAT ORIAS 44 Questao 21 Considere a funcao fx αβxβ1eαxβ se x 0 0 se x 0 α 0 β 0 1 Mostre que f e uma fdp f e chamada distribuicao de Weibull com parˆametros α e β 2 Mostre que a fdp da distribuicao exponencial e um caso particular da distribuicao de Weibull e especifique os parˆametros para os quais isso acontece 3 Para α 1 e β 1 2 e α 1 e β 2 desenhe os graficos das respectivas distribuicoes Questao 22 Questao 23 Temse observado que 125 das pessoas nao passam em um determinado teste 25 pessoas sao submetidas ao testes Se X representar o numero de pessoas que nao conseguem passar no teste qual e a probabilidade que 1 X 1 2 X 20 3 5 X 20 Questao 24 Se X tem distribuicao Binomial negativa Qual o menor numero de artigos a ser produzido de modo que pelo menos um seja defeituoso com probabilidade de pelo menos 095Tome p 005 Questao 25 Seja X segue uma Variavel aleatoria com distribuicao de Poisson com parˆametro λ Dado que PX 0 01 calcule a probabilidade de X 5 Questao 26 Observase que numero de particulas emitidas por uma substancia radioativa que alcanca uma dada porcao do espaco num intervalo de tempo t segue aproximadamente uma distribuicao de Poisson com parˆametro λ Calcule a probabilidade que 1 Nenhuma partıcula alcance a porcao do espaco durante o intervalo de tempo t 2 Exatamente 20 particulas o facam 3 Pelo menos 50 particulas o facam 4 Encontre os valores numericos em 12 e 3 para λ 100 Questao 27 Chamadas de telefone que chegam a uma central telefˆonica durante um minuto seguindo uma distribuicao de Poisson com parˆametro λ 10 Qual e a probabili dade que em um dado minuto CAPITULO 3 VARI AVEIS ALEAT ORIAS 45 1 Nˆao haja chamadas 2 Exatamente 10 chamadas 3 Pelo menos 10 chamadas Questao 28 A distribuicao de Poisson Truncada Se X Pλ defina a var aleatoria Y da seguinte forma Y X se X k 0 se X k Encontre 1 PY y y k k 1 k 2 2 PY 0 Questao 29 Um sistema de administracao de residencias universitarias possue 1600 estudantes cadastrados dos quais 1200 sao estudantes de graduacao e o restante de pos graduacao 25 nomes serao selecionados aleatoriamente entre todos Se X e a variavel aleatoria que representa o numero de graduados dentre os 25 da lista qual e a probabili dade que X 10 Questao 30 Um sistema de manufatura produz alguns artigos tais que a probabilidade de cada artigo ser defeituoso e p Qual e o menor numero de artigos n de artigos a serem produzidos para que pelo menos um deles seja defeituoso com probabilidade 095 Tome p 005 Questao 31 Considere o sistema de manufatura apresentado na Questao 30 e seja Y a var aleatoria que denota o numero de artigos a serem produzidos ate que os dois primeiros artigos defeituosos aparecam 1 Mostre que a distribuicao de Y e dada por PY y p2y 11 py2 2 Calcule a probabilidade PY 100 para p 005 Questao 32 Mostre que a funcao fx 1 2x se x 1 2 3 0 caso contrrio e uma fdp Questao 33 Para qual valor de c a funcao dada por fx cαx se x 0 1 2 3 0 α 1 0 caso contrario e uma fdp CAPÍTULO 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 46 341 Respostas de Alguns Exercícios Questão 1 1 XΩ 2 1 0 1 2 4 2 fx 2891 se x 2 1691 se x 1 191 se x 0 3291 se x 1 891 se x 2 691 se x 4 Questão 2 1 XΩ 0 500 1000 11500 2000 2 fx 028 se x 0 027 se x 500 0315 se x 100 009 se x 1500 0045 se x 2000 Questão 3 a PX k 6 choose k 4 choose n k 10 choose n 0 k 6 b PX k n choose k 35k 25nk 0 k 6 Questão 4 c 1 2N1 2 Questão 5 a 1 p4 b 1 p4 1 p8 1 p10 c 1 p3 1 p6 1 p7 1 p11 CAPITULO 3 VARI AVEIS ALEAT ORIAS 47 Questao 6 a 35 b 110 c 1125 d 350 Questao 7 fx 1 10 se x 0 1 2 3 9 0 caso contrario Questao 9 p 1 2 Questao 12 09545 Questao 13 1 eλj1 eλ 2 eλt 3 eλt Questao 14 c 50ln2 Questao 15 2 α 3 Questao 16 2 ic 32 iic 3 Capıtulo 4 A Funcao de Distribuicao Acumulada 41 A Funcao de Distribuicao Acumulada de uma variavel Aleatoria Definicao 49 Dada uma variavel aleatoria X definimos sua Funcao de Distribuicao Acu muladafda ou Funcao de Densidadefd de X como Fx ProbX x Teorema 5 A funcao de distribuicao acumulada de uma va X satisfaz as seguintes pro priedades i 0 Fx 1 x R ii F e nao decrescente ii F e contınua a direita ii Fx 0 quando x Fx 1 quando x Exemplo 2 Dada uma va discreta X com fdp dada por f sua funcao de densidade acumulada e dada por F 48 CAPITULO 4 A FUNC AO DE DISTRIBUIC AO ACUMULADA 49 X Ω 2 1 0 1 2 4 fx 28 91 se x 2 16 91 se x 1 1 91 se x 0 32 91 se x 1 8 91 se x 2 6 91 se x 4 0 caso contrario Fx 0 se x 2 28 91 se 2 x 1 44 91 se 1 x 0 45 91 se 0 x 1 77 91 se 1 x 2 85 91 se 2 x 4 1 se x 4 Os graficos de f e F x fx 2 2 1 0 1 2 4 0350 0263 0175 0088 Grafico da Dist de Prob de X Grafico da Dist Acumulada de X Fx 2 1 0 1 2 4 1000 0750 0500 0250 A Distribuicao Uniforme Uα β fXx 1 βα α x β 0 caso contrario FXx xα βα α x β 0 se x α 1 se x β 0 x FXx α β 1 Grafico da fda X Uα β 0 x fXx α β 1 βα Grafico da fdp de X Uα β CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 50 Observações i Fx pode ser usada para determinar probabilidades da forma Pa x b pois Pa x b Fb Fa ii Se X é uma va discreta sua função de densidade F é uma função tipo salto onde os valores de F em x são definidos por Fx xj x fxj e fxj Fxj Fxj1 iii Se X é uma var aleat contínua sua função de densidade é contínua Além disso dFxdx fx nos pontos de continuidade de F como sabemos do cálculo Teorema Fundamental do Cálculo FX x ft dt Teorema 6 Se X é uma var aleat tendo distribuição Nμ σ² fazendo Y X μσ Y é uma va com distribuição N0 1 Prova Vamos mostrar que fda de Y é Φ onde Φy 12π y et²2 dt De fato Fy ProbY y ProbX μσ y ProbX yσ μ 12πσ yσ μ et μ² 2σ² dt 12π y eu²2 du φy Observação 2 A transformação Y X μ σ de X é denominada a normalização de X Teorema 7 i Se X é uma var aleat tendo distribuição N0 1 Então Y X² tem distribuição χ²1 ii Se X é uma var aleat tendo distribuição Nμ σ² então a va Z X μσ² é uma va com distribuição χ²1 CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 51 Prova i Vamos mostrar que a fda de Y é a fda de uma va com fdp χ12 em seguida vamos derivar e mostrar que temos a fdp de um Qui quadrado FYy ProbY y Proby X y 1 2π y y ex2 2 dx 21 2π 0 y et2 2 dt Fazendo x t dx dt 2t t 0 y temos FYy 2 12π 0 y 1 2 t et2 2 dt Derivando dFYydy 12π 1y ey2 12π y121 ey2 Como fYy 0 para Y 0 porque FYy 0 y 0 fYy 1 Γ122 y121 ey2 y 0 0 y 0 Isto é a fdp de uma χ112 pois Γ12 π Exercícios Questão 1 Dada a função fx 12x se x 1 2 3 0 caso contrário determine sua fd Solução Fx k1x 12x 1 12x Soma Finita de PG x0 to L a0 rx a0 1rL 1r 0 r 1 Questão 2 Para qual valor de c a função f definida abaixo é uma fdp fx cαx se x 0 1 2 3 0 α 1 0 caso contrário determine a fda correspondente a fdp encontrada Solução CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 52 fx 1 ααx se x 0 1 2 3 0 α 1 0 caso contrário Fx PX x 1 α k0 to x αk 1 α1 αx1 1 α 1 αx Questão 3 Encontre a fd para as seguintes pdf i fx xex2 2 x 0 ii fx 2π x2 ex2 2 x 0 Distribuição Maxwell iii fx 12 exv Double Exponential iv fx ac cxa1 x c c a 0 Distribuição de Pareto Solução i Fx 0 to x t et2 2 dt et2 2 0x 1 ex2 2 se x 0 0 se x 0 ii Fx 2π 0 to x t2 et2 dt 2Φx 1 2π x2 ex2 2 se x 0 0 se x 0 iii Fx to x 12 etv dt 12 exv se x v 1 12 exv se x v iv Fx c to x ac cta1 dt 1 ca xa se x c 0 se x c Questão 4 Dadas as fdps i fx cosx x 0 π2 ii fx xex x 0 determine suas fd Solução i Fx 0 to x cost dt sent 0x 1 se x π2 senx se 0 x π2 0 se x 0 ii Fx 0 to x tet dt t 1 et 0x 1 x1 ex se x 0 0 se x 0 Questão 5 Se X é uma va com fd F Determine as fd das seguintes va X X2 aX b X ab quando i X é contínua e F estritamente crescente ii X é discreta CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 53 Questão 6 Se F e f são as pdf e a df de uma va X Mostre que F é contínua e dFxdx fx nos pontos de continuidade de f Questão 7 Mostre que a seguinte função F dada por Fx 1 1 eαxβ para x β R α 0 é uma função de densidade Distribuição Logística e determine sua fdp f Mostre também que fx αFx1 Fx Solução Observe que limx Fx 1 e limx Fx 0 além disso Fx α eαxβ 1 eαxβ2 0 logo F é estritamente crescente e to Fx dx limx x to x Fx dx limx Fx Fx 1 Logo a fdp de X é dada por fx α eαxβ 1 eαxβ2 α 1 eαxβ 1 eαxβ1 1 1 eαxβ αFx1 Fx Questão 8 Dada a função fx c xn x 1000 3000 e fx 0 caso contrário Encontre a fd de f Escreva as expressões de f e F para n 2 and n 3 Questão 10 A distribuição do QI das pessoas em um determinado grupo social pode ser bem aproximada por um distribuição normal com μ 105 e σ 20 Que proporção do grupo tem QI i Pelo menos 150 ii No máximo 80 iii Entre 95 e 125 Solução Farei apenas o item 3 que generaliza os demais casos Prob95 QI 125 Prob95 10520 QI 10520 125 10520 Prob12 Z 1 Φ1 Φ12 Φ1 Φ12 1 08413 06915 1 05328 Questão 11 Uma certa fábrica produz bulbos para lâmpadas cujo tempo de vidaem horas segue uma N2000 2002 um bulbo é considerado defeituoso se seu tempo de vida é menor que 1800 horas Se 25 bulbos são testados qual a probabilidade no máximo 15 sejam defeituosos CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 54 Solução Seja T a va que mede o tempo de vida do bulbo da lâmpada T N2000 2002 Se T 1800h o bulbo é defeituoso vamos calcular ProbT 1800 ProbT 1800 ProbT μσ 1800 2000200 ProbZ 1 0158655 Tabela Seja X a varaleat que conta o número de defeituoso num lote com n peças supondo que os bulbos foram testados independentemente X tem dist binomial com parametros n 25 e p 0158655 logo PX 15 0999999922566870 Questão 13 Se X tem distribuição Nμ σ2 encontre o valor de c talque PX c 2 9PX c Solução PX c PX μσ c μσ 2 91 PX μσ c μσ PX μσ c μσ 78 Como Z X μσ N01 PZ c μσ 78 087508749 Consultando a tabela temos que c μσ 115 logo c 115σ μ Questão 14 Considere a função fx αβxβ1 eαxβ α β 0 e x 0 i Mostre que f é uma fdp f é chamada distribuição de Weibull com parâmetros α e β ii Mostre que a fdp da distribuição exponencial é um caso particular da Weibull e especifique os parâmetros para os quais isso acontece iii Para α 1 e β 12 e α 1 e β 2 desenhe os gráficos das respectivas distribuições Soluções item i from to fxdx from 0 to αβxβ1 eαxβ dx eαxβ from 0 to 1 item ii Fazendo α 0 β 1 fx α eαx expα item iii CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 55 Distribuição de Weibull Observação A Distribuição de Weibull é empregada para descrever o tempo de vida de organismos ou de sistemas mecânicos Questão 15 Considere a distribuição de Weibull dada na questão 14 e i Calcule sua função de densidade F e a função de Confiabilidade Rx 1 Fx Solução Fx PX x from 0 to x αβtβ1eαtβ dt eαtβ from 0 to x 1 eαxβ Rx 1 Fx 1 1 eαxβ eαxβ ii Calcule a taxa de Falha ou de Perigo Hx fxRx e desenhe os gráficos para α 1 e β 12 1 2 Solução Hx fxRx αβxβ1eαxβeαxβ αβxβ1 CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 56 Taxa de Perigo Hx Questão 16 Se a va X tem distribuição Weibull com parâmetros α e β Mostre que i EX 1α1β Γ1 1β ii EX2 1α2β Γ1 2β e σ2X 1α2β Γ1 2β Γ21 1β iii Determine os valores de EX e σ2X para α 1 e β 12 1 2 Onde a função Gamma Γ é dada por Γγ from 0 to tγ1 et dt Solução item i EX from 0 to x αβxβ1 eαxβ dx Fazendo u αxβ du αβxβ1 dx x u1βα1β Como α β 0 quando x 0 u 0 e quando x u temos EX 1α1β from 0 to u1β eu du 1α1β from 0 to u1 1β 1 eu du 1α1β Γ1 1β Item ii EX2 from 0 to x2 αβxβ1 eαxβ dx Fazendo u αxβ du αβxβ1 dx x2 u2βα2β Como α β 0 quando x 0 u 0 e quando x u temos EX2 1α2β from 0 to u2 eu du 1α2β from 0 to u1 2β 1 eu du 1α2β Γ1 2β σ2X EX2 EX2 1α2β Γ1 2β Γ21 1β CAPITULO 4 A FUNC AO DE DISTRIBUIC AO ACUMULADA 57 42 Funcoes de Densidade de Vetores Aleatorios Distribuicoes Marginais e Condicionais Para o caso de vetores aleatorios bidimensionais um resultado analogo ao teorema ante rior sera estabelecido Entao temos X X1 X2 e a fda F ou FX ou FX1X2 de X ou a funcao de distribuicao conjunta de X1 X2 e Fx1 x2 PX1 x1 X2 x2 Usando a notacao acima temos o seguinte teorema Teorema 8 i 0 Fx1 x2 1 x1 x2 R ii A variacao de F em retˆangulos com lados paralelos aos eixos e 0 iii F e contınua a direita com relacao a cada variavel x1 x2 ou ambas conjuntamente iv Se ambas x1 x2 entao Fx1 x2 1 e se pelo menos uma das variaveis x1 x2 entao Fx1 x2 0 Expressamos isso escrevendo F 1 F x2 Fx1 F 0 onde x1 x2 Variacao de Fx1 x2 no Retˆangulo e F Fx1 y1 Fx2 y2 Fx1 y2 Fx2 y1 0 y x y2 y1 x1 x1 y1 x1 y2 x2 x2 y1 x2 y2 Observacao 3 A funcao Fx1 F1x1 e a funcao de densidade da variavel aleatoria X1 De fato Fx1 F1x1 is the df of the random variable X1 logo Fx1 lim xn PX1 x1 X2 xn PX1 x1 X2 PX1 x1 F1x1 CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 58 De forma análoga F x2 F2x2 é a função de densidade de X2 F1 F2 são chamadas distribuições marginais Observação 4 Devemos salientar que os resultados apresentados nos itens iiv da Observação 1 se apropriadamente interpretados continuam válidos para vetores aleatórios Em particular o item iv diz que Fx1 x2 tem derivadas parciais de 2ª ordem e ²x1x2 Fx1 x2 fx1 x2 Vamos considerar agora o caso em que n 2 para dimensões maiores faremos adiante nesse caso 𝖃 X1 X2ᵀ e f1x1 fx1 x2 x2 x0 from to fx1 x2dx2 f2x2 fx1 x2 x1 from to fx1 x2dx1 Desta forma f1 e f2 são pdfs vejamos x1 f1x1 x1 x2 fx1 x2 1 ou from to f1x1dx1 from to from to fx1 x2dx1dx2 1 Analogamente obtemos o mesmo resultado para f2 E concluímos que f1 é a fdp de X1 e f2 é a fdp de X1 Pois PX1 B X1 B X2 R fx1 x2 X1 B fx1 x2 X2 R fx1 x2 X1 B f1x1 B R fx1 x2dx1 dx2 B R fx1 x2dx2 dx1 B f1x1dx1 A fdp de X2 é obtida analogamente Denominaremos f1 e f2 funções de distribuição marginais de f Suponha agora que f1x1 0 Então nós definiremos a função fx2x1 da seguinte forma fx2x1 fx1x2 f1x1 CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 59 fx2x1 é uma função de x2 com x1 uma valor de X1 fixo mas arbitrário tal que f1x1 0 Afirmação A função fx1 é uma fdp pois fx2x1 fx1x2 f1x1 como f1x1 0 e fx1 x2 0 fx2x1 0 x2 fx2x1 1 f1x1 x2 fx1 x2 1 f1x1 f1x1 1 fx2x1dx1dx2 1 f1x1 fx1 x2dx2 1 f1x1 f1x1 1 De forma semelhante se f2x2 0 definimos fx1x2 fx1x2 f2x2 e provamos que fx1x2 é a fdp da var aleatória X2 Alm disso se X1 e X2 são ambas discretas fx2x1 tem a seguinte interpretação fx2x1 fx1x2 f1x1 PX1x1X1x1 PX1x1 PX2 x2X1 x1 Portanto PX2 BX1 x1 X2 B fx2x1 Por esta razão denominaremos fx2 como a fdp condicional de X2 dado que X1 x1 provided f1x1 0 Pela mesma razão chamaremos fx2 a fdp condicional de X1 dado que X2 x2 provided f2x2 0 Para o caso em que as fdps f F2 são do tipo contínua a fdp condicional fx1x2 tem uma interpretação similar ao caso discreto Função de Densidade Conjunta de um vetor Aleatório Discreto Considere a seguinte Tabela Tabela 41 Naturalidade x Opinião Naturalidade Discordo Totalmente Discordo Indiferente Concordo Concordo Totalmente Total Capital 3 4 1 4 15 27 Interior 2 1 0 2 4 9 Outro Estado 0 0 1 4 6 11 Outro País 0 1 0 0 2 3 Total 5 6 2 10 27 50 Considere a seguinte Tabela CAPÍTULO 4 A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 60 Tabela 42 Naturalidade x Opinião fXxy 0 1 2 3 4 Total 0 350 450 150 450 1550 2750 1 250 150 0 250 450 950 Y 2 0 0 150 450 650 1150 3 0 150 0 0 250 350 Total 550 650 250 1050 2750 1 Considere a seguinte Tabela Tabela 43 Naturalidade x Opinião fXxy 0 1 2 3 4 Total 0 350 750 850 1250 2750 2750 1 550 1050 1150 1750 3650 950 Y 2 550 1050 1250 2250 4750 1150 3 550 1150 1350 2250 1 350 Total 550 650 250 1050 2750 1 Definição Dado o vetor aleatório 𝖃 X1 X2ᵀ definimos a função de densidade condicional de X2 dado X1 x1 da seguinte forma Fx2x1 t x2 ftx1 x2 ftx1dt Exercícios Questão 1 Um dado honesto é lançado independentemente 21 vezes se Xj representa o número de vezes que o número j 1 2 3 4 5 6 aparece i Qual é a distribuição conjunta de 𝖃 X1 X2 X3 X4 X5 X5ᵀ ii calcule as probabilidades que X1 6 X2 5 X3 4 X4 3 X5 2 X6 1 Questão 2 Suponha que 3 moedas são lançadas independentemente n vezes e defina as variáveis aleatórias Xj j 0 1 2 3 como segue Xj Número de vezes j qua uma Cara aparece iDetermine a fdp conjunta do vetor 𝖃 X0 X1 X2 X3ᵀ iii A fdp marginal de cada uma das vaX1 X2 X3 iv A fdp condicional de cada uma das va X1 X2 given X3 X1 X3 dado X2 X2 X3 dado X1 CAPITULO 4 A FUNC AO DE DISTRIBUIC AO ACUMULADA 61 v A fdp condicional de X1 given X2 X3 X2 dado X3 X1 X3 dado X1 X2 If n 20 Calcule as seguintes probabilidades vi P3X1 X2 5 vii PX1 X2 X3 viiiP3X1 X2 5 ix PX1 X2 10X3 5 x P3 X1 10X2 X3 xi PX1 3X2X1 X3 Questao 3 Sejam X Y sao va com distribuicao conjunta f dada por fx y 2 c2 0 x y 0 y c 0 Caso contrario i Determine a constante c ii Encontre as fdp marginais de X and Y iii Encontre a fdpcondicional de X dado Y e a fdpcondicional de Y dado X iv Calcule a probabilidade que X 1 Questao 4 Sejam X Y sao va com distribuicao conjunta f dada por fx y exyx y R2 Calcule as seguintes probabilidades iPX x iiPY y iiiPX Y ivPX Y 3 Questao 5 Sejam X1 X2 e X3 sao va com distribuicao conjunta f dada por fx1 x2 x3 c3ecx1x2x3 xj R3 i Determine a constante c ii Encontre a fdp marginal de cada uma das va XjX j j 1 2 3 iiiEncontre a distribuicao conjunta condicional of X1 X2 given X3 a e fdp condicional de X1 dado X2 X3 iv Encontre as fd correspondentes as fdps obtidas em in iii Questão 6 Considere a função dada abaixo fxy yx ey x x 0 1 y 0 0 Caso contrário i Mostre que para cada y fixo fy é uma fdp a fdp condicional de uma va X dado que outra va Y y ii Se a fdp marginal de Y é Binomial negativa com parâmetro λ 1 qual é a fdp conjunta de XY iii Mostre que a fdp marginal de X é dada por fx 1 2x1 x 0 1 2 0 Caso contrário Questão 7 Seja Y uma va Y Pλ e suponha que a fdp condicional da va X dado Yn é Pnp Determine a fdp de X e a fdp condicional de Y dado Xx Questão 8 Considere a função f definida da seguinte forma fx1x2 12πe x12x222 14π x13 x23 x1 x2 1 1 1 1 0 Caso contrário Mostre que i f não é a fdp conjunta de um vetor X X1 X2T com fdp Normal Bivariada ii As fdp marginais de f f1x1 fx1 x2dx2 e f2x2 fx1 x2 dx1 são fdp com distribuição Normal Capítulo 5 Momentos de Variáveis Aleatórias 51 Introdução Definição 50 Dada uma variável aleatória X i Para n1 denotamos por EXn o nésimo momento ou momento de ordem n de X e o definimos como EXn x XΩ xn PXx Se X é Discreta x XΩ xn fx dx Se X é Contínua ii Para r 0 o résimo momento absoluto de X é denotado por EXr e o definimos por EXr x XΩ xr PXx Se X é Discreta x XΩ xr fx dx Se X é Contínua iii Para uma constante arbitrária c n e r como em i e ii denotamos por EXcn e EXcr o nésimo e o résimo momento absoluto de X em torno de c respectivamente e os definimos da seguinte forma EXcn x XΩ xcn PXx Se X é Discreta x XΩ xcn fx dx Se X é Contínua e EXcr x XΩ xcr PXx Se X é Discreta x XΩ xcr fx dx Se X é Contínua Observações i Para n1 EX é chamado de Valor Esperado Média ou Esperança de X pode ser denotado também μX ou simplesmente μ ii Se cEX o nésimo momento em torno de c é chamado de momento central iii O 2º Momento Central é chamado de Variância pode ser denotado por σ2 X σ2X ou simplesmente σ2 A quantidade σ2 X σ X é chamada Desvio Padrão de X e também é denotada por σ X σX ou simplesmente σ 52 Esperança e Variância de Variáveis Aleatórias Propriedades Básicas da Esperança Da definição de EX segue imediatamente as seguintes propriedades E1 Ec c onde c é uma constante E2 EcXd cEX d onde c e d são constantes E3 Se X 0 então EX 0 E4 Se X Y então EX EY onde X e Y são var aleat com esperança finita E5 EX EX E6 Se EXr para algum r 0 então EXr para todo 0 r r r Propriedades Básicas da Variância Da definição de EX segue imediatamente as seguintes propriedades V1 σ2 c 0 onde c é uma constante V2 σ2 cXd c2 σ2 X onde c e d são constantes V3 σ2 X EX2 EX2 CAPÍTULO 5 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 65 V4 σ² X E XX 1 E X E X² Exemplo f x 2891 se x 2 1691 se x 1 191 se x 0 3291 se x 1 891 se x 2 691 se x 4 0 caso contrário E X 2 2891 1 1691 0 191 1 3291 2 891 4 691 5691 1691 0 3291 1691 2491 0 Exemplo E X² 4 2891 1 1691 0 191 1 3291 4 891 16 691 11291 1691 0 3291 3291 9691 28891 σ² X E X² E X² 28891 0 31648 σ X 31648 17790 CAPÍTULO 5 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 66 53 Média e Variância de Algumas Variáveis Aleatórias Discretas A Distribuição Binomial Proposição Se X Bn p então a E X np b σ² X np1 p Prova E X j nn j j pj 1 pn j j0n j nn 1n j 1 1 jj 1 pj 1 pn j j1n nn 1n 1 j 1 j 1 p pj 1 1 pn 1 j 1 j1n np n 1n 1 j 1 j 1 pj 1 1 pn 1 j 1 j1n Fazendo m n 1 e k j 1 temos E X np mm k k pk 1 pm k k0m np E X² j² nn j j pj 1 pn j j0n j² j j nn 1 j pj 1 pn j j1n jj 1 nn j j pj 1 pn j j2n j nn j j pj 1 pn j j0n jj 1 nn 1n 2n 2 j 2 jj 1j 2 p² pj 2 1 pn 2 j 2 j2n np CAPÍTULO 5 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 67 Fazendo m n 2 e k j 2 temos E X² nn 1 p² mm k k pk 1 pm k k0m np nn 1 p² np Finalmente usando a propriedade V3 σ² X nn 1 p² np n² p² n² p² np² np n² p² np1 p A Distribuição de Poisson Proposição Se X Pλ então a E X λ b σ² X λ Prova E X k eλ λk k k0 λ k eλ λk 1 k 1 k0 λ eλ k λk 1kk 1 k1 λ eλ λk 1k 1 k1 λ eλ λl l l0 λ E X² k² eλ λk k k0 λ² eλ kk 1 λk 2kk 1k 2 k0 λ λ² λ Usando a propriedade V3 Var X λ² λ λ² λ CAPÍTULO 5 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 68 A Distribuição Hipergeométrica Proposição Se X é uma va tendo distribuição Hipergeométrica com parâmetros m n e r então a E X m r m n b σ² X m n r m n r m n² m n 1 Prova Se X tem distribuição Hipergeométrica com parâmetros m n e r então sua fdp é dada por fk m k n r k m n r E X k0 to r k m k n r k m n r m k1 to r m1 m1k1 k1 n r 1 k 1 mn r mn1 mn1r1r1 m r m n l0 to R M l n R l M n R m r m n Vamos usar a propriedade V4 para calcular a Variancia de X CAPÍTULO 5 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 69 E XX 1 k2 to r kk 1 m k n r k m n r k2 to r mm 1 m 2 k 2 n r 2 k 2 mnmn1 rr1 m n 2 r 2 mm 1 rr 1 m nm n 1 k2 to r m 2 k 2 n r 2 k 2 m n 2 r 2 mm 1 rr 1 m nm n 1 j0 to r m j n r j m n r mm 1 rr 1 m nm n 1 Usado a propriedade V4 temos σ² X mm 1 rr 1 m nm n 1 m r m n m r m n² m n m r m 1r 1 m r m n 1 m r² m n 1 m n² m n 1 m r m n m 1r 1 m n 1 m r m r m n² m n 1 m r m n n r m r m n² m n 1 m n r m n r m n² m n 1 CAPÍTULO 5 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 70 A Distribuição Binomial Negativa Proposição Se X é uma va tendo distribuição Binomial Negativa com parâmetros r p então a E X rq p b σ² X rq p² Prova Se X tem distribuição Negativa Binomial com parâmetros r p e então sua fp é dada por fXk pr r k 1 k qk se k XΩ 0 caso contrário Onde XΩ 0 1 2 3 0 p 1 q 1 p E X k0 to k fXk pr k0 to k r k 1 k qk pr k0 to k r k 1 r k 1 k k qk r q pr k1 to k r k 1 r r 1 kk 1 qk1 r q pr k1 to r k 1 r k 1 qk1 r q p pr1 k1 to r 1 k 1 1 r 1 k 1 1 k 1 k 1 qk1 r q p ps j0 to s j 1 s j 1 j j qj r q p Vamos usar a propriedade V4 para calcular a Variancia de X E XX 1 k0 kk 1fXk pr k0 kk 1 r k 1 k qk pr k2 kk 1r k 1 r 1kk 1k 2 qk r 1rq2 pr k2 r k 1 r 1k 2 qk2 r 1rq2 p2 pr2 k2 r 2 k 2 1 r 2 k 2 1 k 2k 2 qk2 r 1rq2 p2 pr j0 r j 1 j qj r 1rq2 p2 Usado a propriedade V4 temos σ2X r 1rq2 p2 rq p rq p2 r 1rq2 rqp rq2 p2 rqq p p2 rq p2 54 Média e Variancia de Algumas Variáveis Aleatórias Contínuas A Distribuição Uniforme Proposição Se X é uma va tendo distribuição Uniforme com parâmetros α β então a E X α β 2 b σ2 X α β2 12 Prova Se X tem distribuição Uniforme com parâmetros α β e então sua fdp é dada por fXx 1 βα α x β 0 caso contrário E X xfxdx 1β α αβ xdx 1β α x2 2 βα 1β α β2 α2 2 α β 2 E X2 x2 fxdx 1 β α αβ x2 dx 1 β α x3 3 βα 1 β α β3 α3 3 1 β α β2 α2 αββ α 3 β2 α2 αβ 3 σ2X EX2 EX2 β2 α2 αβ 3 α β2 4 4β2 α2 αβ 3β2 2αβ α2 12 β α2 12 A Distribuição Normal Proposição Se X é uma va tendo distribuição Normal com parâmetros μ σ2 então a E X μ b σ2 X σ2 CAPÍTULO 5 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 73 Prova Se X tem distribuição Normal com parâmetros μ σ2 então sua fdp é dada por fXx 1 2πσ exμ2 2σ2 x 51 Vamos provar inicialmente que se Z 𝒩0 1 então E Z 0 e σ2 Z 1 E Z x fx dx 1 2π x ex2 2 dx 1 2π 0 x ex2 2 dx 1 2π 0 x ex2 2 dx 1 2π 0 x ex2 2 dx 1 2π 0 x ex2 2 dx 1 2π 0 y ey2 2 dy 1 2π 0 x ex2 2 dx 1 2π 0 y ey2 2 dy 1 2π 0 x ex2 2 dx 0 E Z2 x2 fx dx 2 2π 0 x2 ex2 2 dx 2 2π 0 x x ex2 2 dx 2 2π 0 x ddxex2 2 dx 2 2π xex2 2 0 0 ex2 2 dx Usando integração por partes 0 2 2π 0 ex2 2 dx 1 σ2 Z E Z2 E Z2 1 Vamos usar agora o seguinte Teorema Já demonstrado Teorema 2 Se X é uma var aleat tendo distribuição 𝒩μ σ2 fazendo Z X μ σ Zé uma va com distribuição 𝒩0 1 CAPÍTULO 5 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS A Distribuição Lognormal Proposição 3 Se X uma var aleatória com distribuição Lognormal então 1 EX e2α β²2 2 σ²X e2ασβ²eβ² 1 Prova Se X tem distribuição Lognormal com parâmetros α β α 0 β 0 sua fdp é dada por fx 1 x β 2π elogxα²2β² se x 0 α 0 β 0 0 caso contrário EX ₀ x 1 x β 2π elogxα²2β² dx Fazendo a substituição x ey dx ey dy logx y quando x 0 y e quando x y temos EX 1 β 2π eyα²2β² ey dy 1 β 2π ey yα²2β² dy 1 β 2π e2β²y yα²2β² dy 1 β 2π e2β²y y² 2αy α²2β² dy 1 β 2π e 2β² y y² 2αy α² 2β² dy 1 β 2π e y² 2yβ²α α²2β² dy 1 β 2π e y² 2yβ²α β²α² α² β²α²2β² dy 1 β 2π eyβ² α²2β² ea² β²α² 2β² dy eα² β² α² 2β² e2α β²2 EX² ₀ x² 1 xβ 2π elogxα²2β² dx Fazendo a substituição x ey dx ey dy logx y quando x 0 y e quando x y temos EX² 1 β 2π eyα²2β² e2y dy 1 β 2π e2yyα²2β² dy procedendo como no caso de EX temos EX² 1 β 2π ey2β² α² 2β² dy e2β² α e2β² α σ²X EX² EX² e2β² α eβ² 2α2² e2α β²eβ² 1 A Distribuição de Cauchy A Distribuição de Logística A Distribuição de Triângular CAPÍTULO 5 MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 55 Probabilidades e Desigualdades de Momentos Teorema 9 Desigualdade de Markov Se X é uma var aleat não negativa e c 0 então ProbX c EX c Prova vamos provar para o caso contínuo o caso discreto é análogo EX x fx dx c x fx dx c x fx dx c x fx dx c c fx dx c c fx dx c ProbX c Teorema 10 Desigualdade de Chebyshev Se X é uma var aleat com média μ e variância σ² então para qualquer k 0 ProbX μ k σ² k² Prova Considere a variável Y X μ² a qual é não negativa aplicando a desigualdade de Markov obtemos ProbX μ² k² EX μ² k² σ² k² Agora X μ² k² se e somente se X μ k portanto ProbX μ² k² EX μ² k² σ² k² EXEMPLO Suponha que sabemos que o número de itens produzido numa fábrica durante uma semana é uma variável aleatória com média μ 50 a O que podemos afirmar sobre a probabilidade de que nesta semana a produção ultrapasse 75 itens Capıtulo 7 Transformacoes de Variaveis Aleatorias 71 O Caso Univariado Se X e uma va e h R R e uma funcao entao Y hX e uma va Dada a distribuicao de X desejamos determinar a distribucao de Y Se PX PY sao as distribuicoes de X e de Y respectivamente Isto e PXB PX B PYB PY B B R Agora Y B hX B X A where A h1B x R hx B Portanto PYB PY B PX A PXA A Teorema 1 Se X e uma va e h R R e uma funcao tal que Y hX e uma e uma va Entao a distribuicao PY da va Y e determinada pela distribuicao PX da va X como segue Para qualquer subconjunto B R PYB PXA onde A h1B 711 Applicacao 1 Transformacoes de Variaveis Aleatorias Discretas Se X e uma va discreta tomando valores x j j12 e Y hX Entao Y tambem e uma va tomando os valores yj j 1 2 Desejamos determinar fYyj PY yj j 1 2 Fazendo B y j temos 86 CAPITULO 7 TRANSFORMAC OES DE VARI AVEIS ALEAT ORIAS 88 Corolario Se h S T e injetiva e monotona Entao FYy FXx se h e crescente e FYy 1 FXx se h e decrescente onde x h1y e FXx limxyFXy EXEMPLO 3 Se Y hX X2 para y 0 Temos FYy PY y PX2 y P y X y PX y PX y FX y FX y se y 0 e FYy 0 para y 0 EXEMPLO 4 Se X N0 1 entao fXx 1 2πe x2 2 Pelo Exemplo 3 Se Y X2 FYy FX y FX y y 0 Logo d dyFX y F X y d dy y 1 2 y fX y 1 2 2π ye y 2 e d dyFX y 1 2 yF X y 1 2 y fX y 1 2 2π ye y 2 Portanto CAPITULO 7 TRANSFORMAC OES DE VARI AVEIS ALEAT ORIAS 90 72 Exercıcios Questao 1 Se X e uma va com fdp f dada por fXx αx 1α x 0 1 2 3 0 α 1 0 Caso contrario Determine a fdp da va Y X3 Questao 2 Se X Y sao va representando as temperatura em de um certo objeto em Graus e Fahre nheit respectivamente sabese Y 9 5X 32 Se X Nµ σ2 determine a fdp de Y primeiro usando a funcao de densidade e depois diretamente Questao 3 Se uma va X Expλ encontre a fdp de cada uma das va Y eX e Z logX primeiro usando a funcao de densidade e depois diretamente Questao 4 Se uma va X Uα β Determine a fdp das seguintes va aX ba 0 1X 1 X2 1 eX logX para α 0 primeiro usando a funcao de densidade e depois diretamente Quais das fdp do item anterior ainda sao validas para α 0 e β 1 Questao 5 Se uma va X Uπ 2 π 2 mostre que a va Y tgX tem distribuicao de Cauchy Encontre tambem a distribuicao da va Z senX Questao 6 Se uma va X Gamaα β e Y 2X β mostre que Y χ2 2α dado que 2α e inteiro Questao 7 Se uma va X χ2 r faca Y X1 X and determine sua fdp CAPITULO 7 TRANSFORMAC OES DE VARI AVEIS ALEAT ORIAS 100 74 Exercıcios 75 Transformacoes Lineares de Vetores Aleatorios Capıtulo 8 Teoremas Limites de Sequˆencias de Variaveis Aleatorias 81 Tipos de Convergˆencia O aspecto mais importante da teoria da probabilidade diz respeito ao comportamento de sequˆencias de variaveis aleatorias Esta parte da probabilidade e chamada de Teoria das grandes amostras ou teoria limite ou teoria assintotica A questao basica e esta o que podemos dizer sobre o comportamento limite de uma sequˆencia de variaveis aleatorias X1 X2 X3 Uma vez que estatıstica e mineracao de dados se referem a coleta de dados naturalmente estaremos interessados no que acontece a medida que reunimos mais e mais dados Definicao 51 Dado um espaco probabılistico Ω F puma sequˆencia de variaveis aleatorias Xn Ω e uma variavel aleatoria X i Dizemos que Xn converge quase certamente quase sempre ou com probabilidade um para X quando n e escrevemos Xn qs X ou Xn X com pro babilidade 1 ou p Xn X 1 se Xnω Xω para todo ω Ω exceto possivelmente em algum evento S com pS 0 Dizer que Xn qs X e equivalente a afirmar que para todo ϵ 0 e para todo w S c existe Nω ϵ 0 talque Xn X ϵ para todo n Nω ϵ Este tipo de convergˆencia tambem e conhecido como con vergˆencia forte 101 Parte III Inferˆencia Estatıstica 107 CAPITULO 9 ESTIMAC AO PONTUAL 109 Em geral um modelo parametrico assume a forma F fx θ θ Θ onde θ e um parˆametro desconhecido ou vetor de parˆametros que pode levar valores no espaco de parˆametros Θ Se θ e um vetor mas estamos apenas interessados em um componente de θ chamamos os parˆametros restantes de parˆametros incˆomodos Um modelo nao parametrico e um conjunto F que nao pode ser parametrizado por um numero finito de parˆametros Muitos problemas inferenciais podem ser identificados como sendo um de trˆes tipos Estimacao Intervalos de confiancaa e Teste de hipoteses Vamos tratar de todos esses problemas em detalhes no resto do livro Aqui damos uma breve introducao as ideias Estimacao Pontual Parametrica ou Estimacao Pontual e uma tecnica que tenta forne cer uma unica melhor estimativade alguma quantidade de interesse A quantidade de interesse pode ser um parˆametro em modelo parametrico uma fda F uma funcao de densidade de probabilidade f uma funcao de regressao T ou uma previsao para um valor futuro Y de alguma variavel aleatoria Neste capıtulo vamos abordar a teoria sobre este assunto Para resumir usaremos o tˆermo estimativa em vez de estimativa pontual parametrica Os metodos de estimativa a serem discutidos sao os seguintes estimativa de maxima verossimilhanca estimativa por meio dos conceitos de enviesamento e variancia mınima o que leva a uniformemente mınimo estimativas de variˆancia estimativa baseada em conceitos de teoria da decisao e estimacao pelo metodo dos momentos 92 A Ideia basica da Estimacao Pontual O problema aqui resumidamente declarado e o seguinte Seja X um va com um fdp f que no entanto envolve um parˆametro Este e o caso por exemplo no Distribuicao bino CAPITULO 9 ESTIMAC AO PONTUAL 111 O MLE sera estudado extensivamente no Capıtulo 9 Outro princıpio frequentemente usado na construcao de uma estimativa para θ e o prin princıpio de imparcialidade Neste contexto uma estimativa geralmente e denotada por U UX1 Xn Entao o princıpio da imparcialidade dita que U deve ser cons truıdo de modo a ser imparcial ou seja sua expectativa valor medio deve ser sempre θ nao importa qual seja o valor de θ Mais formalmente EθU θ para todos θ Θ No sinal de expectativa E o parˆametro θ foi inserido para indicar que esta expectativa depende de θ uma vez que e calculada usando o fdp f θ Agora e intuitivamente claro que ao comparar duas estimativas imparciais companheiros um escolheria o outro com a pequena servidao uma vez que seria mais fortemente concentrado em torno de sua media θ Visualize o caso que dentro da classe de todas as estimativas imparciais existe uma que tem a menor variˆancia e isso e verdade para todos os θ Theta Essa estimativa e chamada de mınimo uniforme Estimativa de variˆancia imparcial UMVU e e claramente uma estimativa desejavel Dentro No proximo capıtulo veremos como fazemos para construir essas estimativas O princıpio ou melhor o metodo baseado em momentos amostrais e outra forma de construir estimativas O metodo dos momentos no caso mais simples dita para formar a media da amostra X e igualala com a media teorica EθX Em seguida resolva para θ assumindo que pode ser feito e de fato exclusivamente na ordem para chegar a uma estimativa de momento de θ Um metodo muito mais sofisticado de construcao de estimativas de θ e o o chamado metodo teorico da decisao Este metodo exige a introducao de uma serie de conceitos terminologia e notacao e sera retomada na Proximo Capıtulo Finalmente outro metodo relativamente popular em particular no contexto de cer tos modelos e o metodo dos mınimos quadrados LS O metodo de ligacoes LS para a construcao de uma estimativa para θ a Estimativa de Mınimos Quadrados LSE de θ por meio de uma minimizacao em relacao a θ da soma de certos quadrados Esta soma dos quadrados representa os desvios quadrados entre o que realmente observar depois que a experimentacao for concluıda e o que esperarıamos ter com base em um modelo presu mido Mais uma vez os detalhes serao apresentados mais tarde em mais especificamente no Capıtulo 13 Em toda a discussao anterior foi assumido que o pdf subjacente dependia de um unico parˆametro denotado por θ Pode muito bem ser caso haja dois ou mais parˆametros envolvidos Isso pode acontecer por exemplo na distribuicao uniforme Uα β α β onde ambos α e β sao desconhecidos a distribuicao normal Nµ σ2 onde ambos µ e σ2 sao desconhecidos e isso acontece na distribuicao Multinomial onde o o numero de parˆametros e k p1 pkou mais precisamente k 1 uma vez que o kesimo CAPITULO 9 ESTIMAC AO PONTUAL 112 parˆametro por exemplo pk 1 p1 pk1 Por exemplo Exemplos 20 e 21 do Capıtulo 1 referemse a situacoes em que uma distribuicao Multinomial e apropriado Em tais casos de multiparˆametros simplesmente se aplica a cada parˆametro separadamente o que foi dito acima para um unico parˆametro A opcao alternativa de usar a notacao vetorial para os parˆametros envolvidos simplifica as coisas de certa forma mas tambem introduz algumas complicacoes de outras maneiras Seja X uma va com fdp f θ onde θ e um parˆametro que esta em um espaco de parˆametro Θ Supoese que a forma funcional da fdp e completamente conhecido Portanto se θ fosse conhecido a fdp seria conhecido e consequentemente poderıamos calcular em princıpio todas as probabilidades relacionadas a X a esperanca de X sua variˆancia etc O problema no entanto e que na maioria das vezes na pratica e no presente contexto θ nao e conhecido Entao o objetivo e estimar θ com base em uma amostra aleatoria de tamanho n de f θ X1 Xn Entao substituindo θ em f θ por uma estimativa boadele seria de esperar ser capaz de usar a fdp resultante para os fins descritos acima em um grau satisfatorio 93 Estimacao de Maxima Verossimilhanca Motivacao e Examplos O seguinte exemplo simples destinase a esclarecer o que e intuitivo mas bastante logico o princıpio da Estimativa de Maxima Verossimilhanca Exemplo 3 Sejam X1 X10 vas iid da distribuicao B1 θ 0 θ 1 e se X1 X10 sao os respectivos valores observados Por conveniˆencia defina t x1 x10 Alem disso suponha que nas 10 tentativas 6 resultaram em sucessos de modo que t 6 Entao a funcao de verossimilhanca envolvida e Lθx θ61 θ4 0 θ 1 x x1 x10 Assim Lθx e a probabilidade de observar exatamente 6 sucessos em 10 ensaios bi nomiais independentes ocorrendo os sucessos nas tentativas para as quais xi 1 i 1 10 esta probabilidade e uma funcao do parˆametro desconhecido θ Vamos calcu lar os valores desta probabilidade para θ variando de 01 a 09 Observamos que os valores de Lθx sao crescentes atingem seu maximo valor em θ 0 6 e entao os valores vao diminuindo Portanto se esses 9 valores fossem os unicos valores possıveis para θ o que eles naoo sao alguem poderia raciocinar habilmente escolha o valor de Capıtulo 10 Intervalos de Confianca e Regioes de Confianca 101 A Ideia Basica da Estimacao Intervalar Suponha que estejamos interessados em construir uma estimativa pontual da media µ em uma distribuicao normal Nµ σ2 com variˆancia conhecida isso deve ser feito com base em uma amostra aleatoria de tamanho n X1 Xn extraıdo da subjacente distribuicao Isso equivale a construir uma estatıstica adequada dos Xi chamada V VX1 Xn que para os valores observados xi de Xi i 1 n e uma entidade numerica e declara a como o valor desconhecido de µ Isso parece um tanto presuncoso uma vez que a partir do conjunto de valores possıveis para µ µ apenas um e selecionado como seu valor Pensando assim pode ser mais razoavel visar em vez disso um intervalo aleatorio que contera o valor desconhecido de µ com alta probabilidade prescrita Isso e exatamente o que um intervalo de confianca faz Para ser mais preciso ao lancar o problema em um cenario geralseja X1 Xn uma amostra aleatoria de uma fdp f θ θ Θ R L LX1 Xn e U UX1 Xn duas estatısticas de Xi tais que L U Entao o intervalo com limites L e U L U e chamado de um intervalo aleatorio Seja α um pequeno numero em 0 1 como 0005 001 005 e suponha que o intervalo aleatorio L U contem θ com probabilidade igual para 1 α como 0995 099 095 independentemente do valor verdadeiro de θ Em outras palavras suponha que PθL θ U 1 α para todo θ Θ 1 139 CAPITULO 10 INTERVALOS DE CONFIANC A E REGI OES DE CONFIANC A140 Se a relacao 1 for mantida entao dizemos que o intervalo aleatorio L U e um intervalo de confianca para θ com nıvel de confianca 1 α A interpretacao da significˆancia de um intervalo de confianca e baseada na interpretacao da frequˆencia relativa do conceito de probabilidade da seguinte forma Suponha que n vas independentes sejam extraıdos de uma fdp f θ e x1 xn sejam seus va lores observados Alem disso seja L1 U1 o intervalo resultante a partir dos valores observados de L LX1 Xn e U UX1 Xn isto e L1 Lx1 xn e U1 Ux1 xn Prossiga para constuir de forma independente um segundo conjunto de rvas como acima e seja L2 U2 o intervalo resultante Repita este processo inde pendentemente um grande numero de vezes N digamos com o intervalo correspondente sendo LN UN Entao a interpretacao de 1 e que em media cerca de 1001 α dos N intervalos acima irao na verdade contem o valor verdadeiro de θ Por exemplo para α 0 05 e N 1000 a proporcao de tais intervalos sera de 95 ou seja seria de esperar 950 de dos 1000 intervalos construıdos como acima para conter o valor verdadeiro de θ A evidˆencia empırica mostra que tal expectativa e valida Tambem podemos definir um limite de confianca superior para θ U UX1 Xn e um limite de confianca inferior para θ L LX1 Xn ambos com nıvel de confianca 1α se respectivamente os intervalos U e L sao intervalos de confianca para θ com nıvel de confianca 1 α Quer dizer Pθ θ U 1 α PθL θ 1 α para todo θ Θ 2 Existem algumas variacoes de 1 e 2 Por exemplo quando a fdp em questao e discreta entao igualdades em 1 e 2 raramente sao obtidas para dados α e devem ser substituıdos por desigualdades Alem disso exceto em casos especiais igualdades em 1 e 2 sao validos apenas aproximadamente para grandes valores do tamanho da amostra n mesmo nos casos em que os rv subjacentes sao contınuos Nesses casos dizemos que os respectivos intervalos de confianca limites de confianca tˆem coeficiente de confianca aproximadamente 1 α Finalmente os parˆametros de interesse podem ser dois ou mais em vez de um como presumimos ate agora Nesses casos o conceito de intervalo de confianca e substituıdo por aquele de uma regiao de confianca no parˆametros num espaco multidimensional Este conceito sera ilustrado por um exemplo ao estudarmos testes de hipotese quando tambem expandiremos consideravelmente o que foi brevemente discutido aqui Referˆencias Bibliograficas 1 Bonfarine H Sandoval M Introducao a Inferˆencia Estatıstica SBM Soci edade Brasileira de Matematica Rio de Janeiro 2001ISBN 8585818130 2 Casella G Inferˆencia Estatıstica Traducao da 2a Edicao Americana CEN GAGE Learning Sao Paulo 2010ISBN 8522108943 3 Hoel Paul G Introducao a teoria da probabilidade lnterciˆencia Rio de Janeiro 1978 4 Ross S Probabilidade um curso moderno com aplicacoes I 8a ed Book man Porto Alegre 2010 5 Roussas G Introduction to Probability and Statistical Inference Academic Press Florida 2003ISBN 0125990200 6 Roussas G A Course in Mathematical Statistics Academic Press San Diego 1973ISBN 0125993153 145