Engenharia Economica - Juros Simples Montante e Capital

Engenharia Econômica Professor João Carlos Corrêa Objetivo da Aula Apresentar os conceitos e aplicações de Montante e Capital Taxa Proporcional e Taxa Equivalente Juro Exato e Juro Comercial Conteúdo Geral da Aula 1 Montante e Capital 2 Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 3 Juro Exato e Juro Comercial 4 Lista de Exercícios 1 MONTANTE E CAPITAL Montante e Capital Um determinado capital quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo produz um valor acumulado denominado de montante e identificado em juros simples por M Em outras palavras o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros isto é 1 MONTANTE E CAPITAL M C J No entanto sabese que J C x i x n Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante supra e colocandose C em evidência temos M C C x i x n M C 1 i x n C M 1 i x n Montante e Capital Uma pessoa aplica R 1800000 à taxa de 15 ao mês durante 8 meses Determinar o valor acumulado ao final deste período 11 MONTANTE E CAPITAL EXEMPLO Solução C R 1800000 i 15 ao mês 0015 n 8 meses M M C 1 i x n M 1800000 1 0015 x 8 M 1800000 x 112 R 2016000 Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n Montante e Capital 1 Uma dívida de R 70000000 irá vencer em 4 meses O credor está oferecendo um desconto de 5 ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida M R 70000000 n 4 meses i 5 am 005 C C M 1 i x n C 70000000 1 005 x 4 R 58333333 12 MONTANTE E CAPITAL EXERCÍCIO Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n Montante e Capital 2 Uma pessoa aplica R 3500000 à taxa de 25 ao mês durante 9 meses Determinar o valor acumulado ao final deste período C R 3500000 i 25 am 0025 n 9 meses M M C 1 i x n M 3500000 1 0025 x 9 R 4287500 12 MONTANTE E CAPITAL EXERCÍCIO Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n Montante e Capital 3 Uma dívida de R 80000000 irá vencer em 5 meses O credor está oferecendo um desconto de 7 ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida M R 80000000 n 5 meses i 7 am 007 C C M 1 i x n C 80000000 1 007 x 5 R 59259259 12 MONTANTE E CAPITAL EXERCÍCIO Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n 2 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 21 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE Para se compreender mais claramente o significado destas taxas devese reconhecer que toda operação envolve dois prazos 1 O prazo que se refere a taxa de juros 2 O prazo de capitalização ocorrência dos juros Ilustrativamente admita um empréstimo bancário a uma taxa custo nominal de 24 ao ano O prazo que se refere especificamente a taxa de juros anual A seguir devese identificar a periodicidade de ocorrência dos juros Ao se estabelecer que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano os dois prazos considerados são coincidentes O crédito direto do consumidor promovido pelas Financeiras é outro exemplo de operação com prazos iguais Caracteristicamente a taxa cobrada é definida ao mês e os juros capitalizados também mensalmente Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 21 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE Mas em inúmeras outras operações estes prazos não são coincidentes O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa devendose nesta situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período de capitalização Por exemplo sabese que a Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6 ao ano a qual é agregada capitalizada ao principal todo o mês através do percentual proporcional de 05 Temse aqui então dois prazos prazo da taxa ano e prazo de capitalização mês Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 21 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE É necessário para o uso das fórmulas da Matemática Financeira conforme foi abordado anteriormente expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo Ou transformase o prazo específico da taxa para o de capitalização ou de maneira inversa o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros No regime de juros simples diante de sua própria natureza linear esta transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também denominada de taxa linear ou nominal Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros quantidade de períodos de capitalização Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 21 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE Exemplo de taxa proporcional Uma taxa de juros de 18 ao ano se a capitalização for definida mensalmente ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será Taxa Proporcional 18 12 15 ao mês A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida principalmente em operações de curto prazo tais como Cálculo de juros mora Descontos bancários Créditos de curtíssimo prazo Apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 21 EXERCÍCIOS 1 Uma taxa de juros de 22 ao ano se a capitalização for definida mensalmente ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será Taxa Proporcional 22 12 183 am 2 Uma taxa de juros de 35 ao ano se a capitalização for definida mensalmente ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será Taxa Proporcional 35 12 292 am Corrigido Corrigido Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 21 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo produzem o mesmo volume linear de juros Por exemplo em juros simples um capital de R 50000000 se aplicado a 25 ao mês ou 15 ao semestre pelo prazo de um ano produz o mesmo montante linear de juros isto é J 25 am R 50000000 x 0025 x 12 R 15000000 J 15 as R 50000000 x 015 x 2 R 15000000 Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais logo são definidas como equivalentes Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 21 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE No exemplo anterior observe que 25 am é equivalente a 15 as verificandose ainda uma proporção entre as taxas A taxa de 25 está relacionada ao período de um mês e a de 15 a seis meses logo 16 2515 Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 22 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE EXERCÍCIOS 1 Calcular a taxa anual proporcional a a 6 ao mês 6 x 12 72 aa b 10 ao bimestre 10 x 6 60 aa 2 Calcular a taxa de juros semestral proporcional a a 60 ao ano i 60 12 x 6 30 as OU 60 2 30 as b 9 ao trimestre i 9 3 x 6 18 as OU 9 x 2 18 as Corrigido Corrigido Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 22 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE EXERCÍCIOS 4 Calcular um montante de capital de R 60000000 aplicado à taxa de 23 ao mês pelo prazo de um 01 ano e 5 meses M C R 60000000 i 23 am 0023 n 1 ano e 5 meses 17 meses M C 1 i x n M 60000000 1 0023 x 17 R 83460000 Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 22 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE EXERCÍCIOS 5 Calcular um montante de capital de R 40000000 aplicado à taxa de 23 ao mês pelo prazo de um ano e 3 meses M C R 40000000 i 23 am 0023 n 1 ano e 3 meses 15 meses M C 1 i x n M 40000000 1 0023 x 15 R 53800000 Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n Taxa Proporcional e Taxa Equivalente 22 TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE EXERCÍCIOS 6 Uma dívida de R 3000000 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes Para a sua quitação antecipada o credor concede um desconto de 15 ao ano Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente M R 3000000 n 3 meses i 15 aa 15 12 125 am 00125 C C M 1 i x 3 C 30000 1 00125 x 3 R 2891566 Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n 3 JURO EXATO E JURO COMERCIAL Juro Exato e Juro Comercial 31 JURO EXATO E JURO COMERCIAL DEFINIÇÕES É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples terse o prazo definido em número de dias Nestes casos o número de dias pode ser calculado de duas maneiras a Pelo tempo exato utilizandose efetivamente o calendário do ano civil 365 dias O juro apurado desta maneira denominase juro exato b Pelo ano comercial o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias Temse por este critério a apuração do denominado juro comercial ou ordinário Exemplo Juro exato 12 365 dias 0032877 ao dia Juro comercial 12 360 dias 0033333 ao dia 4 LISTA DE EXERCÍCIOS Lista de Exercícios 41 EXERCÍCIOS 1 Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R 1800000 resgatando R 21456 quatro meses depois Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação C R 1800000 M R 21456 n 4 meses i M C 1 i x n 21456 18000 1 4i 2145618000 1 4i 1192 1 4i 4i 1192 1 4i 0192 i 0192 4 0048 ou 48 am Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n Lista de Exercícios 41 EXERCÍCIOS 2 Se uma pessoa necessitar de R 10000000 daqui a 10 meses quando deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12 ao ano M R 100000 n 10 meses i 12 aa ou i 12 12 1 am 001 C C M 1 i x n 100000 1 001 x 10 C R 9090909 Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n Lista de Exercícios 41 EXERCÍCIOS 3 Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R 2000000 resgatando R 23555 quatro meses depois Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação C R 2000000 M R 23555 n 4 meses i M C 1 i x n 23555 20000 1 4i 2355520000 1 4i 1178 1 4i 4i 1178 1 4i 0178 i 0178 4 0045 ou 445 am Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n Lista de Exercícios 41 EXERCÍCIOS 4 Se uma pessoa precisar de R 5000000 daqui a 6 meses quando deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12 ao ano M R 50000 n 6 meses i 12 aa ou i 12 12 1 am 001 C C M 1 i x n 50000 1 001 x 6 C R 4716981 Corrigido M C 1 i x n C M 1 i x n Lista de Exercícios 41 EXERCÍCIOS 5 Calcular a taxa mensal proporcional de juros de a 144 ao ano 144 12 12 am b 68 ao quadrimestre 68 4 17 am c 114 ao semestre 114 6 19 am d 1104 ao ano 1104 12 92 am a 5472 ao biênio 5472 12 456 456 2 228 am Corrigido Lista de Exercícios 41 EXERCÍCIOS 6 Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de a 120 ao ano 120 4 30 at b 32 ao quadrimestre 32 4 3 32 133 24 at c 15 ao mês 15 1 3 15 033 45 at Corrigido