Lei de Ampère: Força Magnética entre Dois Fios

FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL III AULA 4 LEI DE AMPÈRE PROF DR CLÁUDIO MAGALHÃES claudiomagalhaescruzeirodosuledubr 2022 2 Universidade FORCA MAGNETICA ENTRE DOIS FIOS Cruzeiro do Sul CONDUZINDO CORRENTE ELETRICA Quando dois fios paralelos sao percorridos por correntes exercem forgas um sobre o outro sejam as correntes i e i mostradas na figura separadas por uma distancia d A forga produzida pela corrente no fio a sobre o fio b pode ser calculada pois a corrente produz um campo magnético Ba Para determinar a forcga precisamos conhecer o modulo e orientagao do campo Ba na posigao do fio b O modulo de Ba em qualquer ponto do fio b é dado por Ula a ae B a a 2nd Fee b we B devido a i Universidade Cruzeiro do Sul Dois fios paralelos que conduzem correntes no mesmo sentido se atraem mutuamente B o campo magnetico no fio b devido a corrente no fio a Fy a forga que age sobre o fio b porque o fio conduz uma corrente i na presenca do campo Bz Usando a regra da mao direita possivel identificar que o sentido do campo B na posicao do fio b é para baixo Para calcular a forga exercida sobre o fio b a forga F a que esta submetido um segmento L do fio b devido a presenca do campo magnetico externo B é dado por Pha ipL x Ba Universidade Cruzeiro do Sul L 0 vetor comprimento do fio Le Ba sao mutuamente perpendiculares UpLigty Poa lpLBgsen 90 ba ba Ind A diregao de Fa é a direcao do produto vetorial L x B A plicando a regra da mao direita para produtos vetoriais a Le B é possivel verificar que F aponta na diregao do fio a figura da pagina anterior Regra geral para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente Para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente por outro fio percorrido por corrente determine primeiro o campo magnético produzido pelo segundo fio na posição do primeiro em seguida determine a força exercida pelo campo sobre o primeiro fio Para determinar a força exercida sobre o fio pela corrente que circula no fio o resultado é que a força aponta na direção do fio o que significa que dois fios com correntes paralelas se atraem No caso em que as correntes possuem sentidos opostos nos dois fios o resultado mostra que as forças apontam para longe dos dois fios ou seja os fios se repelem correntes paralelas se atraem e correntes antiparalelas se repelem Universidade A DEFINICAO DO AMPERE oe Cruzeiro do Sul A forga que atua entre correntes em fios paralelos é usada para definir o ampere uma das sete unidades do SI Sistema Internacional de unidades Definigao adotada em 946 O ampere é a corrente constante que quando mantida em dois condutores retilineos paralelos de comprimento infinito e sedo reta desprezivel separados por 1 m de distancia no vacuo produz em cada um uma forca de médulo 2x 10 newtons por metro de comprimento dos fios CANHÃO ELEROMAGNÉTICO Uma das aplicações da força entre dois fios paralelos é o canhão magnético no qual uma força magnética acelera um projétil fazendoo adquirir uma alta velocidade em um curto período de tempo Uma corrente elevada é estabelecida em um circuito formado por dois trilhos paralelos e um fusível condutor Ex barra de cobre colocado entre os trilhos O projétil a ser lançado fica perto da extremidade mais distante do fusível encaixado frouxamente estre os trilhos Quando a corrente é aplicada o fusível se funde e logo se vaporiza criando um gás condutor entre os trilhos na região onde se encontrava Universidade oe Cruzeiro do Sul Aplicando a regra da mao direita é possivel verificar que as B correntes nos trilhos produzem um campo magnetico B dirigido para baixo na regiao entre os trilhos Esse campo magnetico exerce uma forca F sobre o gas devido a oe corrente i que existe no gas A fora Fé paralela aos Renee condutor trilhos e aponta para longe do fusivel O gas é arremessado i contra o projetil imprimindolhe uma aceleragao de ate x 5 x 10g e langcandoo com uma velocidade de 10 kms a em um intervalo de tempo menor que 1ms LEI DE AMPÈRE O campo elétrico total associado a qualquer distribuição de cargas pode ser calculado escrevendo o campo elétrico elementar produzido por um elemento de carga e somando as contribuições de todos os elementos de carga Se a distribuição possui simetria planar cilíndrica ou esférica podemos usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico total Para calcular o campo magnético total associado a qualquer distribuição de correntes é possível escrevendo o campo magnético elementar produzido por uma elemento de corrente e somando as contribuições de todos os elementos de corrente Se a distribuição possui algum tipo de simetria podemos usar a lei de Ampère para determinar o campo magnético total Universidade Cruzeiro do Sul De acordo com a lei de Ampere Bds Uolgny LEI DE AMPERE O circulo na integral indica que a integragao do produto escalar Bds deve ser realizada para uma curva fechada conhecida como amperiana A corrente ign a corrente total envolvida pela curva fechada Universidade oe Cruzeiro do Sul A figura mostra as segoes retas de trés fios longos perpendiculares ao plano da pagina percorridos por correntes iii3 Uma amperiana arbitraria tragada no plano da pagina envolve duas das correntes apenas O sentido antihorario indicado na amperiana mostra o sentido arbitrariamente escolhido para realizar a integragao Para aplicar a lei de Ampére dividimos a amperiana em elementos de comprimento dS tangentes a curva e apontam no sentido da ApPnans i integragao Supondo que no local do elemento 7 i F ds na figura o campo magnético total devido as i fe rs correntes nos trés fios seja B Como os fios sao a vp perpendiculares ao plano da pagina logo o campo magnético em ds devido a cada uma das nenlitie de correntes esta no plano da figura seagragee Universidade Cruzeiro do Sul Assim 0 campo magneético total tambem esta no plano da figura Como nao conhecemos a orientagao de B no plano B foi desenhado arbitrariamente formando um Angulo 6 com a diregao de ds O produto escalar Bds do lado esquerdo na figura é igual a B cos ds Desta forma podemos escrever a lei de Ampere como B ds B cos ds Upirny produto escalar BdsS pode ser interpretado como o produto de um comprimento elementar de ds da amperiana pela componente B cos do campo que é tangente a amperiana nesse ponto Assim interpretamos a integral como a soma desses produtos para toda a amperiana Universidade oe Cruzeiro do Sul Para integrar nao precisamos conhecer o sentido de B em todos os pontos da amperiana basta atribuir arbitrariamente um sentido para B que coincida com o sentido de integragao Utilizamos a regra da mao direita para atribuir um sinal positivo ou negativo as correntes que contribuem para a corrente total envolvida pela amperiana ipny i Envolva a amperiana com a mado direita com os ih Y Sensi dedos apontando no sentido da integracao Uma Vintegracio corrente no sentido do polegar estendidos recebe sinal positivo uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo i oe Universidade Cruzeiro do Sul Para determinar o modulo de B Se B é positivo isso significa que o sentido escolhido para B esta correto se B é negativo ignoramos o sinal e adotamos B com o sentido oposto Na figura anterior aplicando a lei de Ampere tomando o sentido de integracgao como o sentido antihorario a corrente total envolvida pela amperiana é lenv ly A corrente iz esta do lado de fora da amperianaAssim temos que B cos ds Up t Ip CAMPO MAGNÉTICO NAS VIZINHANÇAS DE UM FIO LONGO RETILÍNEO PERCORRIDO POR CORRENTE A figura mostra um fio longo percorrido por uma corrente dirigida para fora do plano da página O campo magnético produzido pela corrente tem o mesmo módulo em todos os pontos situados a uma distância do fio possui simetria cilíndrica em relação ao fio Envolvendo o fio em uma amperiana circular concêntrica de raio o campo magnético tem o mesmo módulo em todos os pontos da amperiana Realizando a integração no sentido antihorário tem sentido indicado na figura Universidade Cruzeiro do Sul Tanto B quanto dS sao tangentes a amperiana em todos os pontos Logo B e ds sao paralelos ou antiparalelos em todos os pontos da amperiana adotando arbitrariamente a primeira hipotese Neste caso em todos os pontos o angulo entre B eds é0 como cos 0 1 temos B ds B cos ds B ds B2mr g ds é a soma de todos os segmentos de reta ds da amperiana que é igual a circunferéncia 27r da curva De acordo com a regra da mao direita o sinal da corrente é positivo o lado direito da lei de Ampere se torna l onde l wpe B2mr Ui ou B do lado de fora de um fio retilineo A figura mostra a seção reta de um fio longo e retilíneo de raio percorrido por uma corrente uniforme dirigida para fora da página Como a distribuição de corrente ao longo da seção reta do fio é uniforme o campo magnético produzido pela corrente tem simetria cilíndrica Para determinar o campo magnético em pontos situados no interior do fio usamos uma amperiana de raio com CAMPO MAGNÉTICO NO INTERIOR DE UM FIO LONGO RETILÍNEO PERCORRIDO POR CORRENTE Como é tangente à curva o lado esquerdo da lei de Ampére nos dá Universidade oe Cruzeiro do Sul Para calcular o lado direito da lei de Ampere como a distribuicdo de corrente é uniforme a corrente ig envolvida pela amperiana é proporcional a area envolvida pela curva mr lenv 1 R2 Usando a regra da mao direita o sinal de I positivo assim mr Uoi B2mr Uyi ou B 2 r no interior de um fio retilineo 7R 27R No interior do fio o modulo B do campo elétrico é proporcional ar o valor é zero no centro do fio e maximo na superficie onde r R As expressoes para O campo magnético do lado de fora e do lado de dentro do fio fornecem o mesmo valor para pontos situados na superficie do fio Universidade oe Cruzeiro do Sul EXEMPLO A figura mostra a secao reta de um cilindro longo condutor oco de raio interno a 20 cme raio externo b 40 cm O cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel e o modulo da densidade de corrente na secao reta é dado por J cr com c 30 x 10Am e r em metros Qual é 0 campo magneéetico Bem um ponto situado a 30 cm de distancia do eixo central do cilindro ok Shi Universidade oe Cruzeiro do Sul SOLUGAO Para determinar 0 campo B na parte solida do cilindro entre o raio interno e externo A corrente tem simetria cilindrica o que possibilita utilizar a lei de Ampere para determinar 0 campo B no ponto Atraves da figura podemos identificar que a curva concéntrica com o cilindro de raio r 30 cm estamos interessados em determinar o campo B a essa distancia do cilindro Para calcular a corrente I que é envolvida pela amperiana T f lenv JdA cr2nr dr Py Mm ow aes a te Universidade Cruzeiro do Sul r Escolhendo O sentido da corrente 3 arbitrariamente Aplicando a regra da mao lenv 21C r dr x direita a amperiana verificase que precisa somar a corrente como negativa o sentido da r 7 corrente para fora da pagina mas o polegar leny 410C A a aponta para dentro da pagina Aplicando a lei de Ampere 4 74 15 hemp ee B d3 poten Env Que leva a TEC B2nr r4 at Universidade oe Cruzeiro do Sul C B eo r a Ar 42 x 1077TmA30 x 10Am B x 0030 m0020 m B 20 x 10T O campo magnetico Bem um ponto situado a 30 cm do eixo central tem modulo B 20 x 10T