Aula 5: Semelhanças e Grandezas Adimensionais em Máquinas de Fluxo

Máquinas de Fluxo Aula 5 Horário Sextafeira 6869 Professor Dr Giovani Dambros Telli Email gdtelliucsbr Semelhanças e grandezas adimensionais Imagine uma turbina de uma grande central hidrelétrica Hidrelétrica de Tucuruí potência de 3980 MW 2 Semelhanças e grandezas adimensionais Imagine uma turbina de uma grande central hidrelétrica Hidrelétrica de Tucuruí potência de 3980 MW O rotor desta turbina possui um diâmetro de 84 metros pesando cerca de 300 toneladas no qual passa uma vazão de 600 m³s Por outro lado imagine a dificuldade de realização de medições em minúsculas turbinas acionadas por ar comprimido como as utilizadas em equipamentos odontológicos 3 Semelhanças e grandezas adimensionais Para contornar estas questões abordase a teoria dos modelos ou semelhança entre máquinas e no emprego das grandezas referidas a valores unitários As grandezas adimensionais representam um grande auxílio para os novos projetistas possibilitando uma primeira e segura orientação para o projeto de uma nova máquina de fluxo 4 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Enquanto a construção de modelos reduzidos de máquinas de fluxo diminui o risco de uma execução errônea de máquinas de grande porte a construção de modelos aumentados muitas vezes se faz necessário para facilitar as medições durante ensaios 5 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes A teoria dos modelos diz que Os modelos tanto aumentados como reduzidos devem ser semelhantes Geométrica Cinemática Dinamicamente 6 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Semelhança geométrica Implica na proporcionalidade das dimensões lineares igualdade de ângulos e nenhuma omissão ou adição de partes Para que uma máquina de fluxo modelo índice m seja geometricamente semelhante à máquina protótipo índice p é necessário que D5p D5m b5p b5m D4p D4m kG constante 7 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Semelhança geométrica onde kG é a escala geométrica ou fator de escala Além disso D5p D5m b5p b5m D4p D4m kG constante β4p β4m e β5p β5m 8 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Semelhança Cinemática Implica que velocidades e acelerações para pontos correspondentes sejam vetores paralelos e possuam relação constante entre seus módulos ou seja onde kC é denominada de escala de velocidades cm4p cm4m cu5p cu5m u5p u5m kC constante 9 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Semelhança Dinamicamente A condição é que tipos idênticos de forças sejam vetores paralelos e que a relação entre seus módulos seja constante para pontos correspondentes ou seja Onde kD é denominada de escala dinâmica Nas máquinas de fluxo em geral a igualdade do número de Reynolds é a condição mais importante para a semelhança dinâmica Finércia p Finércia m Fatrito p Fatrito m kD constante 10 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes A igualdade do número de Reynolds e a semelhança geométrica de rugosidade espessura e folgas nem sempre são realizáveis Isto influencia no rendimento do protótipo Esta influência é denominada efeito de escala Na prática são empregadas fórmulas empíricas para calcular o rendimento do protótipo que levam em consideração o efeito de escala 11 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Exemplos A fórmula de Moody segundo Stepanoff 1957 para bombas 1 ηtp 1 ηtm Dm Dp Τ 1 4 Hm Hp Τ 1 10 ηtp rendimento total ótimo do protótipo ηtm rendimento total ótimo do modelo Dm diâmetro característico do rotor do modelo D5 para rotores radiais e De para rotores axiais Dp diâmetro característico do rotor do protótipo Hm altura de elevação do modelo Hp altura de elevação do protótipo 12 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Exemplos A fórmula de Moody segundo Stepanoff 1957 para bombas No caso em que Hm Hp 1 ηtp 1 ηtm Dm Dp Τ 1 4 Hm Hp Τ 1 10 1 ηtp 1 ηtm Dm Dp Τ 1 4 13 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Exemplos A fórmula de Hutton para turbinas Hélice e Kaplan Onde Rem número de Reynolds do modelo Rep número de Reynolds do protótipo 1 ηtp 1 ηtm 03 07 Rem Rep 15 14 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Exemplos A fórmula de Hutton para turbinas Hélice e Kaplan O número de Reynolds é definido como 1 ηtp 1 ηtm 03 07 Rem Rep 15 Re D ν 2gH 15 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Exemplos A fórmula de Moody para turbinas do tipo Francis é Onde Dm diâmetro característico do rotor do modelo normalmente D4 Dp diâmetro característico do rotor do protótipo 1 ηtp 1 ηtm Dm Dp Τ 1 5 16 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Exemplos Para turbinas Pelton onde o efeito de escala não é considerado a NBR64122016 indica ηtp ηtm 17 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Exemplos A fórmula de Ackeret para ventiladores é Onde ηep rendimento estático ótimo do protótipo ηem rendimento estático ótimo do modelo 1 ηep 1 ηem 05 05 Rem Rep 02 18 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes A fórmula de Ackeret para ventiladores é Para ventiladores o número de Reynolds é definido como 1 ηep 1 ηem 05 05 Rem Rep 02 Re π n D2 ν n velocidade de rotação do ventilador rpm D diâmetro característico D5 para rotor radial e De para rotores axiais ν viscosidade cinemática do fluido m²s 19 Semelhanças e grandezas adimensionais Máquinas de fluxo semelhantes Logo nos casos de velocidade de rotação e viscosidade do fluido iguais para modelo e protótipo temos 1 ηep 1 ηem 05 05 Dm Dp 04 20 Semelhanças e grandezas adimensionais Grandezas unitárias Supondo uma máquina de fluxo geradora na qual a velocidade de rotação é variada até atingir o valor de n Como os ângulos se mantem constantes os triângulos de velocidade são semelhantes a escala de velocidades kC se mantém constante Desta forma podemos chegar nas seguintes relações Q Q n n Y Y n n 2 𝑃𝑒 𝑃𝑒 n n 3 21 Semelhanças e grandezas adimensionais Grandezas unitárias No caso particular em que Y Y1 1Jkg chegamos nas equações das grandezas unitárias No sistema internacional Onde n1 velocidade de rotação unitária Q1 vazão unitária Pe1 potência no eixo unitária n1 n Y Τ 1 2 Q1 Q Y Τ 1 2 Pe1 Pe Y Τ 3 2 22 Semelhanças e grandezas adimensionais Grandezas unitárias No caso particular em que Y Y1 1Jkg chegamos nas equações das grandezas unitárias No sistema técnico de unidades Onde n1 velocidade de rotação unitária Q1 vazão unitária Pe1 potência no eixo unitária n1 n H Τ 1 2 Q1 Q H Τ 1 2 Pe1 Pe H Τ 3 2 23 Semelhanças e grandezas adimensionais Grandezas biunitárias As grandezas atribuídas a uma máquina na qual são feitas as restrições salto energético específico unitário Y Y1 1Jkg diâmetro característico do rotor unitário D11 1 m semelhança cinemática constante rendimento hidráulico 𝜂ℎ constante entre modelo e protótipo são designadas grandezas biunitárias e são fundamentais na caracterização de máquinas de fluxo semelhantes 24 Semelhanças e grandezas adimensionais Grandezas biunitárias Q11 Q D2 Y Τ 1 2 n11 n D Y Τ 1 2 Pe11 𝑃𝑒 ρ D2 Y Τ 3 2 25 Semelhanças e grandezas adimensionais Velocidade de rotação específica Pelo mesmo procedimento com que se obteve grandezas biunitárias podese chegar a outro número característico também constante para máquinas de fluxo semelhantes porém relacionado com um salto energético específico Yq 1Jkg e com uma vazão Qq 1 m3s Chegamos na equação nq n Q12 Y34 26 Semelhanças e grandezas adimensionais Velocidade de rotação específica Chegamos na equação Esta equação expressa a denominada velocidade de rotação específica nq n Q12 Y34 27 Semelhanças e grandezas adimensionais Velocidade de rotação específica Addison 1966 sugere que Onde 𝑛𝑞𝐴 velocidade de rotação específica segundo Addison n velocidade de rotação da máquina em rps Q vazão da máquina em m³s Y salto energético específico Jkg nqA 103n Q12 Y34 28 Semelhanças e grandezas adimensionais Velocidade de rotação específica Os valores de n Q e Y utilizados no cálculo de 𝐧𝐪𝐀 correspondem ao ponto de projeto melhor rendimento No caso de máquinas de vários estágios rotores em série o Y utilizado corresponde ao salto energético específico de cada rotor No caso de rotor com dupla sucção a vazão Q utilizada no cálculo será a metade da vazão que passa pelo rotor 29 Semelhanças e grandezas adimensionais Velocidade de rotação específica A velocidade de rotação específica está associada à forma e às proporções dos rotores das máquinas de fluxo Seu valor é um elemento fundamental para a seleção do tipo de máquina mais adequada à determinada situação Isto porque pesquisadores e fabricantes determinaram faixas de valores de 𝐧𝐪𝐀 para os quais os diversos tipos de máquinas possuem seu melhor rendimento 30 Semelhanças e grandezas adimensionais Velocidade de rotação específica Valores de nqA para diferentes tipos de máquinas de fluido Turbina hidráulica do tipo Pelton 𝑛𝑞𝐴 5 𝑎 70 Turbina hidráulica do tipo Francis lenta 𝑛𝑞𝐴 50 𝑎 120 Turbina hidráulica do tipo Francis normal 𝑛𝑞𝐴 120 𝑎 200 Turbina hidráulica do tipo Francis rápida 𝑛𝑞𝐴 200 𝑎 320 Turbina hidráulica do tipo MichellBanki 𝑛𝑞𝐴 30 𝑎 210 Turbina hidráulica do tipo Dériaz 𝑛𝑞𝐴 200 𝑎 450 Turbina hidráulica do tipo Kaplan e Hélice 𝑛𝑞𝐴 300 𝑎 1000 Turbinas a vapor e a gás com admissão parcial 𝑛𝑞𝐴 6 𝑎 30 31 Semelhanças e grandezas adimensionais Velocidade de rotação específica Valores de nqA para diferentes tipos de máquinas de fluido Turbinas a vapor e a gás com admissão total 𝑛𝑞𝐴 30 𝑎 300 Bombas de deslocamento positivo 𝑛𝑞𝐴 30 Bomba centrífuga 𝑛𝑞𝐴 30 𝑎 250 Bomba semiaxial ou de fluxo misto 𝑛𝑞𝐴 250 𝑎 450 Bomba axial 𝑛𝑞𝐴 450 𝑎 1000 Compressor de deslocamento positivo 𝑛𝑞𝐴 20 Ventilador e turbocompressor centrífugo 𝑛𝑞𝐴 20 𝑎 330 Ventilador e turbocompressor axial 𝑛𝑞𝐴 330 𝑎 1800 32 Semelhanças e grandezas adimensionais Velocidade de rotação específica Gráfico para seleção de turbinas hidráulicas 33 Semelhanças e grandezas adimensionais Velocidade de rotação específica Gráfico de ηt f nqA para diferentes tipos de bombas 34 Semelhanças e grandezas adimensionais Coeficientes adimensionais São úteis para o estudo e classificação das máquinas de fluxo Englobam em expressões homogêneas as variáveis mais importantes para a análise de um determinado tipo de situação Entre eles podem ser citados Coeficiente de pressão Coeficiente de vazão Coeficientes de velocidades 35 Semelhanças e grandezas adimensionais Coeficientes adimensionais Coeficiente de pressão É a relação entre o salto energético específico e a energia específica correspondente à velocidade tangencial do rotor Onde Ψ coeficiente de pressão adimensional u velocidade tangencial do rotor em ms Ψ Y Τ u2 2 Ψ 2 Y u2 36 Semelhanças e grandezas adimensionais Coeficientes adimensionais Coeficiente de vazão É a relação entre a vazão da máquina e uma vazão fictícia obtida pelo produto de uma seção fixada do rotor pela velocidade tangencial para esta seção Φ Q π D2 4 u Φ 4 Q π D2 u Φ coeficiente de vazão adimensional Q vazão da máquina m³s u velocidade tangencial do rotor ms D diâmetro característico do rotor D4 para máquinas motoras radiais D5 para máquinas geradoras radiais e De para máquinas axiais 37 Semelhanças e grandezas adimensionais Coeficientes adimensionais Entre o coeficiente de pressão e vazão e a velocidade de rotação específica pode ser estabelecida a seguinte relação nqA 474 Φ12 Ψ34 38 Semelhanças e grandezas adimensionais Coeficientes adimensionais Coeficientes de velocidades O coeficiente adimensional de uma velocidade qualquer absoluta relativa tangencial etc definese como a relação entre a respectiva velocidade e uma velocidade fictícia de valor igual a 2Y ou 2gH Os coeficientes de velocidade serão representados pelo símbolo K A coeficiente de velocidade absoluta na entrada do rotor de uma turbina hidráulica Kc4 c4 2Y c4 2gH 39 Semelhanças e grandezas adimensionais Coeficientes adimensionais Coeficientes de velocidades O coeficiente adimensional de uma velocidade qualquer absoluta relativa tangencial etc definese como a relação entre a respectiva velocidade e uma velocidade fictícia de valor igual a 2Y ou 2gH Os coeficientes de velocidade serão representados pelo símbolo K B coeficiente de velocidade tangencial na saída do rotor de uma bomba centrífuga Ku5 u5 2Y u5 2gH 40 Semelhanças e grandezas adimensionais Coeficientes adimensionais Coeficientes de velocidades O coeficiente adimensional de uma velocidade qualquer absoluta relativa tangencial etc definese como a relação entre a respectiva velocidade e uma velocidade fictícia de valor igual a 2Y ou 2gH Os coeficientes de velocidade serão representados pelo símbolo K C coeficiente de velocidade meridiana na saída do rotor de uma bomba centrífuga Kcm5 cm5 2Y cm5 2gH 41 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 1 Um ventilador que trabalha com ar de massa específica igual a 12 kgm³ apresenta as seguintes características n 3600 rpm Q269 m³s pt 960 Pa e η𝑡 076 Fazendo este ventilador funcionar com uma velocidade de rotação de 1750 e considerando o rendimento total invariável com a mudança de rotação determinar a A vazão fornecida pelo ventilador para 1750 rpm b A diferença de pressão total produzida para 1750 rpm c A potência consumida no eixo a 3600 rpm d A potência consumida no eixo para 1750 rpm e O tipo de ventilador em questão 42 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 1 Resolução a Como é o mesmo ventilador o mesmo rotor Q Q n n n 3600 rpm onde Q 269 m3s Para a nova rotação n 1750 rpm Q Q n n 269 1750 3600 Q 1308 m3s b Lembrando que Y Y n n 2 e que Y 𝑝𝑡 𝜌 Y 𝑝𝑡 𝜌 portanto Τ 𝑝𝑡 𝜌 Τ 𝑝𝑡 𝜌 n n 2 𝑝𝑡 𝑝𝑡 n n 2 960 1750 3600 2 𝑝𝑡 22685 𝑃𝑎 43 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 1 Resolução c Sabendo que Pe ρ Q Y ηt Q pt ηt Assim d Semelhantemente portanto Pe 269 960 076 Pe 33979 W Pe Q pt ηt Pe 1308 22685 076 Pe 39042 W 44 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 1 Resolução e A velocidade de rotação específica é nqA 103n Q12 Y34 nqA 103 3600 60 26912 Τ 960 12 34 nqA 6542 Turbinas a vapor e a gás com admissão total 𝑛𝑞𝐴 30 𝑎 300 Bombas de deslocamento positivo 𝑛𝑞𝐴 30 Bomba centrífuga 𝑛𝑞𝐴 30 𝑎 250 Bomba semiaxial ou de fluxo misto 𝑛𝑞𝐴 250 𝑎 450 Bomba axial 𝑛𝑞𝐴 450 𝑎 1000 Compressor de deslocamento positivo 𝑛𝑞𝐴 20 Ventilador e turbocompressor centrífugo 𝑛𝑞𝐴 20 𝑎 330 Ventilador e turbocompressor axial 𝑛𝑞𝐴 330 𝑎 1800 45 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 2 Uma turbina hidráulica que opera com água de massa específica igual a 1000 kgm³ possui as seguintes características H342 m Q223 m³s n300 rpm e c5 0 ms Para esta turbina será construído um modelo de dimensões dez vezes menores submetido a uma altura de queda também dez vezes menor também operando com água Considerandose nulas as perdas na instalação determinar a O tipo de turbina em questão b A velocidade absoluta da corrente fluida c4 na entrada do rotor da turbina c O diâmetro do rotor da turbina modelo d A velocidade de rotação da turbina modelo e A potência no eixo da turbina modelo 46 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 2 Resolução a A velocidade de rotação específica é nqA 103n Q12 Y34 nqA 103 300 60 22312 335502 34 Y H g 342 981 onde Y 335502 Jkg nqA 169 47 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 2 Resolução a A velocidade de rotação específica é nqA 169 Turbina hidráulica do tipo Pelton 𝑛𝑞𝐴 5 𝑎 70 Turbina hidráulica do tipo Francis lenta 𝑛𝑞𝐴 50 𝑎 120 Turbina hidráulica do tipo Francis normal 𝑛𝑞𝐴 20 𝑎 200 Turbina hidráulica do tipo Francis rápida 𝑛𝑞𝐴 200 𝑎 320 Turbina hidráulica do tipo MichellBanki 𝑛𝑞𝐴 30 𝑎 210 Turbina hidráulica do tipo Dériaz 𝑛𝑞𝐴 200 𝑎 450 Turbina hidráulica do tipo Kaplan e Hélice 𝑛𝑞𝐴 300 𝑎 1000 Turbinas a vapor e a gás com admissão parcial 𝑛𝑞𝐴 6 𝑎 30 48 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 2 Resolução b A velocidade de rotação específica é Aplicando a equação de Bernoulli entre 1 e 2 p1 ρ c1 2 2 g Z1 p2 ρ c2 2 2 g Z2 1 2 𝑍 g Z1 c2 2 2 c2 2g Z1 c2 2 981 342 c2 8191 ms 49 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 2 Resolução c O escoamento através da pá é Na entrada da pá c2 c4p u4p w4p u4p w4p como c4p 2u4p u4p c4p 2 8191 2 Assim u4p 4095 ms 50 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 2 Resolução c Lembrando que Desta forma u4p π D4p n 60 Como o fator de escala geométrico é 10 D4p 60 u4p π n D4p 60 4095 π 300 D4p 261 m D4m D4p KG 261 10 D4m 0261 m D4m 261 mm 51 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 2 Resolução d Sabendo que as grandezas biunitárias são iguais para máquinas de fluxo semelhantes Desta forma Como o fator de escala geométrico é 10 n11p n11m np Dp Yp Τ 1 2 nm Dm Ym Τ 1 2 nm np Dp Dm Ym Τ 1 2 Yp Τ 1 2 Hp Hm 10 Hm Hp 10 342 10 342 m Ym Hm g 342 981 Ym 3355 Jkg 52 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 2 Resolução d Consequentemente e Como as grandezas biunitárias são iguais nm 300 261 0261 3355 Τ 1 2 335502 Τ 1 2 nm 9487 rpm Pe11p Pe11m Pep ρ Dp2Yp Τ 3 2 Pem ρ Dm 2 Ym Τ 3 2 Pem Pep ρ Dm 2 Ym Τ 3 2 ρ Dp2Yp Τ 3 2 53 Semelhanças e grandezas adimensionais Exemplo 2 Resolução e Como as perdas são nulas η𝑡 100 E Pep ρ Qp Yp ηt Pep 1000 223 335502 1 Pep 74817 kW Substituindo na equação anterior Pem 74817 0261 261 2 3355 335502 Τ 3 2 Pem 2366 kW 54