Historia do Calculo - Pitagoras a Lagrange

1 UM PANORAMA DA HISTÓRIA DO CÁLCULO OS ANTIGOS Pitágoras 580 500 aC Teorema de Pitagóras para triângulos retângulos irracionalidade de 2 Euclides 300 aC Organizou a maior parte da Matemática conhecida em seu tempo Teorema de Euclides sobre números perfeitos infinidade de números primos Arquimedes 287 212 aC Determinou tangentes áreas e volumes essencialmente por cálculos achou o volume e a superfície de uma esfera centros de gravidade espiral de Arquimedes calculou Pappus séc IV Centros de gravidade de sólidos e superfícies de revolução OS PRECURSORES Descartes 1596 1650 Considerado descobridor da Geometria Analítica introduziu algumas boas notações Mersenne 1588 1648 Agilizou o fluxo de idéias ciclóide primos de Mersenne Fermat 1601 1665 Verdadeiro descobridor da Geometria Analítica calculou e usou derivadas e integrais fundou a moderna Teoria dos Números probabilidades Pascal 1623 1662 Indução matemática coeficientes binomiais ciclóide Teorema de Pascal em Geometria probabilidades influenciou Leibniz Huygens 1629 1695 Catenária ciclóide movimento circular professor de Matemática de Leibniz que aluno que professor OS PRIMEIROS MODERNOS Newton 1642 1727 Inventou sua própria versão do Cálculo descobriu o Teorema Fundamental usou séries infinitas virtualmente criou Astronomia e Física como ciências matemática Leibniz 1646 1716 Inventou uma maneira mais apropriada do Cálculo descobriu o Teorema Fundamental inventou muitas notações boas professor dos irmãos Bernoulli Os Bernoulli James 1654 1705 John 1667 1748 Aprenderam cálculo com Leibniz desenvolveram e aplicaramno exaustivamente séries infinitas John foi professor de Euler Organizou e desenvolveu o Cálculo bastante extensivamente codificou a 2 Euler 1707 1783 Geometria Analítica e a Trigonometria introduziu os símbolos e i f x sen x cos x séries e produtos infinitos cálculos das variações Teoria dos Números topologia FísicaMatemática etc Lagrange 1736 1813 Cálculos das variações mecânica analítica Laplace 1749 1827 Equação de Laplace mecânica celeste probabilidade analítica Fourier 1768 1830 Série de Fourier equação do calor OS MODERNOS Gauss 1777 1855 Iniciou o rigor na análise com provas de convergência para séries infinitas teoria dos números números complexos na álgebra análise e teoria dos números geometria diferencial geometria nãoeuclidiana etc Cauchy 1789 1857 Tratamento cuidadoso dos limites continuidade derivadas integrais séries análise complexa Abel 1802 1829 Série binomial equação do quinto grau cálculo integral funções elípticas Dirichlet 1805 1859 Convergência de séries de Fourier definição moderna de função teoria analítica dos números Liouville 1809 1882 Integrais de funções elementares números transcendentes Hermite 1822 1901 Transcendência de e matrizes hermitianas funções elípticas Riemann 1826 1866 Integral de Riemann teorema do rearranjo de Riemann geometria riemanniana função zeta de Riemann análise complexa História biográfica como ensinada em nossas escolas ainda é em grande parte uma história de tolos rídiculos reis e rainhas líderes políticos paranóicos viajantes compulsivos generais ignorantes destroços das correntes históricas Os homens que alteraram radicalmente a História os grandes cientistas e matemáticos criativos são raramente mencionados se é que chegam a sêlo Martin Gardner Não iria tão longe a ponto de dizer que construir uma história do pensamento sem um estudo profundo das idéias matemáticas das épocas que se sucedem é como omitir Hamlet da peça com o mesmo nome Isto seria exagero Mas é certamente análogo a cortar a parte de Ophelia Essa comparação é singularmente exata Pois Ophelia é essencial à peça ela é muito encantadora e um pouco maluca Sustentamos que o propósito da Matemática é uma divina loucura do espírito humano um refúgio da premente urgência das contingências AN Whitehead Referência 1 SIMMONS Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 e 2 McGrawHill 2 Onde pesquisar ler e apreciar a história do Cálculo CHEdwards Jr The Historical Development of the Calculus Springer Verlag 1979 3 O Plano Cartesiano 4 Exemplo Marque os pontos 1 2 3 4 0 0 3 0 e 2 3 2 Fórmula da Distância entre dois pontos 5 Retas no Plano e Coeficiente Angular 1 Equação Linear É toda equação da forma y mx b e é chamada de linear pois o seu gráfico é uma reta 2 Coeficiente angular de uma reta É o numero de unidades que a reta se eleva ou desce verticalmente para cada unidade de variação horizontal da esquerda para a direita Intercepto y x 0 y m0 b y b Portanto o gráfico da equação y mx b é uma reta com coeficiente angular m e intercepto y 0 b 3 Exemplos 1º Esboce o gráfico das seguintes equações lineares a y 2x 1 Como b 1 o intercepto y é o ponto 0 1 O coeficiente angular m 2 isto significa que a reta se eleva 2 unidades para cada unidade de deslocamento para a direita b y 2 Escrevendo a equação na forma y 0x 2 Como b 2 o intercepto y é o ponto 0 2 O coeficiente angular m 0 isto significa que a reta não se eleva e nem desce ou seja a reta é horizontal 6 c x y 2 Escrevendo a equação na forma reduzida y x 2 ou y 1x 2 Como b 2 o intercepto y é o ponto 0 2 O coeficiente angular m 1 isto significa que a reta desce 1 unidade para cada unidade de deslocamento para a direita 2º O coeficiente angular máximo recomendado para uma rampa para cadeira de rodas é 112 Uma firma está instalando uma rampa que se eleva 55 cm em uma distância horizontal de 720 m A inclinação da rampa excede a recomendada 720 m coeficiente angular horizontal iação vertical iação var var 720 50 0069 12 1 0 083 O coeficiente angular não excede pois 0069 12 1 0 083 7 4 Coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos O coeficiente angular de uma reta que passa pelos pontos x1 y1 e x2 y2 é m 1 2 1 2 x x y y x y com 1x 2x Exemplo Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 3 4 e 5 7 m 3 5 4 7 x y 2 3 5 Equação da reta conhecendo um de seus pontos e o seu coeficiente angular Se x1 y1 é um ponto de uma reta de coeficiente angular m e x y é um ponto arbitrário da mesma reta então m x x y y 1 1 Esta equação pode ser posta na forma m x x y y 1 1 1 1 x m x y y Exemplo Determine a equação da reta de coeficiente angular 3 e que passa pelos pontos 1 2 m 3 e x1 y1 1 2 1 1 x m x y y y 2 3x 1 y 2 3x 3 y 3x 5 8 Exercício Um industrial fabrica um produto ao custo de R 065 por unidade e vendeo a R 120 por unidade O investimento inicial para fabricar o produto foi de R 1000000 Quantas unidades o industrial deve vender para atingir o ponto de equilíbrio Solução O custo total da fabricação de x unidades do produto é dado por C 065x 10000 A receita total da venda de x unidades é dada por R 120x Para determinarmos o ponto de equilíbrio igualamos a receita e custo e resolvemos a equação em x R C 120x 065x 10000 120x 065x 10000 055x 10000 x 0 55 10000 x 18182 unidades F U N Ç Õ E S E G R Á F I C O S 11 UM POUCO DE HISTÓRIA O conceito de função um dos mais importantes da Matemática foi resultado de contribuições de vários matemáticos ao longo dos tempos e que só no século XIX teve o seu final Na Babilônia podemos observar a idéia de função em tabelas que a cada valor na primeira coluna apresenta um número correspondente na segunda Na antiga Grécia na descoberta de algumas leis da acústica os gregos já estabeleciam relações entre grandezas físicas tais como a altura dos sons com o comprimento das cordas vibrantes Na obra Almageste do matemático Ptolomeu que viveu na Alexandria por volta de 140ac encontramos registros de tabelas construídas por astrônomos da época relacionando o comprimento de cordas de um círculo com o seu raio Assim a noção de dependência e funcionalidade teve origem a muitos séculos atrás e somente nos últimos três que irá ocorrer o desenvolvimento formal de função através de problemas relacionados ao Cálculo e a Análise como veremos a seguir No século XVII o matemático alemão Gottfried LEIBNIZ 16461716 em seu manuscrito Methodus Tangentium Inversa foi o primeiro a utilizar o termo função denominado de fuctionibus e vários termos e símbolos que hoje utilizamos tais como constante variável e parâmetro Mais tarde com Leonard EULER 17071783 matemático suíço surge a definição de função e o aparecimento da notação fx 9 No século XVIII o matemático suíço Johann BERNOULLI 16671748 representa curvas por meios algébricos surgindo assim o conceito de função como expressão analítica Porém o significado mais geral de função que considera y como variável dependente obtido por uma regra dependendo dos valores atribuídos à variável independente x surge somente no século XIX com o matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune DIRICHLET 18051959 Assim o conceito de função que hoje parece simples foi resultado de uma evolução histórica conduzida sempre cada vez mais à abstração e que só no século XIX teve o seu êxito 101 INTRODUÇÃO Neste texto iniciamos o estudo de uma ferramenta matemática indispensável para descrever fatos e fenômenos do nosso mundo Em muitas situações da vida prática a relação entre o valor de uma grandeza depende do valor de uma outra grandeza Assim por exemplo a distância percorrida por um carro num determinado tempo depende de sua velocidade a área de um quadrado depende do comprimento do seu lado o decaimento de uma quantidade de substância radioativa depende do tempo o cálculo do imposto do ICMS de um produto depende do preço de venda Relações como essas são de fundamental importância na matemática podem ser representadas matematicamente e são denominadas de funções Consideremos o exemplo a relação entre a área A de um quadrado e o valor do comprimento do seu lado x Essa relação pode ser expressa matematicamente pela equação A x2 Observemos que a medida da área A depende da medida x do seu lado ou seja A e x são grandezas variáveis em que a cada medida de x associase um único valor para a área A E nessas condições podemos dizer que A área A de um quadrado é uma função do comprimento x de seu lado Como o valor da variável A depende do valor atribuído para a variável x ela é chamada de variável dependente enquanto que x é denominada de variável independente A equação A x2 é a expressão matemática que representa essa função isto é a lei que estabelece a correspondência entre os valores de x e A Toda função pode ser escrita numa notação mais conveniente e simplificada chamada notação funcional Nesse caso podemos representar a função A x2 também na forma 2 x A x ou 2 x f x Assim quando escrevemos por exemplo 10 9 3 3 2 A ou 9 3 3 2 f está significando que 9 é a área do quadrado associada ao lado de medida igual a 3 6 25 52 52 2 A ou 6 25 52 52 2 f está indicando que 625 é a área do quadrado associada ao lado de medida igual a 25 13 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Dados dois conjuntos A e B não vazios Dizemos que uma relação ƒ define uma função de A para B quando todo elemento x em A está associado a um único elemento y em B O conjunto A é denominado de domínio da função e denotado por Dƒ e B o contra domínio da função indicado por CDƒ Utilizamos a notação ƒ A B para indicar que a função ƒ está definida em A com valores em B Portanto D ƒ A e CDƒ B O único elemento y em B associado ao elemento x de A também representado por ƒx lêse ƒ de x é chamado de imagem de x através da função ƒ ou valor que ƒ assume em x Uma função real de variável real é uma função ƒ A B em que os conjuntos A e B são subconjuntos de Daqui em diante a menos que seja especificado o contrário só utilizaremos funções reais de variável real 14 REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO Podemos representar uma função ƒ A B através de um diagrama de flechas onde indicamos a correspondência entre os elementos do conjunto A que se relacionam com os elementos do conjunto B através da função por uma flecha O conjunto formado por todos os elementos de B que são imagens de algum elemento x de 11 A é chamado de conjunto imagem da função f e é representado por Imƒ Assim Imƒ B No diagrama de flechas representado acima o subconjunto sombreado de B representa o conjunto imagem da função ƒ Em geral por ser mais conveniente representamos uma função através de uma equação da forma y ƒ x que relaciona a correspondência entre os elementos dos conjuntos A e B Dessa forma x e y são as chamadas variáveis Como a obtenção do valor de y depende do valor atribuído a x ela é a variável dependente e x a variável independente 141 Exemplos 1 Consideremos os conjuntos 0 1 2 1 2 1 A e 3 1 0 1 2 4 7 B e a função ƒ A B definida por 2 2 x x f a determinar os conjuntos D ƒ e Im ƒ b esboçar um diagrama de flechas da função ƒ Resolução a 1 2 1 2 1 1 2 f 4 7 4 8 1 4 1 2 2 1 2 1 2 2 f 2 2 0 2 0 0 2 f 1 2 1 2 1 1 2 f 0 2 2 2 2 2 2 f Portanto D ƒ A 0 1 2 1 2 1 e Im ƒ 0 1 2 4 7 b 2 Uma torneira é aberta para encher de água um reservatório de 6000 litros A tabela abaixo relaciona o tempo gasto em minutos com o volume de água em litros no reservatório t minutos V litros 12 0 0 1 24 3 72 a Determinar a expressão que define o volume V em função do tempo t b Determinar o volume do reservatório depois de 1 hora aberto a torneira c Determinar o tempo gasto para encher o reservatório Resolução a t minutos V litros 0 0 240 1 24 241 2 48 242 3 72 243 x V 24x Portanto x V x 24 b litros V 1440 2460 60 c Para encher o reservatório devemos fazer 6000 V x Desse modo temos 6000 24 x 24 x 6000 x 250 minutos 3 O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função 200 500 30 2 3 n n n C n a Determinar o custo da fabricação de 10 unidades do produto b Determinar o custo da 10ª unidade do produto c Determinaro custo fixo de produção Resolução a 3200 200 5000 3000 1000 200 50010 3010 10 10 2 3 C Portanto 3200 10 C reais 13 b O custo da 10ª é obtida fazendo 9 10 C C o 2999 200 500 9 30 9 9 9 2 3 C Assim 9 10 C C 211 2999 3200 Portanto o custo para produzir a 10ª unidade é de 211 reais c O custo fixo é obtido calculando C 0 200 200 500 0 30 0 0 0 2 3 C Logo o custo fixo é de 200 reais 4 Durante um programa nacional para vacinar a população contra um certo tipo de gripe as autoridades descobrem que o custo para vacinar x da população é dado aproximadamente por x x x f 200 150 milhões de reais a Para que valor de x a função tem significado nesse contexto b Qual o custo para vacinar 50 da população c Qual o custo para vacinar os 50 restantes da população d Que porcentagem da população terá sido vacinada após serem gastos 375 milhões de reais no projeto Resolução a x x x f 200 150 Como x representa a porcentagem da população e o único valor que anula o denominador é x 200 Logo a função está definida para todo x 100 0 x Portanto 100 0 x R x D f b O custo para vacinar 50 da população é obtido fazendo x 50 Assim 50 150 500 7 50 200 15050 50 f Portanto para vacinar os primeiros 50 da população o custo será de 50 milhões de reais 14 c Para calcularmos o custo para vacinar os restantes 50 da população devemos inicialmente obter o custo da vacinação total da população isto é dos 100 da população Assim 150 100 000 15 100 200 150100 100 f O custo da vacinação de toda a população é de 150 milhões Fazendo 100 50 150 50 100 f f Dessa forma será de 100 milhões de reais o custo para a vacinação dos 50 restantes da população d A porcentagem da população que terá sido vacinada após serem gastos 375 milhões será dada fazendo 37 5 x f Assim 37 5 200 150 x x 37 5 200 150 x x x x 7500 37 5 150 7500 37 5 150 x x 7500 187 5 x 187 5 x 7500 x 40 Portanto com 375 milhões seram vacinados 40 da população 1 5 DOMINIO DE UMA FUNÇÃO Muitas vezes por comodidade não é especificado o domínio e o contradomínio da função Nesses casos subentendese que o domínio seja um subconjunto dos números reais para os quais a função esteja definida nos reais isto é para os quais exista a imagem nos reais E o contradomínio é o conjunto dos números reais 151 Exemplos Determinar o domínio das funções a 4 5 x x f b 6 2 x g x c 4 5 3 2 x x x x h x 15 Solução A condição de existência da função ƒ é que x 4 0 Logo x 4 0 x 4 E portanto 4 x R x f D b 6 2 x g x A condição de existência da função g é que 0 6 2 x Logo 0 6 2 x 2 6 x 2 x 6 x 3 E portanto 3 x R x f D c 9 5 2 2 x x x x h x A condição de existência da função h é que 0 2 x e 0 9 2 x Mas 0 2 x x 2 temos x 2 Para 0 9 2 x x2 9 9 x x 3 16 Portanto 2 2 e x R x x D f 1 6 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO O gráfico de uma função tem a vantagem da comunicação visual imediata Com a prática basta olharmos o gráfico de uma função para extrairmos informações importantes que muitas vezes não podem ser evidenciadas em descrições verbais ou algébricas O gráfico de uma função é o conjunto Gƒ de todos os pontos x y do plano cartesiano em que x pertence ao domínio da função e y ƒx 2 f x e y D f x R x y G f Portanto o gráfico de uma função é um conjunto de pontos do plano cartesiano Oxy cujas projeções sobre o eixo das abscissas eixo x representa o seu domínio e as projeções no eixo das ordenadas eixo y representa o conjunto imagem 161 Exemplos Represente graficamente a função 2 x f x nos casos em que o domínio são a Dƒ 2 1 0 1 2 b Dƒ 2 2 c Dƒ R Solução a D ƒ 2 1 0 1 2 O gráfico da função é o conjunto formado por cinco pontos pertencentes a uma parábola Projetando esses pontos sobre o eixo das abscissas temos 2 1 0 1 e 2 e sobre o eixo das ordenadas 0 1 e 2 Logo D ƒ 2 1 0 1 2 e Im ƒ 0 1 2 17 b D ƒ 2 2 O gráfico da função é formada pelos pontos de uma parábola limitada para x tal que 2 x 2 O domínio da função é obtido projetandose os pontos do gráfico sobre o eixo das abscissas e o conjunto imagem projetandoos sobre o eixo das ordenadas Neste caso obtemos D ƒ 2 2 e Im ƒ 0 4 c D ƒ R O gráfico da função é uma parábola Projetandose os pontos do gráfico sobre o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas teremos D ƒ R e Im ƒ R y R y 0 17 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Dada a função 2 4 x x f x calcule a f 1 b 2 f 1 c x f d 1 x f 18 e 3x f f f x Solução a 2 1 1 4 1 1 4 1 2 f b 4 13 4 1 2 16 4 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 4 4 f c 2 2 4 4 x x x x x f d 2 1 1 4 1 1 4 1 2 2 x x x x x x f 2 2 1 1 4 x x x 2 4 x x e 6 3 2 3 3 3 4 4 x x x x f x f x x x x x f 4 4 2 2 Determine o domínio da função a 2 2 3 2 x x x f x b 3 2 1 5 2 x x x f x c 9 3 1 5 x x f x d 3 2 2 4 6 x x x f x e 9 2 x f x Solução a 2 2 3 2 x x x f x A condição de existência é que 0 2 2 x x Vamos determinar os valores de x que anulam o denominador aqueles que não servem 0 2 2 x x equação do 2º grau 9 8 1 14 2 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 1 12 9 1 ou x 19 Os valores que anulam o denominador são x 1 ou x 2 Portanto 2 1 ou x R x x D f b 3 2 1 5 2 x x x f x A condição de existência é que 0 5 2 x 0 5 2 x 5 2 x 2 x 5 Portanto 2 5 R x x D f c 9 3 1 5 x x f x A condição de existência é que 0 5 x e 0 9 3 x 0 5 x x 5 x 5 e 0 9 3 x 9 3 x 3 x 9 x 3 Portanto 5 3 x R x D f d 3 2 2 4 6 x x x f x A condição de existência é que 0 4 2 x 0 4 2 x x2 4 20 4 x x 2 Portanto 2 2 ou x x R x D f e 9 2 x f x A condição de existência é que 0 9 2 x 0 9 2 x inequação do 2º grau 0 9 2 x x2 9 9 x x 3 Portanto 3 3 ou x x R x D f 3 Verificar quais as funções que define y como uma função de x isto é y ƒx a 3 2 y x b y x2 1 c 0 2 x y Solução Para verificarmos se uma equação define ou não uma função é conveniente isolarmos a variável dependente no 1º membro e a independente no 2º membro E uma equação nessa forma dizemos que está na forma explícita Assim escrevendo as equações acima na forma explícita temos a 3 2 y x 3 2 y x ou 2 3 f x x b y x2 1 2 1 x y ou 2 1 x f x c 0 2 x y y x 2 21 x y ou x f x Nos itens a e b vemos que a todo número x corresponde um único valor real de y E portanto y é uma função de x No item c y não é uma função de x pois para todo valor de x 0 correspondem a dois valores reais diferentes de y 4 Dada a função x x f x 4 3 determine o valor de x tal que 0 f x Solução 0 f x 0 4 3 x x 0 4 2 x x 2 4 0 4 0 2 2 x x x ou x Portanto 0 2 2 0 f f f 5 Escrever a função ƒx que representa o valor a ser pago após um desconto de 4 sobre o valor de x reais de uma mercadoria para pagamento à vista Solução Preço a ser pago pela mercadoria sem desconto x Valor de 4 de desconto no preço da mercadoria x de x 0 04 4 Preço a ser pago com desconto x x x 0 96 0 04 Portanto x f x 0 96 6 O preço de uma corrida de taxi inclui uma parcela fixa denominada bandeirada e uma parcela variável que depende da distância percorrida Se a bandeirada custa 5 reais e cada quilômetro percorrido custa 075 reais a Determinar a expressão que relaciona o preço P de uma corrida com os quilômetros x percorridos b Determinar o preço de uma corrida de 16 quilometros 22 c Determinar a distancia percorrida por um passageiro que pagou 3875 reais pela corrida Solução a Portanto 5 0 75 x P x b 17 5 0 7516 16 P reais c Para determinar o número de quilômetros que um passageiro percorreu gastando 3875 reais devemos fazer 3875 P x 5 0 75 3875 x 0 75 x 5 3875 3375 0 75 x 0 75 x 3375 x 45 quilômetros 7 Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir em um dia todas as correspondências entre x por cento de moradores numa determinada cidade seja dado por x x C x 120 180 a determinar a quantidade de carteiros necessários para que toda a população da cidade seja atendida em um dia b se num dia de greve só compareceram 90 carteiros determinar a porcentagem da população que recebeu correspondência Solução a o número de carteiros para atender toda a população num só dia é dado por C 100 x quilometros P reais 0 075 0 5 1 075 1 5 2 075 2 5 3 075 3 5 x 075 x 5 23 Mas 100 120 180100 100 C 900 20 18 0 00 Portanto serão necessários 900 carteiros b No dia de greve temos 90 C x Assim 90 120 180 x x 90 120 180 x x x x 90 10800 180 10800 90 180 x x 10800 270 x 270 x 10800 x 40 Portanto nesse dia 40 da população receberam suas correspondências 8 De uma folha quadrada de papelão de 12 cm de lado desejase recortar em cada canto da folha um quadrado de medida x conforme mostra a figura abaixo e dobrar as abas para formar uma caixa sem tampa a Determinar a expressão que relaciona o volume com a medida x do lado do quadrado retirado de cada canto b Determinar o domínio da função obtida no item a c Determine o volume da caixa quando a medida do lado do quadrado retirado é igual a 5 cm Solução a 24 x x x V x 2 2 12 12 x x V x 2 12 2 b 12 2 0 x 2 12 2 0 x 6 0 x Portanto 6 0 x R x D f c Para x 5 o volume da caixa é dado por 52 5 12 5 2 V 12 10 5 2 54 20 Portanto o volume é de 3 20cm 9 Uma moeda é solta do alto de uma torre A altura da moeda em metros após t segundos é dada por 100 94 2 t h t Determinar a a altura da moeda após 2 segundos b a altura da torre c a distância percorrida pela moeda durante o 3º segundo d o tempo que a moeda leva para atingir o solo Solução a A altura da moeda após 2s é dada por 80 4 100 19 6 100 4 94 100 2 94 2 2 h Portanto a altura é de 804m b A altura da torre é dada quando t 0s 100 100 0 100 094 0 2 h Portanto a altura da torre é de 100m c a distância percorrida pela moeda durante o 3º segundo é dada por 25 2 3 h h Mas 55 9 100 441 100 994 100 394 3 2 h Logo 24 5 80 4 55 9 2 3 h h Portanto 245m é a distancia percorrida pela moeda durante o 3ºsegundo d O tempo t que a moeda leva para atingir o solo é dada quando a altura h é igual a 0 isto é por 0 h t 0 100 94 2 t 100 94 t2 94 t2 100 20 4 t t 0 54 t Portanto a moeda leva 45s para atingir o solo 10 Suponha que t horas depois da meianoite a temperatura numa cidade seja 10 4 6 2 t t Q t graus Celsius a determinar a temperatura às duas da manhã b determinar a variação de temperatura das 6 horas da tarde até as 9 horas da noite Solução a A temperatura às duas da manhã é dada por Q2 17 3 3 52 3 54 2 18 3 2 10 8 6 4 10 24 6 2 2 2 Q Portanto a temperatura às duas da manhã era de 173º Celsius b A variação de temperatura das 6 horas da tarde até as 9 horas da noite é dada por 6 21 Q Q 2 188 147 94 2 147 10 84 6 441 10 4 21 6 21 21 2 Q 20 5 2 41 26 28 34 6 10 24 6 36 10 64 6 6 6 2 Q 57 28 20 5 6 21 Q Q Portanto a variação de temperatura foi de 75º Celsius 11 Estimase que daqui a t anos um certo bairro terá a população de 1 6 20 t P t mil habitantes a determinar a população do bairro daqui a 9 anos b determinar o aumento da população durante o 9º ano c determinar o que acontece com Pt para grandes valores de t Solução a A população daqui a 9 anos será dada por P 9 19 4 60 20 10 6 20 1 9 6 20 9 P Portanto a população será de 194 mil habitantes ou 19400 habitantes b O aumento da população durante o 9º ano é dado por P 9 P 8 19334 0 666 20 9 6 20 1 8 6 20 8 P P 9 P 8 0 066 19334 19 4 Portanto a variação de população foi de aproximadamente 0066 mil habitantes ou 66habitantes c 1 6 20 t P t Para valores cada vez maiores de t temos que 1 6 t tende para 0 E portanto Pt tende para 20 significando que a população nunca ultrapassará a 20 mil habitantes 27 18 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Dada a função 5 3 x f x determinar a f 2 b 3 4 f c 2 f x d 1 f t2 e f a h f a f h f a h f a 2 Verificar se a equação define y como uma função de x a 25 2 2 y x b 6 2 4 2 y x c 6 3 2 x y 3 Determinar o domínio da função a x x x f 3 4 b x x f x 1 5 c 2 3 2 1 x x x x f d 1 7 1 2 2 x x x f x e 1 2 1 2 3 x x f x f 3 2 2 x f x 4 Considerando uma função real ƒ tal que 12 1 f e 3 15 1 f x f x Determinar a f 0 b f 2 5 Representar graficamente a função 1 2 x f x para os domínios a Dƒ 1 0 1 2 3 b Dƒ 1 3 c Dƒ R 6 Supondo que o custo total em reais da produção de n unidades de um certo produto seja dado por 900 3 2 n n C n reais a Determinar o custo total da produção de 20 unidades b Determinar o custo da produção da 20ª unidade 7 A demanda para um certo produto admite como modelo a função n p n 0 05 1 280 onde p é o preço unitário em reais e n é o numero de unidades vendidas a Determinar o preço quando são vendidas 50 unidades b Obter o número de unidades em função do preço isto é n em função de p c Utilizar a função obtida no item b e determinar o número de unidades vendidas quando o preço é 20 reais 28 Respostas 1 a 1 b 9 c 6 5 x d 3 2 8 t e h 3 f 3 2 a 2 25 x y y não é uma função de x b 2 4 6 x2 y y é uma função de x c 3 2 6 x y y é uma função de x 3 a 3 4 R x x D f b 0 5 1 e x R x x D f c 2 1 x R x D f d 1 2 1 e x R x x D f e R D f f 2 x R x D f 4 a 9 b 21 5 6 a 2 120 b 118 7 a 80 b p p n p 05 0 250 a 260