Lista de Exercícios - Dinâmica e Vibrações Mecânicas - Cálculos de Rigidez e Movimento

LISTAS DE EXERCÍCIOS 04 e 05 Quando necessário XX 2 últimos dígitos do RGM ADOTE PARA OS CÁLCULOS ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE DE 10 ms2 Questão 1 Na figura 1 uma ponte rolante sobre uma viga bi engastada de comprimento de 10 m módulo elástico de 210 GPa e momento de inércia de 108 x 109 mm4 é usada para transportar pesos através de um gancho suspenso por dois cabos ambos de comprimento de 25 m e diâmetro de 15 mm módulo elástico de 180 GPa e densidade de 7860 kgm³ Estime a rigidez equivalente do sistema na vertical e o peso máximo que poderá suportar quando a frequência do movimento for de 60 rads e com XX de amortecimento Despreze os pesos dos conjuntos vigamotorrotor e poliagancho Questão 2 Um caminhão de bombeiros utiliza uma lança telescópica com uma caçamba na extremidade que dentro das devidas proporções e considerações pode ser analisado como um sistema de 1 GL na vertical figura 2 Desprezandose a massa da lança e assumindo que a deformação ocorra somente na sua direção axial com base no seu movimento vide diagrama determine a Para uma massa combinada na caçamba de 3XX kg a rigidez equivalente do conjunto b O módulo de Young do material da lança c A velocidade máxima do movimento Dados seções da lança comprimentos l1 l2 l3 3 m áreas transversais A1 20 cm2 A2 12 cm2 A3 5 cm2 Rolamentos Rotor Motor Cabos Polia Gancho Rolamentos H Figura 2 yt m tempo s Figura 1 Questão 3 Na figura 3 temse uma mola de rigidez k e uma massa m 3XX0 kg num sistema vertical com 1 GL Dividese a mola de rigidez k pela proporção 13 em duas novas molas com rigidez k1 e k2 respectivamente Ao se posicionar a massa m entre ambas as molas apresenta o movimento representado no diagrama então pedese a A rigidez k inicial b A equação temporal que descreve o movimento Questão 4 Na equação diferencial de 2ª ordem c kx 0 com x0 20 mm e 0 3 mms temse a ẍ ẋ ẋ constante de amortecimento de 300 Nsm e rigidez de 5XX kNm Determine o período do movimento a equação deslocamento a velocidade máxima e o tempo decorrido para que a proporção entre as amplitudes seja igual a 100 Figura 3 ATIVIDADE Entrega até o dia da P1 Adote g 10 ms2 Questão 1 Na figura 1 um sistema massamola de massa de 300 kg e constante de rigidez 200 kNm possui propriedades magnéticas e atrai uma quantidade de massa de 20 kg Quando a corrente elétrica é cortada a massa atraída desprendese Calcular a equação de movimento do corpo xt após a massa se desprender Questão 2 A partir da medição da resposta livre de um sistema de 1GL conforme figura 2 estime a O valor da frequência natural e o fator de amortecimento b O valor do tempo t a partir do qual a magnitude do deslocamento xt não exceda 003 mm c Para t 07 o deslocamento percorrido Questão 3 Um movimento harmônico é expresso pela equação xt 08 04sen227t 4 em mm Determinar a amplitude o máximo deslocamento o ângulo de fase a frequência angular e o tempo e posição em que a velocidade é máxima Questão 4 O núcleo móvel de um relé eletromagnético possui massa de 12 gramas e está suportado por uma mola com k 30 kNm Quando energizado fechamse os contatos que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 08 mm e 6 mm de largura A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada Determinar a frequência natural com o relé aberto e fechado também a constante de amortecimento sabendose que entre duas amplitudes sucessivas a razão é de 201 Adote E 210 GNm2 Questão 5 Um tanque é transportado por três cabos idênticos figura 4 e desejase estimar seus valores máximos de descolamento velocidade e aceleração que resultarão de seu movimento livre na direção z Para uma massa de 2800 kg decremento logarítmico de 45 e cabos de aço com diâmetro de 123 mm cada determine estes valores Adote E 210 GPa Questão 6 Um suporte possui uma configuração como na figura 5 composto de uma viga estrutural uma mola e de um cabo com comprimento de 2 m e de diâmetro D O cabo é de mesmo material da viga e todos os componentes são de massa desprezíveis Para uma massa m qualquer fixa ao conjunto qual é o diâmetro mínimo do cabo para que a Figura 1 Figura 2 Figura 3 deflexão máxima seja de Use para a resolução os parâmetros analíticos E A I k l e Adote rigidez do cabo kcabo EAL Figura 4 Figura 5 Quando o peso está preso ao bloco o sistema está em repouso ΣF0 kyo mm2g 0 yo mm2g k yo 3002010 200000 0016 m Vo 0 pois inicialmente o bloco estava em repouso Quando o peso se desprende do bloco ΣFmay ky my my ky 0 wn sqrtba sqrtkm sqrt200000300 258 hz A eq do movimento é yt yocoswnt Vo wn sen wnt yt 0016 cos 258t 2 a Wn ξ equacões úteis Wn sqrtkm wd sqrt1ξ2wn b t para amplitude 003 mm c Xt para t07s wd 2π Td do gráfico δ ln x1 x2 δ 2πξ sqrt1ξ2 x1 e x2 do gráfico a ln x1x2 2πξ sqrt1ξ2 12π ln 1713 sqrtξ21ξ2 004272 ξ2 1 ξ2 fator de amortecimento ξ 0043 1 o sistema é subamortecido A solução é do tipo Xt eξwnt x0coswdt Vo ξwnxowd senwdt Do gráfico Td01 s wd 2πTd 2π01 6283 hz Wn wd sqrt1ξ2 6283 sqrt100432 6289 hz ωn freq natural ξ Wn Xo Vo Wd Do gráfico Xo 10 mm b Sabendo que do gráfico em t002 x 19 mm X002 19 19 e00436289002 x 10cos6283002 Vo0043 x 6289 x 106283 x sen6283002 19 0947 x 309 Vo2704 x 0015 Vo 110452 mms Xt eξwnt Xo coswdt Vo ξwnVo wd senwdt Amplitude é X eξwnt sqrtA2 B2 B 110452 0042 x 6289 x 10 6283 18 X e27t sqrt102 182 X 2056 e27t 003 2056 e27t ln003 2056 ln e27t t 2425 c Xt e 27t 10 cos6283t 18 sen6283t X07 e 2707 10 cos628307 18 sen628307 X07 151 mm Do gráfico Td 01 s wd 2π Td 2π 01 6283 hz Wn wd sqrt1 ξ2 6283 sqrt1 00432 6289 hz ωn freq natural ξ Wn Xo Vo Wd Do gráfico Xo 10 mm b Sabendo que do gráfico em t 002 x 19 mm X002 19 19 e00436289002 x 10cos6283002 Vo 0043 x 6289 x 10 6283 x Sen 6283002 19 0947 x 309 Vo 2704 x 0015 Vo 110452 mms Xt eξwnt Xo cos wdt Vo ξwnVo wd senwdt Amplitude é X eξwnt sqrtA² B² B 110452 0042 x 6289 x 10 6283 18 X e27t sqrt102 182 X 2056 e27t 003 2056 e27t ln 003 2056 ln e 27t t 2425 c Xt e 27t 10cos6283t 18 sen6283t X07 e 2707 10cos628307 18 sen628307 X07 151 mm 3 Xt 08 04sen227 t π4 deslocamento do gráfico A eq do movimento é Xt Xocosωnt ϕ amplitude freq natural fase Xt 08 04 1 seno máximo máx 08 04 0 mín seno mínimo 08 04 1 máximo negativo Xt 12 máximo 08 mínimo 04 máximo negativo Xt máximo desloc δmax Δ 12 04 08 mm δmax 12 mm ϕ fase π4 ωn 227 hz Vt máx x vt dx dt 04 cos 227 t π 4 227 Vt 908 cos 227 t π 4 Vt é máximo quando cosx 1 em X nπ 227 t π4 nπ para n1 t π π4 227 00104 s t quando θ nπ o cosseno é máximo 1 e o seno mínimo Então onde V for máximo X é mínimo X00104 08 04 sen227 t π4 X00104 08 mm 4 aberto fechado Wn aberto Wn sqrtkm sqrt3000 0012 500 hz Wn fechado Wn sqrtkeqm Keq 1k1 1k2 k1 3EI L² I igual a todos bh³12 0006 x 00008³ 12 256 108 m⁴ k1 3EIL12 3200109 2561013 00153 47787 Nm k2 3EIL22 3 x 290 x 109 x 2561013 00223 161280 Nm keq11 147787 1161280 keq1 368642 Nm há do lado esquerdo e direito em paralelo portanto keq3 keq1 keq2 2 keq1 737284 Nm keq 73728 3000 76728 Nm em paralelo Wn sqrt76728 0012 25286 hz wn molo fechado C Dado s ln X1X2 achar s achar Cc achar C sln201 3 s 2π s sqrt1s2 s s sqrt4π2 s2 0431 S CCc Cc 2 sqrtkm 2 sqrt3000 x 0012 12 NSm aberto 2 sqrt76728 x 0012 607 NSm fechado C SCc 0431 x 12 52 NSm aberto 0431 x 607 261 NSm fechado l1 k1 l2 k2 l3 k3 estão em paralelo k1 Ai Ei Li A1 A2 A3 π4 d2 π4 x 001232 1188106 m2 A E1 E2 E3 E 210 GPa l1 comprimento l1 sqrtx2 y2 z2 sqrt22 1252 32 38 m l2 sqrt22 1252 32 38 m l3 sqrt32 12 32 m k1 1188106 x 210109 38 k2 65376 Nm k3 1188106 x 210109 32 7889 Nm encontrando um k equivalente U1 U2 U3 Ueq energia potencial 12 k1 x12 12 k2 x22 12 k3 x32 12 keq z2 sen θ1 zx1 x1 z sen θ1 x2 z sen θ2 x3 z sen θ3 θ é o ângulo do cabo em relação ao chão todos os cabos tem altura 3m então h1 h2 h3 h sen θ1 h1 l1 θ1 sen1338 52 θ2 sen1hl2 sen1338 52 θ3 sen1h3l3 sen1332 70 k1 sen2 θ1 k2 sen2 θ2 k3 sen2 θ3 keq k1 x12 k2 x22 k3 x32 keq z2 k1 z2 sen2 θ1 k2 z2 sen2 θ2 k3 z2 sen2 θ3 keq z2 keq 29 9905 Nm δ 45 s 1 sqrt2πs2 1 058 1 Sistema Subamortecido xmax Vmax amax xt eswnt x0cosWdt Vo swnx0 WdsenWdt Considerando Vo 0 e x0 mg keq 2800 x 10 299905 093 m Wn sqrtkeq m sqrt30000 2800 107 hz Wd sqrt1 0582 107 87 hz Wd Wn xt e058107t 093cos87t 0 058 x 093 x 107 87 sen87t xt e621t 093cos87t 066 sen 87t a amplitude X é sqrt0932 0662 114 m Vt dxdt 093 e621t 621cos87t sen87t87e621t 066 621 e621 sen87t cos87t87e621t Vt e621t 0033 cos87t 122 sen 87t a amplitude V é sqrt00332 1222 122 ms at dvdt 0033 621 e621t cos87t 87 sen87t e621t 122 621 e621 sen87t 87 cos87t e621t e621t 1059 cos87t 76 sen87t a amplitude é A sqrt10592 762 1304 ms2 k1 3EIl3 k2 AEL k3 1k1 1k1 l33EI 1k1 k3 kl3 3EI 3kEI1 k3 3KEI kl3 3EI está em paralelo com k2 keq k2 k3 AEL 3KEIkl3 3EI onde A πD24 keq πCE D2 4L 3KEI kl3 3EI A solução do sistema é Xt X0coswn t v0wnsenwn t considerando v00 partindo do repouso a deflexão máxima é o proprio X0 Xt1 X0coswn t1 coswn t 1 wn t nπ supondo n1 1 ciclo t πwn supondo que δmax X0 acontece em t1 wn π sqrtkeqm π keq mπ2 mπ2 πE4LD2 3KEIkl3 3EI sqrtmπ2 3KEI3EI kl34LπCE D LISTA COM 4 QUESTÕES 1 Xx 55 L 10 m E210 GPa I 108109 mm4 108103 m4 k1 192 EIL3 435106 Nm k2 k3 AEH π40015218010925 k2 k3 127106 Nm k4 keq23 k2 k3 254106 Nm k1 e k4 estão em série keq 1k1 1k41 16106 Nm keq wd 60 hz 55 de amortecimento Xi 1 X2 1 055 X1 045 δ ln1045 08 ζ 1 sqrt2πδ2 1 013 1 sistema subamortecido wn wdsqrt1ζ2 60sqrt10132 605 hz wn sqrtkeqm m keqwn2 161066052 43738 kg m massa incluindo os cabos o peso do cabo é mcabo ρV ρAH x 2 dois cabos mcabo 7860π40015225 x 2 69 kg m 43738 69 43669 kg m 2 ki Ai Ei Li keq1 A1 EL11 A2 EL21 A3 EL31 keq1 1E L1A1 L2A2 L3A3 1E 3002 30012 30005 keq1 1000E keq E103 m355 kg do gráfico y001 v00 Td016048032 s x101 x2005 wd 2πTd 196 hz δ lnx1x2 07 ζ 1sqrt2πδ2 1 011 1 subamortecido wn wdsqrt1ζ2 196sqrt10112 197 hz wn wn sqrtkeqm wn2m keq 1972355 1380365 Nm keq a sendo keq E103 E 1380365103 0138 GPa E b A eq do movimento é Xt eζ wn t x0 coswd t v0 ζwnx0wd senwd t e22 t 01 cos196 t 22 x 01196 sen196 t vt dxdt e22 t 2 sen196 t 002 cos196 t V sqrt22 0022 2 ms amplitude da velocidade m 3550 kg X0 15 X1 07 X2 04 K1 K3 K2 2K3 estão em paralelo δ ln 0704 028 S 12ζs² 1 0044 1 subamortecido Td 112 041 085s ωd 2πTd 785 hz ωn ωd1ζ² 786 ωn² Km K 3550786² 2193176 Nm K a Como X0 está muito próximo do pico da curva podese dizer que V0 0 Xt e5ωnt X0Cosωdt 0 5WnX0ωd Senωdt 5ωn 049786 034 5ωnXo 03415 051 Xt e034t 15 cos 785 t 051785 sen 785 t b 4 X020 mm V0 3 mms C300 Nsm K555 kNm m1 kg ωn Km 745hz Cc 2 Km 1490 Nsm ζ CCc 3001490 02 1 subamortecido ωd 1ζ² ωn 730hz X X0² V0 ζωnX0ωd² 20² 3 2002 x 745730² 204 ζωn 02745 149 Xt X eζωnt sen ωdt φ φ tg¹ 20409 784 137 rad Xt 204 e149t sen730t 137 eq do deslocamento Vt dxdt 204 149 e149t sen730t 137 730cos730t 137 e149t 204 e149t 730 cos730t 137 149 sen730t 137 A velocidade é máxima quando x é mínimo Xt 204 e149t sen730t 137 730t 137 nπ2 n é impar quando n 1 t π2 137 1730 00003 s V00003 204 e149 x 00003 730 cos730 x 00003 137 149 sen730 x 00003 137 31655 mms Vmáx t para amplitude diminuir 100 vezes X0Xn 100 X0 100 x Xt 20 100 x 204 e149t sen730t 137 001 e149t sen730t 137 t 0031 s wolfram