Equações Diferenciais e Tanques - Resolução de Problemas de Escoamento

Resolvendo a equação diferencial A dhdt gR h 0 dhdt gRA h 0 Transformando para laplaciana b1 dhdt gRA b1 h 0 b1 dhdt S hs h0 h0 5 m3 b1 gRA h gRA hs Então S hs 5 gRA hs 0 hs s gRA 5 gRA hs 5 S gRA Aplicando a transformada inversa ht 5 b1 1s gRA 5 egRA t ht 5 egRA t Observe que ja acomoda a frequencia da exponencial a gRA Assim T 1a T 20 s a gRA A 20 m2 g 10 ms2 Te RAg R TgA R 500 10 ms2 20 m2 R 10 1ms 10 m1 s1 R 25 m1 s1 Ela deve ser volumetrica b A altura de estado de equilibrio quando a vazas de entrada Q 3 m3s veja que está em volume Rm 25 m1 s1 dVdt q ρghρR Vc 3 m3s dVdt q gR h Vs ρqhRv A dhdt q gR h dVdt A dhdt A dhdt gR h q A dhdt gR h 3 dhdt gRA h 3A fazendo a transformada b1 dhdt S hs 5 hs b1 gRA h gRA hs 1020 525 hs 150 hs b1 320 320 15 Agora vamos resolver alguns problemas Problema 715 do Palmer Um certo tanque tem uma área de A 20 m2 o nível de líquido no tanque é inicialmente de 5 m3 Quando a saida é aberta ele leva 200s para atingir 98 a Estime o valor da resistencia R b Encontre a altura de estado de equilíbrio quando a vazas de entrada por q 3 m3s a Observe que o tanque está secando então só existe vazas de saída dmdt Ve Vs dmdt Vs Ve 0 m ρV ρ A h ρ A dhdt ρgh dmdt dVdt ρ A dhdt A constante ms p1 p2 R p1 R ρ gh R Entao a equaçao fica A dhdt q h R Pelos dados a constante de tempo deve ser calculada vejamos que foi palado que t 4T t 200 s nível do tanque é 98 Isso significa que r t4 2004 50 s 99 57 46 32 415 hs 150 hs 320 15 hss 150 320 18 hs 320 5s 150 320 A s 150 B s s 0 320 A 150 152 A s 150 320 A 150 150 B 150 B 320 50 152 Assóm hs 152 15 152 1 s 150 b1hs 152 b115 152 b11s 150 hs 152 15 et50 hss 152 75 m hss é a altura final que o tanque atinge depois do estado de equilibrio é atingido 736 Um certo tanque tem a area de base circular de 20 pés2 Ele é drenado por um tubo de resistncia R 150 m1 s1 O tanque contem água cuja densidade é 134 slug ft3 a Estime quanto tempo leva para o tanque esvaziar se a altura de água inicial é de 30 pés b Suponha que a agua seja despejada do tanque a uma taxa de 01 pés3s se o tanque esta inicialmente vazio e o tubo de saída se manter aberto encontra a altura do estado de equilíbrio e o tempo para atingir 13 dessa altura Estime também quanto tempo leva para atingir a altura do estado de equilíbrio A primeira coisa que vamos fazer é deixar as unidades no mesmo sistema A 20 pés2 R 150 1m s R 150 328 1 pés s 4573 pés1 s1 p 134 slugpés3 Ve 01 pés3s h0 30 pés a Quanto tempo o tanque leva para esvaziar o tanque h0 30 pés Veja que nesse caso o tanque está com altura inicial de 30 pés então o tanque esvazi o qual o tanque esvaziando atinge o estado de equilíbrio t 4T Tempo para Então precisamos achar quem é o T lembra ou que T 1a em que a é a frequência da exponencial da EDO 1m 328 pés slug unidade de massa do sistema inglês 1 slug 1 lbf 1 pés2 Assim vamos resolver a EDO Para o tanque secando dmdt ms dmdt p dvdt p A dhdt Adhdt pgh R ms p1 p2 Rm pgh Rm Adhdt gh R Adhdt gR h 0 Quando estamos esvaziando o tanque a altura do tanque vai de h0 30 pés até h4T 23 hco Preste atenção que nas condições dada no problema no tanque vazio de entrada só de queda Então a EDO é essa abaixo A dhdt gR h 0 dhdt gAR h 0 dhdt 35x102 h 0 g 3217 péss2 Rm 4573 pés1 s1 A 20 pés2 g AR 3217 4573 x 20 35 x 102 Aplicando a transformada de laplace bdhdt s Hs h0 s Hs 30 b 35 x 102 35 x 102 Hs Então no domínio de s Hs s 35 x 102 30 Hs 30 s 35 x 102 b1 Hs ht 30 e35 x 102 t a 35 x 102 1a 2857 s Se vocês observaram o resultado do exercício resolvido no manual do livro o valor de T está diferente É que eles usaram a resistência massica em m1 s1 que não está no mesmo sistema de unidades das outras constantes do problema que está descrito no sistema inglês Agora podemos encontrar o tempo necessário para que o tanque seque Sabemos na descarga do tanque quando t 4T a altura da água é apenas hss 2 h0 Ou seja a altura de estado estacionário é 2 da altura original Então o tempo que o tanque leva pra secar é t 4T 4 x 2857 s t 11428 s b Achar Altura de Estado Estacionário hss tempo para atingir h 13 hss tempo quando h hss lembrando que Ve 01 pés³s Vs p1p2 Qvp ρgh Rv Rv ρRm 4573 x 134 slug pés4 s Qv 6127 slug pés4 s Veja que a unidade da vazão é em pés³s então é volumétrica a vazão usada lá no problema anterior foi massica A resistência dada é massica portanto deveremos transformála e resistência volumétrica Portanto a equação diferencial dVdt Ve Vs Ve 01 pés³s Vs ρghRv ρgh Rm ρ ghRm dvdt A dhdt A dhdt 01 g Rm h dt dhdt 01A gRmA h dhdt 0120 104573 h dt dhdt 109 x 102 h 5 x 103 h Colocando na forma Laplaceira fazendo h00 s Hs 109 x 102 Hs 5 x 103 s Hss 109 x 102 5 x 103 s Hs 5 x 103 s 109 x 102 s As Bs 109 x 102 As 109 x 102 Bs 5 x 103 s 0 s 109 x 102 A 5 x 103 109 x 102 045 A0 B 109 x 102 5 x 103 B 5 x 103 109 x 102 045 Hs 045s 045 1s 109 x 102 Fazendo a inversa ht 045 045 e109 x 102 t 1 A altura no estado estacionário é hss 045 pés ht 045 045 e109 x 102 t ht hss hss eat 2 tempo para atingir a altura do estado estacionário é t dT d 1a 4109 x 102 366975 lembre que nesse caso o tanque está enchendo a uma vazão pequena ao mesmo tempo ele é esvaziado pela saída Nestas condições de vazas de entrada e saida ele só consegue chegar até 045 pés de altura de líquido Ou seja ele leva 366975 para chegar na altura final de 045 pés lembre que os valores encontrados não serão iguais os do resolvido no livro porque eles fizeram uma bagunça de unidades 3 Em quanto tempo ele atinge uma altura h 13 hss 13 045 015 pés ht 045 045 e109 x 102 t 015 045 045 e109 x 102 t 03 045 e109 x 102 t 03045 066 e109 x 102 t aplicando ln dos dois lados ln 066 109 x 102 t 042 109 x 102 t t 3812 seg