Funcao de Transferencia e EDO - Analise de Sistemas Dinamicos

1 Questão Análise 1 A entrada f provoca um movimento de rotacao no sentido antihorario 2 O deslocamento θ é positivo neste mesmo sentido 3 As duas massas Disco e particula giram o redor do mesmo ponto com a mesma velocidade angular Portanto funcionam com uma única massa girando em torno de um eixo no centro de massa do disco 4 As impedâncias fazem um movimento de translação gerando forças nas laterais do disco O deslocamento das impedância x é proporcional ao deslocamento angular do disco x θ R R raio do disco a Encontrar a Função de Transferência Modelando o sistema JT JDisco JPart JDisco 12 mD R² JPart mp L JD 12 m1 R² 12 3 02² 006 Kg m² Jm m2 l² 05 x R AB² 05 02 l² 072 Kg m² JT Jm JD 006 072 078 Kg m² JT θ f AB R b R² θ K R² θ JT θ b R² θ K R² θ f AB R T Fb b y R b R² θ 1 02² θ 004 θ T K K y R K R² θ 1 02² θ 004 θ T F f AB R f 1 02 12 f A equação fica JT θ b R² θ K R² θ f AB R 078 θ 004 θ 004 θ 12 f Dividindo tudo por 12 065 θ 0033 θ 0033 θ f EDO Achando a Função de Transferência transformando a EDO no espaço do tempo para espaço da frequência s lembrando que nesse caso consideraríamos que as condições de contorno da EDO são nulas ou seja t 0 X0 0 Ẋ0 0 065 θ 033 θ 033 θ f tempo 065 s² 033 s 033 θs Fs θs Fs 1 065 s² 033 s 033 Função de Transferência b Achar a solução quanto as condições de contorno são t 0 θ 1 rad e θ 0 e ft 3 065 θ 033 θ 033 θ 3 tempo No domínio da frequencia L065 θ 065 s² θs θ0 s θ 0 065 s² θs s 0 065 s² θs 065 s b 033 Θ 033 5 ΘS Θ0 033 5 ΘS 1 b 033 Θ 033 ΘS 033 ΘS b 3 3 b1 3s No domínio de S a EDO fica 065 S² ΘS 065 S 033 S ΘS 033 033 ΘS 3s 0655² 033 S 033 ΘS 0655 4 033 3s 0655² 033 S 033 ΘS 3s 0655 033 0655² 033 S 033 ΘS 3 0655² 033 Ss ΘS 0655² 033 S 3s 0655² 033 S 033 Encontrando as Frações parciais Primeiro achamos os polos que são as raízes do denominador ① S0 Primeiro pólo ② 0655² 033 S 033 0 outros 2 polos 5 Encontrando as frações parciais ΘS S² 051 S 462 5 S² 051 S 051 A S B S C S² 051 S 051 A S² 051 S 051 B S² C S S² 051 S 462 S0 A 051 462 A 905 905 S² 051 S 051 B S² C S S² 051 S 462 905 S² 462 S 462 B S² C S S² 051 S 462 905 S² B S² S² 905 B 1 B 805 051 S C S 051 S C 0 Então podemos escrever ΘS As B S C S² 051 S 051 ΘS 905s 805 S S² 051 S 051 6 Para facilitar as operações vamos dividir em cima e em baixo da equação por 065 ΘS 065 S² 033 S 3 5 0655² 033 S 033 065 ΘS S² 051 S 462 5 S² 051 S 051 Agora achamos os polos S² 051 S 051 0 Δ 051² 4 051 Δ 026 204 Δ 178 Δ 178 i 133 i S₂ b Δ 2a 051 133 i 2 0255 0665 i S₃ b Δ 2a 051 133 i 2 0255 0665 i Então os polos são S₁ 0 S₂ 0255 0665 i S₃ 0255 0665 i θs 905 805 s 𝑠² 0515s 051 Reorganizando o denominador da segunda parcela 𝑠² 0515 051 𝑠² 0515 0255² 0255² 051 𝑠² 0515 051 𝑠 0255² 0445 então θs 905 805 s 𝑠 0255² 0445 θs 905 805 s 𝑠 0255 0255 𝑠 0255² 0445 θs 905 805 s 𝑠 0255 𝑠 0255² 0445 0255 𝑠 0255² 0445 θs 905 805 s 𝑠 0255 𝑠 0255² 0445 2053 0445 051 𝑠 0255² 0445 θs 905 805 s 𝑠 0255 𝑠 0255² 0445 31 𝑠 0255² 0445 Aplicando a inversa b¹θs θt b¹805 3 0255 𝑠 0255² 0445 b¹905 s 905 805 e⁰²⁵⁵ᵗ cos 0445 t 7 b¹31 0667 𝑠 0255² 0445 31 e⁰²⁵⁵ᵗ sen 0445 t θt 905 805 e⁰²⁵⁵ᵗ cos 0667 t 31 e⁰²⁵⁵ᵗ sen 0667 t c Definir o tipo de sistema O sistema é subamortecido pois os polos da equação de segunda ordem são complexos levando a um coeficiente de amortecimento h 1 d Determinar frequência Natural e fator de amortecimento θs 1 Fs 065 𝑠² 0335 033 𝑠² 0515 051 Frequência Natural ω₀ c₁ a₁ c₂ a₂ ω₀ 033 065 051 071 ω₀ 071 h b a₁ b₂ 033 065 051 036 2 ω₀ 2 ω₀ 2 071 2 071 h 036 8 2 Achar resposta forçada e livre θt 905 805 e⁰²⁵⁵ᵗ cos 0667 t 31 e⁰²⁵⁵ᵗ então Resposta Forçada Aquela que depende da entrada S Resposta Forçada 805 Resposta livre A que depende da equação do sistema Resposta Livre 805 e cos 0667 t 31 e sen 0667 t só para completar Resposta Transiente A que desaparece qua t e⁰²⁵⁵ᵗ Resposta Transiente 805 e cos 0667 t 31 e sen 0667 t Resposta em Estado Estacionário A que permanece depois t Resposta em Esta Estacionário 905 9 e Resposta livre e forçada θt 905 805 e0255t cos 067 t Resposta Forçada é a que depende do polinômio gerado pela entrada Resposta Forçada é 905 Resposta livre é a que depende do polinômio gerado pelo sistema Resposta livre é 805 e0255t cos 067 t Só para completar Resposta Transiente aquela que desaparece quanto t Resposta Transiente é 805 e0255t cos 067 t Resposta em Estado de Equilíbrio É 905 Quando t o termo que continua existindo Informações adicionais Os polos são S0 então no domínio de S a representação dos polos é S 0255 0665 i S 0255 0665 i Observem como tudo está interligado com os polos da funções do sistema Solução encontrada foi θs 908 805 e0225t cos 0667 t 31 e sen 0667t wd argumento do ângulo σ argumento da exponencial Total achando as raizes da EDO de segunda ordem encontramos os argumentos das funções da solução Além disso wd w0 1 ζ2 ζ 036 w0 071 wd 071 1 0362 0662 σ ζ w0 02556 igual ao valor do argumento das funções senoidais argumento da exponencial