Assunto Independência Linear e Dimensão

1 20 pontos Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependente em R3 com quais valores reais de λ v1 λ 12 12 v2 12 λ 12 v3 12 12 λ 2 20 pontos Prove dados quaisquer vetores u v e w num espaço vetorial V os vetores u v v w e w u formam um conjunto linearmente dependente 3 Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa justificando a sua resposta a 10 pontos Um conjunto que consiste de um único vetor é linearmente dependente b 10 pontos Dado qualquer escalar k e v no espaço vetorial V o conjunto v kv é linearmente dependente c 10 pontos Se o espaço vetorial V v1 vn então v1 vn é uma base de V d 10 pontos Cada subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial V é uma base de V 4 20 pontos Encontre as coordenadas de v em relação à base S v1 v2 v3 de R3 onde v 2 1 3 v1 1 0 0 v2 2 2 0 e v3 3 3 3 2 Álgebra Linear v1 λ 12 12 v2 12 λ 12 v3 12 12 λ Se v1 v2 v3 é LD então α1v1 α2v2 α3v3 0 possui solução não trivial α1 λ 12 12 α2 12 λ 12 α3 12 12 λ 0 λα1 α22 α32 α12 λα2 α32 α12 α22 λα3 0 2λα1 α2 α3 0 α1 2λα2 α3 0 α1 α2 2λα3 0 2λ 1α1 2λ 1α2 0 4λ2 1α1 2λ 1α2 0 1 2 1 2λ 1α1 α2 0 1º caso α1 α2 2 α1 4λ2 2λ 1 0 α14λ2 2λ 2 0 2λ2 λ 1 0 Δ 1 421 9 λ 1322 1 12 Logo λ1 1 ou λ2 12 2º caso 2λ10 λ 12 Portanto λ 1 ou λ 12 v1 v2 v3 é LD 2 Seja B1 u v B2 v w B3 w u Se S B1 B2 B3 é LD então existem escalares α1 α2 α3 tais que α1B1 α2B2 α3B3 0 temos solução não trivial Exemplo α1 α2 α3 α αu v v w w u 0 α0 0 Logo para qualquer escalar α S é LD Portanto S é LD para quaisquer u v w a Verdadeiro Qualquer conjunto de valores que contenham o vetor nulo será linearmente dependente mesmo que tal conjunto seja unitário b Verdadeiro Seja v1 v v2 K v Logo v2 K v1 Logo S v1 v2 é LD pois v2 é combinação linear de v1 c Falso v1vn pode gerar o espaço vetorial V porém para ser uma base também é necessário q v1vn seja LI d Falso Qualquer subconjunto de elementos LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado até formar uma base 4 4 v 2 1 3 v1 100 v2 220 v3 333 L v α1 v1 α2 v2 α3 v3 2 1 3 α1 2α2 3α3 2α2 3α3 3α3 2 α1 2α2 3α3 α3 1 1 2α2 3α3 α2 2 3 3α3 α1 3 Logo v 3 v1 2 v2 v3 v 3 2 1SS