Gabarito Algebra Linear - Prova Segunda Chamada 2024-1

Álgebra Linear Profs José Cláudio Maciel Freire Leonardo Medeiros de Queiroz Nome CPF Turma Gabarito da prova de Segunda Chamada do 1º EE de 20241 Orientações Leia atentamente todas as questões antes de começar a prova Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta Não serão aceitas respostas sem justificativa Questão 01 35 pontos Considere a matriz A 4 2 0 1 1 0 0 1 2 a 20 Dado px x² 5x 6 calcule pA b 15 Calcule A¹ Solução a Fazendo as operações indicadas temos pA 14 10 0 5 1 0 1 3 4 20 10 0 5 5 0 0 5 10 6 0 0 0 6 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 2 0 b Vamos usar o método de GaussJordan para encontrar a inversa de A 4 2 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 4 2 0 1 0 0 0 6 0 1 4 0 0 1 2 0 0 1 4 2 0 1 0 0 0 1 0 16 23 0 0 0 2 16 23 1 4 0 0 23 43 0 0 1 0 16 23 0 0 0 1 112 13 12 1 0 0 16 13 0 0 1 0 16 23 0 0 0 1 112 13 12 Assim encontramos A¹ 16 13 0 16 23 0 112 13 12 Questão 02 35 pontos Determine uma base e a dimensão do espaço solução do sistema x 2y 4z 3t 0 x 2y 2z 2t 0 2x 4y 2z 3t 0 Solução Ao resolvermos o sistema encontramos que t 2z e x z 2y Portanto os vetores solu ção desse sistema são da forma z 2y y z 2z y2 1 0 0 z1 0 1 2 Dessa forma o conjunto 2 1 0 0 1 0 1 2 constitui uma base do espaço de soluções e a dimensão desse espaço é 2 Questão 03 30 pontos Sejam W e U dois subespaços do R4 ambos com dimensão 3 Encontre o subes paço W U bem como sua dimensão sabendo que o subespaço W U é gerado pelos vetores 1 2 1 0 1 1 0 1 e 1 5 2 1 Solução 1 5 2 1 21 2 1 0 1 1 0 1 Portanto os três geradores de W U appresentados são LD Por outro lado o conjunto 1 2 1 0 1 1 0 1 é LI e portanto forma uma base de W U Assim descobrimos que a dimensão de W U é igual a dois Podemos agora aplicar dim W U dim W dim U dimW U 3 3 2 4 Assim como a dimensão de W U é a mesma do R4 então W U R4 Boa Prova Page 2 Álgebra Linear Profs José Cláudio Maciel Freire Leonardo Medeiros de Queiroz Nome CPF Turma Gabarito da Prova de Segunda Chamada do 2º EE de 20241 Orientações Leia atentamente todas as questões antes de começar a prova Os cálculos necessários devem ser realizados na folha de resposta Não serão aceitas respostas sem justificativa Questão 01 30 pontos Dadas as transformações lineares S R² R³ e T R³ R² tais que Sxy yx y2x 2y e xyz xy determine a matriz que representa S o T na base B 100 10 1 110 Solução S o Txyz STxyz Sxy yx y2x 2y Portanto matriz que representa S o T na base canônica é A 0 1 0 1 1 0 2 2 0 Já a matriz que realiza a mudança da base B para a base canônica é P 1 1 1 0 1 1 0 1 0 Por sua vez a matriz que realiza a mudança da base canônica para a base B é P¹ Para encontrála podemos utilizar o algoritmo de GaussJordan 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 Assim P¹ 1 1 0 0 0 1 0 1 1 Concluindo fazemos a mudança de base da matriz A AB P1AP 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 2 2 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 4 4 3 4 4 Questão 02 35 pontos a 20 Determine um operador linear do R4 cujo núcleo seja gerado pelos vetores 1 1 0 0 e 0 0 1 0 b 15 Encontre uma base para a imagem desse operador linear Solução a Queremos um operador linear T R4 R4 tal que 0 denota o vetor nulo 1 T1 1 0 0 T0 0 1 0 0 2 Tv 0 se v não é uma combinação linear de 1 1 0 0 e 0 0 1 0 Das condições acima concluímos que T1 0 0 0 T0 1 0 0 0 donde T1 0 0 0 T0 1 0 0 0 T0 0 1 0 0 e T0 0 0 1 0 As desigualdades decorrem de os vetores 1 0 0 0 0 1 0 0 e 0 0 0 1 não fazerem parte do núcleo pois não são combinações lineares de 1 1 0 0 e 0 0 1 0 Temos então liberdade para escolher T1 0 0 0 e T0 0 0 1 contanto que nenhum deles seja o vetor nulo e que eles sejam LI pois se eles forem LD existirá uma combinação linear deles que fará parte do núcleo de T o que contraria a condição 2 acima Se escolhermos T1 0 0 0 a1 a2 a3 a4 e T0 0 0 1 b1 b2 b3 b4 a transformação será definida por Tx y z t xT1 0 0 0 yT0 1 0 0 zT0 0 1 0 tT0 0 0 1 a1x a1y b1t a2x a2y b2t a3x a3y b3t a4x a4y b4t b A partir do resultado do item anterior temos Tx y z t x ya1 a2 a3 a4 tb1 b2 b3 b4 Portanto a imagem de T é formada por todas as combinações lineares de a1 a2 a3 a4 e b1 b2 b3 b4 Como esses vetores são necessariamente LI eles formam uma base da imagem de T Questão 03 35 pontos Seja F R3 R3 definida por Fx y z x 2y z y 2z 2y z a 20 Escreva a representação matricial desse operador na base canônica e determine os autovalores e os autovetores desse operador b 15 Determine uma matriz diagonal D que represente o operador F Exiba também uma base em que F tenha essa representação Solução a A representação matricial de F na base canônica é dada por 1 2 1 0 1 2 0 2 1 Page 2 Os autovalores λ são soluções da equação característica det 1 λ 2 1 0 1 λ 2 0 2 1 λ 0 1 λλ2 2λ 3 0 cujas soluções são λ1 1 λ2 3 e λ3 1 Esse são os autovalores desse operador Substituindo de volta na matriz vemos que os autovetores correspondentes a λ1 1 são múltiplos de 1 0 0 que os autovetores correspndentes a λ2 3 são múltiplos de 3 2 2 e que os autovetores correspondentes a λ3 1 são múltiplos de 1 2 2 b Sabemos que autovalores correspondentes a autovetores diferentes são LI Como os três autovalores são LI o conjunto B 1 0 0 3 2 2 1 2 1 formam uma base do R3 Nessa base a representa ção matricial do operador F é diagonal e sua diagonal é composta pelos autovalores Assim tomando os elementos da base na ordem mostrada essa matriz D é 1 0 0 0 3 0 0 0 1 Boa Prova Page 3