Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear - Subespaços Vetoriais

POLI PROF CLÁUDIO MACIEL ÁLGEBRA LINEAR 2ª Lista de exercícios Subespaço Vetorial Conjunto gerador Base e dimensão Subespaço Vetorial Um conjunto W é um subespaço vetorial de um Espaço Vetorial V se e somente se forem válidas as seguintes propriedades u W W u R e 3 W u u W u u 2 W 0 1 2 1 2 1 Exemplos Verificar se W e S são subespaços vetoriais do R2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 W é um subespaço do R Conclusão ok R 0 0 0 0 0 y x 0 y x 0 y x W e y x u 0 y x y e x u Seja W u W u R e III ok 0 0 0 0 0 0 y x y x 0 y y x x 0 y x W e y x y x u u 0 y x y e x u 0 y x y e x u Sejam W u u W u u II ok 0 0 0 0 0 0 y x W e 00 W 0 I 0 y R x x y Seja W º1 0 y R x y z x 2 º Seja S 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 W não é um subespaço do R Conclusão ok R 0 0 0 0 0 y x 0 y x 0 y x W e z y x u 0 y y z e x x u Seja W u W u R e III propriedade falha 0 y y x x 2 0 y y 2x x 0 0 0 y y 2x x y x y x 0 y 2y y y x 2x x x 0 y y x x 0 y x W e z y z x y x u u 0 y x y z e x u 0 y x y z e x u Sejam W u u W u u II ok 0 0 0 0 0 0 y x W e 000 W 0 I 3º 2t z M x t z y x Seja S 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 3 S é um subespaço do M Conclusão ok R 0 0 0 0 0 2 t z x 0 2 t z x 0 2 t z x 0 2t z x S e t z y x u 0 2t z e x t z x y u Seja S u S u R e III ok 0 0 0 0 0 0 2t z x 2t z x 0 2t 2t z z x x 0 t 2 t z z x x 0 2t z x S e t t z z y y x x u u 0 2t z e x t z y x 0 e u 2t z e x t z y x u Sejam S u u S u e u II ok 0 0 0 02 0 0 0 2t z x S e 0 0 0 0 S 0 I 0 2t z M x t z x y Podemos escrever S 2t z M x t z x y S Exercícios propostos 1 Quais dos seguintes conjuntos são subespaços a W xyz x y z 0 do R3 b V xy y 3x do R2 c S xy z x2 y2 z2 1 do R3 d T xy y x 1 do R2 2 Verificar se os conjuntos são subespaços a U xyz x 0 do R3 b V xyzt z x 2y e t 2x do R4 c x z M R y t z x y W 2 d 0 t z 2y M R x t z x y W 2 e W xyz x 2y 3z 4 0 do R3 f R xyz x y do R3 3 Verificar se o conjunto V é um subespaço vetorial do R3 V xyz 2y z x Não sendo apresente as propriedades que falham 4 Verificar se o conjunto V é um subespaço vetorial do R3 V xyz x 2y 3z 4 Não sendo apresente as propriedades que falham 5 Verificar se o conjunto U é um subespaço do R3 U xyz y x z Não sendo apresente as propriedades que falham 6 Mostrar que é subespaço de M2 R o seguinte subconjunto x M R y t z x y W 2 Conjunto gerador Exemplo 1º Seja U xyz x y z 0 determinar o conjunto gerador I Reduzindo as variáveis em x y z 0 podemos escrever x y z II Substituindo em U e reescrevendo temos U y z y z y z reais 101 011 101 011 101 011 b a w U w U gerado de U Conjunto R y z y U linear para U Combinação R y z z y z y U 2º Seja W xy x y 0 determinar o conjunto gerador I Reduzindo as variáveis em x y 0 podemos escrever x y II Substituindo em W e reescrevendo temos W y y y real 11 11 11 a u W u W gerado de W Conjunto R y y W linear para W Combinação R y y y W Exercícios propostos 1º Dados os subespaços vetoriais do R2 R3ou M2 determinar o conjunto gerador e W xy x y 0 f V xy y 3x g T xy y x h U xyz x y z 0 i V xyz z x 2y j R xyz x 2y 3z 0 k M xyz x 0 l U xyz x 2y 0 m V xyz x z 0 e x 2y 0 n W xyz x 2y 3z 0 o 2 x y R M t z x y P p 0 0 2 t e z y x R M t z x y P q 0 2 t x z y x y R M t z x y P r 0 2 0 2 2 t z e y x e z y R M t z x y P Subespaço Vetorial Base e Dimensão Base é o conjunto gerador que é LI Dimensão número de vetores da base OBS Processo prático para determinar uma base escalonar os vetores do conjunto gerador Exercícios propostos 1 Dados o conjunto gerador u 111 v 110 e w 100 a Mostrar que uvw é uma base do R3 b Escrever o vetor p 234 como combinação linear de uv e w 2 Dar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do R4 a W xyzt x y y e x 3y t 0 b U xyzt x y 0 e x 2y t 0 3 No espaço vetorial R3 consideremos os seguintes subespaços U xyz x 0 V xyz y 2z 0 e W 110 002 Determinar uma base e a dimensão de cada subespaços U V W 4 Determine uma base e a dimensão do espaço solução de cada sistema 0 5 2 0 4 2 3 0 0 4 3 0 3 3 0 2 2 0 5 4 0 2 2 0 t z y t z y x t z y x c z y z y x z y x b z y x z y x z y x a