Fundamentos de Espaços Vetoriais e Transformações Lineares

1 Bases de espaco vetorial A base de um espaco de dimensao n é um conjunto de n vetores linearmente independente entre si Qualquer vetor do espaco pode ser escrito como combinacao linear dos vetores que compoe a base Exemplos 1 1 0 sn fj e I Note que todos os elementos de R 1 fe podem ser escritos como combinacao linear de v e va 1 0 x Ea eof 2 3 Para ficar mais claro observe 0 exemplo numérico a seguir 4 1 0 x 4 4 a 2 H 4v 2vo 4 2 1 4 s n e4 6 Sera que todos os elementos de R 1 x ia 6 podem ser escritos como combinacao linear de v1 e v2 x 1 4 e Gea 8 mr 6 Em caso positivo como determinar as constantes a e 6 Note que a eq 7 pode ser reescrita como zi jl 4 Ja Plb Alla a 1 47 fe 1 ff 3 Ee De forma geral um vetor x pode ser escrito base v1 v2 Vn através de uma combinacao linear X AV1 GeV2 4nVn 10 De forma matricial XY ay op a2 vi ve oo val 11 FH Xn P An Sa Sa xPa 12 E os coeficientes sao dados por aPx 13 1 2 Transformacoes Lineares em uma nova base JA vimos que a aplicagao de uma transformacao linear em um vetor x pode ser escrita de forma matricial T x Ax 14 Agora vamos supor que vamos escrever 0 vetor x em termos de uma nova base cujos elementos formam a matriz Pvi vo vn 15 Portanto o vetor x pode ser escrito em termos da nova base como xPa 16 Logo T x AxAPa 17 O vetor T x pode também ser escrito em termos da nova base T x Pb 18 em que b sao os coeficientes do vetor T x na nova base Portanto Pb APa 19 bPAPa 20 Conclusao a matriz B PAP fornece os coeficientes do vetor transformado T x na nova base Exemplos 1 Seja a transformacaéo T x R R definida por ey XQ Px nt 21 A matriz can6énica da transformacao é dada por ATe1 Te2 22 1 0 ans 2 em que e e2 08 vetores candnicos de R 1 1 rie o io 0 1 renrr a Logo 1 1 A i 1 25 2 4 2 Agora suponha que a transformacao sera aplicada em vetor x expresso na base V Hl A Existem constantes a a2 tais que f4 2 4 2 fai afB6 e s A imagem da transformacao T x pode ser escrita como T x AxAPa 27 Considere agora que 0 vetor T x ser também escrito na base V 4 2 4 2 fox x by Hl by i iP Pb 28 2 Portanto se o vetor de coeficientes b é dado por bP APa 29 Observando o caso especifico x 2 A imagem de x é dada por 1 1 1 1 roma GIL Se quisermos expressar T x na base V T x Pb bPT x 31 A inversa da matriz P é dada por 1 P22 P12 13 2 P 1 32 det P Pil 101 4 32 Portanto os coeficientes de T x na base V sao dados por 13 2 1 1 13 pl bP Tx 2 2 i x 33 Uma alternativa para determinar b seria determinar primeiramente o vetor de coeficientes para expressar x em V 1 3 2 1 1 7 pl a sPemagl alfa 3 on E entao aplicar a matriz B PAP 13 21 144 2 1 7 9 Pala ajis allt 3aolo 3 co Verifique que bBa 36 3 Espaco Imagem e Nicleo Seja uma transformagao linear T R R O conjunto R representa todos os elementos nos quais a transformagao pode ser aplicada é definido como dominio da transformacao Ja o conjunto R representa o conjunto de vetores onde estao os resultados da aplicagao da transformacao é o contradominio da transformacéo Vamos analisar a representacdéo candnica da transformacao T x Ax 37 em que A é uma matriz m x n Aar ar an 38 A imagem de uma transformacao é 0 conjunto de todos os vetores y que podem ser escritos y Ax Z1 v2 y ar J a oc am 1a1 2a LmAm 39 Tm Portanto todos os vetores da imagem podem ser escritos como uma combinagao linear das colunas de A Em outras palavras as colunas de A geram o espaco imagem da transformacao representada pela matriz canénica A Note que o espaco imagem é um subespaco do contradominio da transformacao O posto de uma transformagao linear é definido como dimensao do espacgo imagem 0 que coincide com o nimero de colunas linearmente independentes da transformacao Ja o nucleo da transformacao corresponde aos elementos x do dominio de A que sao mapeados em T x Ax 0 Em outras palavras os elementos do nucleo da transformacgaéo A corresponde ao espaco de solugées da equacgao homogénea Ax 0 A nulidade de uma transformacao linear corresponde dimensao do nicleo da transformacao 3 Exemplos 1 Seja a transformacao representada pela matriz 1 2 A4 6 40 1 4 O espaco imagem é formado pela combinacao linear das colunas de A 1 2 Im A 4 a1 4 a2 6 2142 R 41 1 4 Note que a ImA é um subespaco do contradominio da transformacao O contradominio da transformacao é o R Jé a imagem é um subespaco de R de dimensao 2 apenas dois vetores de R geram toda a imagem 2 Seja agora a transformagao definida pela matriz can6nica 1 2 1 A4 6 0 42 1 4 0 O dominio dessa transformacao é R assim como seu contradominio O espaco imagem é aquele espaco gerado pelas colunas de A Como o determinante de A é diferente de zero verifique as colunas de A sao linearmente indenpendentes e formam uma base para R Portanto a imagem da transformacao é 0 proprio R Como o contradominio é a préprio conjunto imagem tratase de uma transformagao sobrejetora Além disso o nucleo da transformacéo contém apenas o elemento nulo e a transformacaéo é injetora Observacao Esse material 6 apenas um conjunto de apontamentos nao substitui leitura do livro adotado na disciplina Exercicios 1 Determine se as seguintes transformacoes sao lineares a Tx R R 2 T x T ie a 43 v2 v1 b T x R R x vy 2X5 rx7 r132x9 44 r2 t243 c Tx R R Ty et 2X5 X3 Px T fm x sr x3 2 Para cada transformacao linear a seguir determine a matriz can6nica de transformacao 0 espaco imagem o nucleo o posto e a nulidade Classifique a transformagao quanto a sobrejetividade e injetividade a Tx R R v1 x 20 x 1 22 X3 TxT xo f 4 t sr 46 x3 4 b T x R R Ly 324 222 rosmn Pods ci c Tx R R Ly Ly 2X5 3 T x T op 2 5x3 48 v3 Ty d Tx R R Ly Are 3 TxT 22 8xq 2x3 49 v3 Ty e Tx R R Ly 224 2 X3 Tx T ave x2 50 X3 4x4 2x2 223 3 Determine a decomposigao no espaco de autovetores e autovetores das matrizes a seguir a 1 2 a 2 1 b 4 0 9 c 1 2 a fh e d 4 2 ai2 a 4 Determine para quais valores de a os conjuntos a seguir sao base de R 1 4 5 a S 2 2a 3 1 4 a 4 1 b S 1 21 0 0 1 5 Para cada transformacéo T representada pela matriz candnica A encontre a imagem da trans formacéo para o vetor x Posteriormente expresse o vetor x na base gerada pelo conjunto S Expresse a imagem de x também na base gerada pelo conjunto S Encontre a matriz candnica da transformagao T na base gerada por S 1 1 2 1 4 at 3Gsh Gl 0 8 1 0 8 maa she bbs bE 1 1 0 2 1 0 1 c A 4 5 I1xljS 1 10 0 2 8 0 1 2 1 5