Anotações sobre Convecção Camada Limite Térmica - Transferência de Calor

TransCal Convecção Camada Limite térmica fluxo de calor condutividade do escoamento q kf Tyy0 hTw T h kf Tyy0 Tw T coeficiente médio hm 1L ₀ᴸ hₓ dx Número de Númcio Nu Lhₓkf NavierStokes conservação da massa conservação do momento conservação da energia Incompressível e estacionário Fluido Newtoniano η4918 099 U y δ δ 4918x Rex cl lxk Nux 0332 Uxν cl δτ 4918x Uxα Número de Prandtl Pr ν α se α ν δ δτ Pr 1 α ν δ δτ Pr 1 α ν δ δτ Pr 1 δτδ fPr No arr Pr 07 Equacionamento da camada limi te é equivalente para a térmica Rex ρUxμ Uxν Coeficiente de troca de calor por convecção y δ μyδU 099 y δτ Ty T Tw T 099 Solução por método integral μ Tx ν Ty α ²Ty² 1 ₀ˢδ xμT dy Tw νδτ 2 Tyy0 velocidade vertical fluxo de calor deixando a superfície dividido pela condutividade térmica Vδτ ux dy Reescrevendo a Eq 1 x ₀ˢδ μ T T dy qwρc conservação de energia Digitalizado com CamScanner Distribuição de Temperatura y0 T Tw ²Ty²y0 0 yδτ T Tw Tyyδτ 0 T T Tw T 1 32 yδτ 12 yδτ³ η yδτ dy 1δτ dy φ δτs Camada limite térmica cinemática diferente forma de integrar e modelo adotado para a aula Com o manejo de equações das CL térmica e cinemática chegamos á δτ 3αxU 320φ 3280φ³ δ 464x Rex Aproximadamente δτδ 1 4025 Pr¹³ Fluxo de calor qw k Tyy0 qw 3k2δτTw T hτ 32 kδτ 3k2 Rex 464x 1025 Pr¹³ Pelotamento qw h Tw T h h δτ h U T Tw ν ρ U T TW Nem sempre o escoamento é linear Temperatura de filme TF T Tw 2 k TF ν TF ρTF exemplo Int T1 C Natural Ext T2 U2 C Forçada h₁ h₁TF1 e h₂ h₂ TF2 TF1 T1 T1 2 TF2 T2 T2 2 Etapas T11 T12 TF11 TF12 h₁ h₂ T1x T2x Interrato ξ Solução PontoFixo Nr Newton Digitalizado com CamScanner Convecção natural Movimento do fluxo devido às forças de empuxo ρ₁ ρ₂ dρdx 0 dTdx 0 T₂ T₁ Instável movimento r dTdx 0 dρdx 0 T₂ T₁ Estável ρ₂ ρ₁ Fluido Quiescente Tcte e V0 Encontrar campo de velocidade de de temperatura e quantidade de de calor trocada Utilizando eq da mecânica dos fluidos conservação da massa do momento e da energia Squire Tekert δ 240 2021 Pr Pr² gβ Tw T ν²¹₄ qw 2k Tw T δ h Tw T Nux lx 2 23936 Pr Gr¹⁴ Pr0952 Pr¹⁴ Nul 0678 Rax¹⁴ Pr 0952 Pr¹⁴ Número Ratiga Rax gβ Tw T x³ ν² Grx Pr α difusão convecção Razão Grx α f empuxo f atrito Radiação Lista de exercícios 61 Fluxo sobre a superfície Perfil de velocidade uy Ay By² Cy³ Perfil de Temperatura Ty D Ey Fy² Gy³ A e G cte Obter coeficiente de atrito C e de convecção h em termos de Te u e o coeficiente de perfil e propridades do fluido U Tw TS T0 D Camada Limite térmica e cinemática Começamos pela fórmula de tensão de cisalhamento na parede Digitalizado com CamScanner que é dada por τs μ uy y0 τs μ A 2By 3Cy² y0 Au Fazemos isso porque a fórmula de Cf é Cf τs ρ v²2 Au ρ v²2 2Au ρ v² sendo que μ ρ ν Cf 2A ν v² O coeficiente de convecção é dado hc kf T y y0 Ts T hc kf E 2Fy 3Gy² y0 D T cte na equação então é a da superfície hc kf E D T Obs é simples obter os parâmetros importantes da superfície a partir do conhecimento dos perfis correspondentes da camada limite No entanto raramente é simples determinar o perfil 63 T Ts T Ts 1 expPr U y ν Tx Pr 07 T 400 K Ts300 K U ν 5000 fluxo de calor Utilizando a tabela A4 temos que procurar as informações que complementam as fornecidas Nesse caso k 002603 Wmk Começamos aplicando a lei de Fourier para y0 dado que a fórmula para o fluxo de calor é qs k T y y0 qs k T Ts Pr U ν expPr U y ν y0 qs k T Ts Pr U ν qs 010263 400100 07 5000 qs 9205 Wm² fluxo negativo transferência por convecção para a superfície 65 hc cx 14 C independente de x razão entre hx ℓx hx coeficiente médio diagram of Ts and Tx versus x O coeficiente de convecção médio deve estar entre o 0 onde começa a superfície e x o limite da CL A fórmula dada para hc é hx 1x 0x hc x dx 1x 0x cx 14 dx cx 0x x 14 dx 43 cx 34 43 cx 14 hx 43 hx hx hx 43 Graficamente teremos hx um pouco maior que hx hx 43 hx hx cx 14 x 68 T 20C 29315 L 5 m T 2070 exp600xy Tx 90C 36315 Coeficiente de convecção diagram Temos que usar já conhecida equação hc k T y y0 Ts T hc k 70 600x Ts T tendo o valor das temperaturas precisamos encontrar o valor de k na tabela para poder definir hc O valor encontrado para uma média das temperaturas da placa e do ar que é T 20902 55C 328 k foi k00284 Portanto hc 00284 42000x 36315 29315 17x Wm² k é uma equação linear Pela equação sabemos que o h vai aumentar linearmente em graph Agora para o coeficiente médio sabemos que ele está entre 0 x 5 então h 15 05 hx dx 15 05 17x dx 175 05 x dx 175 x² 2 05 425 Wm² k 73 Paralelo e estacionário T300 k V 25 ms a δ x 1 10 e 100 mm hc 3 fusão em x se tem outra placa b τ e Vyδ x 1 10 e 100 mm a suponde que o escoamento é permanente e o fluxo é laminar fazemos aproximações a camada limite Com as informações de temperatura utilizamos a tabela para adquirir as demais propriedades do sistema como ρ 1161 v 1589 10⁶ Agora como o fluxo é considerado laminar podemos aplicar a seguinte fórmula para a espessura da camada limite δ 5x Rex¹² 5 U ν¹² x¹² 5 x¹² 125 1589 10⁶¹² 39 10³ x¹² Esta será a fórmula geral da camada limite para qualquer que seja o valor de x logo com ela em mãos basta substituir o x pelos valores desejados lembrando do SI x 0001 δ 0126 x 001 δ 0399 x 01 δ 1262 Agora para a fusão da camada teremos que diagram 3 mm se as duas placas tem o mesmo comportamento o comportamento de suas camadas limites consequentemente será igual logo elas irão se fundir quando ambas simultaneamente alcançarem a espessura de 15 mm logo o x que procuramos corresponde a esse momento δ 15 mm X Xm Logo Xm ¹² 5 δ U ν¹² X¹² m 5 00015 125 1589 10⁶¹² b Como já vimos a tensão de cisalhamento pode ser expressa pela fórmula τsx 0664 ρ U ² 2 Rex¹² 0664 ρ U ² 2 U ν¹² x¹² Logo temos todas as incógnitas necessárias τs 0664 1161 25² 2 25 1589 10⁶¹² x¹² 0192 x¹² Mais uma vez temos um parâmetro dependente de x logo para x 0001 τs 607 x 001 τs 192 x 01 τs 061 Da mesma forma utilizando a fórmula fazemos para a velocidade V 12 U x¹² η dfdη f onde y δ η 5 f 324 e dfdη 0991 v 05 x12 1509 106 25 12 50 991 328 x 0001 v 0528 V 00167 x 12 x 001 v 0167 x 01 v 053 V quando x 0 A quebra das aproximações vão ocorrer muito próximos ao bordo de ataque É devido ao Re 222105 o modelo BL laminar é válido 615 V 50 ms x T 25ºC transição se Re 108 Rec 5105 U50 ms T298 TsT Condições isotérmicas Ts T Mais uma vez da tabela poderíamos retirar os dados faltas sendo para 298K v 1571 106 O número de Reynolds pode ser calculado em função de x dessa encontraremos o comprimento mínimo da placa pela fórmula Rex ρ U x μ U x v Dado que queremos Rex 108 Logo Xmin Rex v U 108 1571 106 50 Xmin 314 m Para a segunda parte da questão basta fazermos o mesmo para um novo Re Xc Rex V U 5 105 1571 106 50 Xc 0157 m O local de transição pode ser aidna das próximas vezes i de mesmo ra mais simples determinado po Xc Xmin Rexc Rexmin 620 h1 50 v1 20 h2 40 v1 15 Nu Crem Prn Cimentes a coeficiente de convecção para barra L1 e V15 ms Para esse caso Pr também será constante Logo hL α VLm Com essa relação de proporcionalidade podemos utilizar os resultados experimentais do problema para obter o valor de m primeiramente h1 L1 h2 L2 v1 L1 v2 L2m 5005 40 05 20 05 15 05 m Dessa expressão m 0782 fazendo agora a mesma coisa só que com L1 e V 15 para obter h temos h ρ L1 L v L v1 L1m h 50 05 1 15 1 20 05 0782 3413 Wm2 k b coeficiente de convecção para L1 e V30 ms De maneira análoga h 50051 301 20050782 59 Wm2 K c Sendo fosse na diagonal daria o mesmo valor Nesse caso com o comprimento característico o valor de C mudaria mas os coeficientes m e n não então os valores permaneceriam os mesmos Obs O número de Nusselt fornece escala apropriada para os efeitos de comprimento velocidade e propriedades do fluido no coeficiente de transferência de calor 621 Placa plana rugosa Nux 004 Rex09 Pr13 para x Obter a razão entre h local e h médio Utilizando fórmulas conhecidas o coeficiente h local é hx Nux K x 004 K x Rex09 Pr13 hx 004 K v v09 Pr13 x09 x C1 x01 Para o coeficiente h médio hm 1x 0x hx dx 1x C1 0x x01 dx C1 x09 09 111 C1 x01 Fazendo a razão entre ambos hx hx 111 C1 x01 C1 x01 111 711 Placa plana escoamento paralelo U5 ms To20ºC a hx taxa de transferência por convecção e arrasto para L2 m e w2 m Ts50º e 80º C UT Ts w L b hx taxa e arrasto para L01 w01 Ts50º C e 80º c Assumindo estado estacionário propriedades constantes camada limite válida e ReT 5105 Propriedades retiradas do IHT Começamos calculando os números de Reynolds para as duas diferentes temperaturas de superfície ReL1 U L v1 S 2 1669 105 599 105 ReL2 U L v2 S 2 182 105 549 105 Começes valores e o Re de transição sendo ReT 5105 vamos que esses escoamentos são turbulentos na extremidade da placa e as condições da camada limite são misturadas O coeficiente de arrasto pode ser calculado por ĈfL1 0074 Re 15 1742 Re 1 L1 CfL1 227 103 forcefdi Cf1 12 ρ U2 As 0257 N voltar na questão 610 coeficiente para escoamento perpendicular na barra isotérmica L e paralelo do escoamento H d normal ao escoamento 104 Red 5104 Nud h d K CRem Pr13 h 40 mm d20 mm V 10 ms T 300 K U 10 T 300 30 mm 40 mm Assumindo condições de regime permanente e propriedades constantes Começamos que para o cilindro quv drado c d 40 30 133 essa informação é usada para pegarmos os dados faltantes na tabela apresentada a partir dessa incógnita conhecida Da tabela para c d 133 C 0153 m 23 Agora aplicando a fórmula de ReX para no futuro aplicarmos ao Nuss temos Red U d v Da tabela A4 temos que pegar os valores para 300 K sendo eles k 90263 v 1589 105 e Pr 0707 Red 10 30 103 1589 105 1888 Com isso a tabela em mãos deveremos calcular o Nuss e o Ē para cada face do cilindro como pedido e comparalas Começando pela frente Sendo para a frente C 0674 m 12 Nudf 0674 188812 070713 824 hf K Nud d 00263 8244 30 103 7227 Para a face lateral da tabela C 0107 m 23 Nuds 0107 188823 070713 6736 hs K Nuds d 00263 6736 30 103 5905 Para a face de trás como dito C 0153 m 23 Nudb 0153 1888231 070713 9643 hb K Nudb d 00263 9643 30103 8484 Wm2 K Com todos os coeficientes em mãos basta fazermos uma média entre eles como é pedido no exercício hf 2 hs hb 4 6872 76 Camada limite estável e turbulenta em placa isoterâmica Camada adicionado no bordo de ata que por um fio fino uu yδ17 e TT TsT 1 yδ17 a Ts Ts 00228 ρ u2 uδ v14 Coma integral de momentodemonstrar que δx 0376 R e x15 c o coeficiente de atrito médio Assumindo escoamento constante propriedades constantes CL totalmente turbulenta escoamento incompressível placa isotérmica dissipação viscosa desprezível ε δ δt começamos com um esboço A equação integral do momento é u2 ddx 0δ 1 uu uu dy θs Substituindo a expressão para a tensão de cisalhamento temos ρ u2 ddx 0δ 1 yδ17 yδ17 dy 00228 ρ u2 u δ v14 ddx 0δ yδ17 yδ27 dy ddx 78 y87 δ570δ ddx 78 δ 79 δ 00228 du δ v14 772 dδdx 00228 vu14 δ14 772 0δ δ14 dδ 00228 vu14 0x dx 772 δ54 00228 vu14 x δ 0376 vu15 x45 δx 0376 R e x15 b Com a integral do energia obter expressão para Nu e dalcular Nu médio nos voltando a uma partizinha que faltou do a Como é dado a fórmula de Ts podemos usar Cfx τs ρ u22 Cfx 00228 ρ u2 u δ v14 0376 x R ex15 ρ u2 2 Cfx 004560376 uv uv15 x x1814 Cfx 00582 R ex15 Para o coeficiente médio Cfx 1x 0x Cfx dx 1x 00582 uv15 x45 0 x15 dx 1x 00582 uv15 x45 54 Cfx 0073 R ex15 b A integral para energia em escoamento turbulento é ddx 0δt μ T T dy qs ρ cp hρ cp Ts T Substituindo o que é conhecido Nud ddx 0δt μμ T TTs T dy V u ddx 0δt yδ17 1 yδt17 dy L ρ cp U ddx 78 δ87 79 δ87 Lρ cp sendo ε δt δ U ddx 78 ε δ87 79 ε δ87 L ρ cp U ddx 772 ε δ87 L ρ cp δx é dado no enunciado como δx 0376 R e x15 e consideramd ε 1 temos 772 U 0376 uv15 dx15dx L ρ cp L 00292 ρ cp U R ex15 L 00292 kx αv U x R ex15 Nux Lx k 00292 R ex45 Pr Para achar o Nu médio precisamos de ux que é ux 1x 0x L dx ux 00292 Pr kx uv415 0x x15 dx 00292 kx Pr u x v45 δs 4 Logo Nux ux x k 0037 R ex45 Pr A suposição de δ δt é válida para Pr 1 940 ε 09 Ts 130 C T 24 C Potência elétrica necessária Assumindo que o ambiente é inativo que os arredores são grandes temos da Tabela A4 as seguintes propriedades Tc T Ts2 24 1302 350k v 2092 106 temperatura que k 0030 Wmk será usada para os α 299 106 m²s dados β 1Tf 000285 A perda de calor na grelha é devida à livre convecção com o ar ambiente e à troca de radiação com o ambiente q Ash Ts T ε σ Ts4 Tsur4 Precisamos calcular RaL de eq 925 RaL g β Ts T Lc3 v α onde para um disco horizontal Lc Asp π D²4 π D D4 Agora substituindo pelos valores numéricos RaL 98 000285 130 24 02543 2092 106 299 106 RaL 1158 106 Como a grelha é uma superfície super aquecida a correção apropriada seria NuL hL Lc k 054 RaL14 NuL 054 1158 10614 1772 e L NuL k Lc L 1772 0030 0254 850 Wm² K tudo isso para achar o L que será usado na equação de q voltando a ela q π4 0252 850 13024 09 567 101302734 242734 q 442 46 902 Note que nessa situação os modos de convecção livre e radiação são de igual importância 710 T 25 C U 25 ms Placa gorda de 1 m e Ts 125 C Rec 105 5 105 e 106 Taxa de transferência de calor 724 Placas de aço δ 6 mm L 1 simultaneamente resfriadas U 10 ms Ts 20 C escoamento paralelo T 300 C T taxa de transferência de calor Taxa de variação de temperatura U μp Assumindo radiação desprezível efeito desprezível da velocidade do transportador no desenvolvimento da camada limite placas isotérmicas transferências de calor desprezível dos lados da placa Rex c 510⁵ e propried ades constantes começamos a partir da Tabela A4 pegando as propriedades do material a 573K kp 492 c 549 ρ 7832 E da Tabela A4 as informações para TF 300 202 273 433K ν 304 10⁶ k 00361 e Pr 0688 Com as informações começamos pela taxa inicial de transferência de calor de uma placa 949 C convecção livre Duto retangular horizontal fluido quiescente Nup 055 Ra pβ ¼ H p 1 x Rap 10⁷ P w H w largura horizontal H altura Tf a w 045 m² Tfa 36 T 15 C Coeficiente de convecção médio taxa de aquecimento por comprimento H W 015 Assumindo condições de estado estacionário o ar ambiente quiescente e a superfície do duto tendo temperatura uniforme começamos pegando da tabela A4 as propriedades para Tf Ts Tu 15 35 273 298 K temos ν 1571 10⁵ k 00261 α 22210⁵ e Pr 0708 Pegando a relação de FlahnDidion dada no enunciado obtemos Rap 508 10⁷ apenas substi Nup 426 tuindo os rola αp 371 res nas formu qp ʟp 2H w Ts T sendo qp é a taxa procurada b coeficiente de convecção médio taxa de calorcomprimento Para o duto formado por placas verticais laterais e horizontais É maior ou menor que de H D Tratando o duto como uma combinação de placas obtemos ʟt 562 ʟuv 450 ʟb 281 qʟv 54 ʟv 473 para cada superfície ʟhv ʟLt ʟb 2ʟv4 qʟv ʟhv 2H w Ts T c Tubo circular com perímetro igual ao retangular O diâmetro será dado por π D 21 w D 0191 m usando a correlação de Churchill Chu Eq 934 os resultados são Rad 134 10² ʟd 419 Nvd 306 qd 503 sendo qd π D ʟd Ts T A correlação H D é baseada em medições experimentais e deu os me nores valores 910 c m de transferência por convecção Paredes de H25 a T 20 C Ts 10 C b T 27 C e Ts 37 C a Ts Assumindo que a parede está a uma temperatura uniforme e que o ar da sala está em repouso começamos pegando as propriedades da tabela A4 para a temperatura TF 2010272 Tf 288 K sendo β 3472 10³ ν 1482 10⁶ k 00283 α 209 10⁶ Pr 0716 Agora precisamos aplicar a correlação apropriada para o coeficiente médio de transferência de calor para convecção livre em uma pare de vertical sendo ca NUL ʟk 0895 0387 RaL 01667 1 0492 Pr⁰ ⁵⁶³ ⁰ ⁷² onde RaL g β ΔT L³ ν α Eq 925 e Δ T Ts T ou T Ts Agora basta substituirmos pelos valores numéricos RaL 98 347210³20 10 25³ 1482 10⁵ 2096 10⁶ RaL 1741 10¹⁰ NUL 0825 0387 10⁰ 17411 ⁰ ¹⁶⁶⁷ 1 0492 0710 ⁰ ⁵⁶³ ⁰ ¹²⁹⁶ ² Nul 2996 Como precisamos de ℎ e ℎ Nul k L então ℎ 2996 00253 25 ℎ 303 Wm2 k b Fazendo exatamente o mesmo processo para b com a Tf 37 27 373 2 305 temos β 3279103 v 1639106 k 00267 α 232 106 e Pr 0706 Substituindo RaL 98 3279 103 3727253 232 106 1639 106 RaL 1320 1010 Nul 0825 0387 13201010162 1 0492 07060563 0296 Nul 2758 ℎ Nul k L 2758 00267 25 294 Wm2 k Existe uma pequena influência devido a Tf em ℎ para estas condições devemos esperar que os efeitos da radiação sejam importantes com valores tão baixos de ℎ 923 Investigação sobre a transição da camada limite em convecção livre em placa vertical suspensa Placa isotérmica de aquecedor de alumínio H Δ L 2 T 25C a Pintura com tinta ε 095 Potência elétrica para o aquecedor manter Ts 35C Quando fica turbulento Ts 25C 1 m 2 m Considerando as propriedades constantes e condições de estado estacionário em ambientes amplos e o número crítico de Rayleigh de Raxc 109 Começamos pegando da Tabela A4 as propriedades para Tf 35 25 273 2 303 K sendo k 002652 v 1619105 α 2294105 Pr 07066 Sabemos que RaL é dado por RaL g β ΔT L3 v α substituindo RaL 98 1303 3525 13 1619 105 2294 105 RaL 371 108 Como RaL Raxc a camada limite é completamente laminar E a energia elétrica necessária é P Eq qconv qrad P h A Ts T ε A σ Ts4 Tsur4 Mas para achar ℎ precisamos de Nul mesma fórmula do último exercício Da tabela A5 para óleo de motor a Tf 5170 273 2 310 K então v 288106 k 014 s a 0847107 e β 070103 A taxa de calor da superfície inferior do aquecedor para o óleo é dada por q ℎ As Ts T Onde ℎ será dependente do número de Rayleigh e de Nul portanto devemos calcular essas variáveis começando pelo cálculo do comprimento característico usando L Asp πD24 πD D4 L 04 4 01 m Agora RaL g β TsT L3 v α RaL 98 070 103 7051 013 288106 0847107 1828107 Nul ℎ L k 015 RaL13 015 182810713 Nul 395 ℎ k Nul L 014 395 01 573 Wm2 k Agora basta substituir em q q 573 π4042 7051 468 W Note que o comprimento característico é D4 mas As é baseado em D A condição analisada é estacionária porque o aquecedor trabalhando mudará T 913 Forno doméstico com H 05 m L 07 m Ts 32C Perda de calor para T 22C Com Efeito comentar perda Considerando o ar quiescente e negligenciando os efeitos da radiação de superfície Começamos pelas propriedades da Tabela A4 para Tf 32 22 273 2 300 K então v 1589106 k 00263 α 225106 Pr 0707 β 1Tf β 333103 A taxa de calor da superfície da porta por convecção para o ambiente será q ℎ As Ts T Onde ℎ será estimado pela relação de convecção livre Nul ℎ L k 0825 0387 RaL16 1 0492 Pr916827 RaL g β Ts T L3 v α RaL 98 1300 3222 053 1589106 225106 RaL 1142108 Nul 0825 0387 114210816 1 0492 0707916827 Nul 635 ℎ 002603 635 334 Wm2 k Agora substituímos em qconv q 334 05 072 3222 117 W A perda de calor por radiação L 0167 10 2374 105 98 130883195298 L 0836 m Portanto 1 0836 0164 m ou 16 Da placa está exposta a condições turbulentas Na parte b são 3359 W por convecção e 2874 por radiação A convecção domina em b enquanto em a as perdas por radiação são maiores A troca de radiação pode alterar fundamentalmente a natureza do fluxo em sistemas de convecção livre E a placa poderia iria lentamente oxidar ao longo do tempo causando desvios nas medições do experimento Lembrando que para o item b são usadas as propriedades da tabela A4 para Tf 3088 k 002698 v 1677105 α 2397105 Pr 07058 936 Aquecedor disco horizontal D 400 mm aquece fundo de tanque a T 5C Potência para Ts 70C Óleo T 5C Assumindo que o óleo é quiescente e estado estacionário 9 rad NS O Ts 1 Tsur 4 onde σ 567 108 qrad 1 0507 567 108 27332⁴ 27322⁴ 2114 w Observe que o perdo de calor por radiacao e quase o dobro da por conveccão livre Usando a Eq 19 o coeficiente de radiacao é q rad 614 que é o dobro do de conveccão 68 Vazão de agua a 40ºc sobre placa de δ 0005 x gráfico para δ δt da agua δ e δt do ar Uoo Too