Resolução de Problema - Transferência de Calor em Chapa Retangular

Murilo Caetano da Silva Email mcaetanouspbr Disciplina SAA0216 Transferência de Calor Prof Dr Ricardo Afonso Angélico Primeira Avaliação Nº USP 10696701 Data de Entrega 30102020 Questão 1 Na análise de transferência de calor em um sólido temse como objetivo a determinação do campo de temperatura Txyt em função da posição e do tempo Considere o processo de transferência de calor em uma chapa retangular definida na região R 0302 Em um determinado instante de tempo t t a distribuição de temperatura na chapa é dada por Txyt t x² 5x exp 04y C 1 Não há geração de calor por unidade de volume e a condutividade térmica do material é igual a 08 Wm¹K¹ em todas direções Pedese a Determine o fluxo de calor resultante e suas componentes nos pontos A11 B21 e C00 b Determine a quantidade de calor que atravessa as fronteiras da chapa c A chapa está na condição estacionária Justifique sua resposta Resolução a Vamos inicialmente considerar a lei de Fourier para a determinação dos fluxos q de calor nos pontos ABC 112100 da chapa Definimos um sistema de coordenadas conforme descrição na Figura 1 Figure 1 Sistema de coordenadas utilizado para o problema Aplicando a lei no problema do enunciado encontrase o fluxo de calor resultante q 16x4 e⁰⁴ʸ 032x² 16x e⁰⁴ʸ 2 com k 08 W m¹ K¹ A aplicação da equação nos pontos mencionados é direta resultando nos dados evidenciados na Tabela 1 Table 1 Fluxos de calor para os pontos requisitados Ponto qₓ Wm² qᵧ Wm² q Wm² A 37538 12870 39683 B 48263 30030 56843 C 40000 00000 40000 b Da definição de integral de superfície é direto que Q ₛ qn dS 3 sendo que o sinal negativo indica concordância com convenção de fluxo de calor positivo para dentro da superfície Como a região de trabalho é tal que S 03 02 pretendemos encontrar as taxas de transferências de calor nas direções x e y Para tanto assumimos que a chapa tem espessura genérica p de modo que suas áreas de seção transversal resultem Ax 2p e Ay 3p conforme apresentado na Figura 2 Figure 2 Áreas consideradas para o cálculo das taxas de transferência de calor A aplicação da Equação 3 para as áreas laterais e verticais conforme Figuras 1 e 2 fornece os resultados apresentados na Tabela 2 Table 2 Taxas de transferências de calor nas áreas da Figura 2 Áreas n Q W Ax₁ i 5507p Ax₂ i 12115p Ay₁ j 10080p Ay₂ j 4529p c Vamos trabalhar com o princípio de conservação de energia no sistema Sabemos que genericamente Ėin Ėg Ėout Ės 4 e que por hipotese S 0 Eg 0 Para encontrarmos se ha variacao de energia interna basta considerarmos Ein e Eout nas fronteiras essas grandezas foram calculadas no item b sendo representadas na Figura 3 com consideracao de p 1 conforme orientacao do docente Figure 3 Taxas de transferˆencia de calor nas fronteiras Note que genericamente E Q neste exercıcio Da Figura 3 e dos resultados da Tabela 2 e direto notar que ha mais energia entrando no sistema do que saindo de forma que Ein Eout Essa conclusao nos traz que Es 0 5 e portanto existe ha variacao de energia interna Havendo variacao de energia interna transientes de temperatura po dem ser observados visto que a chapa buscara uma condicao de estacionariedade de modo que T 0 e a conclusao de que a chapa nao se encontra em condicao estacionaria Questao 2 Considerase que os passageiros a bordo de uma aeronave estao confortavelmente acomodados quando a tem peratura interna da cabine e igual a 22 C De forma simplificada duas camadas separam os passageiros do ambiente externo Figura 4 uma camada estrutural de alumınio com 2 mm de espessura e uma camada de material isolante com 50 mm A temperatura externa nas proximidades da aeronave e igual a 55 C em 36000 ft de altitude Os coeficientes de transferˆencia por conveccao interno e externo sao 15 Wm2K1 e 50 Wm2K1 respectivamente Esses coeficientes ja consideram a combinacao da transferˆencia de calor por conveccao e radiacao O diˆametro da fuselagem e igual a 54 m Despreze a contribuicao da camada de material plastico que separa o passageiro do isolante termico e tambem os efeitos das janelas Pedese a A taxa de calor trocada entre a aeronave e o meio externo na condicao estacionaria por unidade de com primento da fuselagem b As temperaturas nas superfıcies interna e externa da aeronave nessa condicao c De quanto a espessura da camada isolante deve ser alterada percentualmente para que taxa de calor perdida para o meio externo seja reduzida em 10 3 Figure 4 Isolamento termico e acustico da fuselagem da aeronave Boeing 747 PROPRIEDADES Isolante termico Densidade 96 kgm3 Condutividade termica 0042 Wm1K1 Calor especıfico 1005 Jkg1K1 Alumınio Densidade 2700 kgm3 Condutividade termica 206 Wm1K1 Calor especıfico 900 Jkg1K1 Resolucao a Vamos tecer algumas consideracoes iniciais a Dados os diferentes formatos de secao transversal de fuselagem em diversas aeronaves idealizamos a secao deste problema problema como tendo formato perfeitamente circular b Por hipotese de enunciado a aeronave realiza voo a 36000 ft que se refere a uma altitude de cruzeiro Dessa maneira assumese que a aeronave do enunciado realiza voo de cruzeiro bem desenvolvido e sem geracao de calor o que permite aproximar o sistema para um circuito termico na direcao radial utilizando analogias com circuitos eletricos c Por nao haver mencao a qual diˆametro o valor do enunciado se refere vamos adotar que o diˆametro de 54m se refere ao diˆametro mais externo da secao transversal de fuselagem d Por haver desprezo dos efeitos de janela o arco em que as integracoes serao feitas e 2π e considerase uma unica secao para analise cujo comprimento caracterıstico sera o proprio comprimento da fuselagem adotado como L Dadas essas consideracoes apresentamos a esquematizacao do problema proposto na Figura 5 O circuito e ide alizado com paredes em contato perfeito de modo que entre elas haja apenas conducao e considerase desprezıveis as contribuicoes de fluidos para estes processos de conducao 4 Figure 5 Esquematizacao do problema proposto na questao 2 Da esquematizacao presente na Figura 5 percebemos que o circuito termico equivalente ao problema sera com posto por quatro resistˆencias em serie sendo duas referentes a resistˆencia termica do ar e duas referentes aos difer entes materiais que compoem a secao transversal de fuselagem ja que cada componente esta sujeita a diferentes diferencas de temperaturas Como nos referimos a uma secao transversal circular as resistˆencias termicas em coor denadas cilındricas serao dadas por Ri lnri1ri 2πkiL 6 para processos condutivos e Ri 1 hi 2πriL 7 para processos convectivos O circuito termico equivalente esta evidenciado na Figura 6 Figure 6 Circuito termico idealizado para a questao 2 Conforme consideracao c posta mais acima vamos considerar o diˆametro mais externo da fuselagem como 54m A partir das espessuras de cada camada postas no enunciado encontramos os raios pertinentes para as analises na Tabela 3 Table 3 Raios de cada fronteira pertinente da fuselagem Raio Valor m r1 2648 r2 2698 r3 2700 5 Com os coeficientes de cada material evidenciados no enunciado e os raios calculados na Tabela 3 calculamos as resistˆencias termicas e evidenciamolas na Tabela 4 Table 4 Resistˆencias termicas para o problema proposto Resistˆencia Termica KWm1 K1 hWm2 K1 RKW1 R1 15 4007103L R2 0042 70885103L R3 206 5725107L R4 50 1179103L Para encontrar a taxa de transferˆencia de calor entre a aeronave e o meio externo fazemos Q T1 T2 R1 R2 R3 R4 T1 T2 1 h1 2πr1L lnr2r1 2πk1L lnr3r2 2πk2L 1 h2 2πr2L 8 cuja resolucao fornece Q 101220LWm2 ou por comprimento de fuselagem Q L 101220Wm2 b Conforme enunciado as temperaturas interna e externa da fuselagem sao as temperaturas T1 e T3 dadas na Figura 5 Elas podem ser facilmente encontradas atraves da equacao Q T1 Tj Req j 9 aplicada para cada caso cuja resolucao fornece Tsupint T1 1794 C e Tsupext T2 5381 C c No enunciado propoese que Q 09 Q 91098LWm2 realizando uma mudanca de espessura do material isolante Ja que ha mudanca de espessura e direto concluir que tambem havera uma mudanca no raio r1 sendo agora denotado por r 1 e evidenciado na Figura 5 O valor desse novo raio e encontrando utilizando a Equacao 8 com Q e deixando r 1 como incognita A resolucao da equacao transcedental nos traz r 1 264211m Com o valor do novo raio podemos encontrar o aumento de espessura d do material isolante fazendo d r1 r 1 589mm Dessa forma comparativamente a espessura original temos um aumento de 1178 Questao 3 Na Figura 7 apresentase os perfis durante o aquecimento de uma parede composta por um unico material sem a geracao de calor interna Inicialmente a temperatura da parede e uniforme e unitaria As linhas vermelhas representam perfis de temperatura durante o aquecimento e as linhas azuis durante o resfriamento Desconsidere a geracao de calor por unidade de volume Pedese a Quais sao as condicoes de contorno em x 0 e x 1 Justifique sua resposta b A temperatura continua a aumentar em x 1 mesmo durante o resfriamento Por que 6 Figure 7 Perfis de temperatura durante o aquecimento e resfriamento de um sistema Resolução a Da Figura 7 e do enunciado da questão percebemos que o sistema compreende dois momentos distintos em sua evolução temporal um aquecimento e um resfriamento Dessa maneira teremos diferentes condições de contorno para esses dois momentos Para a fase de aquecimento é evidente que podemos aproximar os pontos as curvas formadas entre a fronteira x 0 e seus arredores por retas de modo que nessa região o decaimento da temperatura e linear e é tal que k Txx0 q cte se referindo a uma condição de contorno de Neumann para superfície sujeitas a um fluxo de calor q finito Já para a fronteira localizada em x 1 percebemos variações praticamente desprezíveis podendo aproximar T 1 para esta fronteira durante toda a fase evidenciando uma condição de contorno de Dirichlet ie Tx 1t Text T₂ 1 Já para a fase de resfriamento notase que as curvas apresentam aspecto sigmóide de modo que Txx0 Txx1 0 evidenciando uma condição de contorno de Neumann para superfícies adiabáticas em ambos os extremos Dessa maneira concluímos que para o processo de resfriamento o sistema está isolado termicamente de modo que não troca calor com o meio externo Dadas as considerações acima o sistema idealizado está descrito na Figura 8 Note que a fonte de calor idealizada para a fase de aquecimento aquece apenas a parede em si e age apenas para instantes tais que t t sendo t o instante em que ela cessa o funcionamento e se inicia a fase de resfriamento b Conforme menção no item anterior para o período de resfriamento o sistema se torna adiabático visto que a injeção de calor é cessada e o meio não mais realiza trocas calóricas com o ambiente externo Além disso existe um evidente desbalanço energético entre as fronteiras do material conforme evidenciado na Figura 7 que mostra maiores temperaturas tanto nos perfis de aquecimento quanto de resfriamento para a face localizada em x 0 Figure 8 Sistema idealizado para a questao 3 Por se tratar de um sistema fısico real e evidente que este deve respeitar a lei de conservacao de energia Dessa maneira por nao haver perdas ou ganhos de calor a energia do sistema que e toda contida na forma de energia in terna das paredes deve se redistribuir de tal forma a alcancar um novo equilıbrio termico de temperatura uniforme que e tal que Teq 1 ja que houve uma adicao de energia no sistema pela fase de aquecimento Assim explicase os trasientes observados para x 1 As constatacoes supracitadas podem ser verificadas matematicamente Para tanto vamos considerar a equacao geral de transferˆencia de calor por conducao ρc T kTS 0 10 Por hipotese de enunciado temos S 0 e k cte por se tratar de uma parede feita de um unico material Alem disso conforme apresentacao do sistema na Figura 8 o fluxo e unidimensional na direcao x Reunindo essas consideracoes na Equacao 10 reordenamola como T k ρc 2T x2 11 e logo concluımos que T 2T x2 Observando a Figura 7 e direto notar que para o primeiro instante de resfriamento o perfil de temperaturas e descrito por uma funcao de grau maior que 1 e portanto 2T x2 0 evidenciando a existˆencia de um transiente de temperatura no material conforme previsao do enunciado e descricao acima 8 Questao 4 Considere uma parede de 50 mm composta por duas camadas de 25 mm de espessura com condutividades termicas igual a 01 Wm1K1 e 03 Wm1K1 respectivamente No lado de maior condutividade termica a parede esta exposta a um ambiente cuja temperatura e de 25 C h 12 Wm2K1 do outro lado a uma temperatura ambiente e de 400 C h 40 Wm2K1 Pedese a O perfil de temperatura em funcao da espessura da parede na condicao estacionaria b A temperatura no meio da parede metade da espessura c A quantidade de calor trocada atraves das paredes com o meio por m2 Resolucao a Num primeiro momento o problema e posto num esquema conforme apresentacao na Figura 9 Para tanto idealizamos contato perfeito entre as duas paredes de modo que entre elas haja apenas conducao bem como consideramos adiabaticas as paredes superior e inferior para que o problema seja tratado unidimensionalmente Por fim sao consideradas desprezıveis as contribuicoes de fluidos para os processos de conducao Figure 9 Esquema do problema proposto no item 4 Do esquema e direto notar que para encontrarmos o perfil de temperaturas em funcao da espessura precisamos encontrar as temperaturas nas bordas de cada parede incluindo a borda comum central Por hipotese de enunciado por se tratar de um sistema termico em condicao estacionaria utilizaremos analogias com circuitos eletricos para analisar suas caracterısticas O circuito pode ser aproximado para uma associacao de resistˆencias termicas em serie visto que cada componente do sistema esta sujeito a diferentes diferencas de temperatura Essa aproximacao e vista na Figura 10 Como conhecemos T1 e T2 podemos encontrar a Q comum a todo o sistema fazendo Q T1 T2 R1 R2 R3 R4 T1 T2 1 h1 A L1 k1 A L2 k2 A 1 h2 A 12 9 Figure 10 Idealização do problema em um circuito térmico bastando encontrar as resistências térmicas de cada componente A Tabela 5 apresenta os valores das resistências térmicas todas em função das áreas laterais A do problema Table 5 Reistências térmicas para o problema proposto Resistência Térmica K W m1 K1 L m h W m2 K1 R K W1 R1 40 0025A R2 01 0025 025A R3 03 0025 00833A R4 12 00833A A partir da equação 12 encontramos dotQ 84918 A W m2 A partir desse resultado podemos encontrar as temperaturas nas fronteiras de cada parede fazendo dotQ fracTinfty 1 TjReq j 13 com j 1 4 e Req j Rj Rj1 R1 Dessa forma é direto obter os resultados de que T1 37877 C T2 16648 C e T3 9574 C que são as temperaturas nas fronteiras das placas conforme Figura 9 Dessa maneira colocando um sistema de coordenadas auxiliar na placa mais a esquerda equacionamos os perfis de temperatura Tx leftbeginarrayc849 x 37877 0 x 25 mm 283 x 23722 25 x 50 mm endarray right 14 e apresentamos tais perfis na Figura 11 Figure 11 Representação gráfica dos perfis de temperatura nas placas b A temperatura T2 na parede do meio conforme descricao na Figura 9 ja foi calculada para resolucao previa do item a e conforme apresentado T2 16648C c A quantidade de calor trocada atraves das paredes com o meio tambem ja foi calculado para resolucao previa do item a e se refere a taxa de transferˆencia de calor Q 84918AWm2 como funcao da area A que e a mesma para todo o sistema termico Questao 5 Considere um duto horizontal de diˆametro interno de 120 mm e espessura de parede igual a 10 mm A condutivi dade termica da parede e igual a 12 Wm1K1 No interior do duto temse a troca de calor com um escoamento interno com temperatura media de 300 C O coeficiente de pelıcula no interior do duto e igual a 50 Wm2K1 A fim de garantir o conforto termico e seguranca dos operadores que circulam proximo ao duto a temperatura maxima da superfıcie externa do duto deve ser inferior a 50 C A temperatura em uma regiao distante do duto e igual a 25 C O coeficiente de pelıcula conveccao natural na superfıcie externa do duto h pode ser estimado por hD k CRan D 15 sendo k a condutividade termica do material da superfıcie D o diˆametro externo do duto e RaD e o numero de Rayleigh Os parˆametros n e C estao disponıveis na Tabela 6 O numero de Rayleigh para um cilindro e dado por RaD GrD Pr 16 sendo GrD e Pr os numeros de Grashof e Prandtl respectivamente avaliados na temperatura de filme Table 6 Constantes para conveccao natural em cilindros horizontais RaD C n 1010 102 0675 0058 102 102 102 0148 102 104 0850 0188 104 107 0480 0250 107 1012 0125 0333 Pedese a Considere dois materiais A e B com condutividades termicas iguais a 008 Wm1K1 e 26 Wm1K1 respectivamente Esses materiais estao a sua disposicao na forma de chapas com espessuras de 2 em 2 mm Os materiais tem emissividades εA 090 e εB 095 Os materiais podem ser combinados em diferentes camadas Proponha uma configuracao que resolva o problema b Plote o perfil de temperaturas em funcao do raio para a solucao proposta identificando as camadas de cada material Resolucao Vamos tecer algumas consideracoes iniciais do problema a Como o transporte feito em dutos e de materiais fluıdicos em grandes quantidades majoritariamente de pro dutos quımicos industriais vamos considerar que o escoamento e bem desenvolvido ignorando portanto quaisquer transientes de temperatura Alem disso consideramos que nao ha geracao de calor e dessa maneira o problema podera ser aproximado para um circuito termico equivalente na direcao radial 11 b Como nada foi mencionado no enunciado acerca do comprimento da tubulacao vamos considerala um tubo cilındrico retilıneo de comprimento L sem mudancas no diˆametro interno c Para o fluido que se move dentro do tubo vamos desconsiderar processos de transferˆencia de calor por conducao e radiacao d Para todos os componentes solidos em contato vamos considerar como relevantes apenas processos de conducao Apenas na ultima camada em contato com o ambiente vamos considerar processos de troca de calor por radiacao Dada a analogia com circuitos eletricos e as consideracoes supracitadas montamos o circuito termico equivalente ao problema descrito na Figura 12 Note que nessa figura todo o conjunto de placas dos materiais A e B que podem ser justapostas estao concentradas na resistˆencia termica R3 Por se tratar de um problema que contera consideracoes de transferˆencia de calor por conducao conveccao e radiacao apresentamos as formulacoes das resistˆencias termicas associadas a esses processos nas Equacoes 17 18 e 19 sendo σ 567 108 W m2 K4 a constante de Stefan Boltzmann Tf a temperatura de filme media entre T2 e T3 e as constantes referentes aos processos condutivos e convectivos ja foram explicitadas anteriormente Ja a descricao de cada resistˆencia termica e temperatura estao nas Tabelas 9 e 10 Figure 12 Circuito termico equivalente para o problema Rcond lnri1ri ki 2πL 17 Rconv 1 hi 2πriL 18 Rrad 1 4σεiT 3 f 2πriL 19 12 Table 7 Descricao das resistˆencias termicas da Figura 12 Componente Descricao RΩ R1 Resistˆencia de conveccao do fluido interno 00531L R2 Resistˆencia da parede intrınseca ao tubo 00204L R3 Resistˆencia a ser projetada A determinar R4 Resistˆencia de conveccao do ambiente externo A determinar R5 Resistˆencia de radiacao do ambiente externo A determinar Table 8 Descricao das temperaturas da Figura 12 Componente Descricao TC T1 Temperatura de corrente livre do fluido interno 300 T1 Temperatura na superfıcie interna do tubo A determinar T2 Temperatura na divisao entre materiais A determinar T3 Temperatura na superfıcie externa do tubo A determinar T2 Temperatura de corrente livre do ar 25 As indeterminacoes de resistˆencias da Tabela 9 se dao todas pela ausˆencia de definicao previa do diˆametro externo do tubo visto que esse e o objetivo de projeto Alem disso para a conveccao considerada natural precisamos encontrar o coeficiente de pelıcula e para a radiacao precisamos selecionar o material mais externo e utilizar sua emissividade Ja as indeterminacoes de temperatura na Tabela 10 se referem as temperaturas em todas as superfıcies do cilindro Notadamente o objetivo do projeto e obter T3 50 C Para compor as paredes do tubo dispomos dos materiais A e B cujos coeficientes de condutividade termica e emissividades foram dados no enunciado E direto notar que A se trata de um material isolante baixa condutividade termica enquanto que B e um melhor condutor de calor condutividade termica mais alta A escolha portanto e utilizar o material A para as paredes mais internas do tubo e realizar um estudo preliminar para determinar o material da parede mais externa dada a consideracao de transferˆencia de calor por radiacao O estudo realizado para a determinacao do material mais externo parte da pressuposicao que T3 50 C de forma a minimizar a utilizacao de placas e reduzir os custos de projeto Por essa consideracao as contribuicoes de transferˆencia de calor por radiacao sao consideradas como complemenetares e nao essenciais ie se os resulta dos obtidos para os dois materiais forem muito proximos inferese que nao ha valia em mudar repentinamente os materiais escolhidos Pela mesma consideracao de T3 50 C para minimizacao de custos admitese que a diferenca entre o real valor de T3 e a aproximacao supracitada nao sera significativa para mudar a temperatura de filme Logo encontra se que Tf 375 C e esse resultado sera mantido ao longo do resto do desenvolvimento da questao Avaliando as resistˆencias termicas a radiacao dos materiais A e B segundo a equacao 19 encontramos RradA 00260riL e RradB 00246riL Tecemos as seguintes consideracoes a A diferenca entre RradA e RradB e de 538 b O comprimento L e o mesmo para ambas c Pela caracterıstica de utilizacao do material A para camadas mais internas e minimizacao de utilizacao de placas inferese que ri nao deve ser tao diferente entre ambas d E de se esperar que os processos de transferˆencia de calor por conducao nos materiais A e B sejam preponder antes haja vista que eles nao sao radioativos coloquialmente e que a transferˆencia de calor por radiacao seja uma parte pequena de toda a transferˆencia 13 A partir dos itens acima concluımos que nao ha razao para utilizacao do material B na superfıcie mais externa Dessa maneira apresentamos na Figura 13 a descricao generica do circuito termico da Figura 12 Devese notar que o subscrito n na parte composta pelo material A e o numero de placas de 2mm que utilizaremos no projeto Figure 13 Esquematizacao do problema proposto na questao 5 Nesta fase pretendemos determinar o coeficiente de pelıcula h do ambiente externo referente a conveccao natural Dada a Equacao 15 vamos utilizar D 2r3 adaptando a mesma equacao para h C Ran D kar 2r3 20 sendo kar 002624W m1 K1 a condutividade termica do ar considerada na temperatura de filme Tf e cujo valor e encontrado em diversos livrostexto de referˆencia da disciplina Basta agora determinar os parˆametros RaD C e n sendo que esses dois ultimos podem ser estimados a partir do primeiro Para encontrarmos o numero de Rayleigh utilizamos a equacao 16 bastando encontrar estimativas dos numeros de Grashof e Prandtl O numero de Prandtl varia sob diversos parˆametros como temperatura calor especıfico condutividade termica do material e outros de forma que suas aproximacoes sao tabeladas e anexadas em diversos livrostexto Assim por meio de consulta a referˆencias externas encontramos que para o ar a 25 C encontramos Pr 07296 Ja o numero de Grashof e considerado atraves da formula GrD 8gβT3 T2r3 3 ν2 21 a qual ja foi considerada segundo os parˆametros do exercıcio em que g e a aceleracao da gravidade β e o coeficiente de condutividade termica do ar e ν e sua viscosidade cinematica E de se notar que β e ν assim como kar tambem sao considerados para a temperatura de filme de tal forma que β 1Tf 322 103 K1 com Tf em Kelvin e ν 1678105 m2 s1 valor tambem encontrado em livrostexto Para a gravidade consideramos g 981ms2 a nıvel do mar A formulacao final para o numero de Rayleigh e RaD 8Pr gβT3 T2r3 3 ν2 22 e da Equacao 22 e direto notar que T3 e variavel Contudo a fim de otimizar as iteracoes necessarias para a con vergˆencia do valor voltamos a ideia de que T3 50 C e utilizamos esse valor para o numero de Rayleigh fazendoo funcao apenas do raio r3 Dessa maneira deixamos todos os parˆametros ficam em funcao de r3 e podemos realizar os calculos necessarios para a estimativa do numero n de camadas do material A Para tanto utilizamos um codigo em MATLAB que esta 14 descrito no apˆendice O codigo utiliza um processo iterativo que adiciona espessuras de 2 mm a cada iteracao e faz o calculo das resistˆencias R3 R4 e R5 da Figura 5 Com esses valores uma taxa de transferˆencia de calor Q e computada bem como uma temperatura de superfıcie externa T3 O codigo possui loops em cascata que verificam se T3 50 C caso sim o codigo e interrompido e o numero de placas e salvo na variavel n placas Mais detalhes do codigo podem ser vistos no Apˆendice O codigo converge apos alguns segundos de iteracoes fornecendo o resultado de que com n 43 placas do material A n placas43 a condicao de T3 4941 50 C e atingida respeitando as condicoes impostas pelo enunciado e garantindo que os trabalhadores poderao transitar em seguranca perto da tubulacao Nesse momento comentase que ao revisitar a temperatura de filme temos que Tfreal 3721 C apresentando boa concordˆancia com a temperatura antes estimada e causando pouco erro na estimativa dos numeros de Grashof e Rayleigh validando tais aproximacoes Alem disso temos que R5 Rrad 01667L evidenciando a validade do argumento de que a radiacao nao e um processo preponderante no sistema dada sua baixa resistˆencia termica Apresentase por fim as novas versoes das tabelas 9 e 10 agora com todos os parˆametros ja determinados conforme os calculos realizados Table 9 Descricao das resistˆencias termicas da Figura 12 Componente Descricao RΩ R1 Resistˆencia de conveccao do fluido interno 00531L R2 Resistˆencia da parede intrınseca ao tubo 00204L R3 Resistˆencia a ser projetada 15943L R4 Resistˆencia de conveccao do ambiente externo 63469L R5 Resistˆencia de radiacao do ambiente externo 01667L Table 10 Descricao das temperaturas da Figura 12 Componente Descricao TC T1 Temperatura de corrente livre do fluido interno 300 T1 Temperatura na superfıcie interna do tubo 29203 T2 Temperatura na divisao entre materiais 28896 T3 Temperatura na superfıcie externa do tubo 4941 T2 Temperatura de corrente livre do ar 25 b Conforme pedido no enunciado plotase o perfil de temperaturas em funcao do raio para a solucao proposta com identificacao das camadas de camada material 15 Figure 14 Perfil de temperatura encontrado para o tubo projetado na questao 5 16 clear all clc Determinação de parâmetros pertinentes para os cálculos Variável simbólica do comprimento do tubo syms L Pi varpi31416 Raios r1006 r2007 Coeficientes k112 h150 Temperaturas Tinf1300 celsius Tinf225 celsius Temperaturas Kelvin Tinf1kelvinTinf127315 celsius Tinf2kelvinTinf227315 celsius Material A kA008 epsilonA090 Prandtl Pr07296 Grashof g981 beta322103 T3ideal50 celsius T3idealkelvinT3ideal27315 nu1678105 Radiação sigma567108 Tfilme375 celsius TfilmekelvinTfilme27315 Ar kar002624 Determinação das resistências térmicas já conhecidas R11h12varpir1 R2logr2r12varpik1 Apˆendice Codigo Utilizado Para a Questao 5 17 Determinação do loop for que vai fazer a iteração para encontrar o número de placas Variáveis auxiliares C0 n0 nplacas0 varloop0 Determinação do número de placas while varloop0 for i111000000 r3r2i0002 rayleigh8PrgbetaT3idealkelvinTinf2kelvinr33 nu2 if rayleigh 1010 rayleigh 102 C0675 n0058 elseif rayleigh 102 rayleigh 102 C102 n0148 elseif rayleigh 102 rayleigh 104 C0850 n0188 elseif rayleigh 104 rayleigh 107 C0480 n0250 elseif rayleigh 107 rayleigh 1012 C0125 n0333 end hpeliculaCrayleighnkar2r3 R3logr3r22varpikA R41hpelicula2varpir3 R514sigmaepsilonATfilmekelvin32varpir3 ReqR1R2R3R4R5R4R5 dotQTinf1Tinf2Req T3realTinf1dotQR1R2R3 if T3real50 nplacasi break end end varloop1 end fprintfO número ideal de placas do material A é3d nplacas fprintfCom essa idealização de placas encontramos T332f ºC T3real T3T3real T1Tinf1dotQR1 18 T2Tinf1dotQR1R2 Plots r1plotlinspace0r1 r2plotlinspacer1r2 r3plotlinspacer2r3 T1plotlinspaceTinf1T1 T2plotlinspaceT1T2 T3plotlinspaceT2T3 figure plotr1plot103T1plotyLineWidth15 hold on grid on plotr2plot103T2plotrLineWidth15 plotr3plot103T3plotbLineWidth15 legendRegião Interna ao TuboParede do DutoMaterial A locationbest xlabelRaio mm ylabelTemperatura ºC graphgca graphFontSize12 19