Experimentos em Parcelas Subdivididas Split-Plot Designs

1 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS 𝑆𝑝𝑙𝑖𝑡𝑝𝑙𝑜𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛𝑠 2 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 1 INTRODUÇÃO O termo parcela subdividida surgiu na experimentação agronômi ca onde o nível de um fator ou tratamento é aplicado a uma parcela relativamente grande de terra 𝑤ℎ𝑜𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑜𝑡 e todos os níveis de um segundo fator são aplicados às subparcelas 𝑠𝑝𝑙𝑖𝑡𝑝𝑙𝑜𝑡𝑠 desta par cela maior Os tratamentos primários são distribuídos às parcelas de acordo com um delineamento previamente escolhido DIC DBC DQL 𝑒𝑡𝑐 sendo mais comum o uso do delineamento casualizado em blocos Os tratamentos secundários são distribuídos às subparcelas de for ma aleatória ao acaso por sorteio 3 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP O experimento em parcelas subdivididas é usado quando Os tratamentos associados com os níveis de um ou mais fatores exigem maiores quantidades de material experimental em uma mesma unidade experimental parcela do que outros tratamen tos Um fator adicional foi incorporado ao experimento após sua insta lação com o intuito de aumentar a sua abrangência Principal vantagem Permite utilizar fatores que requerem quantidades relativamen te grandes de material experimental e outros fatores que reque rem quantidades menores de material experimental combinados num mesmo experimento 4 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Principais desvantagens Geralmente o erro associado às parcelas é maior que o erro as sociado às subparcelas Assim os efeitos de tratamentos primá rios ainda que sejam notáveis grandes podem não ser signifi cativos enquanto os efeitos de tratamentos secundários ainda que muito pequenos podem ser estatisticamente significativos Para diferentes comparações entre médias de tratamentos pri mários ou secundários existem diferentes variâncias o que tor na a análise mais trabalhosa principalmente se precisarmos des dobrar a interação significativa entre os fatores primários e se cundários 5 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP EXEMPLO 1 Experimento em parcelas subdivididas com um fator primário Fator A com 2 níveis aplicados às parcelas de acordo com um delineamento casualizado em blocos 3 repetições e outro fator Fator B com 3 níveis e aplicados às subparcelas 1ª Etapa 2ª Etapa DCB e Fator A com 2 níveis Fator B com 3 níveis Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 A1 A2 A2 A1 B1 A2 B3 A2 B1 A1 B3 A2 B2 A2 B3 A1 B2 A2 B1 A2 B2 A2 A1 A1 A2 B2 A1 B1 A1 B2 A2 B3 A1 B2 A1 B1 A2 B1 A1 B3 A1 B3 6 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP No esquema fatorial as seis combinações de níveis A1 e A2 do fator A com os níveis B1 B2 e B3 do fator B são designadas aleatoriamente sem qualquer restrição de casualização às parcelas de cada bloco Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 A1B1 A1B3 A2B1 A2B3 A2B2 A1B3 A2B2 A1B1 A1B2 A1B2 A2B1 A2B2 A1B3 A1B2 A1B1 A2B1 A2B3 A2B3 Perceba que o experimento em parcelas subdivididas representa uma restrição à casualização completa que existe num ensaio fatori al envolvendo os mesmos fatores e números de níveis 7 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Comparando os dois esquemas de tratamento fatorial e parcelas subdivididas em um delineamento casualizado em blocos Fatorial Parcelas subdivididas Note a restrição na casualização dos três níveis do tratamento se cundário B1 B2 e B3 no experimento em parcelas subdivididas 8 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP No quadro de ANOVA de um experimento em parcelas subdivididas as Fontes de Variação que fazem parte da variação entre as parcelas Fator A e Blocos por exemplo são agrupadas separadamente das Fontes que fazem parte da variação dentro das parcelas Fator B e interação AB Por conta desta separação teremos dois resíduos distintos um refe rente às parcelas 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 e outro referente às subparcelas 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 Como existem dois resíduos distintos também devemos calcular dois coeficientes de variação um associado às parcelas e outro às subparcelas Suas fórmulas serão apresentadas oportunamente 9 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 2 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Vamos apresentar alguns quadros de ANOVA com a partição dos graus de liberdade de um experimento em parcelas subdivididas com 𝒂 tratamentos primários 𝒃 tratamentos secundários 𝒓 repetições por tratamento instalado em diferentes delineamentos experimentais DIC DCB e DQL para os tratamentos aplicados às parcelas 10 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 𝒊 Experimento em parcelas subdivididas com 𝒂 tratamentos primários em um delineamento inteiramente casualizado DIC com 𝒓 repeti ções e 𝒃 tratamentos secundários C Variação gl Parcelas Fator A 𝑎 1 Resíduo a 𝑎𝑟 1 Parcelas 𝑎𝑟 1 Fator B 𝑏 1 Subparcelas AB 𝑎 1𝑏 1 Resíduo b 𝑎𝑟 1𝑏 1 Subparcelas 𝑎𝑏𝑟 1 11 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 𝒊𝒊 Experimento em parcelas subdivididas com 𝒂 tratamentos primários em um delineamento casualizado em blocos DCB com 𝒓 repetições e 𝒃 tratamentos secundários C de Variação gl Parcelas Blocos 𝑟 1 Fator A 𝑎 1 Resíduo a 𝑎 1𝑟 1 Parcelas 𝑎𝑟 1 Fator B 𝑏 1 Subparcelas AB 𝑎 1𝑏 1 Resíduo b 𝑎𝑟 1𝑏 1 Subparcelas 𝑎𝑏𝑟 1 12 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 𝒊𝒊𝒊 Experimento em parcelas subdivididas com 𝒂 tratamentos primários em um delineamento em quadrado latino com 𝒓 𝒂 repetições e 𝒃 tratamentos secundários C de Variação gl Parcelas Linhas 𝑎 1 Colunas 𝑎 1 Fator A 𝑎 1 Resíduo a 𝑎 1𝑎 2 Parcelas 𝑎2 1 Fator B 𝑏 1 Subparcelas AB 𝑎 1𝑏 1 Resíduo b 𝑎𝑎 1𝑏 1 Subparcelas 𝑎2𝑏 1 13 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 21 MODELO MATEMÁTICO O modelo de um experimento em parcelas subdivididas com 𝑎 tra tamentos primários em delineamento casualizado em blocos com 𝑟 repetições e 𝑏 tratamentos secundários pode ser escrito como 𝑦𝑖𝑗𝑘 𝛽𝑘 𝐴𝑖 𝛾𝑖𝑘 𝐵𝑗 𝐴𝐵𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗𝑘 1 em que 𝑦𝑖𝑗𝑘 é a observação feita no 𝑘ésimo bloco no 𝑖ésimo tratamento primário e 𝑗ésimo tratamento secundário é uma constante comum a todas as observações 𝛽𝑘 é o efeito do 𝑘ésimo bloco para 𝑘 1 𝑟 𝐴𝑖 é o efeito do 𝑖ésimo tratamento primário para 𝑖 1 𝑎 14 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 𝛾𝑖𝑘 é o erro experimental associado às parcelas 𝛾𝑖𝑘 𝑁0 𝜎𝛾 2 𝐵𝑗 é o efeito do 𝑗ésimo tratamento secundário para 𝑗 1 𝑏 𝐴𝐵𝑖𝑗 é o efeito da interação entre o 𝑖ésimo tratamento primário e o 𝑗ésimo tratamento secundário 𝜀𝑖𝑗𝑘 é o erro experimental associado às subparcelas 𝜀𝑖𝑗𝑘𝑁0 𝜎𝜀 2 Para facilitar os cálculos das 𝑆𝑄s associadas a cada fonte de varia ção do modelo construiremos quadros auxiliares com as médias 𝑖 dos níveis de Blocos e do Fator A parcelas 𝑖𝑖 dos níveis do Fator A e do Fator B subparcelas indicando entre parêntesis os números de unidades experimentais que deram origem a cada uma das médias 15 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Quadro 1 Médias de parcelas combinações Bloco Fator A Bloco Níveis do fator A Geral 1 2 𝑎 1 𝑦11 𝑏 𝑦21 𝑏 𝑦𝑎1 𝑏 𝑦1 𝑎𝑏 𝑟 𝑦1𝑟 𝑏 𝑦2𝑟 𝑏 𝑦𝑎𝑟 𝑏 𝑦𝑟 𝑎𝑏 Geral 𝑦1 𝑏𝑟 𝑦2 𝑏𝑟 𝑦𝑎 𝑏𝑟 𝑦 𝑎𝑏𝑟 Em que as médias das parcelas 𝑦𝑖𝑘 são calculadas com 𝑏 valores as médias dos níveis de A 𝑦𝑖 são calculadas com 𝑏𝑟 valores as médias dos blocos 𝑦𝑘 são calculadas com 𝑎𝑏 valores e a média geral 𝑦 é calculada com 𝑎𝑏𝑟 valores 16 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP SOMAS DE QUADRADOS ASSOCIADAS ÀS PARCELAS E BASEADAS NAS MÉDIAS 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑦𝑖𝑘 𝑦 𝑘 𝑗 2 𝑖 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑦𝑘 𝑦 𝑘 2 𝑗 𝑖 𝑆𝑄𝐴 𝑦𝑖 𝑦 𝑘 2 𝑗 𝑖 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑆𝑄𝐴 Importante No exemplo numérico ilustraremos como calcular cada uma dessas 𝑆𝑄s 17 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Com as 𝑆𝑄s calculadas podemos montar a primeira parte do quadro de ANOVA com as fontes de variação associadas às parcelas Quadro parcial da ANOVA parcelas C de Variação gl SQ Blocos 𝑟 1 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 A 𝑎 1 𝑆𝑄𝐴 Resíduoa 𝑛𝑎 𝑎 1𝑟 1 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 Parcelas 𝑎𝑟 1 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 Numa segunda etapa montamos um quadro com as médias dos ní veis dos fatores de tratamentos A e B associados às subparcelas 18 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Quadro 2 Médias de subparcelas Fator A Fator B Fator A Fator B Total 1 2 𝑏 1 𝑦11 𝑟 𝑦12 𝑟 𝑦1𝑏 𝑟 𝑦1 𝑏𝑟 𝑎 𝑦𝑎1 𝑟 𝑦𝑎2 𝑟 𝑦𝑎𝑏 𝑟 𝑦𝑎 𝑏𝑟 Total 𝑦1 𝑎𝑟 𝑦2 𝑎𝑟 𝑦𝑏 𝑎𝑟 𝑦 𝑎𝑏𝑟 Em que as médias dos tratamentos 𝑦𝑖𝑗 são calculadas com base em 𝑟 valores as médias dos níveis de A 𝑦𝑖 são calculadas com 𝑏𝑟 va lores as médias dos níveis de B 𝑦𝑗 são calculadas com 𝑎𝑟 valores e a média geral 𝑦 é calculada com 𝑎𝑏𝑟 valores 19 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP SOMAS DE QUADRADOS ASSOCIADAS ÀS SUBPARCELAS E BASEA DAS NAS MÉDIAS 𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑦𝑖𝑗𝑘 𝑦 2 𝑘 𝑗 𝑖 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑘 2 𝑗 𝑖 𝑆𝑄𝐵 𝑦𝑗 𝑦 𝑘 2 𝑗 𝑖 𝑆𝑄𝐴𝐵 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝐴 𝑆𝑄𝐵 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑆𝑄𝐵 𝑆𝑄𝐴𝐵 Depois de calcular todas as somas e quadrados construímos o qua dro geral de análise de variância 20 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Quadro geral da ANOVA C de Variação gl SQ Blocos 𝑟 1 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 A 𝑎 1 𝑆𝑄𝐴 Resíduo a 𝑛𝑎 𝑎 1𝑟 1 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 Parcelas 𝑎𝑟 1 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 B 𝑏 1 𝑆𝑄𝐵 AB 𝑎 1𝑏 1 𝑆𝑄𝐴 𝐵 Resíduo b 𝑛𝑏 𝑎𝑏 1𝑟 1 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 Subparcelas 𝑎𝑏𝑟 1 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 21 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Para facilitar a apresentação das estatísticas 𝐹 e as fórmulas das es tatísticas dos métodos de comparações múltiplas a variância asso ciada às parcelas é calculada por 𝑠𝑎 2 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎𝑛𝑎 a variância associada às subparcelas é calculada por 𝑠𝑏 2 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏𝑛𝑏 em que 𝑛𝑎 𝑎 1𝑟 1 e 𝑛𝑏 𝑎𝑏 1𝑟 1 são os números de graus de liberdade associados ao 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 e 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 respectivamente 22 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP STEEL e TORRIE 1980 definiram o coeficiente de variação associa do às parcelas por 𝐶𝑉𝑎 100 𝑠𝑎2𝑟 𝑦 e o coeficiente de variação associado às subparcelas por 𝐶𝑉𝑏 100 𝑠𝑏 2 𝑦 Importante A mesma análise sobre a grandeza dos valores dos 𝐶𝑉s deve ser feita em nível das parcelas 𝐶𝑉𝑎 e em nível das subpar celas 𝐶𝑉𝑏 23 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP EXEMPLO 2 Para estudar o efeito de três níveis de adubação A e de dois espaçamentos E na altura em centímetros de certo tipo de plantas planejouse um experimento em parcelas subdivididas num delineamento casualizado em blocos com 4 repetições Os tratamentos primários correspondem aos dois espaçamentos E1 e E2 e os tratamentos secundários aos três níveis de adubação A0 A1 e A2 Os blocos I II III IV foram usados com o intuito de controlar a fer tilidade do solo As alturas das plantas das 24 unidades experimentais são apresen tadas na tabela a seguir 24 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Alturas de plantas em cm por bloco espaçamento e nível de adubação Bloco E1 E2 A0 A1 A2 A0 A1 A2 I 58 85 66 44 59 54 II 77 90 93 59 68 75 III 38 73 67 30 45 53 IV 52 77 64 34 55 48 Usando a fórmula usual calculamos a 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 como 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑦𝑖𝑗𝑘 𝑦 𝑘 𝑗 𝑖 2 659200 25 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP A partir dos dados originais construímos tabelas de totais ou de mé dias associadas às parcelas e às subparcelas para facilitar o cálculo das 𝑆𝑄s lembrando que temos 42 8 parcelas e 423 24 subparcelas Para o Espaçamento E1 temos os totais de cada Bloco E1 Bloco A0 A1 A2 Total I 58 85 66 2093 II 77 90 93 2603 III 38 73 67 1783 IV 52 77 64 1933 26 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Para o Espaçamento E2 temos os totais de cada Bloco E2 Bloco A0 A1 A2 Total I 44 59 54 1573 II 59 68 75 2023 III 30 45 53 1283 IV 34 55 48 1373 27 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Totais de alturas por espaçamento E e por bloco parcelas Espaçamento Bloco Total I II III IV E1 2093 2603 1783 1933 84012 E2 1573 2023 1283 1373 62412 Total 3666 4626 3066 3306 146424 Com os totais podemos calcular as médias 28 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Médias de alturas por espaçamento E e por bloco parcelas Espaçamento Bloco Média I II III IV E1 69673 86673 59333 64333 700012 E2 52333 67333 42673 45673 520012 Média 61006 77006 51006 55006 610024 Para calcular 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 usamos as médias das 8 combinações dos níveis de Espaçamento e Bloco interior da tabela que foram calcu ladas a partir de 3 valores 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑦𝑖𝑘 𝑦 𝑘 𝑗 2 𝑖 430269 29 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Para obter 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜 usamos as médias dos blocos calculadas a partir de 6 valores 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑦𝑘 𝑦 𝑘 2 𝑗 𝑖 235200 Para obter 𝑆𝑄𝐸 usamos as médias dos espaçamentos calculadas a partir de 12 valores 𝑆𝑄𝐸 𝑦𝑖 𝑦 𝑘 2 𝑗 𝑖 194400 A 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 associada às parcelas é obtida por 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑆𝑄𝐸 669 30 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP O quadro de ANOVA para as parcelas fica Causa da Variação gl SQ QM F Bloco 3 235200 78400 Espaçamento E 1 194400 194400 87175 Resíduo a 3 669 223 Parcelas 7 430269 Vamos realizar os testes somente após completarmos o quadro de ANOVA com as informações associadas às subparcelas pois o pri meiro teste a ser realizado será sobre a presença ou não da interação entre os níveis dos dois fatores de tratamento 31 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Na segunda etapa vamos calcular as somas de quadrados associadas às subparcelas Bloco E1 E2 A0 A1 A2 A0 A1 A2 I 58 85 66 44 59 54 II 77 90 93 59 68 75 III 38 73 67 30 45 53 IV 52 77 64 34 55 48 Total 225 325 290 167 227 230 Usando os dados observados vamos construir uma tabela com os totais das combinações de Espaçamento e Adubação 32 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Totais de alturas por espaçamento E e por nível de adubação A Fator E Fator A Total A0 A1 A2 E1 2254 3254 2904 84012 E2 1674 2274 2304 62412 Total 3928 5528 5208 146424 A partir desta tabela de totais construímos uma tabela com as res pectivas médias 33 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Médias de alturas por espaçamento E e por nível de adubação A Fator E Fator A Média A0 A1 A2 E1 56254 81254 72504 700012 E2 41754 56754 57504 520012 Média 49008 69008 65008 610024 Para obter a 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 usamos as médias das combinações 𝐸𝐴 calcu ladas a partir de 4 valores 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑘 2 𝑗 𝑖 386300 34 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Para obter 𝑆𝑄𝐴𝑑𝑢𝑏𝑜 usamos as médias do Fator A Adubação cal culadas a partir de 8 valores 𝑆𝑄𝐴𝑑𝑢𝑏𝑜 𝑦𝑗 𝑦 𝑘 2 𝑗 𝑖 179200 Já sabemos que 𝑆𝑄𝐸 194400 Como nos ensaios fatoriais a 𝑆𝑄 da interação é calculada como 𝑆𝑄𝐸𝐴 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑄𝐴𝑑𝑢𝑏𝑜 386300 194400 179200 12700 Finalmente calculamos 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑆𝑄𝐴 𝑆𝑄𝐸𝐴 659200 430269 179200 12700 37031 35 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Quadro geral de ANOVA do Exemplo 2 altura de plantas Causa da Variação gl SQ QM F Bloco 3 235200 78400 Espaçamento E 1 194400 194400 87175 Resíduo a 3 669 223 Parcelas 7 430269 Adubação A 2 179200 89600 2903 Interação EA 2 12700 6350 206 Resíduo 𝑏 12 37031 3086 Total 23 659200 𝐶𝑉𝑎 100 2224 610 122 𝐶𝑉𝑏 100 3086 610 907 36 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Comentário Podemos perceber que os dois coeficientes de variação são baixos indicando um bom controle dos fatores externos ao expe rimento tanto em nível de parcelas quanto de subparcelas TESTES DE HIPÓTESES DA ANOVA Caso geral De forma análoga ao realizado na análise de dados de experimentos fatoriais o primeiro teste a ser realizado na ANOVA é sobre a intera ção 𝐻01 Não existe interação entre os níveis dos fatores A e B 𝐻𝑎1 Existe interação entre os níveis dos fatores A e B Estatística 𝐹1 𝑄𝑀AB𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 que tem distribuição F Snedecor com 𝑎 1𝑏 1 e 𝑛𝑏 graus de liberdade 37 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP CASO 1 Se não rejeitarmos a hipótese 𝐻01 e concluirmos que não existe interação entre os fatores A e B devemos realizar os testes para os efeitos principais dos fatores A e B separadamente como segue 𝑖 Comparação das médias dos tratamentos primários A 𝐻02 𝜇1 𝜇2 𝜇𝑎 𝐻𝑎2 pelo menos duas médias de A diferem entre si Estatística 𝐹2 𝑄𝑀𝐴𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 que tem distribuição F com 𝑎 1 e 𝑛𝑎 graus de liberdade 38 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 𝑖𝑖 Comparação das médias dos tratamentos secundários B 𝐻03 𝜇1 𝜇2 𝜇𝑏 𝐻𝑎3 pelo menos duas médias de B são diferentes entre si Estatística 𝐹3 𝑄𝑀𝐵𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 que tem distribuição F com 𝑏 1 e 𝑛b graus de liberdade Voltando ao Exemplo 2 vamos interpretar os resultados da ANOVA 1º Teste Interação EA 𝐻01 Não existe interação entre os níveis de Espaçamento E e Adubação A 𝐻𝑎1 Existe interação entre os níveis dos fatores E e A 39 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Como o valor da estatística 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 206 𝐹2 12 5 389 nós não rejeitamos 𝐻01 e concluímos que não existe a interação entre os níveis dos fatores Espaçamento e Adubação Sem interação continuamos a análise comparando as médias dos tratamentos primários Espaçamentyo e dos tratamentos secundá rios Adubação separadamente 2º Teste Comparar as médias dos níveis de Espaçamento 𝐸 𝐻02 𝜇1 𝜇2 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻𝑎2 𝜇1 𝜇2 Como 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 194400222 87578 𝐹1 3 5 1013 nós rejeitamos 𝐻02 e concluímos que as alturas médias das plantas sub metidas aos dois níveis de espaçamento são diferentes 40 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Como o fator Espaçamento tem somente dois níveis já podemos concluir que as plantas do espaçamento E1 são mais altas 700 cm que as do espaçamento E2 520 cm 3º Teste Comparar as médias dos níveis de adubação 𝐴 𝐻03 𝜇0 𝜇1 𝜇2 𝐻𝑎3 pelo menos duas médias são diferentes Como 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 896003086 2903 F2 12 5 389 nós rejei tamos 𝐻03 e concluímos que pelo menos dois níveis de adubação proporcionam plantas com alturas médias diferentes Como temos três níveis de adubação precisamos utilizar algum teste de comparações múltiplas para identificar o nível de Aduba ção que proporcionou plantas mais altas 41 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Note que a análise dos dados do Exemplo 2 está incompleta Antes de compararmos as médias dos três níveis de Adubação indepen dente do Espaçamento vamos analisar os dados de um experimen to em parcelas subdivididas com interação significativa CASO 2 Se a hipótese 𝐻01 for rejeitada e concluirmos que existe in teração entre os níveis dos fatores primários e secundários precisa mos realizar os DESDOBRAMENTOS DA INTERAÇÃO de forma simi lar ao que já foi feito nos experimentos fatoriais Importante Fique atento à escolha do denominador da estatística F 42 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Exemplo 3 Um experimento foi realizado com o objetivo de com parar os três sistemas de preparo de solo na cultura do milho bem como determinar a melhor dentre as três cultivares Utilizouse o de lineamento casualizado em blocos com quatro repetições com os tratamentos dispostos no esquema de parcelas subdivididas sendo que os níveis do fator Sistema foram aplicados às parcelas e os níveis do fator Cultivar foram aplicados às subparcelas Pedese 𝑎 Desenhe um croqui do experimento 𝑏 Escreva o modelo linear com as suas pressuposições 𝑐 Realize uma análise de variância completa com todos os desdo bramentos e interpretações Se for necessário utilize o teste de Tukey para comparar as médias 𝑑 Apresente os resultados obtidos na forma de tabelas ou gráficos para facilitar o entendimento e visualização dos resultados 43 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP As produções de grãos tha foram Sistema Cultivar Bloco I II III IV S1 Aração A 42 46 45 44 B 45 47 43 47 C 52 50 68 58 S2 AraçãoGradagem A 38 44 48 39 B 37 35 31 37 C 35 31 34 33 S3 Subsolagem A 42 42 52 51 B 40 38 37 41 C 39 39 37 40 Vamos montar as tabelas de totais e médias para auxiliar no cálculo das somas de quadrados 44 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Totais de parcelas Sistema Bloco Sistema Bloco Total I II III IV S1 1393 1433 1563 1493 58712 S2 1103 1103 1133 1093 44212 S3 1213 1193 1263 1323 49812 Total 3709 3729 3959 3909 152736 Médias de parcelas Sistema Bloco Sistema Bloco Total I II III IV S1 46333 47673 52003 49673 489212 S2 36673 36673 37673 36333 368312 S3 40333 39673 42003 44003 415012 Total 41119 41339 43899 43339 424236 45 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Com essas médias podemos calcular as 𝑆𝑄𝑠 associadas às parcelas 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜 05304 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 98271 𝑆𝑄𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 89213 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜 𝑆𝑄𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 98271 89213 05304 03754 Quadro de ANOVA parcial do Exemplo 3 parcelas Causa da Variação gl SQ QM F Bloco 3 05304 01768 282 Sistema S 2 89213 44607 7126 Resíduo a 6 03754 00626 Parcelas 11 98271 46 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Totais de subparcelas Sistema Cultivar Sistema Cultivar Total A B C S1 1774 1824 2284 58712 S2 1694 1404 1334 44212 S3 1874 1564 1554 49812 Total 53312 47812 51612 152736 Médias de subparcelas Sistema Cultivar Sistema Cultivar Total A B C S1 44254 45504 57004 489212 S2 42254 35004 33254 368312 S3 46754 39004 38754 415012 Total 444212 398312 430012 424236 47 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP A 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 é calculada da mesma forma que em todos os exemplos anteriores 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 205275 Com base nas médias apresentadas nas tabelas anteriores obtemos 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 163400 𝑆𝑄𝐶𝑢𝑙𝑡𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑆𝑄𝐶 13253 𝑆𝑄𝑆𝐶 163400 89213 13253 60934 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑆𝑄𝐶 𝑆𝑄𝑆𝐶 205275 98271 13253 60934 32817 Com todas as 𝑆𝑄s calculadas podemos montar o quadro de ANOVA final 48 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Quadro de ANOVA do Exemplo 3 Produção de grãos de milho Causa da Variação gl SQ QM F Bloco 3 05304 01768 282 Sistema S 2 89213 44607 7126 Resíduo a 6 03754 00626 Parcelas 11 98271 Cultivar C 2 13253 06627 364 Interação SC 4 60934 15234 836 Resíduo 𝑏 18 32817 01823 Total 35 205275 𝑦 4242 𝑡ℎ𝑎 𝑠𝑎 2 00626 𝑠𝑏 2 01823 𝐶𝑉𝑎 100 006264 4242 295 𝐶𝑉𝑏 100 01823 4242 1007 49 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 1º Teste 𝐻0 Não existe interação entre os níveis dos fatores 𝑆 e 𝐶 𝐻1 Existe interação entre os níveis dos fatores 𝑆 e 𝐶 Como o valor 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 836 é superior ao valor 𝐹𝑡𝑎𝑏4 18 293 nós rejeitamos 𝐻0 ao nível de significância de 5 e concluímos que existe interação significativa entre os Sistemas de preparo de solo e as Cultivares Vamos ver como realizar os testes para comparar as médias nos dois desdobramentos possíveis 50 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Desdobramento 1 simples Comparar as médias dos níveis do fator secundário B em cada nível do fator primário A ou seja para cada nível 𝑖 1 𝑎 do fator A vamos testar 𝐻04 𝜇𝑖1 𝜇𝑖2 𝜇𝑖𝑏 𝐻𝑎4 pelo menos duas médias de B diferem entre si Calcular 𝑆𝑄𝐵 𝑑 𝐴𝑖 para 𝑖 1 2 𝑎 que tem 𝑏 1 graus de liberdade Estatística F 𝑄𝑀𝐵 𝑑 𝐴𝑖𝑠𝑏 2 que tem distribuição F com 𝑏1 e 𝑛𝑏 graus de liberdade Note que 𝑠𝑏 2 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 No Exemplo 3 temse 51 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Desdobramento 1 Comparar as três Cultivares em cada um dos Sis temas de preparo do solo S1 S2 e S3 Vamos testar 𝐻02 𝜇𝐴 𝜇𝐵 𝜇𝐶 𝐻𝑎2 pelo menos duas médias diferem entre si Médias de subparcelas Sistema Cultivar Sistema Cultivar Total A B C S1 44254 45504 57004 489212 S2 42254 35004 33254 368312 S3 46754 39004 38754 415012 Total 444212 398312 430012 424236 52 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Utilizando a tabela de médias de subparcelas obtemos 𝑆𝑄𝐶𝑑𝑆1 39517 𝑆𝑄𝐶𝑑𝑆2 18217 𝑆𝑄𝐶𝑑𝑆3 16550 Quadro de ANOVA auxiliar F variação gl SQ QM F Cultivar dS1 2 39517 19759 1084 Cultivar dS2 2 18217 09109 500 Cultivar dS3 2 16550 08275 454 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 18 32817 01823 Conclusão Como 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 𝐹𝑡𝑎𝑏218 355 para S1 S2 e S3 rejeita mos 𝐻02 e concluímos que a produção média de grãos de pelo me nos duas cultivares diferem entre si em cada um dos três Sistemas de preparo do solo 53 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Desdobramento 2 trabalhoso Comparar as médias dos níveis do fator primário A em cada nível do fator secundário B ou seja para cada nível 𝑗 1 𝑏 do fator B vamos testar 𝐻05 𝜇1𝑗 𝜇2𝑗 𝜇𝑎𝑗 𝐻𝑎5 pelo menos duas médias de A diferem entre si Calcular 𝑆𝑄𝐴𝑑𝐵𝑗 para 𝑗 1 𝑏 com 𝑎 1 graus de liber dade Estatística F 𝑄𝑀𝐴 𝑑 𝐵𝑗𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 que tem distribuição F com 𝑎1 e 𝑛 graus de liberdade em que 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 1 𝑏𝑠𝑎 2 𝑏1𝑠𝑏 2 54 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP O número de graus de liberdade 𝑛 é estimado por 𝑛 𝑠𝑎2𝑏1𝑠𝑏 2 2 𝑠𝑎22 𝑛𝑎 𝑏1𝑠𝑏 2 2 𝑛𝑏 Fórmula de Satterthwaite Com os dados do Exemplo 3 Desdobramento 2 Comparar os três Sistemas de preparo de solo primário para cada uma das Cultivares secundário 𝐻03 𝜇𝑆1 𝜇𝑆2 𝜇𝑆3 𝐻𝑎3 pelo menos duas médias diferem entre si 55 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Médias de subparcelas Sistema Cultivar Sistema Cultivar Total A B C S1 44254 45504 57004 489212 S2 42254 35004 33254 368312 S3 46754 39004 38754 415012 Total 444212 398312 430012 424236 Utilizando a tabela de médias de subparcelas obtemos 𝑆𝑄𝑆𝑑𝐶𝐴 04067 𝑆𝑄𝑆𝑑𝐶𝐵 22467 𝑆𝑄𝑆𝑑𝐶𝐶 123650 56 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Com 𝑠𝑎 2 00626 𝑠𝑏 2 01823 𝑛𝑎 6 e 𝑛𝑏 18 temos que 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 1 3 00626 3 101823 01424 𝑛 00626 31018232 006262 6 31018232 18 01825 00080 2281 23 graus de liberdade Vamos construir um novo quadro de ANOVA auxiliar para testar 𝐻03 𝜇𝑆1 𝜇𝑆2 𝜇𝑆3 𝐻𝑎3 pelo menos duas médias diferem entre si 57 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Quadro de ANOVA auxiliar F variação gl SQ QM F Sistema dA 2 04067 02034 143 𝑛𝑠 Sistema dB 2 22467 11234 789 Sistema dC 2 123650 61825 4342 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 23 01424 𝐹𝑡𝑎𝑏2 23 342 A hipótese 𝐻03 não é rejeitada para a cultivar A indicando que para esta cultivar as produções médias de grãos nos três sistemas são iguais Já para as cultivares B e C o teste F indica que pelos menos dois sistemas apresentam produções médias distintas 58 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP COMPARAÇÕES ENTRE MÉDIAS DE TRATAMENTOS Após realizar os testes de hipóteses da ANOVA nós podemos compa rar as médias dos tratamentos primários A dos secundários B ou as médias dos desdobramentos da interação AB utilizando al gum método de comparação múltipla como o teste 𝑡 para contrastes o teste de Tukey Duncan 𝑒𝑡𝑐 59 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 1º CASO Comparação de médias dos níveis do fator A parcelas na ausência de interação Para testar 𝐻0 𝑌 0 em que 𝑌 𝑐1𝜇1 𝑐𝑎𝜇𝑎 é um con traste escolhido 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 e 𝜇𝑖 é a média do 𝑖ésimo tratamento primário para 𝑖 1 2 𝑎 usamos a estatística 𝑡Student 𝑡 Y 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 𝑏𝑟 𝑐𝑖 2 𝑖 com 𝑛𝑎 graus de liberdade Para testar 𝐻0 𝜇𝑖 𝜇𝑖 para 𝑖 1 𝑎 e 𝑖 𝑖 podemos usar os testes de Tukey 𝑑𝑚𝑠 𝑞𝑎 𝑛𝑎 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 𝑏𝑟 60 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Duncan D 𝑧𝑚 𝑛𝑎 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑎 𝑏𝑟 em que 𝑞𝑎 𝑛𝑎 e 𝑧𝑚 𝑛𝑎 para 𝑚 𝑎 𝑎1 2 tratamentos en volvidos na comparação são constantes encontradas em tabelas apropriadas 61 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 2º CASO Comparação de médias dos níveis do fator B subparcelas na ausência de interação Para testar 𝐻0 𝑌 0 em que 𝑌 𝑐1𝜇1 𝑐𝑏𝜇𝑏 é um con traste escolhido 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 e 𝜇𝑗 é a média do 𝑗ésimo tratamento secundário para 𝑗 1 2 𝑏 usamos a estatística tStudent 𝑡 Y 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑎𝑟 𝑐𝑖 2 𝑖 com 𝑛𝑏 graus de liberdade Para testar 𝐻0 𝜇𝑗 𝜇𝑗 𝑗 1 𝑏 e 𝑗 𝑗 podemos usar o teste Tukey 𝑑𝑚𝑠 𝑞𝑏 𝑛𝑏 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑎𝑟 62 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Duncan 𝐷 𝑧𝑚 𝑛𝑏 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑎𝑟 Em que 𝑞𝑏 𝑛𝑏 e 𝑧𝑚 𝑛𝑏 para 𝑚 𝑏 𝑏 1 2 tratamentos envolvidos na comparação são constantes encontradas em tabe las apropriadas Continuando a análise do Exemplo 2 em que a interação 𝑬𝑨 resul tou não significativa vamos comparar as médias das alturas das plantas submetidas aos três níveis de adubação subparcelas Geralmente Adubação é um fator quantitativo mas no Exemplo 1 desconhecemos os seus níveis Vamos comparar suas médias pelo Teste de Tukey 63 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 𝑑𝑚𝑠 𝑞3125 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑎𝑟 377 3086 8 740 Alturas médias em cm das plantas submetidas a diferentes níveis de adubação Adubação Média 𝐴0 490 𝑏 𝐴1 690 𝑎 𝐴2 650 𝑎 Médias seguidas por letras diferentes diferem entre si pelo Teste de Tukey α 5 Conclusão Independente do Espaçamento as plantas que recebe ram os níveis 𝐴1 e 𝐴2 de adubação tiveram alturas médias iguais en tre si e superiores àquelas que receberam o nível 𝐴0 de adubação 64 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Como o teste 𝐹 da ANOVA já indicou diferença entre as duas médias de espaçamento podemos concluir que as mudas do Espaçamento 𝐸1 são mais altas que as mudas do Espaçamento 𝐸2 independente do nível de adubação utilizado Espaçamento Média 𝐸1 700 𝑎 𝐸2 520 𝑏 Médias seguidas por letras diferentes diferem entre si pelo teste 𝐹 α 5 65 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP IMPORTANTE Se a interação 𝐴 𝐵 resultar significativa precisare mos realizar os desdobramentos e posteriormente comparar as médias dos tratamentos secundários em cada tratamento primário 𝐵 𝑑 𝐴𝑖 ou as médias dos tratamentos primários em cada trata mento secundário 𝐴 𝑑 𝐵𝑗 Nota Fique atento à escolha do 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 e do número de graus de liberdade corretos para cada teste 66 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 3o CASO Comparação entre médias dos tratamentos secundários B em um mesmo tratamento primário A Para testar 𝐻0 𝑌 0 em que 𝑌 𝑐1𝜇𝑙1 𝑐𝑏𝜇𝑙𝑏 é um contras te escolhido 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 e 𝜇𝑙𝑗 é a média do 𝑗ésimo tratamento 𝐵 em um tramento 𝑙 de 𝐴 para 𝑗 1 2 𝑏 nós usamos a estatística t Student 𝑡 Y 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑟 𝑐𝑖 2 𝑖 com 𝑛𝑏 graus de liberdade Para testar 𝐻0 𝜇𝑙𝑗 𝜇𝑙𝑗 𝑗 1 𝑏 𝑗 𝑗 e 𝑙 é um dos tratamen tos primários usamos os testes de Tukey 𝑑𝑚𝑠 𝑞𝑏 𝑛𝑏 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑟 67 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP ou Duncan 𝐷 𝑧𝑚 𝑛𝑏 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜𝑏 𝑟 Em que 𝑞𝑏 𝑛𝑏 e 𝑧𝑚 𝑛𝑏 para 𝑚 𝑏 𝑏1 2 médias envolvi das na comparação são constantes encontradas em tabelas apro priadas Exemplo 3 Para comparar as 3 cultivares em cada Sistema separa damente vamos usar o teste de Tukey 𝑑𝑚𝑠 361 01823 4 0771 68 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Sistema Cultivar S1 S2 S3 A 4425 𝑏 4225 𝑎 4675 𝑎 B 4550 𝑏 3500 𝑎𝑏 3900 𝑏 C 5700 𝑎 3325 𝑏 3875 𝑏 Médias seguidas por letras distintas na mesma coluna diferem entre si pelo teste de Tukey 5 Conclusões A cultivar C apresentou maior produção média de grãos no sistema S1 Aração e a cultivar A no sistema S3 Subsolagem Já no sistema S2 Aração Gradagem a produção média da cultivar A só foi melhor que a da cultivar C Também podemos apresentar esses resultados do teste de Tukey em gráficos de colunas se possível incluir barras de erros 69 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Médias de produção das cultivares em cada sistema de preparo de solo 70 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP 4o CASO Comparação entre as médias dos tratamentos primários A em um mesmo tratamento secundário B Para testar 𝐻0 𝑌 0 em que 𝑌 𝑐1𝜇1𝑙 𝑐𝑏𝜇𝑏𝑙 é um contras te escolhido 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 e 𝜇𝑖𝑙 é a média do 𝑖ésimo tratamento 𝐴 em um tratamento 𝑙 de 𝐵 para 𝑖 1 2 𝑎 nós usamos a estatística 𝑡Student t Y 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑟 𝑐𝑖 2 𝑖 com 𝑛 graus de liberdade Em que 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 1 𝑏𝑠𝑎 2 𝑏1𝑠𝑏 2 𝑛 𝑠𝑎2 𝑏1𝑠𝑏 2 2 𝑠𝑎22 𝑛𝑎 𝑏1𝑠𝑏 2 2 𝑛𝑏 Fórmula de Satterthwaite 71 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Para testar 𝐻0 𝜇𝑖𝑙 𝜇𝑖𝑙 𝑖 1 𝑎 𝑖 𝑖 e 𝑙 é um dos tratamen tos secundários usamos os testes de Tukey 𝑑𝑚𝑠 𝑞𝑎 𝑛𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑟 ou Duncan 𝐷𝑚 𝑧𝑚 𝑛𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑟 Em que os valores de 𝑞𝑎 𝑛 e 𝑧𝑚 𝑛 para 𝑚 𝑎 𝑎1 2 médias envolvidas no contraste são constantes encontradas em tabelas apropriadas e 𝑛 é o número de graus de liberdade calcula do pela fórmula de Satterthwaite 72 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Exemplo 3 Vamos comparar as produções médias dos três sistemas para as cultivares B e C com o teste de Tukey 𝑑𝑚𝑠 353 01424 4 0666 Cultivar Sistema A B C Aração 4225 𝑎 4550 𝑎 5700 𝑎 AraçãoGradagem 4425 𝑎 3500 𝑏 3325 𝑏 Subsolagem 4675 𝑎 3900 𝑎𝑏 3875 𝑏 Médias seguidas por letras distintas na mesma coluna diferem entre si pelo teste de Tukey 5 73 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Conclusões Para a cultivar A os três sistemas apresentaram médias iguais de produção de grãos Para a cultivar B a Aração apresentou uma maior produção média que AraçãoGradagem Para a cultivar C a Aração foi o sistema que apresentou a maior produção média Também podemos apresentar os resultados dos testes de Tukey em um gráfico de colunas 74 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Médias de produção dos sistemas de preparo de solo em cada cultivar Cultivar Sistema C B A S3 S2 S1 S3 S2 S1 S3 S2 S1 6 5 4 3 2 1 0 Prod uçã o de g rã os tha b b a ab b a a a a 75 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP EXERCÍCIO Experimentos em que se avalia uma variável resposta ao lon go do tempo nas mesmas unidades experimentais são chamados experi mentos longitudinais ou experimentos com medidas repetidas no tempo Os dados gerados por esses experimentos podem ser analisados como de um experimento em parcelas subdivididas no tempo Um experimento foi conduzido para estudar o efeito de 3 diferentes dro gas no batimento cardíaco de bovinos de corte Depois de administrada cada droga o número de batimentos cardíacos de cada animal foi medido de 5 em 5 minutos durante 20 minutos Admitiuse um delineamento casualizado em blocos com 8 repetições por tratamento e um esquema de parcelas subdivididas no tempo onde droga D com os níveis D1 D2 e D3 é o tratamento primário aplicado às parce las e tempo T com os níveis 5 10 15 e 20 minutos é o tratamento secun dário associado às subparcelas 76 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP As 𝑆𝑄𝑠 e algumas informações sobre os números de graus de liber dade são apresentadas no quadro de ANOVA Causas de variação gl SQ QM F Blocos 7 46229 Droga D 2 125165 Resíduo a 182802 Parcelas 354196 Tempo T 3 22804 Interação DxT 49277 Resíduo b 48919 Total 95 475196 77 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Pedese a Desenhe um croqui do experimento complete o quadro de ANOVA rea lize os testes de hipóteses que julgar necessário e comente sobre os re sultados obtidos b Calcule os CVs e comente c Se a interação 𝐷 𝑇 resultar significativa realize o desdobramento vi sando comparar os tempos em cada uma das drogas A seguir faça um estudo completo de regressão separado para cada droga para explicar a variação do número de batimentos em função do tempo após a admi nistração da droga d Verifique se há diferença entre as médias do número de batimentos das três drogas somente no final do experimento Tempo 20 minutos Depois do teste F se necessário compare as médias usando o teste de Tukey 78 Material preparado pelo Prof Dr César Gonçalves de Lima FZEAUSP Utilize as informações da tabela seguinte que apresenta os totais de ba timentos por droga e por tempo Totais do número de batimento por tempo e por droga Tempo minutos Droga 5 10 15 20 Total D1 582 579 572 570 2303 D2 654 657 637 638 2586 D3 564 644 648 585 2441 Total 1800 1880 1857 1793 7330