Questão - Cálculo 4 - 2023-2

3. Considere a condução de calor em uma barra de 2 m de comprimento e para todo t > 0. \[ u_t = 4u_{xx} \] sujeito as condições \( u_x(0, t) = 0, u(2,t) = 0 \ ext{ e } u(x,0) = x. \) Solução: \[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} K_n \cos \left( \frac{1}{4} (2n+1) \pi x \right) e^{-(2n+1)^2 \pi t}\] com \( K_0 = 2 \ \text{e} \ K_n = \frac{-8}{\pi^2} \frac{1}{(2k+1)^2} \) para \( n = 1, 2, 3, ... \) 3. Considere a condução de calor em uma barra de 2 m de comprimento e para todo t > 0. \[ u_t = 4u_{xx} \] sujeito as condições \( u_x(0, t) = 0, u(2,t) = 0 \ ext{ e } u(x,0) = x. \) Solução: \[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} K_n \cos \left( \frac{1}{4} (2n+1) \pi x \right) e^{-(2n+1)^2 \pi t}\] com \( K_0 = 2 \ \text{e} \ K_n = \frac{-8}{\pi^2} \frac{1}{(2k+1)^2} \) para \( n = 1, 2, 3, ... \) SEJA A EDP: \[ \frac{\partial u}{\partial t} = 4 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \ (1) \] SUPOHA QUE: \( u = f(x)g(t) \) \[ \frac{\partial u}{\partial t} = f \frac{dg}{dt} \] \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = g \frac{d^2 f}{dx^2} \] LEVANDO EM (1) \[ f \frac{dg}{dt} = 4 g \frac{d^2 f}{dx^2} \] SE \(u \neq 0 \), DIVIDO TODA EQUAÇÃO POR \( u = f.g \) \[ \frac{1}{g} \frac{dg}{dt} = 4 \cdot \frac{1}{f} \frac{d^2 f}{dx^2} = -k \] \[ \frac{1}{g} \frac{dg}{dt} = k, \ \text{e} \ \frac{d^2 f}{dx^2} = -k \] \[ \int \frac{dg}{g} = kdt, \ \ \text{e integrando} \] \[ \int \frac{dg}{g} = -kf \cdot dt \rightarrow \ln g = kt + c \rightarrow \boxed{g = g_0 e^{kt}} \] Aplicando as condições de contorno, detalha-se a solução. Observe que apenas para P ímpar, a série possui coeficientes não nulos. U P= 8 P π(−1) P+1 2 − 16 P 2π 2 →P=2n−1 .