Atividade 1 - Introd à Estat 2022-1

3) X ~ Binomial (20, 0,1) A droga não tem efeito P(X≥4) = 1 - P(X<4) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1 - [(20 choose 0) (0,1)^0 (0,9)^20 + (20 choose 1) (0,1)^1 (0,9)^19 + (20 choose 2) (0,1)^2 (0,9)^18 ] = 1 - [0,1216 + 0,2702 + 0,2852] = 1 - 0,6769 = 0,3231 12) a) P(X₁=1 e X₂=1) = P(X₁=1) · P(X₂=1) = 0,05 · 0,05 = 0,0025 P(X₁=1 e X₂=2) = P(X₁=1) · P(X₂=2) = 0,05 · 0,1 = 0,005 P(X₁=1 e X₂=3) = P(X₁=1) · P(X₂=3) = 0,05 · 0,2 = 0,01 P(X₁=1 e X₂=4) = P(X₁=1) · P(X₂=4) = 0,05 · 0,25 = 0,0125 P(X₁=1 e X₂=5) = P(X₁=1) · P(X₂=5) = 0,05 · 0,4 = 0,02 P(X₁=2 e X₂=1) = P(X₁=2) · P(X₂=1) = 0,1 · 0,05 = 0,005 P(X₁=2 e X₂=2) = P(X₁=2) · P(X₂=2) = 0,1 · 0,1 = 0,01 P(X₁=2 e X₂=3) = P(X₁=2) · P(X₂=3) = 0,1 · 0,2 = 0,02 P(X₁=2 e X₂=4) = P(X₁=2) · P(X₂=4) = 0,1 · 0,25 = 0,025 P(X₁=2 e X₂=5) = P(X₁=2) · P(X₂=5) = 0,1 · 0,4 = 0,04 P(X₁=3 e X₂=1) = 0,2 · 0,05 = 0,01 P(X₁=3 e X₂=2) = 0,2 · 0,1 = 0,02 P(X₁=3 e X₂=3) = 0,2 · 0,2 = 0,04 P(X₁=3 e X₂=4) = 0,2 · 0,25 = 0,05 P(X₁=3 e X₂=5) = 0,2 · 0,4 = 0,08 P(X₁=4 e X₂=1) = 0,25 · 0,05 = 0,0125 P(X₁=4 e X₂=2) = 0,25 · 0,1 = 0,025 P(X₁=4 e X₂=3) = 0,25 · 0,2 = 0,05 P(X₁=4 e X₂=4) = 0,25 · 0,25 = 0,0625 P(X₁=4 e X₂=5) = 0,25 · 0,4 = 0,1 P(X₁=5 e X₂=1) = 0,4 · 0,05 = 0,02 P(X₁=5 e X₂=2) = 0,4 · 0,1 = 0,04 P(X₁=5 e X₂=3) = 0,4 · 0,2 = 0,08 P(X₁=5 e X₂=4) = 0,4 · 0,25 = 0,1 P(X₁=5 e X₂=5) = 0,4 · 0,4 = 0,16 X₁ \ X₂ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ------------------------------ 1 | 0,0025| 0,005 | 0,01 | 0,0125| 0,02 2 | 0,005 | 0,01 | 0,02 | 0,025 | 0,04 3 | 0,01 | 0,02 | 0,04 | 0,05 | 0,08 4 | 0,0125| 0,025 | 0,05 | 0,0625| 0,1 5 | 0,02 | 0,04 | 0,08 | 0,1 | 0,16 b) X ~ Binomial (1000, 0,15) X ~ Normal (150, 127,5) P(X≥30) = P(Z ≥ \frac{30-150}{127,5}) = P(Z ≥ -10,63) ≈ 1 4) 1 - \lambda = 0,8 => \lambda = 0,2 0,8 0,2 |-1,28 1,28 0,2 | 0,8 0,8|-0,84 05) Z_{1/2} = 1,8 \lambda = 0,07186 1 - \lambda = 1 - 0,07186 = 0,92814 Nível de confiança 6) P(\bar{x} - z_{\gamma/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + z_{\gamma/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = 0,98 P(34,33 - 2,33 \frac{2}{\sqrt{36}} \leq \mu \leq 34,33 + 2,33 \frac{2}{\sqrt{36}}) = 0,98 P(33,56 \leq \mu \leq 35,33) = 0,98 IC_{\mu} = [33,56; 35,33] d. E(\overline{X}) = E\left( \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3} \right) = \frac{1}{3} E(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{3} [E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \mu = \mu = 4,2 Var(\overline{X}) = Var\left( \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3} \right) = \frac{1}{9} Var(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{9} (\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{9} \cdot 3\sigma^2 = \frac{1}{3} \sigma^2 = \frac{1}{3} \cdot 6,5 = \frac{6,5}{3} E(\overline{X}_p) = E\left( \frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4} \right) = \frac{1}{4} E(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{4} [E(X_1) + 2E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{4} [\mu + 2\mu + \mu] = \frac{1}{4} \cdot 4\mu = \mu = 4,2 Var(\overline{X}_p) = Var\left( \frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4} \right) = \frac{1}{16} Var(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{16} [Var(X_1) + 4Var(X_2) + Var(X_3)] = \frac{1}{16} [\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2] = \frac{1}{16} \cdot 6\sigma^2 = \frac{1}{16} \cdot 6\sigma^2 = \frac{3}{8} \cdot \sigma^2 = \frac{19,5}{8} E(\Delta) = E \left( \frac{\min(x_1, x_2, x_3) + \max(x_1, x_2, x_3)}{2} \right) = \frac{1}{2} E \left( \min(x_1, x_2, x_3) + \max(x_1, x_2, x_3) \right) = \frac{1}{2} \left[ \min(E(x_1),E(x_2),E(x_3)) + \max(E(x_1),E(x_2),E(x_3)) \right] = \frac{1}{2} \left[ \min(\mu, \mu, \mu) + \max(\mu, \mu, \mu) \right] = \frac{1}{2} [ \mu + \mu ] = \frac{1}{2} 2\mu = \mu = \mu Var (\Delta) = Var \left( \frac{\min(x_1, x_2, x_3) + \max(x_1, x_2, x_3)}{2} \right) = \frac{1}{4} \left[ \min(Var(x_1), Var(x_2), Var(x_3)) + \max(Var(x_1), Var(x_2), Var(x_3)) \right] = \frac{1}{4} \left[ \min(\sigma^2, \sigma^2, \sigma^2) + \max(\sigma^2, \sigma^2, \sigma^2) \right] = \frac{1}{4} [ 2 \sigma^2 ] = \frac{\sigma^2}{2} = \frac{6,5}{2} = 3,25 e. i) Verdadeiro ii) Verdadeiro iii) Falso Atividade 4 1) a) -P(14,5 \leq X \leq 16) = P \left( \frac{14,5-15}{\frac{3,5}{\sqrt{18}}} \leq z \leq \frac{16-15}{\frac{3,5}{\sqrt{18}}} \right) = -P(-0,85 \leq z \leq 1,70) = 0,30234 + 0,45543 = 0,75777 b) -P(\bar{X} > 16,1) = P \left( z > \frac{16,1-15}{\frac{3,5}{\sqrt{18}}} \right) = -P(z > 1,87) = 0,5 - 0,46926 = 0,03074 2) a) - X \sim Bin(18, 0,4) X \sim Normal(7,2 , 4,32) P(X \geq 15) = P \left( z \geq \frac{15-7,2}{\sqrt{4,32}} \right) = -P(z \geq 3,75) = 0,5 - 0,49991 = 0,00009 P(X \geq 2) = P \left( z \leq \frac{2-7,2}{\sqrt{4,32}} \right) = -P(z < -2,50) = 0,5 - 0,49379 = 0,00621 b) - X \sim Bin(50,0,2) x \sim Normal(10,8) P(X \geq 20) = P \left( z \geq \frac{20-10}{\sqrt{8}} \right) = -P(z \geq 5,66) \approx 0 P(5 \leq X \leq 10) = P \left( \frac{5-10}{\sqrt{8}} \leq z \leq \frac{10-10}{\sqrt{8}} \right) = P(1,77 \leq z \leq 0) = 0,46164 3) a) - X \sim Binomial(1000 , 0,005) \Rightarrow X \sim Normal(5, 4,975) P(X \geq 30)= P \left( z \geq \frac{30-5}{\sqrt{4,975}} \right) = P(z \geq 11,26) \approx 0 b - E(x,x₂) = 1.1·0,0025 + 1·2·0,005 + 1·3·0,01 + 1·4·0,0125 + 1·5·0,02 + 2·1·0,005 + 2·2·0,03 + 2·3·0,02 + 2·4·0,025 + 2·5·0,04 + 3·1·0,01 + 3·2·0,02 + 3·3·0,04 + 3·4·0,05 + 3·5·0,08 + 4·1·0,0125 + 4·2·0,025 + 4·3·0,05 + 4·4·0,0625 + 4·5·0,1 + 5·1·0,02 + 5·2·0,04 + 5·3·0,08 + 5·4·0,1 + 5·5·0,16 = 0,0025 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,1 + 0,03 + 0,04 + 0,12 + 0,2 + 0,4 + 0,03 + 0,12 + 0,36 + 0,6 + 3,2 + 0,05 + 0,2 + 0,6 + 1 + 2 + 0,1 + 0,4 + 1,2 + 2 + 4 = 14,8225