Atividade 3 - Introd à Estat 2022 1

SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 1. Considere a popula¸c˜ao X = {1, 2, 4, 6, 8} e AAS de tamanho 3. Iremos considerar os seguintes estimadores para a m´edia da popula¸c˜ao • m´edia amostral: X = X1 + X2 + X3 3 • m´edia amostral ponderada: Xp = X1 + 2X2 + X3 4 • ponto m´edio ∆ = min(X1, X2, X3) + max(X1, X2, X3) 2 (a) Calcule a m´edia µ e a variˆancia σ2 da popula¸c˜ao (b) Nas cinco tabelas a seguir, vocˆe tem listadas as 125 amostras. Para cada uma das amostras, calcule os valores dos estimadores. Para as 3 primeiras amostras os c´alculos j´a est˜ao feitos, a t´ıtulo de ilustra¸c˜ao. Vocˆe n˜ao precisa indicar todas as contas. (c) Obtenha a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de probabilidade, explicitando os diferentes valores de cada um dos estimadores e suas respectivas probabilidades (d) Calcule a esperan¸ca e a variˆancia de cada um dos estimadores. (e) Verifique se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ou falsas: (i) X e Xp s˜ao n˜ao-viesados (ii) X ´e mais eficiente que Xp (iii) ∆ ´e viesado. SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 1 1 1 1+1+1 3 = 1 1+2+1 4 = 1 1+1 2 = 1 1 1 2 1+1+2 3 = 4 3 1+2+2 4 = 5 4 1+2 2 = 3 2 1 1 4 1+1+4 3 = 2 1+2+4 4 = 7 4 1+4 2 = 5 2 1 1 6 1 1 8 1 2 1 1 2 2 1 2 4 1 2 6 1 2 8 1 4 1 1 4 2 1 4 4 1 4 6 1 4 8 1 6 1 1 6 2 1 6 4 1 6 6 1 6 8 1 8 1 1 8 2 1 8 4 1 8 6 1 8 8 SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 2 1 1 2 1 2 2 1 4 2 1 6 2 1 8 2 2 1 1 2 2 2 2 4 2 2 6 2 2 8 2 4 1 2 4 2 2 4 4 2 4 6 2 4 8 2 6 1 2 6 2 2 6 4 2 6 6 2 6 8 2 8 1 2 8 2 2 8 4 2 8 6 2 8 8 SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 4 1 1 4 1 2 4 1 4 4 1 6 4 1 8 4 2 1 4 2 2 4 2 4 4 2 6 4 2 8 4 4 1 4 4 2 4 4 4 4 4 6 4 4 8 4 6 1 4 6 2 4 6 4 4 6 6 4 6 8 4 8 1 4 8 2 4 8 4 4 8 6 4 8 8 SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 6 1 1 6 1 2 6 1 4 6 1 6 6 1 8 6 2 1 6 2 2 6 2 4 6 2 6 6 2 8 6 4 1 6 4 2 6 4 4 6 4 6 6 4 8 6 6 1 6 6 2 6 6 4 6 6 6 6 6 8 6 8 1 6 8 2 6 8 4 6 8 6 6 8 8 SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 3 - Entrega: 24/06/2022 Amostra Estimador X1 X2 X3 X Xp ∆ 8 1 1 8 1 2 8 1 4 8 1 6 8 1 8 8 2 1 8 2 2 8 2 4 8 2 6 8 2 8 8 4 1 8 4 2 8 4 4 8 4 6 8 4 8 8 6 1 8 6 2 8 6 4 8 6 6 8 6 8 8 8 1 8 8 2 8 8 4 8 8 6 8 8 8 Atividade 2 1) Z ~ Normal (0,1) a. P(0,5 ≤ Z ≤ 1,05) = 0,35314 b. P(Z < 0,5) = 0,5 + P(0 ≤ Z ≤ 0,5) = 0,5 + 0,19146 = 0,69146 c. P(Z < -1,57) = 0,5 - P(0 ≤ Z ≤ 1,57) = 0,5 - 0,44179 = 0,05821 d. P(-0,65 ≤ Z ≤ 0,65) = 2 \cdot P(0 ≤ Z ≤ 0,65) = 2 \cdot 0,24215 = 0,4843 e. P(0,5 ≤ Z ≤ 2) = 0,4933 = 2 - 1,97 Atividade 3: 1) X = {1, 2, 4, 6, 8} a. \mu = \frac{1+2+4+6+8}{5} = 4,2 \sigma^2 = \frac{5}{5} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{(1-4,2)^2 + (2-4,2)^2 + (4-4,2)^2 + (6-4,2)^2 + (8-4,2)^2}{5} = \frac{10,24 + 4,84 + 0,04 + 3,24 + 14,44}{5} = 6,5 b. Tabelas enviadas pelo arquivo do excel c. X: AAS de tamanho n = 3 X ~ normal (4,2 ; \frac{6,5}{3}) d. E(X) = E\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right) = \frac{1}{3} E(x_1 + x_2 + x_3) = \frac{1}{3} [E(x_1) + E(x_2) + E(x_3)] = \frac{1}{3} [\mu + \mu + \mu] = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \mu = \mu = 4,2 Var(X) = Var\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\right) = \frac{1}{9} Var(x_1 + x_2 + x_3) = \frac{1}{9} [Var(x_1) + Var(x_2) + Var(x_3)] = \frac{1}{9} (\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{9} \cdot 3\sigma^2 = \frac{1}{3} \sigma^2 = \frac{1}{3} \cdot 6,5 = \frac{6,5}{3} E(X_p) = E\left(\frac{x_1 + 2x_2 + x_3}{4}\right) = \frac{1}{4} E(x_1 + 2x_2 + x_3) = \frac{1}{4} [E(x_1) + 2E(x_2) + E(x_3)] = \frac{1}{4} [\mu + 2\mu + \mu] = \frac{1}{4} \cdot 4\mu = \mu = 4,2 Var(X_p) = Var\left(\frac{x_1 + 2x_2 + x_3}{4}\right) = \frac{1}{16} Var(x_1 + 2x_2 + x_3) = \frac{1}{16} [Var(x_1) + 4Var(x_2) + Var(x_3)] = \frac{1}{16} [\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2] = \frac{1}{16} \cdot 6 \sigma^2 = \frac{3}{8} \sigma^2 = \frac{19,5}{8} E(Δ) = E\left( \frac{\min(x_1, x_2, x_3) + \max(x_1, x_2, x_3)}{2} \right) = \frac{1}{2} E\left(\min(x_1, x_2, x_3) + \max(x_1, x_2, x_3)\right) = \frac{1}{2} \left( \min(E(x_1), E(x_2), E(x_3)) + \max(E(x_1), E(x_2), E(x_3)) \right) = \frac{1}{2} \left[ \min(\mu, \mu, \mu) + \max(\mu, \mu, \mu) \right] = \frac{1}{2} \left[ \mu + \mu \right] = \frac{1}{2} \cdot 2\mu = \mu = 4,2 \mathrm{Var}(Δ) = \mathrm{Var}\left( \frac{\min(x_1, x_2, x_3) + \max(x_1, x_2, x_3)}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( \min(\mathrm{Var}(x_1), \mathrm{Var}(x_2), \mathrm{Var}(x_3)) + \max(\mathrm{Var}(x_1), \mathrm{Var}(x_2), \mathrm{Var}(x_3)) \right) = \frac{1}{4} \left[ \min(\sigma^2, \sigma^2, \sigma^2) + \max(\sigma^2, \sigma^2, \sigma^2) \right] = \frac{1}{4} \left[ 2 \sigma^2 \right] = \frac{\sigma^2}{2} = \frac{6,5}{2} = 3,25 e. i) Verdadeiro ii) Verdadeiro iii) Falso Atividade 4 1) a. P(14,5 ≤ X ≤ 16) = P\left( \frac{14,5 - 15}{\frac{2,5}{\sqrt{18}}} \leq z \leq \frac{16 - 15}{\frac{2,5}{\sqrt{18}}} \right) = P(-0,85 ≤ z ≤ 1,70) = 0,30234 + 0,45543 = 0,75777 b. P(\overline{X} > 16,1) = P\left( z > \frac{16,1 - 15}{\frac{2,5}{\sqrt{18}}} \right) = P(z > 1,87) = 0,5 - 0,46926 = 0,03074 2) a. X \sim \mathrm{Bin}(18, 0,4) X \sim \mathrm{Normal}(7,2; 4,32) P(X ≥ 15) = P\left(z ≥ \frac{15 - 7,2}{\sqrt{4,32}}\right) = P(z ≥ 3,75) = 0,5 - 0,49991 = 0,00009 P(X ≤ 2) = P\left(z ≤ \frac{2 - 7,2}{\sqrt{4,32}}\right) = P(z < -2,50) = 0,5 - 0,49379 = 0,00621 b. X \sim \mathrm{Bin}(50, 0,2) x \sim \mathrm{Normal}(10; 8) P(X ≥ 20) = P\left(z ≥ \frac{20 - 10}{\sqrt{8}}\right) = P(z ≥ 5,66) \approx 0 P(5 ≤ X ≤ 10) = P\left(\frac{5 - 10}{\sqrt{8}} ≤ z ≤ \frac{10 - 10}{\sqrt{8}}\right) = P(-1,77 ≤ z ≤ 0) = 0,46164 3) a. X \sim \mathrm{Binomial}(1000, 0,005) \Rightarrow X \sim \mathrm{Normal}(5; 4,975) P(X ≥ 30) = P\left(z ≥ \frac{30 - 5}{\sqrt{4,975}}\right) = P(z ≥ 11,21) \approx 0 b. X ~ Binomial (1000, 0,15) => X ~ Normal (150, 127,5) P(x >= 30) = P(z >= 30 - 150 / sqrt(127,5)) = P(z >= -10,63) ≈ 1 4) 1 - l = 0,8 => l = 0,2 0,80 0,80 -1,28 1,28 0,84 0,80 0,20 0,20 0,80 -0,84 5) z_(1/2) = 1,8 l = 0,07186 1 - l = 1 - 0,07186 = 0,92814 \ Nível de confiança 6) P(\bar(x) - z_(1/2) * V / sqrt(n) <= μ <= \bar(x) + z_(1/2) * V / sqrt(n)) = 0,98 P(34,33 - 2,33 * 2/sqrt(36) <= μ <= 34,33 + 2,33 * 2/sqrt(36)) = 0,98 P(33,56 <= μ <= 35,33) = 0,98 IC_μ = [33,56 ; 35,33] 3) X ~ Binomial (20, 0,3) \ A droga não tem efeito P(X >= 4) = 1 - P(x < 4) = 1 - [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)] = 1 - [(^20 C_0)(0,3)^0 (0,9)^19 + (^20 C_1)(0,3)^1 (0,9)^19 + (^20 C_2)(0,3)^2 (0,9)^18] = 1 - [0,1216 + 0,2702 + 0,2852] = 1 - 0,6769 = 0,3231 12) a. P(X_1=1 e X_2=1) = P(X_1=1) . P(X_2=1) = 0,05 . 0,05 = 0,0025 P(X_1=1 e X_2=2) = P(X_1=1) . P(X_2=2) = 0,05 . 0,1 = 0,005 P(X_1=1 e X_2=3) = P(X_1=1) . P(X_2=3) = 0,05 . 0,2 = 0,01 P(X_1=1 e X_2=4) = P(X_1=1) . P(X_2=4) = 0,05 . 0,25 = 0,0125 P(X_1=1 e X_2=5) = P(X_1=1) . P(X_2=5) = 0,05 . 0,4 = 0,02 P(X_1=2 e X_2=1) = P(X_1=2) . P(X_2=1) = 0,1 . 0,05 = 0,005 P(X_1=2 e X_2=2) = P(X_1=2) . P(X_2=2) = 0,1 . 0,1 = 0,01 P(X_1=2 e X_2=3) = P(X_1=2) . P(X_2=3) = 0,1 . 0,2 = 0,02 P(X_1=2 e X_2=4) = P(X_1=2) . P(X_2=4) = 0,1 . 0,25 = 0,025 P(X_1=2 e X_2=5) = P(X_1=2) . P(X_2=5) = 0,1 . 0,4 = 0,04 P(X_1=3 e X_2=1) = 0,2 . 0,05 = 0,01 P(X_1=3 e X_2=2) = 0,2 . 0,1 = 0,02 P(X_1=3 e X_2=3) = 0,2 . 0,2 = 0,04 P(X_1=3 e X_2=4) = 0,2 . 0,25 = 0,05 P(X_1=3 e X_2=5) = 0,2 . 0,4 = 0,08 P(X_1=4 e X_2=1) = 0,25 . 0,05 = 0,0125 P(X_1=4 e X_2=2) = 0,25 . 0,1 = 0,025 P(X_1=4 e X_2=3) = 0,25 . 0,2 = 0,05 P(X_1=4 e X_2=4) = 0,25 . 0,25 = 0,0625 P(X_1=4 e X_2=5) = 0,25 . 0,4 = 0,1 P(X_1=5 e X_2=1) = 0,4 . 0,05 = 0,02 P(X_1=5 e X_2=2) = 0,4 . 0,1 = 0,04 P(X_1=5 e X_2=3) = 0,4 . 0,2 = 0,08 P(X_1=5 e X_2=4) = 0,4 . 0,25 = 0,1 P(X_1=5 e X_2=5) = 0,4 . 0,4 = 0,16 | 1 2 3 4 5 --------------------- X_1| 0,0025 0,005 0,01 0,0125 0,02 --------------------- --------------------- X_2| 0,005 0,01 0,02 0,025 0,04 --------------------- --------------------- X_3| 0,01 0,02 0,04 0,05 0,08 --------------------- --------------------- X_4| 0,0125 0,025 0,05 0,0625 0,1 --------------------- --------------------- X_5| 0,02 0,04 0,08 0,1 0,16 b - E(x, X_2) = 1.1 • 0,0025 + 1,2 • 0,005 + 1,3 • 0,01 + 1,4 • 0,0125 + 1,5 • 0,02 + 2,1 • 0,005 + 2,2 • 0,01 + 2,3 • 0,02 + 2,4 • 0,025 + 2,5 • 0,04 + 3,1 • 0,01 + 3,2 • 0,02 + 3,3 • 0,04 + 3,4 • 0,05 + 3,5 • 0,08 + 4,1 • 0,0125 + 4,2 • 0,025 + 4,3 • 0,05 + 4,4 • 0,0625 + 4,5 • 0,1 5,1 • 0,02 + 5,2 • 0,04 + 5,3 • 0,08 + 5,4 • 0,1 + 5,5 • 0,16 = 0,0025 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,3 + 0,03 + 0,04 + 0,12 + 0,2 + 0,4 + 0,03 + 0,12 + 0,36 + 0,6 + 1,2 + 0,05 + 0,2 + 0,6 + 1 + 2 + 0,5 + 0,4 + 1,2 + 2 + 4 = 14,8225