Lista 6 - Intervalo de Confiança - Introdução à Estatística - 2023-1

SME 0520: INFERENCIA ESTATISTICA - INTERVALO DE CONFIANGA 64 Lista de Exercicios Exercicio 1. Um levantamento feito em varios supermercados do 4,8 anos. Supondo o = 2,2 anos, construa o intervalo com 90% pats revelou que o valor médio do preco do vidro de 500 ml de de confiancga para a média populacional. azeite importado € R$ 24,5 com um desuio padrao de RS 5,45. Exercicio 13. A capacidade (em ampere-hora) de uma amostra Seleciona-se uma amostra aleatoria de 50 vidros de azeite impor- de 121 baterias foi medida. A média foi 178 e desvio padrao 14. tado de 500 ml retirados de diferentes supermercados. Qual a pro- : . 4: - . (a) Determine um intervalo de confianga de 95% para a capa- babilidade de que o prego médio dessa amostra esteja entre R$ dad sdia das bateri duzid t Stod 18,00 ¢ RS 25,008 (b) Determine um intervala de confianca de 99% para a capa %, - Exercicio 2. De um lote de produtos manufaturados, extrai-se cidade média das baterias produzidas por este método. tra aleatéria simples de 100 itens. Se 10% dos itens d : a UIA OMOSING BNCALOTG SUMpIES GC 00% ens. Se 10% dos itens do Exercicio 14. Uma amostra aleatéria de 625 donas de casa re- lote sao defeituosos, calcule a probabilidade de serem sorteados no . .. . . vela que 70% delas preferem a marca A de detergente. Construir maximo 12 itens defeituosos. . ~ um intervalo de confianga para p = proporcao das donas de casa Exercicio 3. Suponha que se saiba que para uma grande populagao que preferem A com nivel de confianca de 90%, considerando as de pessoas 0 comprimento craniano seja distribuido de uma forma abordagens otimista e conservativa. aprozimadamente normal com média igual a 185,6 mm e desvio os . . . ~ - Exercicio 15. Suponha que estejamos interessados em estimar a padrao igual a 12,7mm. Qual a probabilidade de que uma amostra . - ~ . . porcentagem de consumidores de um certo produto. Se a amostra aleatéria de 10 pessoas da populagao tenha comprimento craniano de tamanho 300 forneceu 100 individuos que consomem o dado médio acima de 190 mm? . . q . produto, determine o intervalo de confianca de p, com coeficiente Exercicio 4. Um distribuidor de sementes determina, por meio de confianca de 95%. Interprete o resultado. de testes, que 5% das sementes nao germinam. Ele vende pacotes Exercicio 16. Expresse os intervalos abaixo na forma de p+e: com 200 sementes com garantia de 90% de germinagao. Qual a (a) 0,222 <p <0,444 (b) 0,600 < p < 0,800 “7° ~ . x 12 ’ = aM“ ° , _— NM . probabilidade de que um pacote nao satisfaca a garantia! (c) [0, 206; 0, 286]. (d) [0, 287; 0, 387]. Exercicio 5. Se uma maquina produz resistores elétricos com re- Exercicio 17. Em uma pesquisa com 1002 pessoas, 701 disseram sistencta média de 40 ohms e desvio-padrao de 2 ohms, qual a@ que votaram em uma recente eleigéo presidencial. Os registros probabilidade de que uma amostra aleatoria de 36 desses resistores qa votacdo mostram que 61% dos eleitores habilitados realmente tenha uma resisténcia combinada de mais de 1458 ohms? votaram. Exercicio 6. O tempo que um bancdrio gasta com um cliente (a) Ache um intervalo com 99% de confianga para a propor¢ao é uma varidvel aleatoria com média js = 3,2 minutos e desvio- de pessoas que dizem ter votado. padrao o = 1,6 minuto. Se uma amostra aleatéria de 64 clientes (b) Os resultados da pesquisa estado de acordo com o resultado for observada, determine a probabilidade de que o tempo médio no real de votantes de 61%? Por que sim ou por que nao? baledo de atendimento sera de Exercicio 18. Certa organizagdo de um campus universitario de- (a) no maximo a7 manutos; sejava estimar a porcentagem do corpo discente que favorecesse o (b) mais de 3,5 minutos; ; seu candidato na proézima eleigao. Para isso interrogou os 200 (c) pelo menos 3,2 minutos, mas menos que 3,4 minutos. primeiros estudantes, que se dirigiam as aulas das 8h, sobre suas Exercicio 7. Ache o valor critico Za/2 que corresponde ao nivel opinides. Descobriram que 30% deles favoreciam seu candidato. de confianca dado por: Se a estimativa fosse vdlida, qual seria o intervalo com 96% de (a) 99%. (b) 90%. (c) 98%. (d) 99,5%. confianga para p? Exercicio 8. Ache o valor critico ria que corresponde ao nivel Exercicio 19. Suponha que uma associacao de defesa de consu- . midores deseja estimar o consumo médio um novo modelo de au- de confianga e tamanho da amostra dados por: . ; ‘ _ (a) 99% en=31. (b) 909% en=4l. tomovel que sera lancado no mercado. Para fazer esta verificagao, (c) 98% en=121. (d) 99,8% en =36. @ associacdo observa uma amostra de 10 veiculos, conduzidos por .. / . motoristas treinados, num percurso de 100 milhas. O consumo, wna Na, 2) Caloule oO iniervalo de ronfianca para a média de em, gal6es, foi registrado com os seguintes resultados: uma N(p,o0~) em cada um dos casos abaixo: n n (a) Z=170cm; n = 100; o = 15cm; a = 5%. S > ai = 43, 28 S| x7 = 188, 4886. (b) & = 165cm; n = 184; o = 30cm; a = 15%. i=l i=l Exercicio 10. De 50.000 vdlvulas fabricadas por uma companhia Assumindo que estes valores representam uma amostra aleatoria retira-se uma amostra de 400 vdluulas e obtém-se a vida média de de uma varidvel normalmente distribuida com média pu e varidncia 800 horas e o desvio padrao de 100 horas. oO. 5 (a) Qual o intervalo de confianga de 99% para a vida média (a) Calcule estimativas pontuais para 4 ¢ 0”. 9 da populacéo? (b) Calcule um intervalo de 75% de confianga para o~. (b) Com que confianga dir-se-ia que a vida média €800+6,41? Exercicio 20. Considere a amostra: Exercicio 11. A tabela abaixo apresenta o resultado de uma amos- 9 8 12 79 6 11 6 10 9, tra aleatoria de velocidades de motoristas multados em uma parte extratda de uma populagdo normal. da rodovia interestadual, em Connecticut: . . (a) Construir o intervalo de confianga de 95% para pw. Varidvel | n Média D. padréo IC (95%) (b) Construir o intervalo de confianga de 90% para o°. Velocidade | 81 67,3849 83,3498 [66,6554; 68,1144] Exercicio 21. Sendo X uma véridvel aleatéria tal que X ~ N(1,07) (a) Identifique o valor da estimativa pontual da média popu- em que pb e a” sdo desconhecidos. Uma amostra de tamanho 15 lacional p. forneceu os valores: (b) Ezpresse o intervalo de confianga no formato E+. n ny x; = 8,7 ui = 27,3. Exercicio 12. Em um estudo sobre o tempo que os estudantes » » gastam para obterem o grau de bacharel, 80 estudantes foram se- . : 3 lecionados aleatoriamente e verificou-se que tinha uma média de Determinar um intervalo com 95% de confianga para a”. X̅~N(μ; σ²/n) X̅~N(24,5; 5,45²/50) No R: 1. pnorm(q = 25, mean = 24.5, sd = 5.45/sqrt(50)) - 2. pnorm(q = 18, mean = 24.5, sd = 5.45/sqrt(50)) 3. 4. [1] 0.7417409 Assim, a probabilidade de que o preço médio da amostra esteja entre de que o preço médio da amostra esteja entre R$18,00 e R$25,00 é de aproximadamente 74,17%. A distribuição da resistência combinada (X) é: X~N(n ∙ 𝜇; n ∙ 𝜎²) X~N(36 ∙ 46; 36 ∙ 2²) No R: 1. 1-pnorm(q = 1458, mean = 40*36, sd = sqrt(36*2^2)) 2. [1] 0.0668072 Assim, a probabilidade de que a resistência combinada seja superior a 1458 ohms é de aproximadamente 6,68%. No R: 1. 4.8+c(-1,1)*qnorm(0.95)*2.2/sqrt(80) 2. [1] 4.39542 5.20458 Assim, temos que: IC(μ, 90%) = [4,3954 anos; 5,2046 anos] a) No R: 1. 178+c(-1,1)*qt(0.975, 121-1)*14/sqrt(121) 2. [1] 175.4801 180.5199 Assim, temos que: IC(μ, 95%) = [175,48 ampere-hora; 180,52 ampere-hora] b) No R: 1. 178+c(-1,1)*qt(0.995, 121-1)*14/sqrt(121) 2. [1] 174.6687 181.3313 Assim, temos que: IC(μ, 95%) = [174,67 ampere-hora; 181,33 ampere-hora] No R: 1. pchap = 100/300 2. pchap + c(-1,1)*qnorm(.9750)*sqrt(pchap*(1-pchap)/300) 3. [1] 0.2799899 0.3866768 Assim, temos que: IC(p, 95%) = [0,2800; 0,3867] IC(p, 95%) = [28,00%; 38,67%] Com 95% de confiança, a real proporção de consumidores desse produto na população está entre 28,00% e 38,67%. Assim, se esse processo de amostragem fosse repetido várias vezes, em 95% dessas repetições o intervalo de confiança calculado conteria a proporção verdadeira da população. a) No R: 1. dados <- c(9,8,12,7,9,6,11,6,10,9) 2. xb <- mean(dados) 3. s2 <- var(dados) 4. 5. xb + c(-1,1)*qt(0.975,10-1)*sqrt(s2/10) 6. [1] 7.2673 10.1327 IC(μ, 95%) = [7,2673; 10,1327] b) No R: 1. (10-1)*s2/qchisq(0.95,10-1) 2. [1] 2.133699 3. 4. (10-1)*s2/qchisq(0.05,10-1) 5. [1] 10.85677 IC(σ², 90%) = [2,1337; 10,8568]