Atividade 4 - Introd à Estat 2022 1

P(X_1=3 e X_2=1) = 0,2 . 0,05 = 0,01 P(X_1=3 e X_2=2) = 0,2 . 0,1 = 0,02 P(X_1=3 e X_2=3) = 0,2 . 0,2 = 0,04 P(X_1=3 e X_2=4) = 0,2 . 0,25 = 0,05 P(X_1=3 e X_2=5) = 0,2 . 0,4 = 0,08 P(X_1=4 e X_2=1) = 0,25 . 0,005 = 0,0125 P(X_1=4 e X_2=2) = 0,25 . 0,1 = 0,025 P(X_1=4 e X_2=3) = 0,25 . 0,2 = 0,05 P(X_1=4 e X_2=4) = 0,25 . 0,25 = 0,0625 P(X_1=4 e X_2=5) = 0,25 . 0,4 = 0,1 P(X_1=5 e X_2=1) = 0,4 . 0,05 = 0,02 P(X_1=5 e X_2=2) = 0,4 . 0,1 = 0,04 P(X_1=5 e X_2=3) = 0,4 . 0,2 = 0,08 P(X_1=5 e X_2=4) = 0,4 . 0,25 = 0,1 P(X_1=5 e X_2=5) = 0,4 . 0,4 = 0,16 | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|------|------|------|------|----| | 1 | 0,0025 | 0,005 | 0,01 | 0,0125| 0,02| | 2 | 0,005 | 0,01 | 0,02 | 0,025 | 0,04| | 3 | 0,01 | 0,02 | 0,04 | 0,05 | 0,08| | 4 | 0,0125 | 0,025 | 0,05 | 0,0625| 0,1 | | 5 | 0,02 | 0,04 | 0,08 | 0,1 | 0,16| b - E(x_1,x_2) = 1.1 . 0,0025 + 1.2 . 0,005 + 1.3 . 0,01 + 1.4 . 0,0125 + 1.5 . 0,02 + 2.1 . 0,005 + 2.2 . 0,01 + 2.3 . 0,02 + 2.4 . 0,025 + 2.5 . 0,04 + 3.1 . 0,01 + 3.2 . 0,02 + 3.3 . 0,04 + 3.4 . 0,05 + 3.5 . 0,08 + 4.1 . 0,0125 + 4.2 . 0,025 + 4.3 . 0,05 + 4.4 . 0,0625 + 4.5 . 0,1 + 5.1 . 0,02 + 5.2 . 0,04 + 5.3 . 0,08 + 5.4 . 0,1 + 5.5 . 0,16 = 0,0025 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,1 + 0,03 + 0,04 + 0,12 + 0,2 + 0,4 + 0,03 + 0,12 + 0,36 + 0,6 + 1,2 + 0,05 + 0,2 + 0,6 + 1 + 2 + 0,1 + 0,4 + 1,2 + 2 + 4 = 14,8225 e. P(0 ≤ z ≤ z) = 0,4753 Atividade 3: 1) X = {1,2,4,6,8} a: μ = (1+2+4+6+8) / 5 = 4,2 σ² = Σ (X_i - X̄)² / 5 = ( (1-4,2)² + (2-4,2)² + (4-4,2)² + (6-4,2)² + (8-4,2)² ) / 5 = (10,24 + 4,84 + 0,04 + 3,24 + 14,44) / 5 = 6,5 b: Tabelas enviadas pelo arquivo do excel c: X: AAS de tamanho n=3 x ~ normal (4,2 ; 6,5/3) d. E(X) = E((x1 + x2 + x3)/3) = 1/3 E(x1 + x2 + x3) = 1/3 [E(x1) + E(x2) + E(x3)] = 1/3 [μ + μ + μ] = 1/3 . 3μ = μ = 4,2 Var(X) = Var((x1 + x2 + x3)/3) = 1/9 Var(x1 + x2 + x3) = 1/9 (Var(x1) + Var(x2) + Var(x3)) = 1/9 (σ^2 + σ^2 + σ^2) = 1/9 . 3σ^2 = 1/3 σ^2 = 1/3 . 6,5 = 6,5/3 E(Xp) = E((x1 + 2x2 + x3)/4) = 1/4 E(x1 + 2x2 + x3) = 1/4 [E(x1) + 2E(x2) + E(x3)] = 1/4 [μ + 2μ + μ] = 1/4 . 4μ = μ = 4,2 Var(Xp) = Var((x1 + 2x2 + x3)/4) = 1/16 Var(x1 + 2x2 + x3) = 1/16 [Var(x1) + 4Var(x2) + Var(x3)] = 1/16 [σ^2 + 4σ^2 + σ^2] = 1/16 . 6σ^2 = 3/8 σ^2 = 19,5/8 E(Δ) = E((min(x1, x2, x3) + max(x1, x2, x3))/2) = 1/2 E(min(x1, x2, x3) + max(x1, x2, x3)) = 1/2 [min(E(x1), E(x2), E(x3)) + max(E(x1), E(x2), E(x3))] = 1/2 [min(μ, μ, μ) + max(μ, μ, μ)] = 1/2 [μ + μ] = 1/2 . 2μ = μ = 4,2 Var(Δ) = Var((min(x1, x2, x3) + max(x1, x2, x3))/2) = 1/4 [min(Var(x1), Var(x2), Var(x3)) + max(Var(x1), Var(x2), Var(x3))] = 1/4 [min(σ^2, σ^2, σ^2) + max(σ^2, σ^2, σ^2)] = 1/4 [2σ^2] = σ^2/2 = 6,5/2 = 3,25 e. i) Verdadeiro ii) Verdadeiro iii) Falso Atividade 4 1) a. P(14,5 <= X <= 16) = P((14,5-15)/(2,5/√18) <= Z <= (16-15)/(2,5/√18)) = P(-0,85 <= Z <= 1,70) = 0,30234 + 0,45543 = 0,75777 b. P(X̄ > 16,1) = P(Z > (16,1-15)/(2,5/√18)) = P(Z > 1,87) = 0,5 - 0,46926 = 0,03074 2) a. X ~ Bin(18; 0,4) X ~ Normal (7,2; 4,32) P(X ≥ 15) = P(Z ≥ \frac{15 - 7,2}{\sqrt{4,32}}) - P(Z ≥ 3,75) = 0,5 - 0,49994 = 0,00009 P(X ≤ 2) = P(Z ≤ \frac{2 - 7,2}{\sqrt{4,32}}) = P(Z ≤ -2,50) = 0,5 - 0,49379 = 0,00621 b. X ~ Bin(50; 0,2) x ~ Normal (10; 8) P(X ≥ 26) = P(Z ≥ \frac{26 - 10}{\sqrt{8}}) = P(Z ≥ 5,66) ≈ 0 P(5 ≤ X ≤ 10) = P(\frac{5 - 10}{\sqrt{8}} ≤ Z ≤ \frac{10 - 10}{\sqrt{8}}) = P(-1,77 ≤ Z ≤ 0) = 0,46164 3) a. X ~ Binomial (1000; 0,005) ⇒ X ~ Normal (5; 4,975) P(X ≥ 30) = P(Z ≥ \frac{30 - 5}{\sqrt{4,975}}) = P(Z ≥ 11,26) ≈ 0 b. X ~ Binomial (1000; 0,15) ⇒ X ~ Normal (150; 127,5) P(X ≥ 30) = P(Z ≥ \frac{30 - 150}{\sqrt{127,5}}) = P(Z ≥ -10,63) ≈ 1 4) 1 - \lambda = 0,8 ⇒ \lambda = 0,2 5) Z_{\frac{\alpha}{2}} = 1,8 \lambda = 0,07186 1 - \lambda = 1 - 0,07186 = 0,92814 ✓ Nivel de confiança 6) P(\bar{X} - Z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\nu}{\sqrt{n}} ≤ μ ≤ \bar{X} + Z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\nu}{\sqrt{n}}) = 0,98 P(34,33 - 2,33 \frac{2}{\sqrt{36}} ≤ μ ≤ 34,33 + 2,33 \frac{2}{\sqrt{36}}) = 0,98 P(33,56 ≤ μ ≤ 35,33) = 0,98 JC_{μ} = [33,56 ; 35,33] 11) X ~ Binomial(20; 0,1) A droga não tem efeito P(X ≥ 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] = 1 - [(\binom{20}{0} (0,1)^0 (0,9)^{20}) + (\binom{20}{1} (0,1)^1 (0,9)^{19}) + (\binom{20}{2} (0,1)^2 (0,9)^{18}) + (\binom{20}{3} (0,1)^3 (0,9)^{17})] = 1 - [0,1216 + 0,2702 + 0,2852] = 1 - 0,6769 = 0,3231 12) a. P(X_1 = 1 e X_2 = 1) = P(X_1 = 1) ⋅ P(X_2 = 1) = 0,05 ⋅ 0,05 = 0,0025 P(X_1 = 1 e X_2 = 2) = P(X_1 = 1) ⋅ P(X_2 = 2) = 0,05 ⋅ 0,1 = 0,005 P(X_1 = 1 e X_2 = 3) = P(X_1 = 1) ⋅ P(X_2 = 3) = 0,05 ⋅ 0,2 = 0,01 P(X_1 = 1 e X_2 = 4) = P(X_1 = 1) ⋅ P(X_2 = 4) = 0,05 ⋅ 0,25 = 0,0125 P(X_1 = 1 e X_2 = 5) = P(X_1 = 1) ⋅ P(X_2 = 5) = 0,05 ⋅ 0,4 = 0,02 P(X_1 = 2 e X_2 = 1) = P(X_1 = 2) ⋅ P(X_2 = 1) = 0,1 ⋅ 0,05 = 0,005 P(X_1 = 2 e X_2 = 2) = P(X_1 = 2) ⋅ P(X_2 = 2) = 0,1 ⋅ 0,1 = 0,01 P(X_1 = 2 e X_2 = 3) = P(X_1 = 2) ⋅ P(X_2 = 3) = 0,1 ⋅ 0,2 = 0,02 P(X_1 = 2 e X_2 = 4) = P(X_1 = 2) ⋅ P(X_2 = 4) = 0,1 ⋅ 0,25 = 0,025 P(X_1 = 2 e X_2 = 5) = P(X_1 = 2) ⋅ P(X_2 = 5) = 0,1 ⋅ 0,4 = 0,04