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b. X ~ Binomial (1000, 0.15) => X ~ Normal (150, 127.5) P(x >= 30) = P(z >= \frac{30 - 150}{\sqrt{127.5}}) = P(z >= -10.63) \approx 1 4) 1 - \lambda = 0.8 => \lambda = 0.2 ---------------- | | 0.80 0.10 0.10 -1.28 1.28 ---------------- | | 0.80 0.20 -0.84 5) z_{1/2} = 1.8 ---------------- | /.| | /.| | /. | -1.8 1.8 \lambda = 0.07186 1 - \lambda = 1 - 0.07186 = 0.92814 <-Nivel de confianza> 6) P(\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{v}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{v}{\sqrt{n}}) = 0.98 P(34.33 - 2.33 \frac{2}{\sqrt{36}} \leq \mu \leq 34.33 + 2.53 \frac{2}{\sqrt{36}}) = 0.98 P(33.56 \leq \mu \leq 35.1) = 0.98 JC_{\mu} = [33.56 , 35.1] 3) X ~ Binomial (20, 0.1) <- A droga não tem efeito> P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] = 1 - [\binom{20}{0} (0.1)^0 (0.9)^{20} + \binom{20}{1} (0.1)^1 (0.9)^{19} + \binom{20}{2} (0.1)^2 (0.9)^{18} + \binom{20}{3} (0.1)^3 (0.9)^{17}] = 1 - [0.1216 + 0.2702 + 0.2852] = 1 - 0.6769 = 0.3231 12) a. P(X_1 = j e X_2 = j) = P(X_1 = j) * P(X_2 = j) = 0.05 * 0.05 = 0.0025 P(X_1 = j e X_2 = 2) = P(X_1 = j) * P(X_2 = 2) = 0.05 * 0.1 = 0.005 P(X_1 = j e X_2 = 3) = P(X_1 = j) * P(X_2 = 3) = 0.05 * 0.2 = 0.01 P(X_1 = j e X_2 = 4) = P(X_1 = j) * P(X_2 = 4) = 0.05 * 0.25 = 0.0125 P(X_1 = j e X_2 = 5) = P(X_1 = j) * P(X_2 = 5) = 0.05 * 0.4 = 0.02 P(X_1 = 2 e X_2 = j) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = j) = 0.1 * 0.05 = 0.005 P(X_1 = 2 e X_2 = 2) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = 2) = 0.1 * 0.1 = 0.01 P(X_1 = 2 e X_2 = 3) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = 3) = 0.1 * 0.2 = 0.02 P(X_1 = 2 e X_2 = 4) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = 4) = 0.1 * 0.25 = 0.025 P(X_1 = 2 e X_2 = 5) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = 5) = 0.1 * 0.4 = 0.04 2) a. X ~ Bin (18, 0.4) X ~ Normal (7.2, 4.32) P(X >= 15) = P(z >= \frac{15 - 7.2}{\sqrt{4.32}}) = P(z >= 3.75) = 0.5 - 0.49994 = 0.00006 P(X < 2) = P(z < \frac{2 - 7.2}{\sqrt{4.32}}) = P(z < -2.50) = 0.5 - 0.49379 = 0.00621 b. X ~ Bin (50, 0.2) X ~ Normal (10, 8) P(X >= 20) = P(z >= \frac{20 - 10}{\sqrt{8}}) = P(z >= 5.66) \approx 0 P(5 <= X < 10) = P(\frac{5 - 10}{\sqrt{8}} <= z <= \frac{10 - 10}{\sqrt{8}}) = P(-1.77 <= z <= 0) = 0.46164 3) a. X ~ Binomial (1000, 0.005) => X ~ Normal (5; 4.975) P(X >= 30) = P(z >= \frac{30 - 5}{\sqrt{4.975}})= P(z >= 11.26) \approx 0 d. E(X) = E\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}\right) = \frac{1}{3} E(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{3} [E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{3} [\mu + \mu + \mu] = \frac{1}{3} \cdot 3\mu = \mu = 4,2 Var(X) = Var\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}\right) = \frac{1}{9} Var(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{9} (Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{1}{9} (\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{9} \cdot 3\sigma^2 = \frac{1}{3} \sigma^2 = \frac{1}{3} \cdot 6,5 = \frac{6,5}{3} E(X_p) = E\left(\frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4}\right) = \frac{1}{4} E(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{4} [E(X_1) + 2E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{4} [\mu + 2\mu + \mu] = \frac{1}{4} \cdot 4\mu = \mu = 4,2 Var(X_p) = Var\left(\frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4}\right) = \frac{1}{16} Var(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{16} (Var(X_1) + 4Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{1}{16} [\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2] = \frac{1}{16} \cdot 6\sigma^2 = \frac{3}{8} \sigma^2 = \frac{3}{8} \cdot 6,5 = \frac{19,5}{8} P(X_1=3 e X_2=1) = 0,2·0,05=0,01 P(X_1=3 e X_2=2) = 0,2·0,1=0,02 P(X_1=3 e X_2=3) = 0,2·0,2=0,04 P(X_1=3 e X_2=4) = 0,2·0,25=0,05 P(X_1=3 e X_2=5) = 0,2·0,4=0,08 P(X_1=4 e X_2=1) = 0,25·0,005=0,0125 P(X_1=4 e X_2=2) = 0,25·0,1=0,025 P(X_1=4 e X_2=3) = 0,25·0,2=0,05 P(X_1=4 e X_2=4) = 0,25·0,25=0,0625 P(X_1=4 e X_2=5) = 0,25·0,4=0,1 P(X_1=5 e X_2=1) = 0,4·0,05=0,02 P(X_1=5 e X_2=2) = 0,4·0,1=0,04 P(X_1=5 e X_2=3) = 0,4·0,2=0,08 P(X_1=5 e X_2=4) = 0,4·0,25=0,1 P(X_1=5 e X_2=5) = 0,4·0,4=0,16 X_1 1 2 3 4 5 X_2 |------|------|------|------| 1 |0,025|0,01 |0,02 |0,0125|0,02 | 2 |0,005|0,01 |0,02 |0,025 |0,04 | 3 |0,01 |0,02 |0,04 |0,05 |0,08 | 4 |0,025|0,025|0,05 |0,0625|0,1 | 5 |0,02 |0,04 |0,08 |0,1 |0,16 | b - E(X_1,X_2)=1·1·0,0025+1·2·0,005+1·3·0,01+1·4·0,0125+1·5·0,02+ 2·1·0,005+2·2·0,01+2·3·0,02+2·4·0,025+2·5·0,04+ 3·1·0,01+3·2·0,02+3·3·0,04+3·4·0,05+3·5·0,08+ 4·1·0,0125+4·2·0,025+4·3·0,05+4·4·0,0625+4·5·0,1+ 5·1·0,02+5·2·0,04+5·3·0,08+5·4·0,1+5·5·0,16 =0,0025+0,01+0,03+0,05+0,1+0,03+0,04+0,12+0,2+0,4+ 0,4+0,03+0,12+0,36+0,6+3,2+0,05+0,2+0,6+1+ 0,1+0,4+1,2+2+4 =14,8225
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b. X ~ Binomial (1000, 0.15) => X ~ Normal (150, 127.5) P(x >= 30) = P(z >= \frac{30 - 150}{\sqrt{127.5}}) = P(z >= -10.63) \approx 1 4) 1 - \lambda = 0.8 => \lambda = 0.2 ---------------- | | 0.80 0.10 0.10 -1.28 1.28 ---------------- | | 0.80 0.20 -0.84 5) z_{1/2} = 1.8 ---------------- | /.| | /.| | /. | -1.8 1.8 \lambda = 0.07186 1 - \lambda = 1 - 0.07186 = 0.92814 <-Nivel de confianza> 6) P(\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{v}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{v}{\sqrt{n}}) = 0.98 P(34.33 - 2.33 \frac{2}{\sqrt{36}} \leq \mu \leq 34.33 + 2.53 \frac{2}{\sqrt{36}}) = 0.98 P(33.56 \leq \mu \leq 35.1) = 0.98 JC_{\mu} = [33.56 , 35.1] 3) X ~ Binomial (20, 0.1) <- A droga não tem efeito> P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] = 1 - [\binom{20}{0} (0.1)^0 (0.9)^{20} + \binom{20}{1} (0.1)^1 (0.9)^{19} + \binom{20}{2} (0.1)^2 (0.9)^{18} + \binom{20}{3} (0.1)^3 (0.9)^{17}] = 1 - [0.1216 + 0.2702 + 0.2852] = 1 - 0.6769 = 0.3231 12) a. P(X_1 = j e X_2 = j) = P(X_1 = j) * P(X_2 = j) = 0.05 * 0.05 = 0.0025 P(X_1 = j e X_2 = 2) = P(X_1 = j) * P(X_2 = 2) = 0.05 * 0.1 = 0.005 P(X_1 = j e X_2 = 3) = P(X_1 = j) * P(X_2 = 3) = 0.05 * 0.2 = 0.01 P(X_1 = j e X_2 = 4) = P(X_1 = j) * P(X_2 = 4) = 0.05 * 0.25 = 0.0125 P(X_1 = j e X_2 = 5) = P(X_1 = j) * P(X_2 = 5) = 0.05 * 0.4 = 0.02 P(X_1 = 2 e X_2 = j) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = j) = 0.1 * 0.05 = 0.005 P(X_1 = 2 e X_2 = 2) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = 2) = 0.1 * 0.1 = 0.01 P(X_1 = 2 e X_2 = 3) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = 3) = 0.1 * 0.2 = 0.02 P(X_1 = 2 e X_2 = 4) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = 4) = 0.1 * 0.25 = 0.025 P(X_1 = 2 e X_2 = 5) = P(X_1 = 2) * P(X_2 = 5) = 0.1 * 0.4 = 0.04 2) a. X ~ Bin (18, 0.4) X ~ Normal (7.2, 4.32) P(X >= 15) = P(z >= \frac{15 - 7.2}{\sqrt{4.32}}) = P(z >= 3.75) = 0.5 - 0.49994 = 0.00006 P(X < 2) = P(z < \frac{2 - 7.2}{\sqrt{4.32}}) = P(z < -2.50) = 0.5 - 0.49379 = 0.00621 b. X ~ Bin (50, 0.2) X ~ Normal (10, 8) P(X >= 20) = P(z >= \frac{20 - 10}{\sqrt{8}}) = P(z >= 5.66) \approx 0 P(5 <= X < 10) = P(\frac{5 - 10}{\sqrt{8}} <= z <= \frac{10 - 10}{\sqrt{8}}) = P(-1.77 <= z <= 0) = 0.46164 3) a. X ~ Binomial (1000, 0.005) => X ~ Normal (5; 4.975) P(X >= 30) = P(z >= \frac{30 - 5}{\sqrt{4.975}})= P(z >= 11.26) \approx 0 d. E(X) = E\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}\right) = \frac{1}{3} E(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{3} [E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{3} [\mu + \mu + \mu] = \frac{1}{3} \cdot 3\mu = \mu = 4,2 Var(X) = Var\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}\right) = \frac{1}{9} Var(X_1 + X_2 + X_3) = \frac{1}{9} (Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{1}{9} (\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2) = \frac{1}{9} \cdot 3\sigma^2 = \frac{1}{3} \sigma^2 = \frac{1}{3} \cdot 6,5 = \frac{6,5}{3} E(X_p) = E\left(\frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4}\right) = \frac{1}{4} E(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{4} [E(X_1) + 2E(X_2) + E(X_3)] = \frac{1}{4} [\mu + 2\mu + \mu] = \frac{1}{4} \cdot 4\mu = \mu = 4,2 Var(X_p) = Var\left(\frac{X_1 + 2X_2 + X_3}{4}\right) = \frac{1}{16} Var(X_1 + 2X_2 + X_3) = \frac{1}{16} (Var(X_1) + 4Var(X_2) + Var(X_3)) = \frac{1}{16} [\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2] = \frac{1}{16} \cdot 6\sigma^2 = \frac{3}{8} \sigma^2 = \frac{3}{8} \cdot 6,5 = \frac{19,5}{8} P(X_1=3 e X_2=1) = 0,2·0,05=0,01 P(X_1=3 e X_2=2) = 0,2·0,1=0,02 P(X_1=3 e X_2=3) = 0,2·0,2=0,04 P(X_1=3 e X_2=4) = 0,2·0,25=0,05 P(X_1=3 e X_2=5) = 0,2·0,4=0,08 P(X_1=4 e X_2=1) = 0,25·0,005=0,0125 P(X_1=4 e X_2=2) = 0,25·0,1=0,025 P(X_1=4 e X_2=3) = 0,25·0,2=0,05 P(X_1=4 e X_2=4) = 0,25·0,25=0,0625 P(X_1=4 e X_2=5) = 0,25·0,4=0,1 P(X_1=5 e X_2=1) = 0,4·0,05=0,02 P(X_1=5 e X_2=2) = 0,4·0,1=0,04 P(X_1=5 e X_2=3) = 0,4·0,2=0,08 P(X_1=5 e X_2=4) = 0,4·0,25=0,1 P(X_1=5 e X_2=5) = 0,4·0,4=0,16 X_1 1 2 3 4 5 X_2 |------|------|------|------| 1 |0,025|0,01 |0,02 |0,0125|0,02 | 2 |0,005|0,01 |0,02 |0,025 |0,04 | 3 |0,01 |0,02 |0,04 |0,05 |0,08 | 4 |0,025|0,025|0,05 |0,0625|0,1 | 5 |0,02 |0,04 |0,08 |0,1 |0,16 | b - E(X_1,X_2)=1·1·0,0025+1·2·0,005+1·3·0,01+1·4·0,0125+1·5·0,02+ 2·1·0,005+2·2·0,01+2·3·0,02+2·4·0,025+2·5·0,04+ 3·1·0,01+3·2·0,02+3·3·0,04+3·4·0,05+3·5·0,08+ 4·1·0,0125+4·2·0,025+4·3·0,05+4·4·0,0625+4·5·0,1+ 5·1·0,02+5·2·0,04+5·3·0,08+5·4·0,1+5·5·0,16 =0,0025+0,01+0,03+0,05+0,1+0,03+0,04+0,12+0,2+0,4+ 0,4+0,03+0,12+0,36+0,6+3,2+0,05+0,2+0,6+1+ 0,1+0,4+1,2+2+4 =14,8225