Atividade 2 - Introd à Estat 2022 1

SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 2 - Entrega: 12/05/2022 1. Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule (a) P(0 ≤ Z ≤ 1, 65). (b) P(Z ≤ 0, 5). (c) P(Z < −1, 57). (d) P(−0, 65 ≤ Z ≤ 0, 65). (e) Obtenha z tal que P(0 ≤ Z ≤ z) = 0, 4753. Atividade 2 a) P(0 ≤ Z ≤ 1,05) = 0,35314 b) P(Z < 0,5) = 0,5 + P(0 ≤ Z ≤ 0,5) = 0,5 + 0,19146 = 0,69146 c) P(Z < -1,57) = 0,5 - P(-0 ≤ Z ≤ 1,57) = 0,5 - 0,44179 = 0,05821 d) P(-0,65 ≤ Z ≤ 0,65) = 2 P(0 ≤ Z < 0,65) = 2 0,24215 = 0,4843 e) P(0 ≤ Z ≤ z) = 0,4953 z = 1,97 e) P(0 ≤ Z ≤ z) = 0,4953 z = 1,97 Atividade 3 1) X = {1, 2, 4, 6, 8} a) μ = (1 + 2 + 4 + 6 + 8) / 5 = 4,2 σ² = Σ (xᵢ - x̄)² / 5 = (1 - 4,2)² + (2 - 4,2)² + (4 - 4,2)² + (6 - 4,2)² + (8 - 4,2)² = (10,24 + 4,84 + 0,04 + 3,24 + 14,44) / 5 = 6,5 b) Tabelas enviadas pelo arquivo do excel c) X: AAS de tamanho n = 3 x ~ Normal (4,2 ; 6,5/3) E(Δ) = E\left( \frac{\min(x_1,x_2,x_3) + \max(x_1,x_2,x_3)}{2} \right) = \frac{1}{2}E(\min(x_1,x_2,x_3)+ \max(x_1,x_2,x_3)) = \frac{1}{2} \left[ \min(E(x_1),E(x_2),E(x_3)) + \max(E(x_1),E(x_2),E(x_3)) \right] = \frac{1}{2} \left[ \min(\mu,\mu,\mu) + \max(\mu,\mu,\mu) \right] = \frac{1}{2} [\mu + \mu] = \frac{1}{2} \cdot 2\mu = \mu = \mu, 2 Var(Δ) = Var\left( \frac{\min(x_1,x_2,x_3) + \max(x_1,x_2,x_3)}{2} \right) = \frac{1}{4} \left[ \min(Var(x_1),Var(x_2),Var(x_3))+ \max(Var(x_1),Var(x_2),Var(x_3)) \right] = \frac{1}{4} \left[ \min(\sigma^2,\sigma^2,\sigma^2) + \max(\sigma^2,\sigma^2,\sigma^2) \right] = \frac{1}{4} \left[ 2\sigma^2 \right] = \frac{\sigma^2}{2} = \frac{6,5}{2} = 3,25 e. i) Verdadeiro ii) Verdadeiro iii) Falso Atividade 4 1) a. P(14,5 \leq X \leq 16) = P\left( \frac{14,5-15}{\frac{2,5}{\sqrt{18}}} \leq Z \leq \frac{16-15}{\frac{2,5}{\sqrt{18}}} \right) = P(-0,85 \leq Z \leq 1,70) = 0,30234 + 0,45543 = 0,75777 b. P(\bar{X} > 16,1) = P\left( Z > \frac{16,1-15}{\frac{2,5}{\sqrt{18}}} \right) = P(Z > 1,87) = 0,5 - 0,46926 = 0,03074 2) a. X \sim Bin(18,0,4) X \sim Normal\left(7,2, 4,32 \right) P(X \geq 15) = P\left( Z \geq \frac{15-7,2}{\sqrt{4,32}} \right) = P(Z \geq 3,75) = 0,5 - 0,49991 ≈ 0,00009 P(X \leq 2) = P\left( Z \leq \frac{2-7,2}{\sqrt{4,32}} \right) = P(Z \leq -2,50) = 0,5 - 0,49379 = 0,00621 b. X \sim Bin(50;0,2) x \sim Normal\left(10,8 \right) P(X \geq 26)=P\left( Z \geq \frac{26-10}{\sqrt{8}} \right) = P(Z \geq 5,66) ≈ 0 P(5 \leq X \leq 10) = P\left( \frac{5-10}{\sqrt{8}} \leq Z \leq \frac{10-10}{\sqrt{8}} \right) = P(-1,77 \leq Z \leq 0) = 0,46164 3) a. X \sim Binomial\left(1000,0,005\right) \Rightarrow X \sim Normal\left(5, 4,975 \right) P(X \geq 30) = P\left( Z \geq \frac{30-5}{\sqrt{4,975}} \right) = P(Z \geq 11,21) ≈ 0 b. X ~ Binomial (1000, 0,15) => X ~ Normal (150, 127,5) P(x >= 30) = P(z >= \frac{30 - 150}{\sqrt{127,5}}) = P(z >= -10,63) \approx 1 4) 1 - \alpha = 0,8 => \alpha = 0,2 [Normal distribution graphs with markings at -1.28, 1.28, and other values] 5) z_{\alpha/2} = 1,8 \alpha = 0,07186 1 - \alpha = 1 - 0,07186 = 0,92814 <- Nível de confiança 6) P(\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = 0,98 P(34,33 - 2,33 \frac{2}{\sqrt{36}} \leq \mu \leq 34,33 + 2,33 \frac{2}{\sqrt{36}}) = 0,98 P(33,56 \leq \mu \leq 35,33) = 0,98 JC_\mu = [33,56 ; 35,33] 11) X ~ Binomial (20, 0,3) \rightarrow A droga não tem efeito P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] = 1 - \left[\binom{20}{0} (0,3)^0 (0,7)^{20} + \binom{20}{1} (0,3)^1 (0,7)^{19} + \binom{20}{2} (0,3)^2 (0,7)^{18} + \binom{20}{3} (0,3)^3 (0,7)^{17}\right] = 1 - [0,1216 + 0,2702 + 0,2852] = 1 - 0,6769 = 0,3231 12) a. P(X_1 = j e X_2 = j) = P(X_1 = j) \cdot P(X_2 = j) = 0,05 \cdot 0,05 = 0,0025 P(X_1 = j e X_2 = 2) = P(X_1 = j) \cdot P(X_2 = 2) = 0,05 \cdot 0,1 = 0,005 P(X_1 = j e X_2 = 3) = P(X_1 = j) \cdot P(X_2 = 3) = 0,05 \cdot 0,2 = 0,01 P(X_1 = j e X_2 = 4) = P(X_1 = j) \cdot P(X_2 = 4) = 0,05 \cdot 0,25 = 0,0125 P(X_1 = j e X_2 = 5) = P(X_1 = j) \cdot P(X_2 = 5) = 0,05 \cdot 0,4 = 0,02 [Further calculations for different X_1 and X_2 values] P(X_1 = 3 e X_2 = 1) = 0,2 \cdot 0,05 = 0,01 P(X_1 = 3 e X_2 = 2) = 0,2 \cdot 0,1 = 0,02 P(X_1 = 3 e X_2 = 3) = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 P(X_1 = 3 e X_2 = 4) = 0,2 \cdot 0,25 = 0,05 P(X_1 = 3 e X_2 = 5) = 0,2 \cdot 0,4 = 0,08 P(X_1 = 4 e X_2 = 1) = 0,25 \cdot 0,05 = 0,0125 P(X_1 = 4 e X_2 = 2) = 0,25 \cdot 0,1 = 0,025 P(X_1 = 4 e X_2 = 3) = 0,25 \cdot 0,2 = 0,05 P(X_1 = 4 e X_2 = 4) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625 P(X_1 = 4 e X_2 = 5) = 0,25 \cdot 0,4 = 0,1 P(X_1 = 5 e X_2 = 1) = 0,4 \cdot 0,05 = 0,02 P(X_1 = 5 e X_2 = 2) = 0,4 \cdot 0,1 = 0,04 P(X_1 = 5 e X_2 = 3) = 0,4 \cdot 0,2 = 0,08 P(X_1 = 5 e X_2 = 4) = 0,4 \cdot 0,25 = 0,1 P(X_1 = 5 e X_2 = 5) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 [Probability matrix table for X_1 and X_2] b - E(x₁, x₂) = 1.1∙0,0025 + 1.2∙0,005 + 1.3∙0,01 + 1.4∙0,0125 + 1.5∙0,02 + 2.1∙0,005 + 2.2∙0,01 + 2.3∙0,02 + 2.4∙0,025 + 2.5∙0,04 + 3.1∙0,01 + 3.2∙0,02 + 3.3∙0,04 + 3.4∙0,05 + 3.5∙0,08 + 4.1∙0,0125 + 4.2∙0,025 + 4.3∙0,05 + 4.4∙0,0625 + 4.5∙0,1 5.1∙0,02 + 5.2∙0,04 + 5.3∙0,08 + 5.4∙0,1 + 5.5∙0,16 = 0,0025 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,3 + 0,03 + 0,04 + 0,12 + 0,2 + 0,4 + 0,03 + 0,12 + 0,36 + 0,6 + 3,2 + 0,05 + 0,2 + 0,6 + 1 + 2 + 0,5 + 0,4 + 1,2 + 2 + 4 = 14,8225