Atividade 2 - Introd à Estat 2022-1

SME 0520 - Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica Atividade 2 - Entrega: 12/05/2022 1. Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule (a) P(0 ≤ Z ≤ 1, 65). (b) P(Z ≤ 0, 5). (c) P(Z < −1, 57). (d) P(−0, 65 ≤ Z ≤ 0, 65). (e) Obtenha z tal que P(0 ≤ Z ≤ z) = 0, 4753. Atividade 2 1) Z ~ Normal (0,1) a. P(0 <= Z <= 1,05) = 0,35314 b. P(Z < 0,5) = 0,5 + P(0 <= Z < 0,5) = 0,5 + 0,19146 = 0,69146 c. P(Z < -1,57) = 0,5 - P(0 <= Z <= 1,57) = 0,5 - 0,44179 = 0,05821 d. P(-0,65 <= Z <= 0,65) = 2 * P(0 <= Z < 0,65) = 2 * 0,24215 = 0,4843 e. P(0 <= Z <= z) = 0,4953 z = 1,97 Atividade 3: 1) X = {1,2,4,6,8} a. \mu = (1 + 2 + 4 + 6 + 8) / 5 = 4,2 \sigma^2 = 5/6 * \sum (x_i - \bar{x})^2 = (1-4,2)^2 + (2-4,2)^2 + (4-4,2)^2 + (6-4,2)^2 + (8-4,2)^2 = (10,24 + 4,84 + 0,04 + 3,24 + 14,44)/5 = 6,5 b. Tabelas enviadas pelo arquivo do excel c. X: AAS de tamanho n = 3 X ~ Normal(4,2; 6,5/3) d. E(X) = E(X_1 + X_2 + X_3 / 3) = 1/3 E(X_1 + X_2 + X_3) = 1/3 [E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)] = 1/3 * 3 * \mu = \mu = 4,2 Var(X) = Var(X_1 + X_2 + X_3 / 3) = 1/9 Var(X_1 + X_2 + X_3) = 1/9 (Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)) = 1/9 * 3 * \sigma^2 = 1/3 * \sigma^2 = 1/3 * 6,5 = 6,5/3 E(X_p) = E(X_1 + 2X_2 + X_3 / 4) = 1/4 E(X_1 + 2X_2 + X_3) = 1/4 [E(X_1) + 2E(X_2) + E(X_3)] = 1/4 [\mu + 2 \mu + \mu] = 1/4 * 4 * \mu = \mu = 4,2 Var(X_p) = Var(X_1 + 2X_2 + X_3 / 4) = 1/16 Var(X_1 + 2X_2 + X_3) = 1/16 [Var(X_1) + 4Var(X_2) + Var(X_3)] = 1/16 [\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2] = 1/16 * 6 * \sigma^2 = 1/16 * 3 * \sigma^2 = 3/8 * \sigma^2 = 19,5/8 E(∆) = E\left( \frac{\min(x_1,x_2,x_3) + \max(x_1,x_2,x_3)}{2} \right) = \frac{1}{2} E \left( \min(x_1,x_2,x_3) + \max(x_1,x_2,x_3) \right) = \frac{1}{2} \left[ \min(E(x_1), E(x_2), E(x_3)) + \max(E(x_1), E(x_2), E(x_3)) \right] = \frac{1}{2} \left[ \min(\mu, \mu, \mu) + \max(\mu, \mu, \mu) \right] = \frac{1}{2} [ \mu + \mu ] = \frac{1}{2} \cdot 2 \mu = \mu = 9.2 \text{Var}(∆) = \text{Var}\left( \frac{\min(x_1,x_2,x_3) + \max(x_1,x_2,x_3)}{2} \right) = \frac{1}{4} \left[ \min(\text{Var}(x_1), \text{Var}(x_2), \text{Var}(x_3)) + \max(\text{Var}(x_1), \text{Var}(x_2), \text{Var}(x_3)) \right] = \frac{1}{4} [ \min(\sigma^2, \sigma^2, \sigma^2) + \max(\sigma^2, \sigma^2, \sigma^2) ] = \frac{1}{4} [ 2 \sigma^2 ] = \frac{\sigma^2}{2} = \frac{6.5}{2} = 3.25 e. i) Verdadeiro ii) Verdadeiro iii) Falso Atividade 4 1) a) P(14,5 ≤ X ≤ 16) = P\left( \frac{14.5 - 15}{\frac{2.5}{\sqrt{18}}} \le z \le \frac{16 - 15}{\frac{2.5}{\sqrt{18}}} \right) = P(-0,85 ≤ z ≤ 1,70) = 0,30234 + 0,45543 = 0,75777 b) P(\bar{X} > 16,1) = P\left( z > \frac{16,1 - 15}{\frac{2.5}{\sqrt{18}}} \right) = P(z > 1,87) = 0,5 - 0,46926 = 0,03074 2) a) X ~ \text{Bin}(18, 0,4) X ~ \text{Normal}(7,2, 4,32) P(X ≥ 15) = P\left( z \ge \frac{15 - 7,2}{\sqrt{4,32}} \right) = P(z ≥ 3,75) = 0,5 - 0,49991 = 0,00009 P(X ≤ 2) = P\left( z ≤ \frac{2 - 7,2}{\sqrt{4,32}} \right) = P(z ≤ -2,50) = 0,5 - 0,49379 = 0,00621 b) X ~ \text{Bin}(50, 0,2) x ~ \text{Normal}(10, 8) P(X ≥ 26) = P\left( z > \frac{26 - 10}{\sqrt{8}} \right) = P(z ≥ 5,66) \approx 0 P(5 ≤ X ≤ 10) = P\left( \frac{5 - 10}{\sqrt{8}} ≤ z ≤ \frac{10 - 10}{\sqrt{8}} \right) = P(-1,77 ≤ z ≤ 0) = 0,46164 3) a) X ~ \text{Binomial}(1000, 0,005) \Rightarrow X ~ \text{Normal}(5, 4,975) P(X ≥ 30) = P\left( z ≥ \frac{30 - 5}{\sqrt{4,975}} \right) = P(z ≥ 11,24) \approx 0 b- \tilde{X}\sim\text{Binomial}(1000, 0,15) \Rightarrow \tilde{X}\sim\text{Normal}(150, 127,5) P(x > 30) = P(z > \frac{30 - 150}{\sqrt{127,5}}) = P(z > -10,63) \approx 1 4) \ 1 - 2 = 0,8 \Rightarrow 2 = 0,2 [diagrams of normal distributions with various values and areas marked] 5) \ \frac{\left(2\right)}{1/2} = 1,8 2 = 0,07186 1-2 = 1 - 0,07186 = 0,92814 \leftarrow \text{Nível de confiança} 6) \ P(\overline{x} - \left(z_{\frac{v2}{2}}\right)\frac{v}{n} \leq \mu \leq \overline{x} + \left(z_{\frac{v2}{2}}\right)\frac{v}{n}) = 0,98 P(34,33 - 2,33\cdot\frac{2}{\sqrt{36}} \leq \mu \leq 34,33 + 2,53 \cdot \frac{2}{\sqrt{36}}) P(33,56 \leq \mu \leq 35,33)=0,98 JC\mu = [33,56 ; 35,33] 11) \ \tilde{X} \sim \text{Binomial}(20, 0,3) \leftarrow \text{A droga não tem efeito} P(\tilde{X} \geq 4) = 1 - P(\tilde{X} < 4) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1 - \left[\binom{20}{0} (0,3)^0 (0,7)^{20} + \binom{20}{1} (0,3)^1 (0,7)^{19} + \binom{20}{2} (0,3)^2 (0,7)^{18}\right]\] = 1 - [0,1216 + 0,2702 + 0,2852] = 1 - 0,6769 = 0,3231 12) a. P(X_1=1 \text{ e } X_2=1) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=1) = 0,05 \cdot 0,05 = 0,0025 P(X_1=1 \text{ e } X_2=2) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=2) = 0,05 \cdot 0,1 = 0,005 P(X_1=1 \text{ e } X_2=3) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=3) = 0,05 \cdot 0,2 = 0,01 P(X_1=1 \text{ e } X_2=4) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=4) = 0,05 \cdot 0,25 = 0,0125 P(X_1=1 \text{ e } X_2=5) = P(X_1=1) \cdot P(X_2=5) = 0,05 \cdot 0,4 = 0,02 P(X_1=2 \text{ e } X_2=1) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=1) = 0,1 \cdot 0,05=0,005 P(X_1=2 \text{ e } X_2=2) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=2) = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01 P(X_1=2 \text{ e } X_2=3) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=3) = 0,1 \cdot 0,2 = 0,02 P(X_1=2 \text{ e } X_2=4) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=4) = 0,1 \cdot 0,25=0,025 P(X_1=2 \text{ e } X_2=5) = P(X_1=2) \cdot P(X_2=5) = 0,1 \cdot 0,4 = 0,04 P(X_1=3 \text{ e } X_2=1) = 0,2 \cdot 0,05 = 0,01 P(X_1=3 \text{ e } X_2=2) = 0,2 \cdot 0,1 = 0,02 P(X_1=3 \text{ e } X_2=3) = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 P(X_1=3 \text{ e } X_2=4) = 0,2 \cdot 0,25 = 0,05 P(X_1=3 \text{ e } X_2=5) = 0,2 \cdot 0,4 = 0,08 P(X_1=4 \text{ e } X_2=1) = 0,25 \cdot 0,05=0,0125 P(X_1=4 \text{ e } X_2=2) = 0,25 \cdot 0,1 = 0,025 P(X_1=4 \text{ e } X_2=3) = 0,25 \cdot 0,2 = 0,05 P(X_1=4 \text{ e } X_2=4) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625 P(X_1=4 \text{ e } X_2=5) = 0,25 \cdot 0,4 = 0,1 P(X_1=5 \text{ e } X_2=1) = 0,4 \cdot 0,05 = 0,02 P(X_1=5 \text{ e } X_2=2) = 0,4 \cdot 0,1 = 0,04 P(X_1=5 \text{ e } X_2=3) = 0,4 \cdot 0,2 = 0,08 P(X_1=5 \text{ e } X_2=4) = 0,4 \cdot 0,25 = 0,1 P(X_1=5 \text{ e } X_2=5) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 [Probabilities table:] | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|-----|-----|-----|-----|-----| | 1 | .0025 | .005 | .01 | .0125 | .02 | | 2 | .005 | .01 | .02 | .025 | .04 | | 3 | .01 | .02 | .04 | .05 | .08 | | 4 | .0125 | .025 | .05 | .0625 | .1 | | 5 | .02 | .04 | .08 | .1 | .16 | b - E(x, x2) = 1.1.0,0025 + 1.2.0,005 + 1.3.0,01 + 1.4.0,0125 + 1.5.0,02 + 2.1.0,005 + 2.2.0,01 + 2.3.0,02 + 2.4.0,025 + 2.5.0,04 + 3.1.0,01 + 3.2.0,02 + 3.3.0,04 + 3.4.0,05 + 3.5.0,08 + 4.1.0,0125 + 4.2.0,025 + 4.3.0,05 + 4.4.0,0625 + 4.5.0,1 5.1.0,02 + 5.2.0,04 + 5.3.0,08 + 5.4.0,1 + 5.5.0,16 = 0,0025 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,1 + 0,03 + 0,04 + 0,12 + 0,2 + 0,4 + 0,03 + 0,12 + 0,36 + 0,6 + 3,2 + 0,05 + 0,2 + 0,6 + 1 + 2 + 0,1 + 0,4 + 1,2 + 2 + 4 = 14,8225