Exercícios Resolvidos de Cálculo Integral: Integração por Partes e Substituição

Existem algumas funções que podem ser integradas usando o método de integração por partes em que Usando o método de integração por partes determine A resposta correta é 3xe2x2 3e2x C 3xe2x2 3e2x2 C 3xe2x 3e2x4 C 3xe2x4 3e2x4 C 3xe2x2 3e2x4 C A integração por substituição é essencialmente o inverso da regra da cadeia para derivadas Em outras palavras ela nos ajuda a integrar funções compostas Use a integral por substituição para resolver a integral a seguir Em seguida assinale a resposta correta 115 3x2 41x232 C 115 3x2 21x232 C 115 3x2 21x232 C 115 3x2 21x232 C 115 3x2 21x232 C Existem algumas funções que podem ser integradas usando o método de integração por partes em que Usando o método de integração por partes determine A resposta correta é 3xe2x2 3e2x2 C 3xe2x 3e2x4 C 3xe2x4 3e2x4 C 3xe2x2 3e2x C 3xe2x2 3e2x4 C 3 Vamos calcular 3x e2x dx Com efeito fazemos u 3x e dv e2x dx Então segue que v dv e2x dx 12 e2x e também u 3x dudx 3 du 3 dx Então de u dv uv v du teremos 3x e2x dx 3x e2x2 e2x2 3 du 3x e2x2 34 e2x C Portanto a resposta é 3x e2x dx 3x e2x2 3 e2x4 C 7 at 154 t2 4t5 310 A velocidade vt será dada pela integral de at Logo vt atdt 15t24 4t5 310dt 154 t33 45 t22 310 t c 54 t3 25 t2 310 t c Logo vt 54 t3 25 t2 310 t c Como é dado na questão temos que vt0 v0 6 Então v0 6 54 03 25 02 310 0 c 6 c 6 Então a expressão da velocidade fica dada por vt 54 t3 25 t2 310 t 6 E o desejado em t 5 é v5 54 53 25 52 310 5 6 1735 Portanto a resposta é 1735 ms 2 Vamos resolver 13 8x2 dx Com efeito fazemos o seguinte u 8x1 u1 819 u3 24125 e du 8 dx dx du8 Então segue que 13 8x1 dx 925 u du8 18 925 u12 du 18 23 u32925 112 2532 932 12 125 27 Portanto 13 8x1 dx 496 8166 que é a resposta final 4 x3 1 2x2 dx Façamos integração por partes Com efeito x3 1 2x2 dx 1 2x2 x3 dx ddx 1 2x2 x3 dx dx x44 1 2x2 4x 21 2x2 x44 dx x4 4 1 2x2 12 x5 1 2x2 dx Agora vamos resolver x5 1 2x2 dx façamos a mudança x 12 sen φ Com isso teremos x 12 sen φ dx cos φ2 dφ Logo vamos ter x5 1 2x2 dx 12 sen φ5 1 sen2 φ cos φ2 dφ 12 124 sen5 φ cos φ cos φ2 dφ 18 sen5 φ dφ Nosso problema agora é resolver sen5 φ dφ Usando as relações trigonométricas segue que sen5 φ dφ sen φ sen4 φ dφ sen φ 1 cos2 φ2 dφ sen φ 1 2 cos2 φ cos4 φ dφ sen φ dφ 2 sen φ cos2 φ dφ sen φ cos4 φ dφ Com isso temos sen⁵ ϕ dϕ senϕ dϕ 2 senϕ cos² ϕ dϕ senϕ cos⁴ ϕ dϕ cosϕ 2 senϕ cos² ϕ dϕ senϕ cos⁴ ϕ dϕ Agora teremos que para senϕ cos³ ϕ dϕ façamos u cosϕ du senϕ dϕ Logo sen ϕ cos² ϕ dϕ senϕ u² du senϕ u² du u³3 cos³ ϕ 3 E também para senϕ cos⁵ ϕ dϕ que pondo u cosϕ du senϕ dϕ Então senϕ cos⁵ ϕ dϕ senϕ u⁵ dusenϕ u⁵ du u⁶5 cos⁵ ϕ 5 Então teremos que fim que é x³12x² dx x⁴12x² 4 12 x³ 2 2x² dx x⁴12x² 9 12 18 sen³ ϕ dϕ x⁴ 9 12x² 112 18 cosϕ 2cos³ ϕ 3 cos⁵ ϕ 5 C C ℝ Mas veja que x 12 senϕ Logo temos o triângulo com as seguintes relações cosϕ 1 2x² Logo teremos que x³12x² dx x⁴12x² 4 12 x⁵ 12x² dx x⁴12x² 4 116 cosϕ 23 cos³ ϕ cosϕ cos⁵ ϕ cosϕ 5 C x⁴12x² 9 116 12x² 23 12x² 12x² 12x²² 12x² 5 C 12x² x⁴9 116 12412x² 14x²4x⁴80 C 12x² x⁴ 17 480 x² 780 224 124 116 180 C 12x² x⁴ 15 x² 130 130 C E a solução final é x³ 12x² dx 12x² x⁴5 x² 30 130 C Obs Essa questão não tem gabarito correto De fato a resposta precisa é a obtida acima Ps A última questão é repetida e é a mesma apresentada na terceira questão Logo o gabarito e método de solução são os mesmos