Avaliação de Cálculo Vetorial - Teorema Fundamental e Teorema de Green

8ª AVALIAÇÃO CONTINUADA QUESTÃO FECHADA De acordo como o que foi estudado nos teoremas para campos vetoriais conservativos podese determinar a 𝑪 𝐅 d𝐫 pelo teorema fundamental da integral de linha 𝑪 𝑓 d𝐫 𝑓𝐫 𝐛 𝑓𝐫 𝒂 Uma vez que para esses campos vetoriais 𝑓 𝐅 Assim o valor aproximado da 𝑪𝐅 d𝐫 para 𝐅𝑥 𝑦 𝑧 𝑦2 cos 𝑧 𝒊 2𝑥 𝑦 cos 𝑧 3𝑦2 𝒋 𝑥 𝑦2 sen 𝑧𝒌 e a curva C pode ser representada pela função vetorial 𝐫 t t 1 𝒊 t 𝒋 t2 3 𝒌 com 0 t 1 é obs para os cálculos utilize a calculadora no modo radiano O 20 O 10 O 03 O 05 O 10 8ª AVALIAÇÃO CONTINUADA QUESTÃO FECHADA c Clique em Salvar esta questão a cada alteração realizada d As questões são salvas clicando no botão Salvar esta questão e Quando você estiver realizando a avaliação utilize apenas uma guia em um único navegador Questão 12 Valor da o O teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região D limitada pela curva C Como foi visto na videoaula da semana 8 temse duas formas para este teorema a forma normal fluxo divergência e a forma tangencial circulação rotacional Sendo assim Utilize o teorema de Green para determinar o fluxo divergente do campo vetorial 𝐅𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝒊 𝑥2 𝑦2 𝒋 sobre a região limitada pelo triângulo de vértices 0 0 3 0 e 3 3 O 50 O 36 O 24 O 45 O 18 Questão 1 Pelo Teorema de Green temos PdxQdy Q x P y dA x y x x 2 y 2 y dydx x x y 2 y dydx 1 2 y dydx 12 y dydx 0 3 0 x 12 y d yd x 0 3 yy 2 0 xdx 0 3 xx 2 dx x 2 2 x 3 3 0 3 3 2 2 3 3 3 9 1 21 9 1 2 9 2 4 5 Questão 2 Note que no início da curva temos t0 assim r 001i0 j0 23k r 0i3 k Note que no final da curva temos t1 assim r 111i1 j1 23 k r 12i j4 k O campo é dado por Fy 2cos zi2 xy cos z3 y 2 jx y 2sin zk Como o campo é conservativo deve existir uma função u tal que u xy 2cos z Integrando temos ux y 2cos zf y z Derivando em y devemos ter u y y x y 2cos zf y z 2xy cos z3 y 2 y x y 2cos z y f y z 2xy cos z3 y 2 2 xycos z f y z y 2xy cos z3 y 2 f y z y 3 y 2 f y z y 3g z Assim a função potencial é dada por ux y 2cos zf y z ux y 2cos z y 3g z Derivando em z devemos ter u z z x y 2cos z y 3g z x y 2sin z z x y 2cos zg z x y 2sin z z x y 2cos z dg z dz x y 2sin z x y 2sin z dg z dz x y 2sin z dg z dz 0 g z 0 Assim a função potencial se torna ux y 2cos z y 3g z ux y 2cos z y 3 Logo o valor da integral é Iu u t1u t0 u 214 u 103 21 2cos 41 310 2cos30 3 2cos410 0307287 Sem texto extraível Questão 1 Pelo Teorema de Green temos 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦𝑑𝐴 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑦2 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1 2𝑦𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 3 0 𝑦 𝑦20 𝑥𝑑𝑥 3 0 𝑥 𝑥2𝑑𝑥 3 0 𝑥2 2 𝑥3 3 0 3 32 2 33 3 9 1 2 1 9 1 2 9 2 𝟒𝟓 Questão 2 Note que no início da curva temos 𝑡 0 assim 𝑟0 0 1𝑖 0𝑗 02 3𝑘 𝑟0 𝑖 3𝑘 Note que no final da curva temos 𝑡 1 assim 𝑟1 1 1𝑖 1𝑗 12 3𝑘 𝑟1 2𝑖 𝑗 4𝑘 O campo é dado por 𝐹 𝑦2 cos 𝑧 𝑖 2𝑥𝑦 cos 𝑧 3𝑦2𝑗 𝑥𝑦2 sin 𝑧 𝑘 Como o campo é conservativo deve existir uma função u tal que 𝑢 𝑥 𝑦2 cos 𝑧 Integrando temos 𝑢 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑓𝑦 𝑧 Derivando em 𝑦 devemos ter 𝑢 𝑦 𝑦 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑓𝑦 𝑧 2𝑥𝑦 cos 𝑧 3𝑦2 𝑦 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦 𝑓𝑦 𝑧 2𝑥𝑦 cos 𝑧 3𝑦2 2𝑥𝑦 cos 𝑧 𝑓𝑦 𝑧 𝑦 2𝑥𝑦 cos 𝑧 3𝑦2 𝑓𝑦 𝑧 𝑦 3𝑦2 𝑓𝑦 𝑧 𝑦3 𝑔𝑧 Assim a função potencial é dada por 𝑢 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑓𝑦 𝑧 𝑢 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦3 𝑔𝑧 Derivando em 𝑧 devemos ter 𝑢 𝑧 𝑧 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦3 𝑔𝑧 𝑥𝑦2 sin 𝑧 𝑧 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑔𝑧 𝑥𝑦2 sin𝑧 𝑧 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑑𝑔𝑧 𝑑𝑧 𝑥𝑦2 sin 𝑧 𝑥𝑦2 sin 𝑧 𝑑𝑔𝑧 𝑑𝑧 𝑥𝑦2 sin 𝑧 𝑑𝑔𝑧 𝑑𝑧 0 𝑔𝑧 0 Assim a função potencial se torna 𝑢 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦3 𝑔𝑧 𝑢 𝑥𝑦2 cos 𝑧 𝑦3 Logo o valor da integral é 𝐼 𝑢 𝑢𝑡 1 𝑢𝑡 0 𝑢214 𝑢103 2 12 cos 4 13 1 02 cos 3 03 2 cos 4 1 0 𝟎𝟑𝟎𝟕𝟐𝟖𝟕